Chơng I Dao động tuyến tính hệ bậc tự Đ1.1 Dao động tự hệ tuyến tÝnh mét bËc tù 1.1.1 Dao ®éng tù không cản Xét hệ bậc tự do, lực tác dụng lên hệ Toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ q Phơng trình Lagrăng II cã d¹ng: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ⎜ ⎟ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q dt ⎜ ∂ q ⎟ ⎝ ⎠ Víi dao ®éng nhá thì: T = ã2 a q ; = cq : Thay vào phơng trình rót gän, 2 •• q+ k 2q = ta đợc: (1-1) c gọi tần số vòng (riêng) dao động, đơn vị thờng dùng rad/s, a phụ thuộc vào tính chất hệ (khối lợng độ cứng) Phơng trình (1-1) phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự hệ tuyến tính bậc tự NTQ (1-1) tìm đợc dạng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) Trong đó: k = Đặt: C1 = Asin; C2 = Acos Ta viết đợc nghiệm (1-2) dới dạng biên độ: q = Asin(kt +) (1-3) đây: A = C1 + C biên độ dao động; (kt +) pha dao động; pha ban đầu; k tần số vòng (tần số dao động riêng) hƯ 2π a = 2π k c Gäi f lµ số dao động đơn vị thời gian (tần sè dao ®éng), ®ã: Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = (1-4) k c (1-5) = = T 2π 2π a C¸c h»ng số A đợc xác định từ điều kiện ban đầu Giả sử t = 0: q(0) = q0 f= ã ã q (0) = q ta nhận đợc: A = q + •2 q0 k vµ α = arctg kq • Do ®ã: q0 14 q= q0 + q0 k2 ⎛ ⎞ kq ⎟ ⎜ ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ ⎜ q0 ⎟ ⎝ ⎠ (1-6) Nh− vËy, dao ®éng nhá tù cđa hƯ tun tÝnh mét bËc tù lµ dao động điều hoà Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k nhiệm vụ quan trọng toán nghiên cứu dao động tự Bảng thống kê số công thức k số hệ đơn giản Bây ta biểu diễn nghiệm toán mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển vận tốc) Tại thời điểm trạng thái hệ đợc đặc trng dịch chuyển q vËn tèc • v = q Ta cã trờng hợp khảo sát: q = A sin( kt + α) ⎪ • ⎨ ⎪v = q = Ak cos(kt + ) (1-7) Tập hợp phơng trình khảo sát nh quỹ đạo pha cho dạng thông số Để nhận đợc phơng trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta đợc: q2 v2 + 2 =1 A2 A k (1-8) NghÜa phơng trình Ellíp (Hình 11a) Điểm biểu diễn ban đầu (từ chuyển động ã ã đợc bắt đầu) tơng ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 q(0) = q Khi thay ®ỉi ®iỊu kiƯn ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn Ellíp khác Tập hợp trạng thái hệ đợc mô tả hệ Ellíp (Hình11) Gốc toạ độ tơng ứng với trạng thái cân hệ (q0 =0 ã q = ) Điểm điểm kỳ dị gọi tâm v v q 0, v q O O q Hình 11 Bảng 2: Tần số riêng số mô hình dao động Stt Mô hình dao động Phơng trình ãã x Hệ khối lợng lò xo đơn giản C x+ m C x=0 m (q = x) 15 k2 C m Hệ khối lợng lò xo trọng trờng ãã C y+ y M C y=0 m C m (q = y) O ãã Con lắc toán học + L ãã a + Con lắc vật lý C Bµn quay mga ϕ=0 JO mga JO (q = ϕ ) m •• JO g L (q = ϕ) m O g ϕ=0 L ϕ+ C C ϕ=0 JO C JO (q = ϕ) O r Hệ khối lợng vắt qua ròng dọc JO m1 ãã y+ 1+ y C JO C y=0 m1 m1 r 1+ JO C m1 m1 r (q = y) m ãã + Cơ cấu gõ nhịp L C O (q = ) ãã x+ x Hệ lăn lò xo m C O C − mgL ϕ=0 JO r J C C x=0 JC m 1+ mr (q = x) •• L Con lăn quỹ đạo tròn + m JC C r g ϕ=0 JC L 1+ mr (q = ϕ) C − mgL JO C J m + C2 mr g J L + C2 mr 16 rC 10 ϕ+ Nöa đĩa tròn mặt phẳng mgrC ãã C r m J C + m(r − rC ) (q = ϕ) ϕ=0 mgrC J C + (r − rC ) m 1.1.2 Dao động tự có cản ta coi hao tán lợng dao động không xảy thiết lập đặc tính không tắt dần dao động tự Tuy nhiên dao động gặp thực tế tắt dần, do: ma sát phận giảm chấn, phanh h·m, tiÕp xóc víi m«i tr−êng xung quanh v.v Giả sử lực tác dụng lên hệ lực có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc Khi phơng trình Lagrăng II có d¹ng: ⎛ ⎞ ∂π ∂φ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • dt ⎜ ⎟ ∂q ⎝∂q ⎠ 2 • 1 ã Với dao động nhỏ: T = a q ; π = cq ; φ = b q Thay vào phơng trình rút 2 gọn, ta đợc: ãã ã q + 2n q + k q = đây: 2n = (1-9) b c , k2 = a a Phơng trình (1-9) phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự