Lý thuyết dao động - Chương 4 pps

Chơng IV Va chạm dọc của vật rắn vo thanh đn hồi v áp dụng lý thuyết va chạm vo bi toán đóng cọc Nội dung chơng này sẽ trình bày: Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi và ứng dụng của chúng để nghiên cứu các bài toán va chạm của búa vào cọc. Đ.4.1. Một vi bi toán về va chạm dọc của vật rắn vo thanh đn hồi. 4.1.1. Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do. Bài toán này đã đợc Xanhvơnăng giải bằng phơng pháp Butxinet và nghiệm tìm đợc dới dạng hàm liên tục từng khúc đối với một vài khoảng giá trị của biến số. Sau đó E.A.Nhicôlai đã tìm đợc biểu thức giải tích của nghiệm đối với khoảng tuỳ ý liên tục của biến số. x O V 0 Hình 4-1 Phơng trình vi phân chuyển động của thanh là: 2 2 2 2 2 x U a t U = (4-1) Xét điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán. Giả sử thời điểm t = 0 trùng với thời điểm bắt đầu va chạm của vật rắn và thanh, khi đó ta có điều kiện ban đầu sau: U(0,t) = 0; với a < x < L 00 = )t,(U t (4-2) với x = L (4-3) 0 0 V)t,(U t = Trong đó: L là chiều dài của thanh; V 0 là vận tốc ban đầu của vật thể va chạm. Điều kiện cuối ta coi rằng ở thời điểm ban đầu vận tốc của đầu thanh trùng với vận tốc của vật va chạm. ở tại đầu tự do (x = L) của thanh. Lực quán tính của vật thể va chạm có dạng: 2 2 t U g Q x U EF = (4-4) 79 Trong đó: Q - trọng lợng của vật thể va chạm; F - diện tích tiết diện ngang của thanh. Ta ký hiệu tỷ số giữa trọng lợng của vật thể va chạm Q và trọng lợng của thanh Q 1 = FL qua m, do đó Q = mQ 1 . Hệ thức trên đợc viết: x )L,t(U a t )L,t(U mL = 2 2 2 (4-5) Điều kiện biên ở đầu tự do kia của thanh có dạng: 0 0 = x ),t(U (4-6) Nghiệm của (4-1) theo Đa-lăm-be có dạng: U = (at x) + (at + x) (4-7) Khi đạo hàm hệ thức trên theo thời gian và toạ độ ta có: t U = a[(at x) + (at + x)] (a) x U = (at x) + (at + x) (b) Với x = 0 theo điều kiện biên ta có: 0)at()at( x )0,t(U = + = (c) Hay: )at()at( = Do đó: )xat()xat( = Khi tích phân đẳng thức ta có: (at x) = (at x) Đẳng thức (4-7) có thể viết: U = (at x) + (at + x) Với t = 0 ta sẽ có: [] 0 0 = + = )x()x(a t )x,(U Hay là: 0)x()x( = + (d) Mặt khác từ đẳng thức (b) ta có: 0)x()x( = + Suy ra 0)x( = , với 0 < x < L, hay nói cách khác nếu thay biến số x bằng biến số mới z ta có: 0)x( = 0 = )z( Với L < z < L 80 Tích phân hệ thức (d) và loại bỏ các hằng số ta có: (x) (x) = 0 Theo điều kiện đầu: U( 0,x) = (x) + (x) = 0 Từ đó suy ra: 0 = = )x()x( với 0 < x < L Do đó: Với: L < z < L (e) 0= )z( Khi sử dụng điều kiện (4-6) ta sẽ có: [ ] [ ] )Lat()Lat(a)Lat()Lat(mLa + + =+ + 22 Để đơn giản ta đặt z = at + L, phơng trình trên đợc viết: )Lz( mL )Lz()z( mL )z( 2 1 2 1 + = + (4-8) Nghiệm tổng quát của phơng trình có dạng: + += dz)Lz( mL )Lz(eeCe)z( mL z mL z mL z 2 1 2 (4-9) Với L < z < 3L Nhờ điều kiện ban đầu ta sẽ có: mL Lz 0 e a V )z( = Tích phân ta có: 1 0 Ce a mLV )z( mL Lz += Dựa vào tính liên tục của hàm U (t, L) và điều kiện ban đầu ta có: U (t 