Lý thuyết dao động - Chương 5 pdf

Chơng V Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến Mở đầu Lý thuết dao động phi tuyến nghiên cứu các chuyển động tuần hoàn đợc mô tả bởi các phơng trình vi phân phi tuyến. Nhiều hiện tợng quan sát đợc trong lĩnh vực kỹ thuật giao thông vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học nền móng v.v phải đợc giải thích bằng dao động phi tuyến. Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất của chuyển động dao động đầy đủ và chính xác hơn. Thực tế, lớp các lực phi tuyến vô cùng phong phú. Tuy vậy, có thể tập hợp một số tính chất chung tạo thành các đặc trng sơ bộ về sự khác nhau giữa hệ phi tuyến và hệ tuyến tính: 1- Không thể áp dụng nguyên lý tổ hợp tuyến tính đối với các hệ phi tuyến. Nghĩa là, không thể lập NTQ của phơng trình vi phân hệ phi tuyến bằng các NR độc lập. 2- Dao động tự do của hệ tuyến tính bao giờ cũng tắt dần. Dao động tuần hoàn thực sự của nó chỉ có thể xảy ra dới dạng dao động cỡng bức xuất hiện do tác động của các lực kích động tuần hoàn từ bên ngoài. Trong hệ phi tuyến có thể xảy ra các dao động tự do tuần hoàn ổn định (ngay cả khi có cản), chẳng hạn nh: Dao động của con lắc đồng hồ và nhiều hệ dao động khác. 3- Dao động cỡng bức trong hệ tuyến tính do các lực điều hòa gây ra sẽ có cùng tần số và chu kỳ với lực, còn trong hệ phi tuyến có thể xảy ra với chu kỳ lực kích động, nhng cũng có thể xảy ra với chu kỳ bằng bội số nguyên hoặc phân số của chu kỳ lực kích động. Do đó đối với hệ phi tuyến một bậc tự do dới tác dụng của một lực điều hoà có thể xảy ra nhiều chế độ cộng hởng. 4- Tần số riêng trong hệ tuyến tính không phụ thuộc vào điều kiện đầu và biên độ. Phần lớn trong các hệ phi tuyến tần số phụ thuộc vào biên độ dao động. Ta minh hoạ một số thí dụ sau để làm rõ đặc trng phi tuyến của hệ khảo sát: Thí dụ 1: Con lắc toán học: (Hình 5-1) ta có: O Tgmwm += Chiếu lên phơng tiếp tuyến , thì: 0=+= singLsinmgmw Đặt: 2 k L g = , ta nhận đợc: (1) 0sink 2 =+ Hình 5-1 L T m g 124 Với dao động bé: 6 sin 3 = do đó: 0) 6 (k 3 2 = + (2) Khi tuyến tính hệ: (3) 0k 2 =+ Nh đã biết, ở phơng trình (3) ta có dao động điều hoà với chu kỳ g L 2 k 2 T = = chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ mà không phụ thuộc vào điều kiện đầu của chuyển động. Rõ ràng tính chất ấy sẽ không đúng với phơng trình (2). Thí dụ 2: Chất điểm nặng khối lợng m gắn vào đầu thanh đàn hồi (Hình 5-2). x m y x y = f(x) y = kx O Lực đàn hồi cho bởi hàm y = f(x). Phơng trình dao động có dạng: (4) 0=+ )x(fxm Việc tuyến tính hoá phơng trình (4), tức thay đờng cong y = f(x) bởi đờng thẳng y = kx đợc chấp nhận với giá trị rất nhỏ của x và ta có: (5) 0kxxm =+ Với x lớn thì phải xét đến hàm f(x) dới dạng phi tuyến. Thí dụ 3: Xét hệ chỉ trên hình vẽ: (Hình 5-3) Gọi L là độ dài ban đầu của lò xo, C là hệ số cứng của nó. Giả sử khi tải trọng ở vị trí trung bình lò xo không căng, khi tải trọng lệch một khoảng x lò xo giãn ra một đoạn: LLx + 22 và lực căng của lò xo là: ( ) LLxCN 22 += Hình 5-2 Thành phần ngang của lực xác định đặc tính đàn hồi của hệ sẽ bằng: + = + = 2 222 1 1 1 L x Cx Lx x NP Gọi x là nhỏ so với L, có thể lấy: 2 2 2 L x 2 1 1 L x 1 1 + Hình 5-3 q P = x m q = x O 125 Nh vậy, đặc trng của hệ sẽ là phi tuyến và có: 2 3 2L Cx P (6) Nếu lò xo có sức căng ban đầu N 0 , thì khi tải trọng lệch một khoảng x, lực căng toàn phần bằng: ( ) LLxCNN 22 0 ++= Và thành phần nằm ngang của lực này sẽ: 2 3 0 22 L2 Cx L x N Lx x NP + + = (7) Thí dụ 4: Khảo sát nhíp sau của ô-tô (Hình 5-4). P q=y P a b c Giả sử ngoài nhíp cơ bản còn có các nhíp phụ (nhíp con). Khi thùng xe có dịch chuyển không lớn, mút các nhíp phụ không tiếp xúc với gối tựa và chỉ có nhíp cơ bản làm việc. Sự phụ thuộc vào các áp lực P lên nhíp và độ võng q = y có thể coi là tuyến tính và đợc biểu diễn bởi đoạn ab. Khi có dịch chuyển lớn của thùng xe, mút các nhíp con tựa lên giá đỡ của khung và độ cứng tơng đơng của nhíp trở nên lớn. Quan hệ giữa P và q = y đợc biểu diễn bằng đoạn bc. Nh vậy đặc tính chung của nhíp làm việc là phi tuyến: P = P(y). Gọi C 1 là độ cứng của nhíp cơ bản, C 2 là độ cứng tơng đơng của các nhíp phụ thì độ cứng trên đoạn ab là C 1 , còn trên đoạn bc là C 1 +C 2 . Hình 5-4 Đ5.1. Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trng phi tuyến của lực phục hồi. 5.1.1. Phơng trình vi phân cơ bản và nghiệm chính xác của nó. Phơng trình vi phân dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trng phi tuyến của lực phục hồi đợc thiết lập tơng tự nh đã trình bầy trong phần Đ1.1 của chơng thứ nhất, ở đây ta thay lực phục hồi tuyến tính bằng lực phục hồi phi tuyến: P = P(q) ta có: (5-1) 0)q(fq0)q(Pqm =+=+ ở đây đặt: m )q(P )q(f = (5-2) Ta biểu diễn gia tốc ở dạng: dq qd q dt dq dq qd dt qd q === Phơng trình (5-1) trở thành: dq)q(fqdq0)q(f dq qd q ==+ 126 Khi tích phân hệ thức trên, ta lấy thời điểm đầu có độ lệch lớn nhất (q max = a), còn vận tốc bằng không , ta có: = 0q === a q q a q a q dq)q(fdq)q(f q dq)q(fqdq 2 2 0 Quan hệ này biểu thị quy luật bảo toàn năng lợng: Vế trái là động năng tích luỹ trong quá trình chuyển động của hệ từ vị trí biên (q = a, ) đến vị trí bất kỳ (q, ). Còn vế phải là thế năng mất đi trong quá trình đó. Năng lợng này sẽ đợc biểu thị bằng phần gạch chéo trên đồ thị (Hình 5-5). Từ biểu thức cuối ta nhận đợc: 0q = q == a q dq)q(f dt dq q 2 (5-3) q O f( q ) q a Hớng chuyển động ở đây dấu trớc căn lấy dấu âm (-) vì trong khoảng khảo sát chuyển động vận tốc âm (-). Tích phân (5-3) cho ta thời gian t là hàm của dịch chuyển: == a q a q q a a q dq)q(f dq dq)q(f dq t 22 Hình 5-5 Nếu