Lý thuyết dao động - Chương 3 docx

Chơng III Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do Hệ có khối lợng phân bố liên tục có vô số bậc tự do (tức là có vô số tần số riêng và dạng dao động riêng). Khác với hệ hữu hạn bậc tự do phơng trình toán học mô tả quá trình dao động là hệ phơng trình vi phân thờng, ở đây dẫn tới phơng trình vi phân đạo hàm riêng. Do đó ngoài các điều kiện ban đầu, cần xét đến các điều kiện biên. Ta xét một số hệ liên tục đơn giản thờng gặp trong kỹ thuật. Đ.3.1. Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi. 3.1.1. Phơng trình vi phân dao động dọc của thanh. Khi xét dao động dọc của thanh thẳng ta coi tiết diện ngang của thanh phẳng và các phần tử của thanh không thực hiện dịch chuyển ngang mà chỉ dịch chuyển theo hớng dọc thanh. Cho thanh thẳng dài L. Chọn trục Ox hớng dọc thanh nh hình vẽ (Hình 3-1). x dx L U dx m n m n m n N X O N N x dx Hình 3-1 U + U x dx Ký hiệu: là khối lợng riêng của vật liệu thanh; E là Môđun đàn hồi của nó; F là diện tích tiết diện ngang của thanh. Xét phân tố giới hạn bởi hai mặt cắt m, n. Gọi U là dịch chuyển dọc của tiết diện ngang bất kỳ m có toạ độ x khi dao động. Dịch chuyển này sẽ là hàm của x và t: U = U(x,t). Khi đó dịch chuyển ở tiết diện lân cận n sẽ bằng: U + dx x U . Từ đó độ dãn dài tuyệt đối của phân tố thanh dx là dx x U ; và độ dãn dài tơng đối của nó bằng: = x U (3-1) 65 Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang m có toạ độ x đợc tính theo biểu thức: N = EF = EF x U (3-2) EF gọi là độ cứng của thanh khi kéo, nén. Lực dọc tác dụng tại tiết diện ngang lân cận có toạ độ (x + dx) bằng: N = N + x N dx. Khối lợng phân tố thanh khảo sát là: Fdx, nên lực quán tính đặt lên nó là: Fdx 2 2 t U . áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be đối với phân tố thanh, phơng trình vi phân chuyển động trên trục Ox: 0 2 2 = ++ t U Fdxdx x N NN Suy ra: 2 2 t U F x N = (3-3) Thay (3-2) vào (3-3) nhận đợc: 2 2 2 2 2 x U a t U = (3-4) Trong đó: = F a là tốc độ truyền sóng dọc trong thanh; (3-4) là phơng trình dao động dọc của thanh tiết diện không đổi . 3.1.2. Giải phơng trình (3-4) bằng phơng pháp Furiê. Phơng trình (3-4) là phơng trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phơng trình sóng. Hàm U = U(x,t). NR của (3-4) tìm dới dạng: U = X(x)T(t) (3-5) Nghĩa là tìm U ở dạng tích hai hàm. X(x) chỉ là hàm của x, T(t) chỉ là hàm của t. Thay (3-5) vào (3-4) ta có: T T X Xa = 2 Vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào x, vế phải chỉ phụ thuộc t. Để đẳng thức đúng với mọi x, t thì chúng phải bằng hằng số. Ta ký hiệu hằng số này qua: - p 2 . Do đó: 22 2 p T T ;p X Xa == Ta có hai phơng trình sau: 0X a p X;0TpT 2 2 = + =+ (3-6) Phơng trình đầu của (3-6) có nghiệm: T = Asin(pt + ) (3-7) 66 Nó đặc trng cho quá trình dao động, ở đó p cha biết