Trờng đại học thuỷ lợi Bộ môn học ứng dơng - - GS.TS Ngun Thóc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều PGS.TS Khổng DoÃn Điền Lý thuyết dao động H Nội 2003 Lời nói đầu Giáo trình Cơ häc Lý thuyÕt II – Lý thuyÕt Dao ®éng” – Tác giả PGS PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng DoÃn Điền, xuất Trờng Đại học Thủy lợi, năm 1989, đà đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện ngành Máy Xây Dựng năm qua, đề cập đến toán dao động hƯ mét bËc tù do, hai bËc tù do, v« số bậc tự giải nguyên lý tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động vài trờng hợp cụ thể cách giải hệ có nguy xuất hiện tợng cộng hởng Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến toán động lực, biên soạn đa vào thêm: Chơng IV (Va chạm vật rắn vào đàn hồi áp dụng Lý thuyết va chạm vào toán đóng cọc); Chơng V (Cơ sở Lý thuyết dao động phi tuyến) có đa vào ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi Tài liệu dùng để giảng dạy Lý thuyết dao động cho sinh viên ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nớc, Trạm bơm giảng dạy môn Dao động kỹ thuật cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học Nghiên cứu sinh cho ngành Công trình, Động lực làm tài liệu học tập tham khảo cho Nghiên cứu sinh ngành có liên quan Chúng mong nhận đợc đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày hoàn chỉnh Hà Nội, tháng 10 năm 2003 Các tác giả Chơng mở đầu Đ1 Một vi khái niệm v định nghĩa 1.1 Các trình thay đổi khác đại lợng vô hớng đợc chia thành hai dạng: Các trình dao động trình không dao động Quá trình dao động đợc đặc trng tăng hay giảm cách luân phiên đại lợng biến đổi Nó đợc mô tả phơng trình toán học Dao động phơng trình vi phân mô tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ngợc lại, gọi dao động không tuyến tính (phi tuyến) 1.2 Chuyển động dao động đợc đặc biệt quan tâm dao động có chu kỳ Hàm f*(t) mô tả trình dao động có chu kỳ, nh tồn giá trị T > 0, thoả mÃn điều kiện sau: f * ( t ) = f * ( t ± T ) = f * ( t ± 2T ) = = f * ( t ± nT ) (1) Trong đó: T gọi chu kỳ; n số nguyên dơng Một dạng đặc biệt dao ®éng cã chu kú chiÕm vÞ trÝ quan träng thực tế dao động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả hệ thức: q = A sin(kt + ) (2) đây: q toạ độ điểm dao động tính từ vị trí trung bình (chọn làm gốc toạ độ); A toạ độ q ứng với độ lệch lớn điểm phía đợc gọi biên độ dao động; (kt+) Argument sin gọi pha dao động; pha ban đầu; k tần số vòng (riêng) dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bëi hÖ thøc: 2π k ( t + T) + α = kt + α + 2π , tõ ®ã: k = (rad / s) (3) T Sè lÇn dao động đơn vị thời gian đợc tính theo c«ng thøc: k (4) f= = T 2π f đợc gọi tần số; đơn vị thờng dùng Hecz (Hz) Đ2 Động hệ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí hệ: q1, q2 , qn (qi, i = 1, n ) Víi hƯ chịu liên kết dừng, vị trí điểm Mk đợc biểu diễn: rk = rk (q , q , , q n ) Tõ ®ã: vk = d rk = dt n ∑ i =1 rk ã qi q i (5) Động hệ xác định biểu thức: T = n ∑ m k v 2k k =1 Thay (5) vào biểu