tiến hành tích phân trong khoảng từ q = 0 đến q = a thì đối với hệ có đặc trng đối xứng sẽ tìm đợc thời gian của một phần t chu kỳ. Chu kỳ của dao động tơng ứng bằng: = a a q dq)q(f dq T 0 2 22 (5-4) Công thức (5-4) cho phép tìm sự phụ thuộc chính xác chu kỳ dao động tự do vào biên độ của nó. Xét trờng hợp đặc trng đối xứng mô tả bởi quy luật: (5-5) ,2,1n;q)q(f 1n2 == ở đây , n là các hằng số. Do đó tìm đợc: () () = = = a n n nn a q nn a q ; d a n qa n dq qa n dq)q(f 0 1 0 2 1 22 22 1 1 2 127 Theo công thức (4-4) ta nhận đợc: = 1 0 2 1 1 1 4 n n d a n T (5-6) Từ đó ta thấy: chỉ khi n = 1 chu kỳ T không phụ thuộc vào biên độ dao động (đặc trng tuyến tính); trong các trờng hợp còn lại tồn tại phụ thuộc giữa chu kỳ và biên độ. Sự tồn tại mối liên hệ này là đặc tính chung đối với hệ phi tuyến . Bây giờ giả sử xét dao động của hệ đối với đặc trng bậc ba: 3 q)q(f = khi đó n = 2 từ biểu thức (5-6) ta đợc: = 1 0 4 1 d a 2 a 4 T Sử dụng bảng các hàm đặc biệt tính tích phân Eliptíc đợc 1,8541 / 2 , do đó ta có: 8541,1 a 4 T = Tần số dao động tự do bằng: = = a, T p 84720 2 (5-7) Nghĩa là tần số tăng bậc nhất với sự tăng của biên độ. 5.1.2. Nghiệm gần đúng của phơng trình (5-1). Mặc dù công thức (5-4) cho ta biểu diễn chu kỳ dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do đối với đặc trng phi tuyến của lực khôi phục về nguyên tắc là chính xác. Nhng thực tế tính toán rất cồng kềnh và thờng không thể viết ở dạng kín. Khó khăn này có thể đợc khắc phục khi ta sử dụng các phơng pháp gần đúng dới đây: 5.1.2a. Phơng pháp đơn giản nhất. Lấy dao động của hệ khảo sát mô tả bằng quy luật nh trong hệ tuyến tính, nghĩa là: )ptsin(aq + = (5-8) Nh đã biết, biểu thức (5-8) chỉ là nghiệm chính xác trong trờng hợp f(q) tuyến tính. Trong trờng hợp tổng quát khi thay (5-8) vào (5-1) sẽ không đa nó trở thành đồng nhất thức. Ta mềm hoá tính chính xác với điều kiện sao cho phơng trình (5-1) thoả mãn ở thời điểm khi độ lệch q đạt cực đại (tức bằng a). Khi này gia tốc cũng sẽ có giá trị cực đại: (5-9) q 2 max apq = Do đó, tại thời điểm trên cần thoả mãn đẳng thức sau: a )a(f p0)a(fap 22 ==+ 128 Hệ thức cuối cùng xác định tần số dao động tự do p phụ thuộc vào biên độ a của nó. Mặc dù công thức này không chính xác, song nhờ nó có thể nhận đợc cách biểu diễn khái quát đúng về mối liên hệ a(p 2 ). Thí dụ: Cho đặc trng phi tuyến ở dạng: (p 0 , là những số đã cho). 