có ý nghĩa nh tần số dao động tự do. Phơng trình thứ hai của (3-6) có nghiệm: x a p cosDx a p sinCX += (3-8) Nó xác định dạng riêng của dao động. Phơng trình xác định đại lợng cha biết p đợc thiết lập khi xét các điều kiện biên gọi là phơng trình tần số. Nói chung phơng trình này luôn là phơng trình siêu việt và có vô số nghiệm p n (n = 1, 2 ). Nghiệm viết ở dạng (3-5) chỉ là một NR của phơng trình sóng. NTQ của (3-4) nhận đợc bằng cách hợp các NR: = = 1n nn )t(T)x(XU (3-9) Hàm X n (x) gọi là hàm riêng, mô tả dạng riêng của dao động, nó không phụ thuộc vào điều kiện đầu và thoả mãn điều kiện trực giao. Khi F = const, m n, ta có: = L nm dx)x(X).x(X 0 0 (3-10) 3.1.3. Các điều kiện biên của thanh, phơng trình tần số. 2.1.3a. Thanh có hai đầu tự do (Hình 3-2). Hình 3-2 L x X Trong trờng hợp này lực dọc ở hai đầu thanh bằng không, nên độ dãn dài tơng đối bằng không Ta có: x U = 0 khi x = 0 và x = L Hay: khi x = 0 và x = L 0= TX Các điều kiện trên đợc thực hiện nếu: 0 0 = =x dx dX và 0= =Lx dx dX (3-11) Từ (3-8) với C và D bất kỳ, nên điều kiện đầu của (3-11) đợc thoả mãn khi đặt C = 0; điều kiện thứ hai đợc thoả mãn nếu: 0= a pL sin (3-12) (3-12) gọi là phơng trình tần số. Nó cho phép xác định tần số riêng của dao động dọc thanh với các mút tự do. Ta có: = n a Lp n ; n = 1, 2, 3 (3-13) 67 Khi n = 1, ta có tần số dao động cơ bản: = = E LL a p 1 (3-14) Chu kỳ tơng ứng bằng: E L p T = = 2 2 1 1 (3-15) Nh vậy, ta có vô số tần số dao động riêng, mỗi tần số tơng ứng với một dạng dao động riêng xác định bởi hàm riêng X n (x) = L xn cos . Vì thế, NTQ dao động tự do của thanh với hai đầu mút tự do đợc biểu diễn ở dạng: )tpsin(A. L xn cos)t(T)x(XU nnn 1n1n nn + == = = Hay: + = = L atn sinb L atn cosa. L xn cosU nn n 1 (3-16) Các hằng số a n , b n có thể chọn sao cho thoả mãn điều kiện đầu. Giả sử tại t = 0 thì )x(fU);x(fU t t 1 0 0 == = = . Thay điều kiện này vào (3-16) ta đợc: L xn cosa)x(f n n = =1 ; L xn cos L an b)x(f n n = =1 1 Từ đó suy ra: ;dx L xn cos)x(f L a L n = 0 2 = L n dx L xn cos)x(f an b 0 1 2 (3-17) 3.1.3b. Thanh một đầu ngàm chặt, một đầu tự do (Hình 3-3). Giả sử thanh bị ngàm ở đầu x = 0, đầu còn lại x = L tự do. Điều kiện biên có dạng: Hình 3-3 L x X 0 0 = =x U và 0= =Lx x U Hay: XT = 0 khi x = 0 và 0 = TX khi x = L. Điều này đợc thực hiện nếu: 0 0 = =x X; 0= =Lx X (3-18) Tơng tự cách lý giải nh 3.1.3a, để thoả mãn (3-18) phải có D = 0 và ta suy ra phơng trình tần số: cos a pL = 0 (3-19) Giải ra ta có: p n = L an 2 ; n = 1, 3, 5 (3-20) 68 Với n = 1 thì: p 1 = = E LL a 22 (3-21) NTQ dao động dọc của thanh trong trờng hợp này có dạng: + = = L atn sinb L atn cosa. L xn sinU nn ,,n 222 531 (3-22) Hằng số a n , b n cũng đợc xác định bằng điều kiện đầu tại t = 0. Giả sử thanh đợc kéo bởi lực dọc P tại mút tự do. Tại t = 0 lập tức cắt bỏ lực P và