tắt dần hệ tuyến tính bậc tự NTQ (1-9) tìm đợc dới dạng: q = e t Trong đợc xác định từ phơng trình đặc trng sau: + 2n + k2 = (1-10) Phơng trình (1-10) cho hai nghiÖm sè: λ 1, = − n ± n k (1-11) Ta khảo sát ba trờng hợp: 1.1.2a Trờng hợp 1: n < k (lực cản nhỏ) Trong trờng hợp phơng trình đặc trng có nghiÖm phøc: λ 1, = − n ± ik ; k = k − n ; i = Tích phân tổng quát phơng trình (1-9) có dạng: q = e nt (C cos k t + C sin k t ) Hay viết dạng biên độ: 17 (1-12) q = Ae − nt sin( k t + ) (1-13) ã ã Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q Ta cã: ⎛• ⎞ ⎜ q + nq ⎟ ⎛ 2 ⎝ ⎠ ; β = arctg C = arctg⎜ q k − n 2 A = C1 + C = q + ⎜ • C2 k2 − n2 ⎜ q + nq 0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ VËy: ⎛• ⎞ ⎜ q + nq ⎟ ⎛ 2 ⎝ ⎠ e − nt sin⎜ k t + arctg q k − n q = q0 + • ⎜ k2 − n2 ⎜ q + nq ⎝ (1-14) đây: k = k n gọi tần số dao động tắt dần Chu kỳ dao động tắt dần đợc xác định bằng: T1 = = k1 (1-15) k2 − n2 Víi n kh¸ nhá ta viÕt ®−ỵc: 2π ⎡ ⎛ n ⎞ T1 = ≈ ⎢1 + ⎜ ⎟ k ⎢ 2⎝k⎠ ⎣ ⎛n⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝k⎠ T ⎡ ⎛ n ⎞2 ⎤ ⎤ ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2⎝k⎠ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ (1-16) nt Nghiệm (1-13) phơng trình (1-9) rằng: Độ lƯch A e cđa hƯ cã c¶n gi¶m theo thêi gian víi quy lt hµm sè mị Nã tiƯm cËn tới không dao động tắt dần (H×nh 1-1) q O y1 y T1 t T1 H×nh 1-1 Trong thực tế để đặc trng cho giảm biên độ ngời ta thờng dùng đại lợng, ký hiệu gọi độ suy giảm Lôgarit dao ®éng: δ = ln ψ = ln y 2π = nT1 = y1 ⎛k⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝n⎠ (1-17) Muốn xác định thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng: 18 y y ⎤ Δy y y δ = ln = ln = ln ⎢1 + + ⎜ ⎟ + ⎥ ≈ y1 y − Δy y ⎜ y ⎟ ⎢ ⎥ y ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (1-18) 1.1.2b Tr−êng hỵp 2: n > k (Lực cản lớn) Trong trờng hợp hai nghiệm phơng trình đặc trng thực âm: 1, = n k , k = n − k Ph−¬ng trình (1-9) có NTQ dạng: nt q = e (C e k t + C e k 2t ) (1-19) Khi tính điều kiện ban đầu nh trờng hợp 1, ta có: ã ã q (k + n) + q q (k − n ) − q C1 = ; C2 = 2k 2k Tõ ®ã: q=e − nt • • ⎡ ⎤ ⎢ q (k + n ) + q e k t + q (k − n ) − q e k t ⎥ ⎢ ⎥ 2k 2k ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1-20) HƯ qua vÞ trÝ cân thời điểm thoả mÃn phơng trình: • • ⎡ ⎤ q ( k + n) + q k 2t q ( k − n) − q ⎥ −( k + n ) t ⎢ + e e =0 ⎢ ⎥ 2k 2k ⎣ ⎦ Víi gi¸ trÞ cđa biĨu thøc dÊu mãc bÊt kú, vÕ trái phơng trình t Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần 1.1.2c Trờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong trờng hợp nghiệm phơng trình đặc trng thực, âm NTQ (1-9) có d¹ng: q = e − nt (C1 t + C ) (1-21) Chuyển động hệ tắt dần, không dao động Trong số tài liệu kỹ thuật trình bày dao động ngời ta sử dụng khái niệm độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu D, đợc xác định hệ thức: D= n b b = = k 2ak ac (1-22) Phơng trình (1-9) viết dới dạng: ãã ã q + 2Dk q + k q = Do k − n = k − D , nên chuyển động hệ đợc phân trờng hợp: D < 1: Độ cản nhỏ D > 1: Độ cản lớn D = 1: Độ cản tới hạn 19 (1-23) Nh thế, D < chuyển động hệ dao động tắt dần D chuyển động hệ tắt dần không dao động Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit , có liên hệ hệ thøc sau: δ = 2π D (1-24) 1− D2 ThÝ dụ 1-1: Xét dao động nhỏ lắc toán học có độ dài L, khối lợng m (Hình 1-2) Lấy làm tọa độ suy rộng Tọa độ khèi l−ỵng m b»ng: x = Lsinθ; y = Lcosθ Do đó: T= ã2 ã2 1 ã mv = m⎜ x + y ⎟ = mL2 θ ⎟ 2 ⎜ ⎝ ⎠ x O Thế lắc công trọng lợng P = m g thùc hiƯn trªn di chun cđa từ vị trí khảo sát (hình vẽ) tới vị trí cân (thẳng đứng) L = mgL(1 − cos θ) Do θ bÐ, 1-cosθ ≈ m 1 θ nªn: π = mgLθ 2 Thay kết vào phơng trình Lagrăng loại II: y H×nh 1-2 d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂π ⎜ ⎟− =− • ⎟ dt ⎜ ∂θ ∂θ ⎝∂θ⎠ Ta nhận