32 0 qqp)q(f += Theo trên, ta có: 22 0 32 0 2 ap a aap p += + = p 0 O p 2 a > 0 2 < 0 = 0 Đồ thị của sự phụ thuộc này biểu diễn trên (Hình 5-6). Rõ ràng là: Tần số dao động riêng tăng cùng với biên độ khi > 0 (gọi là đặc trng đàn hồi cứng) và tần số dao động riêng giảm khi biên độ tăng với < 0 (gọi là đặc trng đàn hồi mềm). Đờng tơng ứng với = 0 ta quy ớc gọi là đờng cong xơng sống. Hình 5-6 5.1.2. Phơng pháp tham số bé. Phơng pháp này đợc trình bày và đặt cơ sở toán học bởi A.Poăngcarê. Cơ sở của phơng pháp là ở chỗ: Giả sử cho hệ có tính phi tuyến giảm yếu, chẳng hạn xét hệ mà dao động của nó đợc miêu tả bằng phơng trình: (5-10) 0qqpq 32 0 =++ Nếu thông số đủ nhỏ, trong trờng hợp này, nghiệm sẽ đợc tìm ở dạng khai triển theo chuỗi luỹ thừa tham số bé: (5-11) qqqq 2 2 10 +++= ở đây: q o , q 1 , q 2 , là các hàm cha biết của thời gian t cần xác định. Ngoài khai triển (5-11) ta cũng dẫn ra khai triển hệ số p 2 0 : (5-12) CCpp 2 21 22 0 +++= Trong đó: p 2 là hằng số cha biết mới; C 1 , C 2 , là các hằng số cha xác định mà ta sẽ chỉ ra ở dới. Thay (5-11) và (5-12) vào (5-10) và giới hạn chỉ ở các thành phần khai triển đã viết, ta có: 0)qqq()qqq)(CCp(qqq 3 2 2 102 2 10 2 21 2 2 2 10 =++++++++++ Khi chỉ giữ lại các thành phần chứa không lớn hơn bậc hai, ta đợc: 0qq3qCqCqpqqqCqpqqpq 1 2 011022 2 2 23 0011 2 1 0 2 0 = +++++ +++++ 129 Phơng trình này đúng với mọi vì vậy các hệ số của 0 , 1 , 2 , phải bằng không điều này dẫn đến hệ: (5-13) =+ =+ =+ 1 2 011022 2 2 3 0011 2 1 0 2 0 qq3qCqCqpq qqCqpq 0qpq Cấu trúc của các phơng trình nhận đợc chỉ ra quá trình giải: Phơng trình đầu cho ta tìm q 0 , sau đó phơng trình thứ hai cho ta tìm q 1 và từ đó tìm q 2 từ phơng trình thứ ba. Lấy điều kiện đầu ở dạng sau: Khi t = 0 thì q = a, = 0. Từ (5-11) nhận đợc: q =++ =++ 0)0(q)0(q)0(q a)0(q)0(q)0(q 2 2 10 2 2 10 Để các đẳng thức này thoả mãn với mọi cần phải đồng thời thoả mãn sáu điều kiện sau: (5-14) == == == 0000 0000 000 2 2 1 1 0 0 )(q;)(q )(q;)(q )(q;a)(q Khi giải phơng trình đầu của hệ (5-13) có tính đến điều kiện đầu ở hệ (5-14) ta có: ptcosaq 0 = Đặt biểu thức này vào phơng trình thứ hai của hệ (5-13) ta đợc: ptcos a ptcosaaCptcosaptcosaCqpq 3 44 3 3 3 1 33 11 2 1 +==+ (5-15) Giả thiết rằng hệ số của cospt khác không. Khi đó nghiệm của phơng trình này sẽ chứa số hạng nh đã biết trong dao động tuyến tính: tsinpt (gọi là thành phần đặc tính), trong đó coi t là thừa số của hàm lợng giác. Có thể sử dụng nghiệm dạng cộng hởng này chỉ với giá trị t rất nhỏ. Để nghiệm đúng với bất kỳ t cần loại bỏ thành phần đặc tính trong (5-15). Nghĩa là đặt: 2 1 3 1 a 4 3 C0a 4 3 aC ==+ (5-16) Nghiệm của (5-15) viết đợc ở dạng: q 1 = C 1 cospt + C 2 sinpt + ptcos p a 3 32 2 3 Sau khi xác định các hằng số C 1 , C 2 từ dòng thứ hai của điều kiện đầu (5-14), ta tìm đợc: 130 )ptcospt3(cos p32 a q 2 3 1 = Nh vậy, trong các khai triển (5-11), (5-12) hai số hạng đầu đợc xác định. Nghiệm chính xác đến số hạng nhỏ bậc nhất có dạng: )ptcospt3(cos p32 a ptcosaq 2 3 += Hơn nữa, tơng ứng với (5-12) và (5-16) ta có: 22 0 2 a 4 3 pp += (5-17) Sau khi thay q 0 , q 1 vào phơng trình thứ ba của hệ (5-13) và cũng tiến hành việc lặp lại quá trình trên, ta