NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT(Học Kỳ2) Câu1.( Mức độ: B; 1,0 điểm ; Thời gian: 10 phút. ) Đáp án Điểm Tacó: 0.25 Áp dụng: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 0.25 Vậy : . 0.25 Suy ra tập nghiệm PT là :. 0.25 Câu 2 . ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. ).Giải Bất phương trình :
Trang 1NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT(Học Kỳ2) Câu1.( Mức độ: B; 1,0 điểm ; Thời gian: 10 phút )
2
2 x + = 5 4 x − 20 x + 25
Tacó:
2
2 x + = 5 4 x − 20 x + 25 ⇔ 2 x + = 5 2 x + 5 ⇔ 2x + =5 2x+5
0.25
Áp dụng: a + ≥ + ∀ b a b , a b , ∈ ¡
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b ≥ 0
0.25
Câu 2 ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút ).Giải Bất phương trình :
22 4
1
3 10
x
− −
Ta có:
2
2
3 10 0
x
x x
0.5
2
< − ∨ >
0.5
Câu 3 (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình : 3x 4+ = −2 3x
* Pt 3x 4 2 3x (1)
3x 4 3x 2 (2)
+ = −
⇔ + = −
*
1
x
3 Vn
=
⇔
Vậy 1
3
x= là nghiệm phương trình
0.5 0.5
Câu 4 ( Mức độ: C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho phương trình : mx2+2(m - 2)x m 3 0 (1).+ − =
THPT NGỌC HỒI
Tổ Toán
Trang 2a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 sao cho : 1 2
x x
3
x + x =
3a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành : 4x 3 0 x 3
4
−
* Khi m 0≠ thì (1) là phương trình bậc hai có ∆ = −4 m
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm
+ Nếu m 4≤ thì phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m
m
,
Kết luận :
+ m = 0 : S 3
4
−
= + m > 4 : S= ∅
+ m 4≤ và m 0≠ : Phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m
m
,
0.25
0.25
0.25 0.25
0.5
3b * Khi m 4≤ và m 0≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2.
* 1 2 ( )2
x x
3 x x 5x x 0
x + x = ⇔ + − = .
* Thay vào và tính được m 1 65
2
− ±
= : thoả mãn điều kiện m 4≤ và m 0≠
0.25
0.25
Câu 5 ( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− − Tìm toạ độ trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC
4
Toạ độ trọng tâm G : G 9 1
2;
−
.
Toạ độ trực tâm H :
* AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
.
uuuur uuur
uuuur uuur
* H (3 ; - 1 )
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
AI BI 8x 24
4x 8y 8
AI CI
* I 3 1
2
;
.
0.75
0.75
0.25 0.5
0.25
Câu 6 ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 Cho hệ phương trình: x 2 1
( 1)
+ − =
Hãy xác định các tham số thực m để hệ
phương trình có nghiệm duy nhất
2 Cho phương trình: x2 −2 x+m -m=0m 2 Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2
3
x x
x + x = .
Trang 36.1
(1.5
đ)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện : D 0≠
* Tính D m= 2− −m 2 và giải được m≠ −1và m 2≠
Vậy với m≠ −1và m 2≠ thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với x 1
m 2
−
=
− và
m 1 y
m 2
−
=
− .
0.75 0.25 0.5
6.2
(1.5
đ)
Phương trình:x2−2 x+m -m=0m 2 có hai ngiệm phân biệt khi ' 0∆ >
⇔ >m 0
TheoYCBT thì:
+
2
.x ( ) 5x x 0
x x
0( ) 5
m
=
⇔ =
Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 7 ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì (x y z)(1 1 1) 9
x y z
Câ
u
Đáp án
Điểm
7
(1.0
đ)
, , 0
x y z
∀ > Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
x y z+ + ≥3 3 x y z (1)
1 1 1 , , 0 ; ; 0
x y z
x y z
∀ > ⇒ > Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
1 1 1 33 1 1 1 .
x y z+ + ≥ x y z (2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:(x y z)(1 1 1) 9
x y z
+ + + + ≥ đpcm
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 8 (Mức độ: B; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ: OA iuuur r= −2 ,r uuurj OB= −5r r uuuri j OC, = +3 2 ri rj Tìm tọa
độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC
2 Cho sin 4 (0 )
π
α = < <α Tính giá trị biểu thức: 1 tan
1 tan
α
+
=
3
8.1
(1.0
đ)
Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2)
Toạ độ trọng tâm G : G 3 1
3
−
; .
