bài 1 : phương pháp qui nạp toán

Hoạt động 1: a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) ∀n∈N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ < n +100 ” và Q(n): “ 3 n > n ” với n∈N* 2 n Xét hai mệnh đề chứa biến: §2. §3. §4. §1. § 1. §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k I. Phương pháp quy nạp Toán học: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Bước3 : ( giả thiết quy nạp). , với k ≥ 1. Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N * ta thực hiện: Chứng minh rằng với n∈N* thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n 2 (1) Giải: B1) Khi n = 1: B2) Đặt VT = S n . Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1. Tức là: S k = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k 2 (gt quy nạp) B3) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Nghĩa là: Ví dụ 1: II. Ví dụ áp dụng : S k+1 =1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1) 2 Thật vậy: S k+1 = S k + [2(k + 1) – 1] = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*. VT = 1, VP = 1 2 = 1. Vậy (1) đúng. 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 25 = 5 2 = 1 2 + 3 + 5 + 7 + 9 n + .+ (2n – 1) = n 2 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N* Chứng minh rằng với n∈N* thì n 3 – n chia hết cho 3. Giải : Đặt A n = n 3 – n . B1) Với n = 1, ta có : A 1 = 0 … 3 B2) Giả sử với n = k ≥ 1, ta có: A k = (k 3 – k) … 3 (giả thiết quy nạp) B3) Ta chứng minh A k+1 . 3 Thật vậy: A k+1 = (k+1) 3 - (k+1) = k 3 +3k 2 +3k +1- k -1 = (k 3 - k) +3(k 2 +k) = A k + 3(k 2 +k) A k … 3 và 3(k 2 +k) . 3 nên A k+1 … 3 . Vậy: A n = n 3 – n chia hết cho 3 với mọi n∈N*. Ví dụ 2: Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì : • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p . • Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với: n = k+1 • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ: n = k ≥ p . n(3n+1) 2 5 8 . 3 1 2 n + + + + − = Bài1: Chứng minh rằng với , ta có đẳng thức sau: * n N ∈ Bài3: Chứng minh rằng với mọi ≥ 3 Ta coù:n > n 3 8n LUYEÄN TAÄP Bài2: Chứng minh rằng với , ta có: a) n 3 + 3n 2 +5n chia hết cho 3. * n N ∈ b) 13 n – 1 chia hết cho 6 (2) (3) n∈N* và [...]... n=k +1, tức là 3k +1 > 8(k +1) Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta c : 3k > 8k 3 3k > 3.8k = 24k 3k +1 > 8k+8 +16 k-8 3k +1 > 8(k +1) +16 k-8 Do 16 k-8 > 0 (với k ≥ 3) => 3k +1 > 8(k +1) (đpcm) Vậy 3n > 8n với mọi n ≥3 Trả lời: 3n < n + 10 0 ” P(n ): “ Q(n ): “ 2n > n ” a) n = 1 : 3 < 10 1 (Đ) a) n = 1 : 2 >1 (Đ) n = 2 : 9 < 10 2 (Đ) n= 2: 4>2 (Đ) n = 3 : 27 < 10 3 (Đ) n= 3: 8>3 (Đ) n = 4 : 81 < 10 4 (Đ) n= 4: 16 ... chứng minh : Fk +1 6, tức l :    Fk +1 = 13 k +1 -1  6  Thật vậy: Fk +1 = 13 k +1 -1 = 13 .13 k -13 +12 =13 (13 k - 1) + 12 =13 Fk +12 Theo giả thiết quy nạp thì Fk 6, ngồi ra 12  6      nên Fk +1 6 (đpcm)  Vậy Fn =13 n – 1 chia hết cho 6 Bài3 : Chứng minh rằng với mọi n ≥3 Ta c : n (3) 3 > 8n Giải  Với n=3 thì 33 > 8.3 => Bđt (3) đúng với n=3  Giả sử bđt (3) đúng với n=k > 3, nghĩa l : : 3k > 8k (gtqn)... minh Ek +1  3, tức l :   Ek +1= (k +1) 3+3(k +1) 2+5(k +1) 3   Thật vậy: Ek +1 = (k +1) 3+3(k +1) 2+5(k +1) = k3+3k2+5k+3k2+9k+9= Ek+3(k2+3k+3) Theo giả thiết quy nạp thì Ek  3   ngồi ra 3(k2+3k+3)  3 nên Ek  3 (đpcm)     Vậy Ek chia hết cho 3 với mọi n ∈ N * Bài2 : b) 13 n – 1 chia hết cho 6 Giải Đặt F = 13 n – 1 n  Với n = 1 thì F1 =13 1 -1= 12  6    Giả sử với n = k thì ta c : Fk =13 k -1  6 (gtqn)...Dặn d : Về nhà học bài, làm bài tập Hoạt động 2/ 81 và bài tập 1, 2 (trang 82 SGK) Xem trước bài : “ BẠN CĨ BIẾT ? ” Bài1 : Chứng minh rằng với n ∈ N *, ta có đẳng thức n(3n +1) sau: (2) 2 +5 +8 + +3n 1 = Giải 2 1( 3 .1+ 1) Khi n = 1, ta c : VT = 2 = VP= =2 2 => Đẳng thức (2) đúng với n = 1  Giả sử (2) đúng với n=k 1, tức l : k (3k + 1) (gtqn) Sk = 2 + 5 + 8 + + 3k − 1 = 2  Ta phải chứng... với n=k +1, nghóa l : (k + 1) [ 3(k + 1) + 1] Sk +1 = 2 + 5 + 8 + + 3k − 1 + [ 3(k + 1) − 1] = 2 k (3k + 1) Thật vậy: Sk +1 = Sk + 3k + 2 = +3k +2 2 3k 2 +k +6k +4 3(k 2 +2 k +1) +k +1 = = 2 2 (đpcm) (k + [ 3(k + + ] 1) 1) 1 = 2 * Vậy đẳng thức (2) đúng với mọi n ∈ N Bài2 : Giải a) n3 + 3n2 +5n chia hết cho 3 Đặt En= n3 + 3n2 +5n   Với n =1 thì E1=9 3  Giả sử En đúng với n = k 1 nghĩa l :  Ek=... > 4 (Đ) n = 5 : 243 < 10 5 (S) n= 5: 32 > 5 (Đ) b) ∀n∈N* thì P(n) sai, vì khi n = 5 thì P(5) sai b) Q(n) có đúng với ∀n∈N* khơng vẫn chưa kết ḷn được, vì ta khơng thể thử trực tiếp với mọi n Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N* ta thực hiện: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất k : n = k , với k ≥ 1 ( giả thiết... tự nhiên n∈N* ta thực hiện: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất k : n = k , với k ≥ 1 ( giả thiết quy nạp) Bước3 : Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 . minh : F k +1 6, tức l :    F k +1 = 13 k +1 -1 6    Thật vậy: F k +1 = 13 k +1 -1 = 13 .13 k -13 +12 =13 (13 k - 1) + 12 =13 F k +12 Theo giả thiết quy nạp. 2 +5n Bài2 : b) 13 n – 1 chia hết cho 6 Đặt F n = 13 n – 1     Giả sử với n = k thì ta c : F k =13 k -1 6 (gtqn)  Với n = 1 thì F 1 =13 1 -1= 12 6 