0 , L) = (L + 0) = 0 do đó: a mLV C 0 1 = Vậy: = mL Lz e a mLV )z( 1 0 Hay là: =+= mL Lz e a mLV )xat(U 1 0 Với 3L < z < 5L, lý giải tơng tự nh trên ta có: mL L3z 0 mL z e)L3z( maL V2 Ce)z( = 81 Dựa vào tính liên tục của vận tốc tại x = L, có thể xác định đợc hằng số C: = mm ee a V C 31 0 Do đó: mL Lz mL Lz e)Lz( mLa V e a V )z( 3 00 3 2 1 += Tại tiết diện (x = L) biến dạng tơng đối sẽ là: )Lat()Lat( x U + + = Khi at < 2L ta có: 0 0 <= mL at e a V x U Nghĩa là với at < 2L thì vật thể va chạm và thanh còn tiếp xúc với nhau. Nếu at > 2L ta có: += mL Lat mL at mL Lat e)Lat( mLa V e a V e a V x U 2 00 2 0 2 2 1 Khi thay at = 2L + 0 ta có: 02 02 2 0 > =+ + = + m e a V )Lat()Lat( x )t,L(U Điều đó có nghĩa là ở thời điểm a L t 2 = thanh tách rời khỏi vật, hiện tợng va chạm kết thúc với a L t 2 = . 4.1.2. Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt. Bài toán này đã đợc một số tác giả quan tâm nh: S.P.Timôsenkô; N.A.Kintrepski; E.A Nhikôlai; V.L.Biderman O V 0 x Hình 4-2 Phơng trình vi phân chuyển động của thanh là: 2 2 2 2 2 x U a t U = (4-1) 82 Điều kiện đầu của bài toán: == <<= = LxvớiV t ),x(U Lxvới t ),x(U ;),x(U 0 0 00 0 00 Điều kiện biên của bài toán: ở tại đầu thanh gắn chặt U(0,t) = 0 Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x = L ta có: Lx Lx t U g Q x U EF = = = 2 2 (4-4) Tơng tự dùng các ký hiệu ở 4.1.1, điều kiện biên tại đầu tự do có dạng: x )L,t(U a t )L,t(U mL = 2 2 2 (4-5) Nghiệm tổng quát của phơng trình (4-1) có dạng: U = (at x) + (at + x) (4-7) Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định các hàm và . Từ điều kiện tại đầu (x = 0) gắn chặt ta có: (at) + (at) = 0 Do đó: (at +x) = (at + x ) Vậy: U (x,t) = (at x) (at + x) (4-10) Bây giờ trên cơ sở, điều kiện đầu và điều kiện tại đầu tự do ta sẽ tìm đợc dạng giải tích của hàm và xác định dạng sóng. Từ điều kiện đầu ta có: <<=+ = <<=+ = <<=+= = = = )Lx()x(a)x(a t U )Lx()x()x( x U )Lx()x()x()x(U t t ot 00 00 00 0 0 (4-11) Từ hai đẳng thức cuối ta có: 0)x(;0)x( = + = ( 0 < x < L ) Nếu thay biến x bằng biến z ta có: 83 ( -L < z < L) (4-12) 0)z( = Do đó trên đoạn ( L; L) thì (z) = const. Với điều đó các hệ thức của (4-11) thoả mãn, ta lấy hằng số này bằng không. Bây giờ xét điều kiện (4-5), sau khi thay (4-10) vào điều kiện này ta có: [] [ ] )Lat()Lat()Lat()Lat(mL + + = + Đặt (at + L) = z Phơng trình trên đợc viết: )Lz( mL )Lz()z( mL )z( 2 1 2 1 = + (4-13) Các phơng trình (4-12), (4-13) cho phép xây dựng hàm cha biết (z) đợc liên hệ với các giá trị của chúng trong hai khoảng liên tiếp. Nếu các giá trị của trên khoảng (2n-1)L < z < (2n+1)L đợc biết thì các giá trị của hàm số đó đợc xác định trong khoảng (2n+1)L < z < (2n+3)L. )z( Thực tế nếu hàm đợc biết trong khoảng 2(n-1)L < z < 2nL thì vế phải của phơng trình đợc biết trong khoảng 2nL < z < 2(n+1)L. )z( Tích phân (4-13) ta có: += dz)Lz( mL )Lz(eeeC)z( mL z mL z mL z n 2 1 2 (4-14) Trong đó: C n - hằng số tích