Lý thuyết dao động - Chương 2 pdf

Chơng II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do Đ.2.1. Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 2.1.1. Hệ nhiều bậc tự do. Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, nh: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất cả các điểm của nó, những hệ đàn hồi nh thế có vô số bậc tự do. Tuy nhiên, trong nhiều trờng hợp việc nghiên cứu dao động ở các hệ phức tạp vô số bậc tự do gặp nhiều khó khăn về toán học. Việc tính toán thực tế kỹ thuật phải đa vào các sơ đồ đơn giản để tính toán hệ dao động. Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách đợc sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối lợng và độ cứng phân bố khác đi, nhng gần hệ đã cho ở chỗ: Giá trị tính toán không khác mấy giá trị thực. Hệ này đợc gọi là hệ thu gọn (hay hệ tơng đơng). Phơng pháp này cho phép ta thay các hệ vô số bậc tự do bằng hệ hữu hạn bậc tự do tơng đơng. m B q A Ta minh hoạ ý tởng trình bày trên bằng ví dụ đơn giản sau đây: Tải trọng m đợc treo vào điểm A cố định bằng lò xo AB (Hình 2-1). Nếu kể đến sự phân bố khối lợng của lò xo thì hệ sẽ có vô số bậc tự do. Nhng nếu khối lợng của tải trọng m vợt xa khối lợng của lò xo và yêu cầu chỉ xác định tần số dao động nhỏ nhất, ta có thể bỏ qua khối lợng lò xo và chỉ tính đến tính đàn hồi của nó. Mặt khác chỉ xét đến dịch chuyển thẳng đứng của tải trọng m thì ta hoàn toàn có thể xem hệ có một bậc tự do, vị trí của hệ dao động đợc xác định duy nhất bởi toạ độ suy rộng q. Hình 2-1 2.1.2. Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi phân chuyển động. Việc lựa chọn phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do phụ thuộc vào mô hình cơ học của hệ. Đối với các cơ hệ gồm các chất điểm, các vật rắn, các lò xo bỏ qua khối lợng, các bệ giảm chấn ma sát, ngời ta thờng dùng phơng trình Lagrăng loại II để thiết lập phơng trình dao động. Đối với các kết cấu đàn hồi, nh dao động uốn của dầm có khối lợng tập trung, , ngời ta thờng dùng phơng pháp lực, Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng phơng trình Lagrăng loại II để thiết lập phơng trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do. Xét hệ N chất điểm, có n bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động là hàm bất kỳ của thời gian P i (t) (i = n,1 ). 