thanh còn tự do. Ký hiệu là độ dãn dài tơng đối ban đầu thì = P/EF. Ta viết đợc điều kiện đầu ở dạng: xU t = =0 ; 0 0 = = t U Điều kiện này cho ta xác định a n và b n . Khi đó ta có: b n = 0 ; 2 1 22 1 8 = n n )( n L a Do đó: = = ,,n n L atn cos L xn sin n )(L U 531 2 1 22 22 18 (3-23) Tóm lại, từ các điều kiện biên ta sẽ xác định đợc các tần số riêng và các hàm riêng. Bảng 4: Ta thống kê một số dạng cơ bản các điều kiện biên của bài toán khi xét dao động dọc của thanh. Bảng 4: Các điều kiện biên của vài dạng liên kết khi xét dao động dọc của thanh. Sơ đồ Dạng liên kết Điều kiện biên X O Ngàm U(0,t) = 0 X O Đầu tự do 0 0 = x )t,(U EF X N O Lực dọc N x )t,(U EF = 0 X O C X C O Liên kết đàn hồi tuyến tính CU x )t,(U EF = 0 CU x )t,L(U EF = X m O X O m Đầu thanh gắn khối lợng m 2 2 0 t U m x )t,(U EF = 2 2 t U m x )t,L(U EF = 69 Đ.3.2. Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi. 3.2.1. Phơng trình cơ bản và nghiệm của nó. Về mặt toán học việc thiết lập phơng trình vi phân dao động xoắn của trục tròn giống nh khảo sát dao động dọc của thanh. Cho trục tròn dài L. Chọn trục Ox dọc trục nh hình vẽ (Hình 3-4) Gọi là mật độ khối lợng của vật liệu trục; G là môđun đàn hồi trợt của nó; J P là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang trục; khi đó: GJ P = C là độ cứng tiết diện ngang trục khi xoắn. x dx m n X O n m M L Xét yếu tố thanh giới hạn bởi hai mặt cắt m, n gần kề nhau. Mômen xoắn tác dụng ở hai tiết diện này tơng ứng bằng: M và M + x M dx Gọi là góc xoay của tiết diện m có toạ độ x, khi đó biến dạng góc tơng đối là x . Theo công thức đã biết trong SBVL, ta có: M = GJ P x (3-24) Lực quán tính tác dụng lên yếu tố của trục bằng: J P dx 2 2 t áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, phơng trình cân bằng mômen đối với trục Ox: 0 2 2 = ++ t dxJdx x M MM P Từ đó: 2 2 t J x M P = (3-25) Thay (3-24) vào (3-25) ta nhận đợc: 2 2 2 1 2 2 x a t = (3-26) Trong đó: = G a 1 là vận tốc truyền sóng trợt. Phơng trình (3-26) là phơng trình vi phân dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi. Nó có dạng giống phơng trình (3-4). Hình 3-4 M + M dx x 70 NTQ của (3-26) có dạng: = = 1n nn )t(T)x(X (3-27) Trong đó: X n (x) = C n sin 1 n n 1 n a xp cosD a xp + (3-28) T n (t) = A n sin ( p n t + n ) Các hằng số A n , n đợc xác định từ điều kiện đầu. Các tần số riêng và hàm riêng đợc xác định từ các điều kiện biên. 3.2.2. Các điều kiện biên - phơng trình tần số. 3.2.2a. Trục có hai đầu tự do (Hình 3-5). L X x Hình 3-5 Trong trờng hợp này mômen xoắn ở hai đầu bằng không. Nên: 0 0 = =x x và 0= =Lx x Hay có thể viết: 0 0 = =x X và 0= =Lx X (3-29) Để thoả mãn điều kiện (3-29), ta phải có: C = 0 và: sin 1 a pL = 0 (3-30) (3-30) là phơng trình tần số trong trờng hợp khảo sát. Giải ra: 1 a Lp n = n; n = 1, 2, 3 (3-31) NTQ có dạng: + = = L