thức với ý: v = v k v k k Ta cã: T= • • n ∑1 A ij q i q j i , j= (6) đây: Aij = Aji hệ số phụ thuộc vào tọa độ suy rộng Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa lân cận vị trí cân (q i = 0; i = 1, n ) giữ lại số hạng đầu, ta nhận đợc biểu thức động hệ đà tuyến tính hoá: T= ã ã n ∑1 a ij q i q j i , j= (7) Trong ®ã: a ij = a ji = (A ij ) gọi hệ số quán tính (thực tế khối lợng mômen quán tính) ã2 Nếu hệ có bậc tự (n = 1), ta cã: T = a q , ®ã a = A(0) (8) NÕu hƯ có hai bậc tự (n = 2), ta đợc: •2 • • •2⎞ 1⎛ ⎜ a 11 q + 2a 12 q q + a 22 q ⎟ T= ⎜ ⎟ 2⎝ ⎠ (9) ë ®©y: a 11 = (A11 ) ; a 12 = (A12 ) ; a 22 = (A 22 ) Các hệ số dạng toàn phơng (7) thoả mÃn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dơng), nghĩa lµ: a 11 > 0; a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 1n > 0; ; a 21 a 22 a n > a n1 a n a nn Đ3 Thế hệ Với liên kết dừng, hệ hàm toạ độ suy rộng: = (q1 , q , , q n ) Trong hệ bảo toàn, vị trí cân (q i = 0; i = 1, n ) , hệ có giá trị cực trị nên: q ⎝ i ⎞ ⎟ = Víi i = 1, n q i =0 (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân ổn định hệ bảo toàn, hệ cực tiểu Khai triển theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân ổn định (q i = 0; i = 1, n) , ta cã: n ⎛ ∂π π = ( π) + ∑ ⎜ ⎜ i =1 ⎝ ∂q i ⎞ n ⎟ q i + ∑ c ij q i q j + ⎟ i , j=1 (11) Nếu chọn vị trí cân ổn định hệ làm gốc tính () = (10) nên số hạng thứ hai (11) không Mặt khác với hệ tun tÝnh sÏ kh«ng chøa khai triĨn cđa thÕ thành phần bậc cao hai toạ độ suy rộng Do hệ tuyến tính hoá dạng toàn phơng sau: π= n c ij q i q j i , j=1 ∑ (12) ⎛ ∂2π ⎞ ⎟ gäi hệ số cứng đây: c ij = c ji = ⎜ ⎜ ∂q i ∂q j ⎟ ⎝ ⎠0 NÕu hÖ cã mét bËc tù (n = 1), ta cã: π = cq , c = π′′(0) NÕu hÖ cã hai bËc tù (n = 2), ta đợc: = (c11 q + 2c12 q q + c 22 q ) 2 (13) (14) ⎛ ⎞ ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ; c12 = ⎜ ∂ π ⎟ ; c 22 = ⎜ ∂ π ⎟ Trong ®ã: c11 = ⎜ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ⎜ ∂q ⎟ ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠0 ⎝ Tơng tự nh phần Đ2, hệ số cij dạng toàn phơng (12) thoả mÃn điều kiện xác định dơng Đ4 Hm hao tán Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc vào vËn tèc: R k = −β k v k Trong đó: k > hệ số cản (nhớt); v k vận tốc chất điểm thứ k thuộc hệ Gọi toạ độ suy rộng của hƯ: q i (i = 1, n ) C¸c lực suy rộng tơng ứng với lực cản bằng: n Q iΦ = ∑ R k k =1 n ∂ rk ∂r = −∑ β k v k k ∂q i ∂q i k =1 • Khi sư dơng đồng thức Lagrăng: Q i = n k =1 • β k rk • ∂ rk = ã qi n ta đặt: = ∑ β k k =1 ∂ rk ∂ rr = • , ta cã: ∂q i ∂ qi v2 ⎞ ∂ ⎛ n ⎜ βk k ⎟ • ⎜ ⎟ ⎠ ∂ q i ⎝ k =1 ∑ Hay: Q i φ = − ∂φ • (15) ∂ qi v2 k (16) đợc biểu diễn (16) gọi hàm hao tán Ta viết giống nh động T tọa độ suy rộng: φ = • • n B ij q i q j i , j=1 ∑ (17) Trong ®ã: B ij = B ji hàm toạ độ suy rộng: q i (i = 1, n ) Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa lân cận vị trí cân q i = 0; (i = 1, n ) giữ lại số hạng đầu, ta nhận đợc biểu thức hàm hao tán đà tuyến tính hoá: = ã ã n b ij q i q j i , j=1 (18) đây: b ij = b ji = (Bij ) hệ số cản suy rộng Khi hÖ cã mét bËc tù (n = 1): φ = •2 b q ; b = B(0) > •2 • • •2 Khi hƯ cã hai bËc tù (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q + b 22 q ) Trong ®ã: b11 = (B11 ) ; b12 = (B12 ) ; b 22 = (B 22 ) (19) (20) C¸c hƯ số b ij dạng toàn phơng (18) thoả mÃn tiêu chuẩn xác định dơng Đ5 Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 5.1 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng trình Lagrăng II Cơ sở lý thuyết nhiều công trình nghiên cứu dao động hệ Hôlônôm nhiều bậc tự việc áp dụng phơng trình Lagrăng loại II Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động hệ dao động cách sử dụng phơng trình Lagrăng loại II gọi phơng pháp Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định toạ độ suy rộng độc lập: q , q , q n (q i : i = 1, n ) , phơng trình Lagrăng loại II có dạng: d T ã dt q ⎜ ⎝ i ⎞ ⎟ ∂T ⎟ − ∂q = Q i ; i = 1, n ⎟ i (21) 5.1a Nếu lực tác dụng lên hƯ chØ lµ lùc cã thÕ Ta cã: π Qi = Qi = − ∂π ; i = 1, n q i Phơng trình (21) trở thành: T ∂π ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, n ⎟ i i ⎠ ⎛ d ⎜ ∂T dt ã q i (21a) Đa vào hàm Lagrăng: L = T , ta đợc: d ⎜ ∂L • dt ⎜ ∂ q ⎜ ⎝ i ⎞ ⎟ ∂L ⎟ − ∂q = 0; i = 1, n ⎟ i ⎠ (21b) 5.1b NÕu c¸c lực tác dụng lên hệ bao gồm lực lực cản nhớt ta có: Qi = Qi + Qi = − ∂φ ∂π − • ; i = 1, n ∂q i ∂ qi Ph−¬ng trình (21) trở thành: T − ∂q = − ∂q − • ; i = 1, n ⎟ i i ∂ qi ⎠ ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜ • ⎜∂q ⎝ i (22) Khi ý đến hàm Lagrăng L: L ⎟ − ∂q + • = 0; i = 1, n ⎟ i ∂ qi ⎠ ⎛ d ⎜ ∂L dt ⎜ • ⎜∂q ⎝ i (22a) 5.1c NÕu lùc tác dụng lên hệ lực có thế, lực cản nhớt có ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy réng cđa nã ký hiƯu QiP, ta cã: π φ Q i = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n P Và phơng trình (21) viÕt ë d¹ng: ⎛ d ⎜ ∂T dt ⎜ • ⎜∂q ⎝ i ⎞ ∂π ∂φ ⎟ ∂T P ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q i ; i = 1, n ⎟ i i ∂ qi ⎠ (23) ThÝ dơ 1: Con l¾c kÐp gåm hai ®ång chÊt: AB = BC = 2L, träng l−ỵng P1 = P2 = P nèi víi bëi lề B Con lắc thực dao động nhỏ mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị trí cân b»ng Ay; ngoµi AB quay xung quanh trơc A; BC quay xung quanh lề B (Hình 1) Bài giải Giả thiết rắn tuyệt đối ; hÖ cã hai bËc tù Ta chän θ1, θ2 góc lệch với phơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng Tại vị trí cân = = Phơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là: x A d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎟− ⎜ (a) = Q i ; i = 1, • dt ⎜ ∂ θ ⎟ ∂θ i ⎝ i⎠ θ Chän hƯ trơc tọa độ Axy nh hình vẽ Động hệ b»ng: T = TAB + TBC = Ta cã: J Az = P1 ⎛ ⎞ 1 J Az θ1 + m BC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ •2 •2 •2 1P P P (2L) , m BC = , J Dz = ( L) 12 g 3g g θ2 2PL2 3g D P2 C y ⎧x D = L(2 sin θ1 + sin θ ) ⎨ ⎩ y D = L(2 cos θ1 + cos θ ) Ta có: T = B ã2 Hình ã ã •2 •2 ⎤ θ1 + θ + θ1 θ cos(θ1 − θ )⎥ ⎢ ⎣ ⎦ XÐt dao ®éng nhá: cos(θ1 − θ ) , ta nhận đợc: ã ã 2PL2 ã • T= (4 θ1 + θ + ) 3g (b) Thế hệ công trọng lợng hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát (1; 2) tới vị trí cân thẳng đứng (1 = ; = 0), ta cã: π = PL(1 − cos θ1 ) + PL[2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ )] π = PL(4 − cos θ1 − cos θ ) Rót gän: Víi θ1 , θ nhá: cos θ1 ≈ − Ta cã: π= θ1 θ2 ; cos θ ≈ − 2 PL (3θ1 + θ ) 2 Thay (b) vµ (c) vµo (a), ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động nhỏ cđa hƯ: 3θ1 = − 16L •• 2L •• L •• L •• θ1 − θ ; θ2 = − θ1 − θ2 3g g g 3g (c) 5.2 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe Theo nguyên lý Đalămbe: thời điểm lực hoạt động tác dụng lên hệ phản lực liên kết cân với lực quán tính Từ đó: F a + N + F qt = ⎪∑ k ∑ k ∑ k ⎪k k k ⎨ a ⎞ ⎪∑ m O ⎛ Fk ⎟ + ∑ m O N k + ∑ m O ⎛ Fk qt ⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎪k ⎝ ⎠ k ⎝ ⎠ k ⎩ (24) ( ) Trong ®ã: F qt = m k Wk k 5.3 áp dụng phơng pháp lực để lập phơng trình vi phân dao động nhỏ (trờng hợp riêng phơng pháp Đalămbe) Giả sử cho dầm đàn hồi có gắn số hữu hạn khối l−ỵng tËp trung m1 , m , , m n Để lập phơng trình vi phân dao động (uốn) dầm, thuận lợi dùng phơng pháp lực Khi cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị Các dịch chuyển theo hớng i lực đơn vị tác dụng theo hớng k gây gọi dịch chuyển đơn vị, ký hiệu ik Các dịch chuyển đơn vị ik gọi hệ số ảnh hởng (Hình 2) Pk = m1 m2 m3 mn i k ik Hình Đối với hệ đàn hồi, theo hớng k hệ chịu tác dụng lực Pk dịch chuyển gây theo h−íng i sÏ tû lƯ víi lùc, nghÜa lµ: yi = Pkik Do đó, dới tác dụng đồng thời lực P1, P2, , Pn dịch chuyển toàn phần xác định theo công thức: yi = n P k ik (25) k =1 Công thức (25) sở để thiết lập phơng trình vi phân dao động hệ theo phơng pháp lực Theo kết giáo trình SBVL, ta có công thức xác định hệ số ảnh hởng ik sau đây: 5.3a Xác định ik uốn thanh: Dùng công thức MO: L δ ik = ∑ ∫ M i M k dx EJ (26) Trong ®ã: EJ độ cứng uốn; M i ( x ) M k ( x ) mômen uốn lực đơn vị Pi = Pk = gây (Hình 3) Pi = Pk = M i =(x) M k =(x) x x Hình 5.3b Sử dụng phép nhân biểu đồ Vªrªsaghin: * Ω Mk δ ik = ∑ i EJ (27) * đây: i diện tích biểu ®å M i , M k lµ tung ®é cđa biểu đồ M k tơng ứng hoành độ trọng tâm cđa Ω i Khi sư dơng c«ng thøc (27) cần ý chia chiều dài cho đoạn M k đờng thẳng Theo định lý Macxoen ta lu«n cã: δ ik = δ ki Thí dụ 2: Xác định hệ số ảnh hởng trờng hợp dầm chịu trọng tải tập trung nh− h×nh vÏ (H×nh 4) m m L/6 L/3 P1 = m L/3 5L 36 L/6 L/6 H×nh M1 5L/6 Hình 5a Bài giải: Để xác định dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hởng) ik (i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng biểu đồ Mômen uốn M , M , M tơng ứng với lực đơn vị P1 = 1, P2 = 1, P3 = vµ biĨu diễn nh hình vẽ (Hình 5a, b, c) P2 = L P3 = M2 L/2 5L 36 M3 L/2 5L/6 H×nh 5b L/6 H×nh 5c Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 11 = δ 33 = = ⎞⎤ ⎡⎛ L 5 ⎞ ⎛1 5 ⎢⎜ 36 L 54 L ⎟ + ⎜ L 36 L 54 L ⎟⎥ EJ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 5 ⎛1 ⎞ 5 25L3 ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k L L⎜ L + L ⎟ = 36 3888EJ EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 ta đặt: k = 