38 Gọi q 1 , q 2 , q n (q i , i = n,1 là các toạ độ suy rộng của hệ: i Q i P i các lực suy rộng của các lực có thế, các lực cản và các lực kích động P i (t), phơng trình Lagrăng II viết cho hệ có dạng: ) là , Q, Q i P iii i i QQQ q T q T dt d ++= ; i = n,1 (2-1) ở đây: )t(QQ; q Q; q Q i P i i i i i i = = = ; i = n,1 Xét với dao động nhỏ, ta có: )aa(qqaT jiij ji ij n j n i == == 11 2 1 )cc(qqc jiijjiij n j n i == == 11 2 1 )bb(qqb jiijjiij n j n i == == 11 2 1 Các hệ số a ij , c ij , b ij thoả mãn điều kiện xin-véc-trơ và là các hằng số. Thay các biểu thức trên vào phơng trình Lagrăng II, ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động của hệ: n,i);t(Qqcqbqa i n j jij j ij n j n j j ij 1 111 ==+ = == (2-2) Viết cụ thể hệ (2-2) ta có: =+++++++++++ =+++++++++++ =+++++++++++ )t(Qqc qcqcqb qbqbqa qaqa )t(Qqc qcqcqb qbqbqa qaqa )t(Qqc qcqcqb qbqbqa qaqa nnnnnn n nnnn n nnnn nn n n n n nn n n n n 2211 2 2 1 1 2 2 1 1 222221212 2 22 1 212 2 12 1 21 112121111 2 12 1 111 2 12 1 11 (2-2a) Hệ (2-2a) có thể viết dới dạng ma trận: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n q c 11 c 12 c 1n Q 1 q 1 2 n 1 2 1 1 2 1 q a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2n c 21 c 22 c 2n q Q 2 q q a n1 a n2 a nn b n1 b n2 b nn q c n1 c n2 c nn Q n q q = + + (2-2b) 39 Hoặc cho gọn ta biểu diễn nó dới dạng véctơ: )t(QqCqBqA =++ (2-2c) 2.1.3. Những nguyên tắc giải phơng trình dao động của hệ. Nếu những lực kích động ngoài thay đổi theo quy luật điều hoà hình sin có cùng tần số và pha thì đơn giản hơn cả là sử dụng phơng pháp trực tiếp, nghĩa là tìm chuyển động ở dạng: q i = A i sin kt. Phơng pháp này có thể áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn, khi các lực kích động thay đổi theo chu kỳ. Trong trờng hợp này, cần phân trớc các lực kích động ra các thành phần điều hoà. Phơng pháp tổng quát hơn là phân nghiệm theo các dạng riêng của dao động. Điều chủ yếu của phơng pháp này là ở chỗ: Nhờ nó mà ta nhận đợc nghiệm của bài toán với bất kỳ lực kích động đã cho. Ta trình bày một trờng hợp tìm nghiệm của phơng trình bằng phơng pháp trực tiếp. Xét dao động tự do của hệ thanh bảo toàn (không cản), khi đó phần vế phải của phơng trình (2-2a) bằng không: ) và các hệ sn,i(Q i 10 == ố )n . Phơng trình vi phân dao động của hệ đợc mô tả bằng hệ n phơng trình vi phân thờng tuyến tính thuần nh ,j,i(b ij 10 == ất: (2-3) =+++++++ =+++++++ =+++++++ 0 0 0 2211 2 2 1 1 22221212 2 22 1 21 12121111 2 12 1 11 nnnnn n nnnn nn n n nn n n qc qcqcqa qaqa qc qcqcqa qaqa qc qcqcqa qaqa Các tích phân riêng của hệ tìm ở dạng: n,1i);ktcos(Aq ii =+= (2-4) Thay (2-4) vào (2-3) ta nhận đợc: (2-5) =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2 2 2 221 2 11 2 222 2 22221 2 2121 2 112 2 12121 2 1111 nnnnnnnnn nnn nnn A)kac( A)kac(A)kac( A)kac( A)kac(A)kac( A)kac( A)kac(A)kac( Điều kiện cần và đủ tồn tại các nghiệm )n,i(A i 1= không tầm thờng là: 0 22 22 2 11 2 22 2 2222 2 2121 2 11 2 1212 2 1111 = kac kackac kac kackac kac kackac nnnnnnnn nn nn (2-6) (2-6) gọi là phơng trình tần số. Nó là phơng trình bậc n đối với k 2 . Khi giải (2-6) ta nhận đợc n tần số riêng k 2 . Giả sử ta đợc các tần số riêng khác nhau: k 1 < k 2 < < k n , khi đó ta có: 40 (2-7) ++++++= ++++++= ++++++= )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq nnnnnnn nnn nnn 222111 2222211212 1221211111 Ta đa ra hệ số phân phối: n,j,i);kac(f A A jrsrsi sj ij ij 1 2 === (2-8) Trong đó với A ij thì chỉ số đầu (i) chỉ số tọa độ suy rộng; chỉ số thứ hai (j) chỉ tần số riêng. Khi sử dụng (2-8) ta viết nghiệm của (2-3) ở dạng: (2-9) ++++++= ++++++= ++++++= )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq )tkcos(A )tkcos(A)tkcos(Aq nnnnn222n2111n1n nnn2n22222112112 nnn2221111 Các hằng số A j và j (tất cả có 2n hằng số) đợc xác định từ các điều kiện ban đầu: và . 0i q 0i q Đ.2.2. Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do. 2.2.1. Dao động tự do không có cản. 2.2.1a. Phơng trình vi phân chuyển động Xét hệ dao động có hai bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của cơ hệ là: q 1 , q 2 . Phơng trình Lagrăng II trong trờng hợp này có dạng: 21,i; qq T q T dt d ii i = = (a) Với dao động nhỏ: ++= 2 2 22 21 12 2 1 11 2 2 1 qaqqaqaT )qcqqcqc( 2 2222112 2 111 2 2 1 ++= (b) Thay (b) vào (a) và rút gọn ta nhận đợc phơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động: (2-10) =+++ =+++ 0qcqcqaqa 0qcqcqaqa 222112 2 22 1 12 212111 2 12 1 11 41 2.2.1b. Tích phân phơng trình vi phân chuyển động, phơng trình tần số. Hệ (2-10) là hệ phơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất hệ số không đổi. Theo (2-4) ta tìm nghiệm của nó dới dạng: )ktsin(Aq);ktsin(Aq + = += 2211 (2-11) Trong đó: k là tần số vòng (riêng); A 1 , A 2 là các biên độ; là pha ban đầu. Các đại lợng này đợc xác định trong quá trình tính toán. Thay (2-11) vào (2-10) ta nhận đợc hệ hai phơng trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các biên độ A 1 và A 2 : (2-12) =+ =+ 0 0 2 22222 2 12121 2 12122 2 11111 )kac(A)kac(A )kac(A)kac(A Hệ (2-12) chứa ba ẩn số A 1 , A 2 và k. Ta bổ xung phơng trình thứ ba bằng cách sau: Nếu loại trừ nghiệm tầm thờng A 1 = A 2 = 0, để hệ (2-12) có hai nghiệm số đối với A 1 , A 2 khác không thì định thức của hệ phải bằng không. Ta có: 0 2 2222 2 1212 2 1212 2 1111 = kackac kackac Hay: (c 11 a 11 k 2 )( c 22 a 22 k 2 )( c 12 a 12 k 2 ) 2 = 0 (2-13) Phơng trình (2-13) gọi là phơng trình tần số. Rõ ràng là chỉ với các giá trị của k thoả mãn phơng trình tần số thì các giá trị A 1 , A 2 và do đó mới tồn tại các đại lợng q 1 , q 2 khác không. Phơng trình (2-13) là phơng trình trùng phơng, trong trờng hợp tổng quát có hai giá trị