nhận đợc nghiệm chính xác đến các số hạng nhỏ bậc hai: 2 42 22 0 2 2 52 2 3 128 3 4 3 4335 1024 3 32 2 p a app )ptcosptcospt(cos p a )ptcospt(cos p a ptcosaq ++= ++= (5-18) Ta nhận thấy, đặc điểm quan trọng của nghiệm nhận đợc là quá trình dao động đợc mô tả không phải bằng một điều hoà mà bằng tổng các điều hoà, trong đó các điều hoà tiếp theo càng có biên độ nhỏ đi. Một lẽ đơng nhiên tần số của điều hoà cơ bản p phụ thuộc vào biên độ dao động a. 5.1.2c. Phơng pháp Butnôp-Galepkin. Theo phơng pháp này ta cho trớc công thức xác định nghiệm cần tìm. Cách đơn giản hơn cả, nghiệm của phơng trình (5-1) thử tìm ở dạng giống nh đối với hệ tuyến tính: )ptcos(aq + = (5-19) ở đây a, , p là các hằng số. Thay nghiệm vào (5-1), tất nhiên không nhận đợc đẳng thức đồng nhất không chừng nào (5-19) không phải là nghiệm chính xác của phơng trình (5-1). Theo ý tởng cơ bản của phơng pháp là ở chỗ: Yêu cầu sao cho tích phân sau đây lấy trong khoảng một chu kỳ bằng không: = + p 2 0 0qdt)q(fq (5-20) Thay (5-19) vào (5-20), ta nhận đợc: {} =++++ p 2 0 2 0dt)ptcos()]ptcos(a[f)ptcos(ap (5-21) 131 Hay: [] =+++ p 2 0 0dt)ptcos()ptcos(afpa Ký hiệu: = +p t , Ta nhận đợc công thức đối với bình phơng của tần số: = 2 0 2 d.cos)cosa(f a 1 p (5-22) áp dụng: Trờng hợp , khi đó: 32 0 qqp)q(f += += 332 0 cosacosap)cosa(f Theo (5-22), ta có: + = 2 0 332 0 2 dcos)cosacosap( a 1 p Vì: == 4 3 2 0 4 2 0 2 dcos;dcos do đó nhận đợc: 32 0 2 a 4 3 pp += Kết quả này trùng với kết quả nhận đợc theo phơng pháp tham số bé. Phơng pháp Butnôp-Galepkin có thể cho phép xây dựng nghiệm gần đúng cao hơn. Khi này cần tìm nghiệm không phải chỉ là một hàm (5-19), mà ở dạng chuỗi hàm: qaqaq 2211 + + = Và sau đó đặt điều kiện sao cho tích phân: == + T i ,,i;dtq)q(fq 0 210 5.1.2d. phơng pháp tuyến tính hoá điều hoà. Trờng hợp đơn giản nhất của phơng pháp N.M.Krlôp và N.N.Bogoliubop. Ta viết phơng trình (5-1) ở dạng: )q(fqpqpq 22 =+ ở đây: p là tần số dao động cha biết. Thay vào vế phải đẳng thức trên công thức gần đúng của nghiệm: q = acos(pt+ ). Ta nhận đợc phơng trình dao động cỡng bức của hệ tuyến tính: (5-23) )t(Fqpq 2 =+ Trong đó: , )]ptcos(a[f)ptcos(ap)t(F 2 ++= là hàm chu kỳ với chu kỳ bằng p 2 . 132 Khai triển F(t) thành chuỗi Fuariê, ta nhận đợc: )pt(cosa)ptcos(aa)t(F + + + + += 2 210 Nếu a 1 khác không thì số hạng )ptcos(a 1 + là nguyên nhân xuất hiện thành phần đặc tính trong nghiệm của phơng trình (5-23). Để loại trừ nó cần đặt hệ số Fuariê a 1 bằng không, nghĩa là: =+= T 0 1 0dt).ptcos()t(F T 2 a Hay: {} =+++ P dt)ptcos()]ptcos(a[f)ptcos(ap 2 0 2 0 Quan hệ cuối cùng trùng với phơng trình cơ bản nhận đợc bằng phơng pháp Butnôp-Galepkin (5-21). 5.1.2e. Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp. a). Trờng hợp f(q) đối xứng (hình 5-7). Thay f(q) không tuyến tính bởi biểu thức tuyến tính f * (q): (5-24) qp)q(f 2 * = ở đây hệ số p 2 đợc chọn riêng, độ lệch r phụ thộc vào toạ độ q: r = r(q), ta có: qp)q(f)q(f)q(f)q(r 2 * == Vấn đề là chọn f * (q) sao cho rất gần f(q), nghĩa là r(q) tuân theo điều kiện cực tiểu của tích phân sau đây trên toàn khoảng thay đổi của toạ độ q: = a 0 2 dqrI Tích phân này phụ thuộc vào việc chọn thông số p 2 và vì vậy sự cực tiểu đạt đợc bằng cách xác định thông số này từ phơng trình 0 )p(d dI 2 = . Thực tế trong các bài toán về dao động thờng tồn tại các độ lệch r lớn hơn trong các giá trị của toạ độ q lớn, vì vậy một cách tự nhiên ta xét độ lệch có trọng số: q]qp)q(f[rq 2 = Khi này bài toán dẫn tới tìm cực tiểu của tích phân: {} = a a 2 2 1 dqq]qp)q(f[I Nghĩa là p 2 xác định từ phơng trình: 0 )p(d dI 2 1 = (5-25) 133 [...]... = q + và nửa khoảng dao động: a = a1 + a 2 , ta có công thức 2 của p2: p2 = 5 ( 2a ) 5 a f (q1 ).q 1 dq1 3 ( 5- 2 8) a 5. 2 Dao động cỡng bức không cản của hệ một bậc tự do với đặc trng phi tuyến của lực phục hồi Giả sử lực phục hồi F(q) bất kỳ (Hình 5- 9 ) và lực kích động điều hoà hình sin Phơng trình vi phân dao động có dạng: q+ F(q ) P0 = sin t m m F(q) ( 5- 2 9) Phơng trình ( 5- 2 9) không giải đợc ở... a 2 7 Theo công thức ( 5- 2 6) ta đợc: ( 5- 2 7) So sánh độ chính xác các kết quả nhận đợc theo các phơng pháp khác nhau trong trờng hợp p0 = 0, nghĩa là f(q) = q3; ta có: Theo ( 5- 2 7): p = 0,845a Theo ( 5- 1 7); ( 5- 2 2): p = 0,866a Theo ( 5- 7 ): p = 0,847a f(q) f(q) r(q) f*(q) f*(q) f(q) q O a Hình 5- 7 a2 f(q) O q a1 Hình 5- 8 134 b) Trờng hợp f(q) không đối xứng (Hình 5- 8 ) Gọi a1 là độ lệch ban đầu, a2 là... ( 5- 2 5) tìm đợc: a a 5 5 p = 5 f (q )q 3 dq = 5 f (q ).q 3 dq 2a a a 0 2 ( 5- 2 6) Sau khi xác định đợc p2, bài toán dẫn tới phơng trình tuyến tính đã biết thay cho phơng trình phi tuyến đã cho: q+ p2q = 0 Và p là tần số của dao động tự do 2 f ( q ) = p 0 q + q 3 Để minh hoạ điều trình bày, ta lấy: p a (p q + q )q dq = 5 2 0 a 2 0 Và tính : 3 3 5 + 0 a 7 7 5 2 p 2 = p 0 + a 2 7 Theo công thức ( 5- 2 6)... ( 5- 3 2) cho phép xác định biên độ a Nếu, chẳng hạn: ( 5- 3 2) 5. 2.3 Phơng pháp Đufing Cơ sở của phơng pháp này là loại trừ số hạng đặc tính Ta minh hoạ bằng phơng pháp bằng cách xét: F(q) 2 = p 0 q + q 3 m Phơng trình ( 5- 2 9) trở thành: q + p 0 q + q 3 = 2 P0 sin t m ( 5- 3 3) 136 Lấy gần đúng đầu bằng: q = a sin t ( 5- 3 4) Và viết phơng trình ( 5- 3 3) ở dạng: 2 q + 2 q = ( 2 p 0 )q q 3 + P0 sin t m ( 5- 3 5) ... ( 5- 3 5) Thay ( 5- 3 4) vào ( 5- 3 5) , ta có: P 1 3 2 q + 2 q = ( 2 p 0 )a a 3 + 0 sin t + a 3 sin 3t 4 m 4 Nếu biểu thức trong ngoặc vuông khác không thì nghiệm của phơng trình xuất hiện số hạng đặc tính và nó mang tới hiện tợng cộng hởng Để loại trừ cần đặt: ( 2 ) P 3 2 p 0 a a 3 + 0 = 0 4 m ( 5- 3 6) Quan hệ này về cấu trúc giống ( 5- 3 2) và có thể dùng để xác định a Khi thoả mãn ( 5- 3 6) thì ( 5- 3 5) đa... tuyến tính đối với biên độ dao động a 5. 