tan sinb L tan cosa L xn cos 1 n 1 n 1n 3.2.2b. Trục có gắn các đĩa (bánh đà) ở hai đầu mút (Hình 3-6). Trong trờng hợp này mômen xoắn ở các đầu trục bằng mômen các lực quán tính của các đĩa (bánh đà). J J O x 1 2 L x Hình 3-6 71 Điều kiện biên khi này có dạng sau: x GJ t J P 2 2 1 = khi x = 0 x GJ t J P 2 2 2 = khi x = L Hay: (3-32) = = = = LxkhiXGJXpJ xkhiXGJXpJ P P 2 2 2 1 0 Khi cho thoả mãn các điều kiện trên ta nhận đợc phơng trình tần số: += 1 1 11 2 1 11 1 2 a pL cos GJ pa a pL sinGJ a p J a pL sin GJ Jpa a pL cosp p P P (3-33) Đặt: = 1 a pL g LJ J;n J J ;m J J LJ gJ P 0 0 2 0 1 P 1 ==== Phơng trình (3-33) đa về dạng: n (1 mtg) = (tg+ m) Hay suy ra: 1 2 + = mn )nm( tg (3-34) Nếu 1 , 2 , n là nghiệm của phơng trình (3-34) thì NTQ đối với trờng hợp khảo sát là: = + = 1 11 n n n n n n n n L ta sinb L ta cosa L x sinm L x cos (3-35) Đ.3.3. Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi. 3.3.1. Phơng trình cơ bản. Giả sử dầm có mặt phẳng đối xứng và dao động xảy ra trong mặt phẳng này, nghĩa là dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phơng y. Trong trờng hợp mặt cắt dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động xoắn và uốn đồng thời mà ta không xét ở đây. Mặt khác ta cũng giả thiết rằng: Các mặt cắt của dầm luôn luôn phẳng và vông góc với trục võng của dầm. Ta ký hiệu EJ là độ cứng của dầm khi uốn, q là khối lợng đơn vị trên chiều dài dầm, y là dịch chuyển của tiết diện dầm. Xét phân tố dầm dx giới hạn bởi hai mặt cắt kế nhau m và n (Hình 3-7). Mômen uốn và lực cắt tác dụng lên phân tố dầm ở hai mặt cắt m và n tơng ứng bằng: dx x Q Q,Qvàdx x M M,M + + Lực quán tính tác dụng lên phân tố dầm khảo sát: qdx 2 2 t y 72 áp dụng nguyên lý Đa-lăm-be, Ta có: - Tổng hình chiếu các lực lên phơng thẳng đứng Oy: 0 2 2 = + t y q x Q (1) n m dx L x - Tổng mômen các lực đối với trục thuộc tiết diện m thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ: 0= Q x M (2) Đạo hàm (2) theo x: 0 2 2 = x Q x M (3) Thay (1) vào (3) ta đợc: 0 2 2 2 2 = + t y q x M (3-36) áp dụng công thức về lý thuyết uốn của thanh trong SBVL: M x y EJ = 2 2 (3-37) Thay (3-37) vào (3-36) ta có: 0 2 2 2 2 2 2 = + t y q x y EJ x (3-38) Nếu dầm có tiết diện không đổi thì EJ = const ta suy ra: 4 4 2 2 2 2 x y a t y = (3-39) Trong đó: q EJ a = 2 , (3-39) là phơng trình vi phân dao động uốn của dầm tiết diện không đổi. m n dx Q M x y y M x Q q dx 2 y t 2 x dx Q+ M+ dx nh 3-7Hì 73 3.3.2. Giải phơng trình (3-39). Tơng tự nh các trờng hợp trên, ta tìm nghiệm phơng trình (3-39) dới dạng: y = X(x).T(t) (3-40) Thay (3-40) vào (3-39) ta đợc: X X a T T 2 2 = (3-41) )IV( Để hệ thức này luôn luôn là đồng nhất thức thì vế trái và vế phải của nó phải bằng hằng số: (-p 2 ). Do đó, ta nhận đợc: 0 à 2 =+ TpT v 0 2 = X a X (3-41) Phơng trình đầu của (3-41) mô tả chuyển động