đối với k 2 . Điều kiện cần và đủ để hai nghiệm số với k 2 là thực và dơng là: Dạng toàn phơng của động năng, thế năng của hệ xác định dơng, nghĩa là: a 11 > 0; a 22 > 0; (a 11 a 22 a 2 12 ) > 0 c 11 > 0; c 22 > 0; (c 11 c 22 c 2 12 ) > 0 (c) Với các giá trị trên của k 2 thì q 1 , q 2 là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của hàm sin vào thời gian t. Nếu các giá trị của k 2 không thoả mãn điều kiện trên thì chuyển động của hệ không dao động. Ta xét hai trờng hợp: a). Tần số bằng nhau: k 1 = k 2 = k trong trờng hợp này các phơng trình trong hệ (2-10) độc lập nhau. Nghiệm của chúng biểu thị bằng: q 1 =A 1 sin(kt + 1 ); q 2 =A 2 sin(kt + 2 ) (2-14) Các hệ số A 1 , A 2 , 1 , 2 đợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0; q 1 (0) = q 10 , q 2 (0) = q 20 ; . 20210 1 00 == q)(q;q)(q Vậy, khi tần số nh nhau hệ thực hiện dao động điều hoà, các hàm q 1 , q 2 thay đổi theo quy luật hình sin độc lập nhau. 42 b). Tần số khác nhau: Giả sử k 1 < k 2 , trong đó k 1 gọi là tần số cơ bản. Các dao động ứng với các tần số k 1 , k 2 gọi là các dao động chính của hệ. Phơng trình dao động chính thứ nhất (dao động cơ bản) có dạng: (2-15) )tksin(Aq);tksin(Aq )()( 1121 1 21111 1 1 +=+= Phơng trình dao động chính thứ hai có dạng: (2-16) )tksin(Aq);tksin(Aq )()( 2222 2 22212 2 1 +=+= Tích phân tổng quát của hệ (2-10) đợc biểu thị bằng: (2-17) +++=+= +++=+= )tksin(A)tksin(Aqqq )tksin(A)tksin(Aqqq 22221121 )2( 2 )1( 22 22121111 )2( 1 )1( 11 Khi chú ý tới (2-8), trong trờng hợp khảo sát ta có: = === = === 2 22222 2 21212 2 21212 2 21111 12 22 2 1 2 2 22 2 12222 2 11212 2 21212 2 11111 11 21 1 1 1 2 21 kac kac kac kac A A q q kac kac kac kac A A q q )( )( )( )( (2-18) Nghiệm tổng quát của phơng trình (2-10) khi tính đến hệ số phân phối có dạng: (2-19) +++= +++= )tksin(A)tksin(Aq )tksin(A)tksin(Aq 22222112112 2221111 Các hằng số A 1 , A 2 , 1 , 2 đợc xác định từ điều kiện ban đầu t = 0: q 1 (0) = q 10 ; q 2 (0) = q 20 ; . 20210 1 00 == q)(q;q)(q Vậy, khi tần số khác nhau, dao động nhỏ tự do của hệ hai bậc tự do đợc tạo thành từ tổng hai dao động điều hoà chính với tần số k 1 , k 2 . 2.2.1c. Các toạ độ chính. Để biểu thị đơn giản hệ phơng trình vi phân (2-10) và nghiệm của nó (2-19) ngời ta đa vào khái niệm các toạ độ chính. Các toạ độ suy rộng 1 , 2 đợc chọn đặc biệt sao cho biểu thức động năng T của hệ chỉ chứa tổng bình phơng của các vận tốc suy rộng còn biểu thức thế năng của hệ chỉ chứa tổng bình phơng của các toạ độ suy rộng i (i = 1, 2) thì các toạ độ suy rộng 1 , 2 đợc gọi là các toạ độ chính của hệ. Với các toạ độ chính, thì các ma trận khối lợngvà các ma trận độ cứng từ hệ phơng