đợc phơng trình dao động nhỏ lắc: ãã g + = L Đó dao động điều hoà với tần số riêng k = g L vµ chu kú T = 2π g L Thí dụ 1-2: Xét dao động xoắn nhỏ đĩa gắn vào đầu mút dới đàn hồi không trọng lợng dài L Mút bị ngàm (Hình 1-3) Gọi M khối lợng đĩa; bán kính quán tính đĩa trục thanh; G môđun trợt vật liệu thanh; JP mômen quán tính độc cực tiết diện ngang GJ P LÊy θ lµ gãc L quay đĩa vị trí cân ổn định Động đĩa L Độ cứng xoắn C = ã2 bằng: T = M Thế đàn hồi nhỏ (tuân Hình 1-3 20 C áp dụng phơng trình LagrăngII nh thí dụ 1-1, ta nhận đợc phơng trình dao động nhỏ xoắn: theo định luật Hooke) = ã M + C = Đó dao động điều hoà với tần số riêng k = M C vµ chu kú T = 2π C Mρ ThÝ dơ 1-3: Ng−êi ta treo t¶i träng trọng lợng P tuyệt đối cứng dài 2L có gắn hai lò xo đàn hồi có độ cứng C Tải trọng đợc ngâm bình chứa chất lỏng nhớt Trong trình tải träng thùc hiƯn dao ®éng nhá tù chÊt láng gây ảnh hởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4) Tìm hệ số ma sát nhớt hệ, chu kỳ dao động tắt dần hệ T1 = 1s; tham số hệ lấy giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm; Đờng kính lò xo D = 2cm; đờng kính dây lò xo d = 2mm; Môđun trợt vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng lò xo i = C L C L P Bài giải: Hệ có bậc tự Chọn toạ độ suy rộng q = góc lệch nhỏ so với phơng thẳng đứng Phơng trình Lagrăng II áp dụng cho trờng hợp có dạng: Hình 1-4 d T T ⎜ ⎟− =− − • • ⎟ dt ⎜ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎝∂ ⎠ • P P⎛ 2P • ⎞ Ta cã: T = V = L ϕ ⎜ 2L ϕ ⎟ = g 2g g⎝ ⎠ π = P.2L(1 − cos ϕ) + 2 C2 ; = Lsin độ co dÃn lò xo so với vị trí cân thẳng đứng (khi lò xo chứa biến d¹ng), víi ϕ nhá: 1- cosϕ ≈ ϕ2 ; sinϕ ; Do hệ bằng: π = L(P + CL)ϕ Gäi β lµ hƯ số ma sát nhớt hệ (chất lỏng), hàm hao tán xác định công thức: ã = 2 Thay giá trị tính đợc vào phơng trình Lagrăng II rút gọn, ta nhận đợc: ãã + 21 g ã ( P + CL )g ϕ+ ϕ=0 2PL 2PL 2π Chu kú dao ®éng tắt dần là: T1 = (a) k2 n2 k tần số dao động tự (khi lùc c¶n) b»ng: k = P + CL g PL Gọi C độ cứng lò xo đợc tÝnh theo c«ng thøc sau: C = Gd 8D i (b) Thay số vào ta đợc: C = 33,3 N/cm Do đó, từ (b) tính đợc: k=14rad/s Từ (a) giải đợc: 2n = k ; thay sè vµo ta cã: 2n = 12,5rad/s T12 Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện: 2n = g 4nPL = Thay số ta đợc: = 76,5 NS 2PL g Đ1.2 Dao động cỡng bøc cđa hƯ tun tÝnh mét bËc tù Dao động cỡng xảy hệ có tác dụng kích động Các kích động tuần hoàn va chạm Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng lực có thế, lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vận tốc lực kích động hàm thời gian t: P (t ) Gäi QP lµ lùc suy rộng lực kích động Phơng trình Lagrăng II trờng hợp có dạng: ∂φ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T P ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q dt ⎜ ⎟ ∂q ⎝∂q ⎠ •2 2 ã2 Với dao động nhỏ: T = a q ; π = cq ; φ = b q Đặt: Q(t) = P Q Thay vào phơng trình rút gọn ta nhận đợc: a •• • q + 2n q + k q = Q( t ) (1-25) Phơng trình (1-25) phơng trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ c−ìng bøc cđa hƯ tun tÝnh mét bËc tù Trong trờng hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ cđa (1-25 ) cã d¹ng: q = Ae − nt sin( k + β) + q (1-26) Trong ®ã q NR phơng trình (1-25) Các hệ số A, đợc xác định từ điều kiện ban đầu 22 q = e − nt Z(t ) Ta t×m NR q dạng: (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25) Ta nhận đợc phơng trình hàm Z(t): ãã Z + k Z = Q(t ).e nt (1-28) Nghiệm phơng trình (1-28) đợc tìm phơng pháp biến thiên số Lagrăng, ta đặt: Z(t) = C1(t)sink1t+ C2(t)cosk1t (1-29) Thay (1-29 ) vaß (1-28) ta suy ra: • • ⎧ C1 ( t ) sin k t + C ( t ) cos k t = ⎪ • ⎨ ⎛• ⎞ nt ⎪k ⎜ C1 ( t ) cos k t − C ( t ) sin k t ⎟ = e Q( t ) ⎝ ⎠ ⎩ (1-30) Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có: ã • e nt Q(t ) e nt Q(t ) C (t ) = cos k