có đặc tr p )IV( ng dao động với tần số p. ơng trình sau của (3-41) xác định ơng trình này là: Ph dạng dao động riêng, các NR của ph sinkx, coskx, shkx, chkx. NTQ của nó biểu diễn ở dạng: X = C 1 sin kx + C 2 coskx + C 3 shkx + C 4 chkx (3-42) Trong đó: 4 2 4 2 qpp k = = 2 EJa (3-43) Các hằng số C 1 , C 2 , C 3 , C 4 đợc xác định từ các điều kiện biên. ng trình tần số. Thay các điều kiện biên vào (3-42) sẽ dẫn tới các phơng trình thuần nhất đối với các hằng thì định thức của hệ phải bằng không. Điều đó sẽ dẫn tới phơng trình tần số. Ta minh hoạ điều này bằng vài trờng hợp sau: y = XT = 0 và M = EJ.X T = 0. 3.3.3. Phơ số C 1 , C 2 , C 3 , C 4 . Để các hằng số không đồng thời bằng không 3.3.3a. Dầm có hai gối tựa bản lề (Hình 3-8). Trong trờng hợp này mô men uốn M và độ võng y tại các gối tựa bằng không. L x y Hình 3-8 Hay: 0 0 = =x X; 0 0 = =x X; 0= =Lx X ; 0= =Lx X (3-44) Ta viết nghiệm (3-42) ở dạng sau: 74 [...]... kx chkx) + C 3 (sin kx + shkx) +C 4 (sin kx shkx) ( 3- 4 5) Từ điều kiện đầu của ( 3- 4 4): X x =0 = 0; X x =0 = 0 Suy ra rằng: C1, C2 có thể đặt bằng không Từ các điều kiện còn lại của ( 3- 4 4): X x = L = 0; X x = L = 0 Ta nhận đợc: C3 = C4 và sinkL = 0 ( 3- 4 6) ( 3- 4 6) là phơng trình tần số trong trờng hợp khảo sát, giải phơng trình này ta có: kL = n; n = 1, 2, 3 ( 3- 4 7) Khi chú ý tới ( 3- 4 3) ta nhận đợc:... đợc: pn = n 22 L2 EJ q ( 3- 4 8) 3. 3.3b Dầm có các mút tự do (Hình 3- 9 ) x L y Hình 3- 9 Trong trờng hợp này lực cắt Q và mômen uốn M ở hai đầu thanh bằng không, ta có: Q = EJX T = 0 khi x = 0, x = L M = EJX T = 0 X = 0 Hay: khi x=0, x=L X = 0 Ta vẫn sử dụng biểu thức nghiệm ( 3- 4 5) Khi đó từ điều kiện: ( 3- 4 9) X x =0 = 0 và X x =0 = 0 suy ra C 2 = C 4 = 0 Nên: X = C1(coskx+chkx) + C3(sinkx+shkx) Từ điều... 14, 137 17,279 Trong bảng 5, ta dẫn ra các điều kiện biên của một vài dạng liên kết khi xét dao động uốn của dầm Chú ý: Với thanh (dầm) có khối lợng phân bố liên tục, tiết diện của nó biến đổi theo chiều dài, khi đó thay các phơng trình ( 3- 4 ), ( 3- 2 6), và ( 3- 3 9) có dạng sau: 2 U 2U a F = F t 2 x x 2 2 a 1 J = J t 2 x x 2 2y 2y 2 EJ 2 = q 2 t x x (3 51) (3 52) (3 53) Bảng... C 3 ( sin kL + shkL ) = 0 C 1 (sin kL + shkL ) + C 3 ( cos kL + chkL ) = 0 Nghiệm C1, C2 khác không nhận đợc chỉ trong trờng hợp định thức của hệ bằng không Ta có phơng trình tần số sau: (-coskL + chkL)2 - (sh2kL - sin2kL) = 0 Chú ý rằng: ch2kL - sh2kL =1; cos2kL + sin2kL = 1 Ta nhận đợc: 75 coskL.chkL =1 ( 3- 5 0) Sáu nghiệm đầu tiên của phơng trình này nh sau: k1L k2L k3L k4L k5L k6 L 0 4, 730 7,8 53. .. không phải duy nhất Có thể chỉ ra các cách khác nhau giải phơng trình sóng ( 3- 4 ) nh phơng pháp Đa-lăm-be, phơng pháp họa đồ giải tích, phơng pháp biến đổi tích phân v.v ở phần trình bày dới đây ta khảo sát nghiệm của ( 3- 4 ) bằng phơng pháp Đa-lăm-be Trong đó: a = Đa vào biến số mới: = at - x; = at + x => x = 1 1 ( - ); t = ( - ) 2 2a Khi đó hàm dịch chuyển U(x,t) qua biến số mới là U(,) áp dụng quy... Butnốp - Galerkin; phơng pháp gần đúng liên tiếp v.v 3. 