trình vi phân dao động đều có dạng đờng chéo. ),i( i 21= Theo định nghĩa trên, ta có: Động năng, thế năng của hệ biểu thị bằng: ( 2 22 2 11 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 += += cc;aaT ) (2-20) 43 ở đây: a 1 , a 2 là các hệ số quán tính; c 1 , c 2 là các hệ số tựa đàn hồi. Phơng trình vi phân dao động tuyến tính của hệ hai bậc tự do có dạng: =+ =+ 0 0 22 2 2 11 1 1 ca ca (2-21) Biến số trong các phơng trình này độc lập, nên có thể thực hiện tích phân từng phơng trình. NTQ của (2-21) có dạng: 1 = B 1 sin(k 1 t+ 1 ); 2 = B 2 sin(k 2 t+ 2 ) (2-22) Trong đó: 1 1 1 a c k = , 2 2 2 a c k = là các tần số của các dao động chính (tần số riêng) của hệ. Các hằng số B 1 , B 2 , 1 , 2 đợc xác định từ các điều kiện ban đầu đã biết. Vậy, khi viết theo toạ độ chính, phơng trình vi phân dao động của hệ đa về hệ hai phơng trình độc lập giống nh trong trờng hợp tần số bằng nhau. Thí dụ 2.1: Cho mô hình của hệ nh hình vẽ (Hình 2-2). Hệ chuyển dịch không ma sát theo hớng ngang. Xác định chuyển động dao động của hệ, giả thiết rằng tại thời điểm ban đầu tải trọng m 2 nhận đợc vận tốc tức thời 0 V hớng về bên phải. Tính tần số dao động chính và các hệ số phân phối trong trờng hợp m 1 = m 2 = m, C 1 = C 2 = C. C 1 m 1 q 1 m 2 C 2 q 2 q Hình 2-2 Bài giải: Hệ có hai bậc tự do. Chọn q 1 , q 2 là các toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ. Trong quá trình dao động, các lò xo chịu các lực đàn hồi là: F 1 = C 1 q 1 , F 2 = C 2 (q 2 q 1 ). Thế năng và động năng của hệ bằng: 2 2 2 2 1 1 2 122 2 11 2 1 2 1 22 += += qmqmT; )qq(CqC (1) Thay các biểu thức trên vào phơng trình Lagrăng II: 44 2,1i; qq T q T dt d ii i = = (2) Ta nhận đợc: (3) =+ =+ 0 0 122 2 2 12211 1 1 )qq(Cqm )qq(CqCqm Ta thử thỏa mãn phơng trình (3) bằng các hàm: q 1 =A 1 sin(kt + ); q 2 =A 2 sin(kt +) (4) Thay (4) vào (3), ta nhận đợc hệ: = =+ 2 22122 2 1112211 kAm)AA(C kAm)AA(CAC (5) Hệ (5) chứa ba ẩn số: Các biên độ A 1 , A 2 và tần số k. Ta có phơng trình tần số theo (2-13): 0 2 222 2 2 121 = + kmCC CkmCC Hay: 0 21 21 2 2 2 1 21 4 =+ + + mm CC k m C m CC k (6) Giải (6), tìm đợc: + + + + + = + + + + = 21 21 2 2 2 1 21 2 2 1 21 2 21 21 2 2 2 1 21 2 2 1 21 1 4 1 2 1 4 1 2 1 mm CC m C m CC m C m CC k mm CC m C m CC m C m CC k (7) NTQ có dạng: (8) +++= +++= )tksin(A)tksin(Aq )tksin(A)tksin(Aq 222211212 221211111 Từ (3), ta có: a 11 = m 1 ; a 22 = m 2 ; a 12 = 0; c 11 = C 1 + C 2 ; c 22 = C 2 ; c 12 = C 2 ; Nên các hệ số phân phối bằng: 2 2 1121 21 C kmCC + = ; 2 2 2221 22 C kmCC + = (9) Do đó có thể viết NTQ (8) dới dạng: 45 (10) +++= +++= )tksin(A)tksin(Aq )tksin(A)tksin(Aq 22222111212 2221111 Chọn gốc tính q 1 , q 2 tại