2.2 Phơng pháp tuyến tính hoá trực tiếp Thay ( 5- 2 9) bằng phơng trình: P q + p 2 q = 0 sin t m P sin t Phần dừng của nghiệm có dạng: q = 0 2 m( p 2 ) Còn biên độ của nó: a= P0 m( p 2 ) ( 5- 3 0) ( 5- 3 1) 2 F(q) 2 = p 0 q + q 3 , thì nh đã tìm trớc đây ta có: m 5 2 p 2 = p 0 + a 2 7 P0 Quan hệ ( 5- 3 1) có dạng sau: a = 5 2 mp 0 + ma 2 m2 7 5 2 Hay: ma 3 + m(mp 0 ... lực điều hoà P0 sin t gây ra trong dao động phi tuyến không phải chỉ là một tần số , mà cả tần số cao hơn Để xây dựng nghiệm gần đúng tiếp theo, ta thay ( 5- 3 2) vào vế phải của ( 5- 3 5) , sau đó lại đặt hệ số của sin t bằng không v.v Thí dụ 5- 1 : Ngời ta gắn tự do hai lò xo vào khối lợng m (gắn tự do là không có lực căng ban đầu) Mỗi lò xo có độ dài L0 và độ cứng C (Hình 5- 1 0a) Giả thiết rằng khối lợng m... (5) , với chú ý: k = 4L C , ta đợc: T = 1, 854 1 0 2 x0 mL 0 m C Thí dụ 5- 2 : Cho biết khối lợng m đợc gắn cứng vào một yếu tố đàn hồi phi tuyến với đặc trng F = (Cx + C1x3) (Hình 5- 1 1) Lập phơng trình vi phân dao động tự do của khối lợng m, bỏ qua ma sát Tìm sự phụ thuộc giữa tần số dao động và biên độ, biết rằng ở thời điểm ban đầu độ lệch của khối lợng đối với vị trí cân bằng là A, vận tốc chuyển động. .. ta có: 3 C 0 = C + C1 A 2 5 Từ đó ta tìm đợc tần số dao động tự do của khối lợng: p= C0 = m C 3 C1 2 + A m 5 m Thay các giá trị bằng số ta đợc p = 1,14 rad/s (từ kết quả thí dụ 2, ta có p1= 1,17 rad/s) Thí dụ 5- 4 : Ngời gắn khối lợng m vào đầu mút của yếu tố đàn hồi phi tuyến (lò xo) (Hình 5- 1 2) Tìm sự phụ thuộc giữa biên độ dao động cững bức của khối lợng và biên độ lực kích động điều hoà P = P0sin t,... sin t ]x1 dt = 0 (4) 0 2 - chu kỳ dao động Sau khi lấy tích 3 phân ta đợc sự phụ thuộc giữa x0 và F0: Trong đó 3 C1 x 3 + (C m 2 )x 0 P0 = 0 0 4 2 (5) Ta giải phơng trình (5) bằng đồ thị Muốn vậy ta vẽ các đồ thị của hàm số: 1 = 1 2 x0 O 1 3 C1x 3 0 4 1 2 2,27 3 4 Hình 5- 1 3 2 = P0 (C m )x 0 2 Giao điểm của hai đồ thị này cho ta nghiệm phơng trình (5) Theo hình vẽ (Hình 5- 1 3) nghiệm của phơng trình: . nghĩa là f(q) = q 3 ; ta có: Theo ( 5- 2 7): p = 0,845a Theo ( 5- 1 7); ( 5- 2 2): p = 0,866a Theo ( 5- 7 ): p = 0,847a Hình 5- 7 Hình 5- 8 a O q f( q ) f * ( q ) f( q ) r( q ) f( q ). vận tải, động lực học máy, vô tuyến điện, động lực học nền móng v.v phải đợc giải thích bằng dao động phi tuyến. Lý thuyết dao động phi tuyến phản ánh tính chất của chuyển động dao động đầy. + + 1 2 3 5 21 2 5 a a dq)q)(q(f )aa( p Ta đa ra biến số: và nửa khoảng dao động: += qq 1 2 aa a 21 + = , ta có công thức của p 2 : = a a dqq).q(f )a( p 1 3 11 5 2 2 5 ( 5- 2 8) 5. 2. Dao động