4 Sự truyền sóng đn hồi dọc trong thanh tiết diện không đổi Trong phần 3. 1 đã thiết lập phơng trình vi phân dao động dọc của thanh tiết diện không đổi: 2 2U 2 U a =0 t 2 x 2 ( 3- 4 ) E là vận tốc truyền sóng dọc trong thanh Phơng trình ( 3- 4 ) cũng còn gọi là phơng trình sóng Nghiệm của ( 3- 4 ) đã đợc khảo sát ở dạng chuỗi Fuariê Tuy nhiên dạng nghiệm... 2 + 2 t 2 2 Từ đó ( 3- 4 ) trở thành: 4a 2 Rõ ràng 2U U = 0 Hay =0 U U không phụ thuộc vào và chỉ là hàm của , ký hiệu = Q() Ta có: U = Q()d + () Tiếp tục đặt: Q()d = () ta có: U = () + () Khi chuyển qua biến mới, ta đợc: U = (at - x) + (at + x) ( 3- 5 8) Biểu thức ( 3- 5 8) là NTQ của phơng trình ( 3- 4 ) Nó gồm hai số hạng: a) Số hạng đầu: (at - x) là sóng dịch chuyển truyền dọc... a ( 3- 5 4) 2 p ( JX ) + JX = 0 a1 (EJX ) qp 2 X = 0 ( 3- 5 5) ( 3- 5 6) ( 3- 5 7) T+ p 2T = 0 Các phơng trình này khác với các phơng trình trớc đây ở chỗ: Các hệ số của chúng biến đổi Nghiệm hiển của chúng nhận đợc chỉ trong các trờng hợp riêng khi các biến: F, J, EJ, q xác định sự phụ thuộc đặc biệt Trong trờng hợp tổng quát cần đa vào các phép giải gần đúng, nh: Phơng pháp Ris; phơng pháp Butnốp - Galerkin;... thứ hai: (at + x), với cách lý giải tơng tự sẽ là sóng dịch chuyển dọc thanh theo hớng ngợc lại cùng với vận tốc truyền sóng a Kết luận: Chuyển động của thanh có thể khảo sát nh kết quả tổng hợp của hai sóng biến dạng dọc thanh ở hớng ngợc nhau với cùng vận tốc truyền sóng a Khi cho các điều kiện đầu và các điều kiện biên xác định, ta tìm đợc nghiệm cụ thể của phơng trình ( 3- 4 ) áp dụng điều trình bày... có dạng sau: 2 U 2U a F = F t 2 x x 2 2 a 1 J = J t 2 x x 2 2y 2y 2 EJ 2 = q 2 t x x (3 51) (3 52) (3 53) Bảng 5: Các điều kiện biên của một số dạng liên kết khi xét dao động uốn của dầm Sơ đồ Dạng liên kết O Q = EJX T = 0 X = 0 x Đầu tự do O x O x Điều kiện biên M = EJX T = 0 X = 0 Y = XT = 0 => X = 0 Bản lề M = EJX T = 0 X = 0 Y = XT = 0 => X = 0 Ngàm = X T . 2 x dx Q+ M+ dx nh 3- 7 Hì 73 3. 3.2. Giải phơng trình ( 3- 3 9). Tơng tự nh các trờng hợp trên, ta tìm nghiệm phơng trình ( 3- 3 9) dới dạng: y = X(x).T(t) ( 3- 4 0) Thay ( 3- 4 0) vào ( 3- 3 9) ta đợc: X X a T T 2 2 =. 0 2 2 = x Q x M (3) Thay (1) vào (3) ta đợc: 0 2 2 2 2 = + t y q x M ( 3- 3 6) áp dụng công thức về lý thuyết uốn của thanh trong SBVL: M x y EJ = 2 2 ( 3- 3 7) Thay ( 3- 3 7) vào ( 3- 3 6) ta có:. 0= =Lx X ( 3- 2 9) Để thoả mãn điều kiện ( 3- 2 9), ta phải có: C = 0 và: sin 1 a pL = 0 ( 3- 3 0) ( 3- 3 0) là phơng trình tần số trong trờng hợp khảo sát. Giải ra: 1 a Lp n = n; n = 1, 2, 3 ( 3- 3 1) NTQ