vị trí cân bằng tĩnh các tải trọng (lò xo cha biến dạng). Điều kiện ban đầu t = 0, viết đợc: q 1 (0) = q 10 = 0; q 2 (0) = q 20 = 0; 0 202101 Vq)0(q;0q)0(q ==== Thay điều kiện ban đầu vào (10) và đạo hàm của nó, ta có hệ sau: =+ =+ =+ =+ 02222211121 222111 22221121 2211 VcoskAcoskA 0coskAcoskA 0sinAsinA 0sinAsinA (11) Giải (11) ta có: 1 = 2 = 0; )(k V A 22211 0 1 = ; )(k V A 21222 0 2 = (12) Khi thay (7), (12) vào (10) ta nhận đợc kết quả cuối cùng của bài toán. Trờng hợp: m 1 = m 2 = m; C 1 = C 2 = C, từ (7) và (9) ta có: = 2 53 m C k 2 1 ; + = 2 53 m C k 2 2 ; 618,1 2 51 21 = + = ; 6180 2 51 22 ,= = 2.2.2. Dao động cỡng bức không cản. 2.2.2a. Phơng trình vi phân chuyển động. Xét dao động của hệ hai bậc tự do chịu tác dụng của các lực có thế và các lực kích động điều hoà hình sin. Gọi q 1 , q 2 là các toạ độ suy rộng độc lập của hệ. Phơng trình Lagrăng II có dạng: 21,i;Q qq T q T dt d P i ii i =+ = (a) Trong trờng hợp dao động nhỏ: () 2 2222112 2 111 2 2 22 21 12 2 1 11 2 2 1 2 2 1 qcqqcqc;qaqqaqaT ++= ++= (b) Thay (b) vào (a) và giả thiết rằng: Các lực kích động điều hoà có cùng tần số p và pha ban đầu . Các lực suy rộng tơng ứng của chúng bằng: Q i P = H i sin(pt+), i = 1, 2. Khi đó ta nhận đợc hệ phơng trình vi phân dao động cỡng bức của hệ hai bậc tự do: (2-23) +=+++ +=+++ )ptsin(Hqcqcqaqa )ptsin(Hqcqcqaqa 2222121 2 22 1 21 1212111 2 12 1 11 46 2.2.2b. Tích phân phơng trình vi phân chuyển động. Nghiệm tổng quát của hệ (2-23) đợc tìm dới dạng tổng NTQ của phơng trình thuần nhất tơng ứng và một NR của nó. Ta có: ++++= ++++= 222222111212 12221111 q)tksin(C)tksin(Cq q)tksin(C)tksin(Cq (2-24) Trong đó: k 1 , k 2 là các tần số dao động chính, đợc xác định từ phơng trình tần số (2-13) 21 , 22 là các hệ số phân phối đợc xác định theo công thức (2-18). Bây giờ ta tìm NR của hệ (2-23) xác định dao động cỡng bức thuần tuý dới dạng: 21,i);ptsin(Aq iPi =+= (2-25) Từ đó có: 21 2 ,i);ptsin(pAq iPi =+= (2-26) Thay (2-25), (2-26) vào (2-23) ta nhận đợc hệ phơng trình xác định A iP ; i = 1, 2 (2-27) =+ =+ 22 2 22221 2 1212 12 2 12121 2 1111 HA)pac(A)pac( HA)pac(A)pac( PP PP Giải (2-27) nhận đợc: = = 22 1212 2 2222 2 1111 2 12121 2 11112 2 22 1212 2 2222 2 1111 2 12122 2 22221 1 )pac()pac)(pac( )pac(H)pac(H A )pac()pac)(pac( )pac(H)pac(H A P P (2-28) Thay (2-28) vào (2-25) ta đợc phơng trình xác định dạng dao động cỡng bức thuần túy của hệ. Ta có một số nhận xét sau: a). Dao động cỡng bức trong trờng hợp khảo sát là điều hoà với tần số là tần số của lực kích động. b). Biên độ dao động cỡng bức không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu và đợc xác định chỉ bằng các tính chất của hệ (khối