22 = L3 9.1296EJ ⎛1 L L L L L L⎞ L3 L3 L3 = = 243 = 243k ⎜ + ⎟ = EJ ⎝ 2 2 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ Thực tính toán cách tơng tự, ta nhận đợc: 13 = 31 = 51 L3 L3 = 51k; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117k 9.1296EJ 9.1296EJ Đ6 Xác định độ cứng hệ dao động Các tính chất đàn hồi hệ dao động trờng hợp cụ thể đợc đặc trng hệ số cứng C 6.1 Thanh đàn hồi 6.1.1 Thanh đàn hồi không trọng lợng, chịu kéo nén (Hình 6) 10 L = Ta có: PL EF đây: E môđun ®µn håi, F lµ diƯn tÝch tiÕt diƯn ngang P= Tõ ®ã: EF ΔL = C.ΔL L EF VËy, ta có: (28) C= L 6.1.2 Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu xoắn (Hình 7) thì: = L MxL GJ p Trong đó: G môđun trợt, JP mômen quán tính độc cực L mặt cắt ngang Suy ra: Mx = Vậy, nhận đợc: C= GJ p L P H×nh Δϕ = C.Δϕ GJ p (29) L Mx L P L f H×nh H×nh 6.1.3 Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu uốn Khi này: Hệ số cứng C phụ thuộc vào điều kiện biên Ta xét chịu uốn bị ngàm đầu (Hình 8) Độ võng f bằng: f= 3EJ PL3 , suy ra: P = f = Cf EJ L đây: EJ độ cứng chèng uèn VËy ®é cøng C b»ng: 11 C= 3EJ L3 (30) 6.2 Hệ lò xo 6.2.1 Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9) Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có: Fdh = C1 x + C x = Cx C1 C C2 Vậy, ta đợc: C = C1 + C2 Nếu hệ có n lò xo mắc song song, tơng tự nhận đợc: n C = Ci (31) i =1 Hình 6.2.2 Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10) Biểu thức tính lực đàn hồi bằng: Fdh = C1 x + C x C1 hệ thay tơng đơng hệ số cứng C, lß xo x = x + x ; Fdh = Cx dÃn đoạn: C2 Ta có: x= F1 F2 Fdh 1 + = ⇒ = + C1 C C C C1 C C Hình 10 Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, hệ số cứng C lò xo thay xác định hệ thức: n 1 = C i =1 C i (32) Nãi chung ®é cøng C đợc tính toán theo lý thuyết với giả thiết định tra cứu sổ tay kỹ thuật Ta thống kê số công thức số dạng thờng dùng tính toán (bảng 1) Bảng Công thức xác định hệ số cứng tơng đơng STT Sơ đồ Hệ số C Gd Với G: môđun trợt 8iD vật liệu; d: đờng kính dây lò xo; i, D: số vòng đờng kính lò xo C= C1 C1 C2 C2 C = C1+ C2 12 EJ L C= C1 C2 a C=3 C= b a L 12EJ(a + b) a b (3a + 4b) C= b C= b L 3EJ(a + b) a 3b3 C= b 3EJ ( b + L) b 12EJ (4b + 3L)b C= 10 L N L N L 13 α EJsh α L , α Lch α L − sh α L α= C= 12 24EJ L3 (EJ độ cứng uốn hai lò xo phẳng) C = 11 EJ L3 3EJ(a + b) a 2b2 C= b a C1C C1 + C N EJ α EJsh ( α L ) L (α Lch α L − sh α L ) α= N EJ 14 ... học Dao động phơng trình vi phân mô tả chuyển động tuyến tính, gọi dao động tuyến tính Ngợc lại, gọi dao động không tuyến tính (phi tuyến) 1.2 Chuyển động dao động đợc đặc biệt quan tâm dao động. .. dạng đặc biệt dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng thực tế dao động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả hệ thức: q = A sin(kt + ) (2) đây: q toạ độ điểm dao động tính từ... tác giả Chơng mở đầu Đ1 Một vi khái niệm v định nghĩa 1.1 Các trình thay đổi khác đại lợng vô hớng đợc chia thành hai dạng: Các trình dao động trình không dao động Quá trình dao động đợc đặc trng