t; C (t ) = − sin k t; k1 k1 Tõ ®ã ta cã: e nτ Q(τ) e n τ Q ( τ) cos k τ.dτ ; C (t ) = − ∫ sin k τ.dτ k1 k1 0 t t C (t ) = (1-31) Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận đợc nghiệm phơng trình (1-28): t Z( t ) = e nτ Q(τ) sin k ( t − τ)dτ k1 (1-32) Vậy, NR q phơng trình (1-25) b»ng: t q=e − nt Z( t ) = e − n ( t − τ) Q( τ) sin k ( t − τ).dτ k1 ∫ (1-33) NTQ phơng trình (1-25) có dạng: t q = Ae − nt sin(k t + β) + e − n ( t − τ) Q(τ) sin k ( t − τ)dτ k1 ∫ (1-34) Tích phân theo vế phải (1-34) dẫn theo biến Vì vậy, tích phân coi t h»ng sè Sau hoµn thµnh viƯc thay cËn tÝch phân ta nhận đợc q hàm thời gian t 1.2.1 Tính toán dao động cỡng không cản (n = 0) Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P0sinpt Phơng trình (1-25) trở thành: ãã q + k q = P0 sin pt Khi p ≠ k, NTQ cña (1-35) cã d¹ng: 23 (1-35) q = C cos kt + C sin kt + • P0 sin pt k p2 (1-36) ã Lấy điều kiện ®Çu t = 0: q(0) = q0; q(0) = q ta cã: • q P0 p C1 = q0; C = − k k( k − p ) (1-37) • q pP0 P q = q cos kt + sin kt + sin kt + 2 sin pt Tõ ®ã: (1-38) 2 k k(k − p ) k −p Trªn c¬ së (1-38) ta cã mét sè nhËn xÐt sau: 1) Hai số hạng đầu (1-38) ứng với dao động tự tần số riêng k Khi ã q (0) = q (0) = , nh÷ng dao động không xảy Số hạng thứ ba dao động điều hoà với tần số riêng k, nhng biên độ phụ thuộc vào lực kích động Nó xảy dao động cỡng với điều kiện đầu tuỳ ý 2) Số hạng cuối (1-38) ký hiƯu lµ q : q= P0 sin pt k p2 (1-39) Biểu thị dao động cỡng bøc thn t Ta chó ý mét sè tÝnh chÊt sau: a) Dao động cỡng xảy với tần số lực kích động p Nó không phụ thuộc vào ®iỊu kiƯn ®Çu cđa hƯ b) Khi k > p dấu độ lệch q dấu với lực kÝch ®éng Q, ta nãi nã cïng pha Khi k < p chóng ng−ỵc dÊu (ng−ỵc pha) Ta cã thÓ viÕt: q= P0 sin( pt + π) k − p2 c Tr−êng hỵp k = p, biĨu thøc (1-39) số hạng thứ ba (1-38) ý nghĩa Tuy nhiên xét đồng thời có: − ⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤ P0 p P sin kt + 2 sin pt = P0 ⎢ ⎥ 2 k( k − p ) k −p k(k − p ) ⎣ ⎦ Víi k = p, nã cã d¹ng p k, ta thu đợc: áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm p cho ⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤ P0 P0 t ⎡ − sin kt + kt cos pt ⎤ P0 ⎢ = lim P0 ⎢ ⎥ ⎥ = − sin kt − 2k cos kt 2 − 2kp k(k − p ) 2k ⎦ ⎣ ⎦ k =p p→k ⎣ TÝch ph©n tỉng quát (1-38) trở thành: ã q Pt P q = q cos kt + sin kt + 02 sin kt − cos kt 2k k 2k (1-40) 24 Rõ ràng p = k giá trị nguy hiểm biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với thời gian t khoảng thời gian hữu hạn không tiến tới vô hạn (Hình 1-5) Sự trùng tần số lực kích động p với tần số riêng hệ k tợng xảy tiếp sau gọi tợng cộng hởng Thực tế tính toán dao động cỡng không cản thờng phân hai trờng hợp: Trờng hợp xa cộng hởng (p k) trờng hợp gần cộng hởng (p k) Khi nếu: p = k+2 ( đại lợng vô bé) ta có tợng phách, p = k ta có tợng cộng hởng q t O Hình 1-5 Đối với máy đợc thiết kế làm việc gần cộng hởng tăng vận tốc máy qua vùng cộng hởng phải khẩn trơng cho vợt qua đủ nhanh Thí dụ 1-4: Động điện đặt sàn m đợc đỡ lò xo xoắn, trọng lợng tổng cộng sàn động 327N Lò xo có tính chất là: Chiều cao ngắn cm chịu lc 300N Ngời ta gắn vào trục động tải trọng m1 nặng 2N cách đờng tim trơc mét kho¶ng r = 1,3cm VËn tèc gãc động p = 30 rad/s HÃy viết phơng trình dao động sàn, giả thiết thời điểm đầu nằm yên; lấy g = 981 cm/s2 (Hình 1-6a) Bài giải: Sàn động chuyển động theo phơng thẳng đứng Gọi x toạ độ khối tâm sàn động tính từ vị trí cân ổn định Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi lò xo F = Cx; lực kích động lực quán tính ly tâm khối lợng lệch tâm m1 gây theo phơng Ox: Fx=m1rp2cospt ãã Đặt lực quán tính lên khối lợng dao động Fqt = m x (Hình 1-6b) r O O m1 m x r m m ϕ = pt Fx C x a) b) H×nh 1-6 25 m1rp2 Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có: ãã m x + Cx = m1 rp cos pt •• ⇒ x+ k x = m1 rp C