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H
0.25 0.25 0.25
Trang 4* AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0
2 x 5 4 y 1 0
BH AC 0
.
uuuur uuur
* (25; 2)
7 7
0.25
8.2
(1.0
đ)
Ta có: sin 4
5
α = Tìm được cos 3; tan 4
Thay vào biểu thức:
4 1
4
1 tan 1
3
α
+ +
0.5
0.5
Câu 9 (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c Chứng minh rằng:
c
C b
B a
A abc
c b
2
2 2 2
+ +
= + +
9
(1.0
đ)
Ta có
CA BC CA AB BC AB CA
BC AB
CA BC AB
2 2 2
2 2 2
2
+ +
+ + +
=
+
c
C b
B a
A abc
c b a
C ab A cb B ac c
b a
CA BC CA AB BC AB c
b a
cos cos
cos 2
cos 2 cos 2 cos 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
+ +
= + +
⇔
+ +
= + +
⇔
+ +
= + +
⇔
0.5
Câu 10 (Mức độ: C ; 1,5điểm ; Thời gian: 15 phút )
Có 100 học sinh tham dự học sinh giỏi môn Toán ,( thang điểm là 20) kết quả được cho trong
bảng sau :
a,Tính số trung bình và số trung vị.
b,Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
a,Số trung bình:
11
1
1
100 i i i
=
Số trung vị: 15 16
=15,5 2
e
0.25
b,Phương sai:
2
2
3,96
100 i i i 100 i i i
0.5
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1
2
− + = − +
− = − −
có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên
Trang 5Đáp án Điểm Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1
2
− + = − +
− = − −
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D = 2 -m-12 2 2 1 ( 1)(2 1)
1 -m = − m + + = − −m m m+
Dx= 2 1 -m-1 2 3 2 3 3 2 2 2 (2 1)
2 -m
m
− +
− −
Dy= 2 -m+12 2 2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2m = − m − m m+ − = m+ m+
−
*D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ - 1
2 thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x
D = m = +m
− −
y
+
* Để x∈¢ ,y∈¢ thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2.Suy ra : x∈ { 2;0;3;- 1}
0,5
0,25
0,25
0,5 0,5
Câu 12 (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
⇔(x2- 4x +4)(x2- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x2- 4x +4.Pt (1)⇔ t(t+2) – 3 = 0 ⇔ t2 +2t – 3 = 0 1
3
t t
=
⇔ = −
*t = 1: x2- 4x +4 = 1 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 5 13
2
⇔ =
*t = - 3: x2- 4x +4 = - 3 ⇔ x2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1): 5 13
2
x= ±
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 13.(Mức độ: B ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho uuurAD= −2BCuuur
18a
∆ABC có:A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
* ABuuur= (-5;-2)
AC
uuur
= (3;-6)
* Vì 5 2
− ≠ −
− nên AB
uuur
và ACuuurkhông cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba
0,25 0,25
0,25
Trang 6đỉnh của một tam giác
Tìm tọa độ điểm D sao cho uuurAD= −2BCuuur
Giả sử D(x;y)
* ADuuur= (x-2;y-6)
(8; 4)
BC=
uuur
⇒ -2 BCuuur= (-16;-8)
*uuurAD= −2uuurBC ⇔ − = −x y− = −26 168 ⇔ 14
2
x y
= −
= −
0,25 0,5đ 0,25 0,25
Câu14.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho f(x) = x2 – 2x – 4m – 1 a).Tìm giá trị của m để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để f(x) > 0 với mọi x ∈ R
a,f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ >0
⇔ 4 + 16m + 4 > 0 ⇔ 1
2
m> −
b,để f(x) > 0 với mọi x ∈ R ⇔ ∆ <0
⇔ 4 + 16m + 4 < 0 ⇔ 1
2
m< −
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 15.(Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Giải phương trình:
a) 4x+ =7 2x−3(1)
b) 2x+ = −3 x 1(2)
20