lợng và độ cứng) và các lực tác dụng lên hệ. Để có biểu thức cuối cùng nghiệm của bài toán, các hằng số C 1 , C 2 , 1 , 2 trong NTQ đợc xác định từ các điều kiện ban đầu. 2.2.2c. Hiện tợng cộng hởng. Các dao động cỡng bức của hệ trong trờng hợp khảo sát thực hiện với biên độ biểu thị theo các biểu thức (2-28). Các mẫu số của chúng là đa thức bậc hai đối với p 2 . Mặt khác từ phơng trình tần số (2-13), ta có thể thấy: Các tần số k 1 2 , k 2 2 là nghiệm của đa thức trên. Do đó có thể biểu diễn: 47 [...]...(c11 a11p2)(c 22 a22p2) (c 12 a12p2 )2 = (a11a 22 a 122 )(p2 k 12) (p2 k 22) Các biểu thức ( 2- 2 8) trở thành: H 1 (c 22 a 22 p 2 ) H 2 (c 12 a 12 p 2 ) 2 2 2 (a 11a 22 a 12 )(p 2 k 1 )(p 2 k 2 ) H 2 (c11 a 11 p 2 ) H 1 (c 12 a 12 p 2 ) = 2 2 2 (a 11a 22 a 12 )(p 2 k 1 )(p 2 k 2 ) A 1P = A 2P ( 2- 2 9) Với p = k1 hoặc p = k2 (tần số lực kích động bằng một trong các tần số... H1sin (pt+): Các biên độ dao động cỡng bức theo ( 2- 2 9) trở thành: H1 (c 22 a 22 p 2 ) A 1p = (c11 a 11 p 2 )(c 22 a 22 p 2 ) (c 12 a 12 p 2 ) 2 H 1 (c 12 a 12 p 2 ) A = 2 p (c a p 2 )(c a p 2 ) (c a p 2 ) 2 11 11 22 22 12 12 Nếu chọn các tham số của hệ sao cho: c 22 a22p2 = 0 tức là p 2 = 49 ( 2- 3 8) c 22 thì: a 22 A1P= 0; A 2 P = H1 c 12 a 12 p 2 ( 2- 3 9) c 22 thì dao động cỡng bức ứng với... 2k a 2pa1 2 1 1 Do đó, ta có: = H1 + 22 H 2 sin(pt + ) 2 a 2 (k 2 p 2 ) 2 ( 2- 3 4) 48 Chuyển về toạ độ cũ q1, q2 ta đợc: H 1 + 21 H 2 H + H t sin pt + + 1 2 22 2 2 sin(pt + ) 2pa 1 2 a 2 (k 2 p ) q1 = q2 = 21 (H1 + 21 H 2 ) 2pa 1 (H + H ) t sin pt + + 22 1 2 222 2 sin(pt + ) 2 a 2 (k 2 p ) ( 2- 3 5) b) Khi p = k2, một cách tơng tự, ta tìm đợc: H 1 + 21 H 2 1 = a (k 2 p 2. .. A 0 = 2 h c c c13 (c 22 J c 2 ) A 1 = 23 12 2 h c c + c14 (c 22 J c 2 ) A 2 = 24 12 2 B 0 = 0 h c13 c 12 c 23 (c11 m 2 ) B 1 = 2 2 B 1 = h c14 c 12 + c 24 (c11 m ) 2 ( 2- 4 8) Với: = (c11 m 2) (c 22 JC2) c 122 Phơng trình xác định dao động cỡng bức của Ô-tô có dạng: [ ] [ ] h 1 1 2 2 y C = 2 1 + c 23 c 12 c13 (c 22 J C ) cos t + c 24 c 12 + c14... ; i = 1, 2; q1 = yC; q2 = i i Ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động của Ô-tô: h m y C + c11 y C + c 12 = 2 (c11 c13 cos t + c14 s in t ) h J C + c 21 y C + c 22 = (c 21 c 23 cos t + c 24 s in t ) 2 ( 2- 4 3) 52 Trong đó: c11 = C1+ C2 ; c21 = c 12; c 12 = C2b C1a; c 22 = C2(a2+b2) 2l 2l c13 = C1 + C2cos ; c23 = C1a + C2bcos L L ( 2- 4 4) 2l 2l c14 = C2sin ; c24 = C2bsin L... c 12 = C 2 ; c 22 = C 2 2 Từ đó có phơng trình tần số: (C1 + C2 J1k2)(C2 J2k2) C 22 = 0 Thay C1 = C2 = C; J1 = J2 = J, ta có: k4 3 C 2 C2 k 2 =0 J J (3 5 )C k 1 = = 0, 62 2J Giải ra, ta đợc: (3 + 5 )C = 1, 62 k 2 = 2J C = 124 rad / s J C = 324 rad / s J Các hệ số phân phối bằng: 3 5 C 2C J 2 J = 2 3 5 = 1 + 5 = 1, 62 21 = 2 2 C 3+ 5 C 2C J 2 J = 2 3 + 5 = 1 5 = 0, 62 22 = C 2 2 Khi... rộng là q1, q2 ta có: 2 2 1 1 2 m 1 q 1 + m 2 q 2 ; = c 1 q 1 + c 2 (q 2 q 1 ) 2 T= 2 2 [ ] Và: a11= m1; a 12 = 0; a 22 = m2 c11 = C1+ C2; c 12 = C2; c 22 = C2 Phơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động có dạng: m 1 q 1 + (C 1 + C 2 )q 1 C 2 q 2 = H 1 sin(pt + ) m q C q + C q = 0 2 1 2 2 2 2 ( 2- 4 0) 50 Biểu thị q i = A iP sin(pt + ); i = 1, 2 ; còn AiP xác định theo ( 2- 3 8) Nếu chọn... = H 1 + 22 H 2 sin( pt + ) 2 2 a2 ( 2- 3 2) Hệ ( 2- 3 2) có thể tích phân độc lập Ta xét các trờng hợp sau đây: a) Khi p = k1: Ta tìm NR ứng với dao động cỡng bức thuần tuý ở dạng: 1 = C1tcos(pt+); 2 = C2sin(pt+) ( 2- 3 3) Thay ( 2- 3 3) vào ( 2- 3 2) ta nhận đợc hệ phơng trình xác định C1, C2 và nhận đợc: C1 = H 1 + 21 H 2 H + H ; C 2 = 1 2 22 2 2 2k 1 a 1 a 2 (k 2 p ) H1 + 21 H 2 H + 21 H 2 t cos(pt +... x1 x2 L P2 =1 1.L M1 2/ 3L L 2/ 3L P1 =1 1.L M2 1.L Hình 2- 1 0 Gọi dịch chuyển của tải trọng theo các hớng là x1, x2 ta có theo ( 2- 5 8a) x 1 = m x 1 11 m 2 x 2 12 x 2 = m x 1 21 m 2 x 2 22 => a11 = m11; a 12 = m 12; a 22 = m 22; c11 = 1; c 12 = 0; c 22 = 1 Nếu lấy nghiệm riêng: xi = Aisin (kt +); i = 1, 2 Sau khi thay vào phơng trình ta nhận đợc: x 1 = mk 2 x 111 + mk 2 x 2 12 x 2 = mk 2 x 1 21 ... có dạng: c 22 m + c11 J C c11c 22 c 21 2 k k + =0 mJ C mJ C 4 Từ đó: k 2 1, 2 = 2 ( 2- 4 5) 2 c 22 m + c11 J C (c 22 m + c11 J C ) 2 4mJ C (c11c 22 c 12 ) ( 2- 4 6) 2mJ C NR của hệ ( 2- 4 3) tìm ở dạng: y C = A 0 + A 1 cos t + A 2 sin t = B 0 + B1 cos t + B 2 sin t ( 2- 4 7) Thay ( 2- 4 7) vào ( 2- 4 3) và thực hiện đồng nhất ta nhận đợc các phơng trình đại số tuyến tính đối với A0, A1, A2, B0, B1, B2 Giải phơng . +++=+= +++=+= )tksin(A)tksin(Aqqq )tksin(A)tksin(Aqqq 22 221 121 )2( 2 )1( 22 22 121 111 )2( 1 )1( 11 Khi chú ý tới ( 2- 8 ), trong trờng hợp khảo sát ta có: = === = === 2 222 22 2 21 2 12 2 21 2 12 2 21 111 12 22 2 1 2 2 22 2 122 22 2 1 121 2 2 2 121 2 2 11111 11 21 1 1 1 2 21 kac kac kac kac A A q q kac kac kac kac A A q q )( )( )( )( . = = 22 121 2 2 222 2 2 1111 2 121 21 2 111 12 2 22 121 2 2 222 2 2 1111 2 121 22 2 22 221 1 )pac()pac)(pac( )pac(H)pac(H A )pac()pac)(pac( )pac(H)pac(H A P P ( 2- 2 8) Thay ( 2- 2 8) vào ( 2- 2 5) ta đợc. )ptsin( )pk(a )HH( ptsint pa )HH( q )ptsin( )pk(a HH ptsint pa HH q + + + + + = + + + + + = 22 22 22 2 122 1 22 1 121 2 22 22 222 1 1 22 11 1 22 22 ( 2- 3 5) b). Khi p = k 2 , một cách tơng tự, ta tìm đợc: + + = + + = ) 2 ptsin(t pa2 HH )ptsin( )pk(a HH 2 222 1 2 22 11 22 11 1