cos pt; k = m m NTQ pơng trình tìm dạng: x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt ã => x = C1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt ã Điều kiện đầu toán: t = x(0) = 0; x(0) = m1 r p Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0; B = C mp Do phơng trình dao động sàn m là: x= Vì k = m1 rp (cos pt − cos kt ) c − mp 300 / C = ≅ 30 rad / s ⇒ k = 30 rad / s = p m 327 / 981 Trong trờng hợp hệ có cộng hởng Vì nghiệm toán viết dạng: 2m1 rp(cos pt cos kt ) + m1 p rt sin pt p→k 2mp lim x = lim p→k Hay lim x = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm) p→k 1.2.2 TÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc cã c¶n (n ≠ 0) XÐt lùc c¶n (nhít) phơ thc bËc nhÊt víi vËn tèc, lùc kích động biến đổi theo quy luật điều hoà Q(t) = P0sinpt Phơng trình (1-25) trở thành: ãã ã q + 2n q + k q = P0 sin pt (1-41) Víi lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cđa (1-41) cã d¹ng: − nt q = A e sin( k t + β) + q; k = k − n Ta t×m nghiƯm q d−íi d¹ng: q = B sin( pt − ε) (1-42) (1-43) Chän B, ε cho q tháa m·n đồng phơng trình (1-42) B( k p ) = P0 cos ε Tõ ®ã ta nhËn đợc: 2Bnp = P0 sin (1-44) 26 Giải hÖ (1-44), ta cã: B = P0 (k − p ) + 4n p ; tgε = np k − p2 (1-45) TÝch phân tổng quát phơng trình (1-41) viết dạng: nt P0 q = A e sin( k t + β) + (k − p ) + 4n p 2 2 sin( pt − ε) (1-46) Các số A, đợc xác định từ điều kiện ban đầu Từ (1-46) ta có số nhận xét sau: 1) Số hạng đầu (1-46) ứng với dao động tự có cản Thực tế tắt dần theo thời gian Sau khoảng thời gian bỏ qua xem hệ thực dao động cỡng tuý: q = P0 sin( pt − ε) ( k − p ) + 4n p (1-47) Phơng trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ỉn cđa hƯ 2) Dao ®éng c−ìng bøc kĨ có cản xảy với tần số lực kích động p Biên độ không phụ thuộc vào thời gian không tắt dần lực cản Khi xảy cộng hởng (p = k) biên độ hữu hạn giá trị lớn giá trị biên độ Ta tìm p để biên độ: B= Từ điều kiện P0 đạt cực đại ( k p ) + 4n p ∂B = , ta suy ra: p2 = k2 - 2n2 ∂p VËy B = Bmax p2 = k2 - 2n2 Biên độ dao động cỡng đạt cực đại p nhá h¬n k mét chót (tr−íc céng h−ëng) 3) Trong dao động cỡng hệ có cản xảy độ lệch pha pha dao động với pha lực kích động Độ lệch pha xác định công thức: tg = 2np k p2 π 4) Gäi ®é lƯch tĩnh hệ B0 (bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng Độ lệch pha có giá trị cực đại cộng hởng (p = k) hệ; B = P0 k2 ) Ta lập tỷ số biên ®é B vµ B0, ký hiƯu lµ η HƯ số đợc gọi hệ số động lực b»ng: η= 27 B = B0 (1-48) ⎛ p ⎞ n p ⎜1 − ⎟ +4 ⎟ ⎜ k ⎠ k4 ⎝ 2 Khi kh«ng có cản (n = ) hệ số động lực b»ng: η= η p2 1− k (1-49) 2n/p=0 0,1 0,15 0,2 0,1 0,3 2n/p=0 η 0,4 0,5 1 0,5 1,0 1,5 p/k 2,0 0,5 1,5 1,0 a) 2,0 p/k b) H×nh 1-7 Trên hình vẽ (Hình 1-7a) ta có đờng cong cộng hởng Những đờng biểu diễn trình biến đổi giá trị tuyệt đối hệ số động lực phụ thuộc vào tần số lực kích động với vài giá trị hệ số cản Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt vùng gần cộng hởng, vùng lấy = max (Hình 1-7b) Do đó, biên độ dao động cỡng có cản hữu hạn; nhng chi tiết máy làm việc trờng hợp xảy nguy phá huỷ ứng suất mỏi Vì vậy, thiết kế cần chọn mối liên hệ kích thớc độ bền cho chế độ bình thờng nằm xa chế độ cộng hởng Thí dụ 1-5: Để ghi trình dao động có tác động ngẫu nhiên khác (xô đập, va chạm) ngời ta thờng dùng chấn đồ tần số thấp có lắp thêm giảm chấn (dạng giảm chấn ma sát nhớt) Sơ đồ nguyên tắc chấn đồ đợc mô tả hình vẽ (Hình 1-8) chuyển động khối lợng m treo lò xo với độ cứng C đợc hÃm lại lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động C m ã tơng đối tải trọng, tức y y độ lệch khối lợng m Tìm giá trị độ lệch mà máy ghi lại nh hàm thêi gian t, nÕu nỊn chun ®éng theo quy lt: y1 H×nh 1-8 y1 = y (sin ωt + sin 10t ) Khi giải toán lấy: k = C α = 0,01ω ; n = = 0,02 m 2m 28 Bài giải: Chuyển động lên xuống tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào ghi dao động máy lên bảng chia độ (Hình 1-8) Chuyển động thẳng đứng y tải trọng m chuyển động tơng đối khung chấn đồ gắn với bảng chia độ Do móng chấn đồ thực chuyển động theo quy luật cho tr−íc: y1 = y (sin ωt + sin 10t ) Nên lực quán tính kéo theo tải trọng m chuyển động bằng: ãã m y = my ω (sin ωt + 200 sin 10t ) Phơng trình vi phân mô tả dao động tơng đối tải trọng m có dạng: ãã ã y + 2n y + k y = y ω (sin ωt + 200 sin 10ωt ) α C ; k2 = m m Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm phơng trình trạng thái chuyển động bình ổn tải trọng m là: Trong đó: y dịch chuyển khối lợng m nền; n = y= y ω2 ( k − ω ) + 4n đây: tg1 = sin(ωt − α ) + 200y ω ( k − 100ω ) + 400n ω sin(100ωt − α ) 2nω 20nω ; tgα = 2 ω −k 100ω2 − k Thay: k = 0,01ω ; n = 0,02 ta nhận đợc dịch chuyển tơng đối khối lợng m máy ghi ra: y y = sin(ωt − α ) + 2y sin(10ωt − α ) ThÝ dơ 1-6: §Ĩ đầm bê tông chân móng công trình ngời ta thờng dùng thiết bị đặc biệt: Đó chấn tử lệch tâm gồm đế nặng khối lợng m, đặt hai đĩa quay khối lợng đĩa m1 Các đĩa quay mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ngợc với vận tốc góc Trên đĩa ngời ta gắn tải trọng m0 cách trục quay khoảng e (Hình 1-9a) Sau thời gian đầm, ta mô tả tính chất móng bê tông cách gần mô hình lu biến nh hình vẽ (Hình 1-9b) HÃy thiết lập phơng trình dao động bình ổn vỏ chấn tử Tính biên độ dao động Biết trình làm việc vỏ chấn tử không tách rời khỏi khối lợng đầm Bài giải: Gọi x toạ độ trọng tâm vỏ chấn tử tính từ vị trí cân tĩnh, áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be Lực ly tâm đĩa gắn khối lợng lệch tâm chuyển động ngợc tác dụng theo phơng chuyển động vỏ chấn tử (theo phơng x thẳng đứng) bằng: 29 P( t ) = 2m ω e sin ωt P(t) M e m0 m1 ω ϕ = ωt x C ω m Hình 1-9 Mô hình tính hệ dao động đợc mô tả hình 1-9 Phơng trình vi phân chuyển động vỏ chấn tử có dạng: ãã ã M x + α x + Cx = P (t ) đây: M = m + 2(m + m1 ) , hay cã thĨ viÕt: •• • x + 2n x + k x = Trong ®ã: n = 2m ω e sin ωt m + 2( m + m ) α α C C = = , k2 = 2M 2[m + 2(m + m1 )] M m + 2(m + m1 ) Nếu gọi A0 độ lệch tĩnh hệ biên độ lực kích động tác dụng tĩnh lên hệ gây ra: A0 = 2m e 2m ω e = C k [ m + 2(m + m1 )] Ta có biên độ dao động cỡng vỏ chấn tö b»ng: A0 A= 2 ⎛ ω ⎞ ⎛ 2nω ⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ k ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ k ⎠ 1.2.3 §Ưm đàn hồi máy Ta xét mô hình áp dơng kü tht cđa lý thut dao ®éng c−ìng bøc 1.2.3a Các máy quay có phận không cân truyền lực kích động có chu kỳ lên (móng) nó, gây lên rung tiếng ồn không mong muốn Để giảm tợng thờng áp dụng đệm đàn hồi Giả thiết máy có trọng lợng Q (Hình 1-10) ký hiệu P lực ly tâm xuất phần quay không cân víi vËn tèc gãc ω( rad / s) Nh− đà hình vẽ (Hình 1-10a) Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang tơng ứng là: P sin t P cos t Nếu máy đợc bắt chặt với cứng lực kích động truyền hoàn toàn xuống Để giảm lực kích động lên (móng) ta đa vào đệm đàn hồi nh hình vẽ (Hình 1-10b), ta hạn chế chuyển động ngang máy liên kết Khi ta nhận đợc dao động 30 cỡng vật Q đặt lò xo theo phơng thẳng đứng với lực kÝch ®éng P0 sin ωt NÕu chó ý ®Õn biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động cỡng bøc nµy b»ng: A= P ⎛ ω ⎞ C⎜1 − ⎟ ⎜ k ⎟ ⎝ ⎠ = P η C (1-50) Q Q ωt P ωt P C a) b) Hình 1-10 đây: C hệ số cứng, k tần số riêng hệ, hệ số động lực đợc xác định theo (1-49 ) Khi ω > k , hÖ sè η nhỏ đơn vị hiệu ứng động lực bị giảm yếu Nh vậy, để làm giảm lực kích động truyền vào (móng) máy cần đặt lò xo mềm cho tần số riêng hệ dao động nhỏ so với số vòng quay đơn vị thời gian máy P(t) 1.2.3b Trong phần ta mô tả đệm đàn hồi máy với giả thiết không tồn lực cản Điều gần trờng hợp lò xo xoắn thép Nếu sử dụng nhíp cao su lực cản đáng kể bỏ qua Khi đệm đàn hồi máy quy