a(1điểm) Điều kiện x≥ −74
Pt(1)⇒4x+ =7 4x2−12x+9
⇒ 4x2-16x+2=0
⇒x1,2=4 14
2
±
Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào phương trình thì x2=4 14
2
−
không thoã mãn
Vậy phương trình có một nghiệm là x=4 14
2
+
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
20b
(1điểm) +)Với x≥ 3
2
− phương trình trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x≥ 3
2
− n ên
bị loại) +) V ới x< 3
2
− phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x= 2
3
− (lo ại)
0,5
Trang 7V ậy : Phương trình vô nghiệm 0,5
Câu 16.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 10 phút ).Giải các bpt sau:
a,(1,0điểm) 3x-1>1+x
b,(2,5điểm) 3(x2 −1) <2x−1
b,
−
<
−
≥
−
>
−
2 2
2
) 1 2 ( ) 1 ( 3
0 ) 1 ( 3
0 1 2
x x
x x
(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
0,75
{ }
∈
∀
≥
−
≤
>
2
\
1 , 1 2 1
R x
x x
x
(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Vậy: ∀x∈[1;+∞) { }\ 2 là nghiệm
0,75
Câu 17.(1đ).(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với 1 3
2
x
≤ ≤
Ta c ó y=(-2x+3)(x-1)=1
2(-2x+3)(2x-2), Với 1 3
2
x
≤ ≤ Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và
-2x+3>0 ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
(2x-2)+(-2x+3) 2 2 2 2 3
1
( ) 2 2 2 3
2
2 2 2 3
Hay y ≤ 1
8.Vậy giá trị lớn nhất của y là
1
8, đạt tại x=
5 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 18.(Mức độ: C ; 3điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a).Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định toạ độ tr ực tâm H của tam giác ABC
Trang 8Câu Đáp án Điểm
Câu 18a Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB DCuuur uuur= (1)
Mà uuurAB=(6; 4);DCuuur= −( ; 2x −y)
Từ (1) ta có 6 6
− = = −
Vậy D(-6;-2)
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 18b Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó
;
A B C A B C
hay ( 2; 2)
3
G −
0,25
0,25
Câu 18c Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
( 4; 2 ;) ( 2; 6 ;) ( 2; 8 ;) (4; 4)
AH = +x y− BH = −x y− BC= − − AC= −
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 0
4 0 12
12 8
5 ; ( ; )
5
AH BC AH BC
x y
x y x
H y
=
− − + =
⇔ − + =
= −
⇔
=
uuur uuur uuur uuur
0,25
0,75 0,25
0,25
Câu19 (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút ) Giải các phương trình sau :
a) ( 1 điểm) 3x−4 =2x−1 b) ( 1 điểm) x2 −2x+6 =2x−1
19a
19b
Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể
Đặt đk:
2
1 0
1
2x− ≥ ⇔ x≥
1 x
3 x 0,25 2
1 4 3
1 2 4 3
=
=
⇔
−
=
−
−
=
−
⇔
x x
x x
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1 Đặt đk: 0,25
0 1 2
0 6 2
2
≥
−
≥ +
−
x
x x
{ Không nhất thiết phải giải điềm kiện}
3
5 x
1 x 0,25 1 4 4 6
2
=
−
=
⇔ +
−
= +
−
So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x =
3
5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu20.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-1;1), C (1;1) a) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM
Trang 9b) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
c).Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c Phương trình đường tròn có dạng (C):x2+y2+2ax+2by+c=0
(C) qua A(1;2) ⇔12+22+2a1+2b2+c=0 0,25
(C)qua B(-1;1) ⇔ (-1)2+12+2a(-1)+2b1+c=0 0,25
(C) qua C(1;1) ⇔12+12+2a1+2b1+c=0 0,25
a= 0 , b=
2
3
−
, c=1 phương trình đường tròn cần tìm: (C): x2+y2-3y+1=0
0,25
Hết GV.Đặng Ngọc Liên