đổi thành mô hình tính gồm lò xo độ cứng C giảm chấn có hệ số cản b (hình 1-11) ứng lực động lực truyền cho biểu thị bằng: b C i ã R = Cq + b q (1-51) Thay (1-47) vào (1-51), ta tìm đợc: R Max = B C + (bω) Hay: R max = P 4n ω 1+ C k2 ⎛ ω2 ⎜1 − ⎜ k ⎝ ⎞ 4n ω ⎟ + ⎟ k4 ⎠ Khi chó ý tíi (1-48) ta cã: R max = η 31 H×nh 1-11 P P 4n ω2 = η* 1+ C C k (1-52) 4n ω , * thờng k2 gọi hệ số động lực gia tăng Sự phụ thuộc hệ 2n số với giá trị khác k k hình vẽ (Hình 1-12) Trong đó: * = η + η * n/p=0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tất đờng cong qua điểm có hoành độ tung độ Trong 0,5 ω 0,4 0,3 0,2 2n/p=0,1 miÒn < tắt dần có lợi làm gi¶m hƯ k ω/k ω 2 số truyền lực, miền > với tăng k lực cản, hệ số truyền lực tăng Vì vậy, Hình 1-12 trờng hợp: Khi chế độ lµm viƯc n»m ë vïng sau céng h−ëng lùc trun cho (móng) tăng hệ giảm chấn ý nghĩa vật lý tợng chỗ: Các dao động truyền cho móng thực hai lực: Theo đờng đàn hồi ®−êng nhít” Khi lùc kÝch ®éng cã tÇn sè cao xảy vận tốc lớn tơng ứng với lực cản nhớt tăng lên 1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cỡng 1.2.4a định nghĩa phép biến đổi Laplace Giải sử: f(t) hàm liên tục khúc khoảng [0; + ) Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) biến số thực thành hàm ảnh F(s) biến số phức nhờ hệ thức: ∞ F(s) = L[f ( t )] = ∫ e −st f ( t )dt (1-53) Trong ®ã ký hiệu: L gọi toán tử Laplace Phép biến đổi Laplace ngợc, ký hiệu theo toán tử L1 đợc xác định hệ thức: f ( t ) = L1 [F(s)] (1-54) Toán tử L toán tử L-1 cã tÝnh chÊt: L−1 {L[f ( t )]} = f ( t ) (1-55) Trong bảng dới (bảng 3) ta giới thiệu số hàm f(t) thông dụng hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace Thí dụ 1-7: Tìm hàm ảnh hàm gèc f(t) =1, f(t) = e at b»ng phÐp biÕn đổi Laplace Bài giải: áp dụng công thức định nghĩa (1-53) ta lần lợt có: 32 e st L[1] = ∫ e f (t )dt = ∫ e 1dt = − s 0 − st ∞ ∞ L[e ] = ∫ e e dt = ∫ e at −st at ∞ − st −( s −a ) t = = F(s) s − − t (s −a ) dt = e s−a ∞ = ; (s > 0) s−a 1.2.4b Các tính chất phép biến đổi Laplace Ta nêu số tính chất (không chứng minh) phép biến đổi Laplace a) Định lý cộng tác dơng: NÕu L[f1(t)] = F1(s); L[f2(t)] = F2(s) th×: L[C1f1(t)+C2f2(t)] = C1F1(s)+C2F2(s) Tõ ®ã: (1-56) ⎡n ⎤ n L ⎢∑ C i fi (t )⎥ = ∑ C i Fi (s); Ci số i =1 i =1 b) Định lý vi phân: Nếu L[y(t)]= Y(s) thì: ã L[y(n)(t)]=snY(s) sn-1 y0 sn-2 y – – sn-2 y0(n-2) – y0(n-1) (1-57) ( Trong đó: y(t)(k) đạo hàm bậc k hàm y(t) theo t: y 0k ) = y ( k ) (0) = lim y ( k ) ( t ) + t t c) Định lý đồng dạng: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L[f ( )] = aF(as) a (1-58) d) Định lý cản: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59) e) Định lý trễ: Nếu L[f(t)]= F(s) thì: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60) Một số công thức phép biến đổi Laplace đợc trình bày Bảng Bảng - Hàm f(t) hàm ¶nh F(s) qua phÐp biÕn ®ỉi Laplace ∞ STT f(t) F(s) = ∫ e −st f ( t )dt Ghi chó 1 1/s t 1/s2 33 e − αt 1/(s+α) t n e − αt n! (s + α) n +1 (1 − e −αt ) α s(s + α) n nguyªn e − α1t − e − α t α − α1 (s + α1 )(s + α ) − αt (e + αt − 1) α2 s (s + α) sinωt ω s + ω2 cos ω t s s + ω2 e − αt sin ωt ω (s + α) + ω2 10 e − αt cos ωt s+α (s + α) + ω2 11 tsinωt 2ωs (s + ω2 ) 12 tcosωt s − ω2 (s + ω ) 13 sin2ωt 2ω2 s(s + 4ω2 ) 14 cos ωt s + 2ω s(s + 4ω2 ) 15 shβt β s − β2 16 chβt s s − β2 17 tshβt 2β s (s − β ) 18 tchβt s2 + β2 (s − β ) 2 2 2 2 1.2.4c áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động cỡng Cho phơng trình vi phân mô tả dao động cỡng dạng f (t ) (1-61) m Tìm nghiệm phơng trình (1-61) ứng với điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = q0, •• • q + 2n q + k q = • • q(0) = q 34 Để giải (1-61) phép biến đổi Laplace, trớc hết ta lập phơng trình ảnh phơng trình (1-61), ta cã: • ⎡ •• ⎤ L ⎢q + n q + k q ⎥ = L[f (t )] ⎣ ⎦ m •• L[f (t )] m • ⇒ L[ q] + 2nL [q]+ k L[q] = • ⇒ [s Q(s) + sq − q ] + 2n[sQ(s) − q ] + k Q(s) = • ⇒ (s + 2ns + k )Q(s) = sq + 2nq + q + F(s) m F(s) m (1-62) ã Đặt: D(s)= s2+2ns +k2; N (s) = sq + 2nq + q (1-63) NghiƯm cđa phơng trình ảnh có dạng: Q(s) = N (s) F(s) + D(s) mD(s) Dạng nghiệm (1-64) tổng hai số hạng: Số hạng đầu (1-64) N (s) phụ thuộc vào điều D(s) kiện ban đầu tơng ứng với nghiệm phơng trình vi phân tuyến tính nhất; số F(s) phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) tơng ứng với NR phơng hạng thứ hai mD(s) trình vi phân có vế phải Nghiệm phơng trình vi phân gốc (1-61) có dạng: ⎡ N (s) ⎤ ⎡ F(s) ⎤ q( t ) = L−1 [Q(s)] = L−1 ⎢ ⎥ + L−1 ⎢ ⎥ ⎣ D(s) ⎦ ⎣ mD(s) ⎦ (1-65) ThÝ dụ 1-8: Trên hệ dao động tuyến tính có cản (Hình 1-13) tác dụng lực f(t) nh sau: f(t) f(t) m P0 C b O H×nh 1-13 35 ωt π/2 π ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ f (t) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ t < 0 π ω P0 sin ωt ≤ t ≤ t > Xác định dao động hệ t > 0, biÕt r»ng t ≤ hÖ đứng yên Bài giải: Phơng trình vi phân biểu thị dao động cỡng hệ có dạng: ãã ã q + 2n q + k q = ë ®©y ký hiƯu: 2n = f (t ) m b C , k2 = m m • Tõ ®iỊu kiƯn ban ®Çu t = 0: q(0) = ; q (0) = Do ®ã theo (1-63): N0(s)=0 Trong π miỊn ≤ t ≤ nghiƯm cđa phơng trình ảnh áp dụng công thức (1-64) có dạng: F(s) Q(s) = mD(s) Trong đó: F(s) = L[f ( t )] = P0 L[sin ωt ] = P0 ω ; D(s) = s + 2ns + k s + 2 Đến nói chung dùng bảng để tìm ảnh ngợc có nghiệm q(t) ta dùng cách phân tích phân thức vế phải để có nghiệm toán Giả sử trờng hợp tổng quát hàm F(s) phân thức dạng: F(s) = N(s) M(s) (1-66) Khi nghiệm phơng trình ảnh là: Q(s) = N (s) N (s) N (s ) N (s ) + = + D(s) mM(s)D(s) D(s) m D(s) (1-67) Với D(s) =M(s)D(s) Nếu D(s) D(s) đa thức có nghiệm đơn Ta gọi sk nghiệm cđa D(s)=0 vµ s j lµ nghiƯm cđa D(s) =0, phân tích phân thức N(s) N (s) thành phân thức tối giản: D(s) D(s) N (s) = D(s) N (s k ) N (s) ⋅ ; = m D(s) k ) s − sk ∑ D′(s k =1 N (s j ) ∑ mD′(s ) ⋅ s − s j=1 j (1-68) j 36 D (s) D (s) đạo hàm D(s) D(s) theo biến s Vậy, nghiệm phơng trình ảnh cã d¹ng: Q(s) = N (s k ) + ⋅ ) s − sk k ∑ D′(s k =1 N (s j ) ∑ mD′(s ) ⋅ s s j=1 j (1-69) j áp dụng bảng, ta tìm đợc nghiệm phơng trình gốc: q( t ) = N (s k ) s k t e + k) ∑ D′(s k =1 N (s j ) ∑ mD′(s ) e j=1 s jt (1-70) j Trë lại toán xét, ý tới (1-66) ta cã: N (s) = P0 ω; M (s) = s + ω Tõ ®ã: D(s) = M(s)D(s) = (s + ω )(s + 2ns + k ) Phơng trình D(s) = có bốn nghiÖm: s1, = ± iω; s 3, = −( n ± i k − n ) Ta cã biĨu thøc nghiƯm q(t) theo (1-70) cã d¹ng sau: q( t ) = P0 ω e s t ∑ m j=1 D′(s j ) j thay s j ( j = 1, 4) vµo, sau biÕn ®ỉi, ta nhËn ®−ỵc: P0 ⎡ − (1 − λ2 ) sin ωt − 2Dλ cos ωt ⎢ C ⎣ (1 − λ2 ) + 4D λ2 q( t ) = + 2Dλ cos ω1 t − (1 − λ2 − 2D )(1 − D ) 2 2 − 2 (1 − λ − 2D ) + 4D (1 − D ) Víi: ω1 = k − n ; D = λ sin ω1 t ⎤ e − nt ⎥ ⎦ n ω ; λ= k k Trong miÒn t > π⁄ω hƯ thùc hiƯn dao ®éng tù cã cản ứng với điều kiện đầu: ã ã q ( t ) = q (π / ω); q ( t ) = q ( π / ω) Trong miền ta có: ã N (s) = sq ( π / ω) + 2nq ( π / ω) + q (π / ω); N (s) = BiĨu thøc nghiƯm cã d¹ng: q( t ) = Víi tgα = 37 e n ω1 ⎛ π⎞ −n⎜ t − ⎟ ⎝ ω⎠ ⎧ ⎤ 1• ⎡ ⎛ π ⎞⎫ π⎞ ⎪ ⎛ ⎨q(π / ω) cos ⎢ω1 ⎜ t − ⎟ − α ⎥ + q(π / ω)sin ω1 ⎜ t − ⎟⎬ ⎝ ω ⎠⎪ ⎦ k ⎣ ⎝ ω⎠ 1− D2 ⎩ ⎭ ... ∫ sin k τ.dτ k1 k1 0 t t C (t ) = ∫ ( 1- 3 1) Thay ( 1- 3 1) vµo ( 1- 2 9) ta nhận đợc nghiệm phơng trình ( 1- 2 8): t Z( t ) = e nτ Q(τ) sin k ( t − τ)dτ k1 ∫ ( 1- 3 2) VËy, NR q phơng trình ( 1- 2 5) bằng: t... (Hình 1- 1 ) q O y1 y T1 t T1 Hình 1- 1 Trong thực tế để đặc trng cho giảm biên độ ngời ta thờng dùng đại lợng, ký hiệu gọi độ suy giảm Lôgarit dao động: = ln = ln y 2π = nT1 = y1 ⎛k⎞ n ( 1- 1 7)... ⎟ ⎠ ( 1- 1 4) đây: k = k n gọi tần số dao động tắt dần Chu kỳ dao động tắt dần đợc xác định bằng: T1 = 2π = k1 2π ( 1- 1 5) k2 − n2 Víi n nhỏ ta viết đợc: n ⎞ T1 = ≈ ? ?1 + ⎜ ⎟ k ⎢ 2⎝k⎠ ⎣ ⎛n⎞ 1? ?? ⎜