phân, Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm khi chuyển từ một tích phân đến một tích phân sau. Điều kiện (4-12) xác định trong khoảng (-L; L). )z( )z( Nếu sử dụng (4-14) ta sẽ tìm đợc )z( ở trong khoảng (L; 3L). Trong khoảng này vế phải của (4-13) bằng không. Từ đẳng thức (4-14) ta có: mL z eC)z( = 1 (L < z < 3L) Để xác định hằng số C 1 ta sử dụng điều kiện (4-3) ta có: [] 0 00 V)L()L(a = + + Trên cơ sở công thức (4-12) số hạng thứ nhất ở trong ngoặc bằng không, từ đó ta có: m eC a V )L( 1 1 0 0 ==+ (4-15) 84 Do đó: mL Lz 0 e a V )z( = (L < z < 3L) (4-16) Bây giờ có thể xác định hàm )z( trong khoảng (3L, 5L). ở đây mL Lz 0 e a V )L2z( = , thay vào phơng trình (4-13) ta có: mL Lz e a V mL )z( mL )z( 3 0 21 = + Nghiệm tổng quát của phơng trình này có dạng: mL Lz mL z e)Lz( a V . mL eC)z( 3 0 2 3 2 = (3L < z < 5L) (4-17) Hằng số C 2 đợc xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (x = L) trong thời gian va chạm. Nh vậy có thể tìm đợc các hằng số C n với cách làm tiếp tục về sau của hàm , ta sẽ nhận đợc dạng tổng quát điều kiện liên tục của vận tốc ở đầu tự do của thanh )z( Lx t U = . Các điều kiện này cho phép xác định bằng số C n . Trên cơ sở công thức (4-10) ta sẽ có: )Lat()Lat( t U a 1 Lx + = = (4-18) Thay: 0 2 = a nL t vào (4-18) ta có: [][ 012012 1 0 2 + = = = L)n(L)n( t U a a nL t Lx ] (4-19) Thay: 0 2 += a nL t vào (4-18) ta có: ]0L)1n2[(]0L)1n2[( t U a 1 0 a nL2 t Lx ++ + = += = (4-20) Dựa vào tính chất liên tục của vận tốc ở đầu tự do của thanh có đẳng thức sau: ]L)n[(]L)n[(]L)n[(]L)n[( 012012012012 ++ + = + Suy ra: ]L)n[(]L)n[(]L)n[(]L)n[( 012012012012 + + = + + (4-21) 85 Đẳng thức (4-21) xác định tính chất của hàm số )z( , nếu )z( liên tục gián đoạn loại 1 với z = (2n-1)L, thì các bớc nhảy có giá trị giống nhau. Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này thực tế tồn tại và tìm đợc giá trị chung của bớc nhẩy )z( với z = (2n 1)L. Khi quay lại kết quả (4-15) xuất phát từ điều kiện đầu (4-3) ta có: a V )L( 0 0 =+ (4-22) Mặt khác từ (4-12) ta có: 00 = )L( (4-22a) Bây giờ ta có khả năng tìm giá trị chung bớc nhẩy của hàm )z( với z = (2n-1)L. [][] a V L)n(L)n()L()L( 0 01201200 = + = + (4-23) Điều kiện (4-5) cho phép xác định liên tiếp các hằng số C n ở đẳng thức (4-14). Sau khi thay z = 3L 0 vào đẳng thức (4-16) và z = 3L + 0 vào đẳng thức (4-17) và dùng điều kiện (4-23) ta có: mm e a V a V eC 2 00 3 2 += Rút ra: += mm ee a V C 13 0 2 Thay vào đẳng thức (4-17) ta có: mL Lz mL Lz e)Lz( mLa V e a V )z( 3 00 3 2 1 += (4-24) Sau khi xác định trong khoảng (3L; 5L) và sử dụng đẳng thức (4-5) và (4-23) ta sẽ tìm đợc hàm trong khoảng (5L; 7L). Đối với điều kiện đó ta sẽ xác định đợc biểu thức dới dấu vi phân trong đẳng thức (4-14): )z( )z( mL Lz mL Lz mL Lz e)Lz( aLm V ee mLa V )Lz( mL )Lz( 5 22 0 53 0 5 4 2 2 2 1 2 + += Khi dùng (4-14) ta có: mL Lz mL Lz mL Lz mL z e)Lz( aLm V ee)Lz( mLa V eC)z( 5 22 0 53 0 3 5 2 25 + += (4-25) Với 5L < z < 7L Để xác định hằng số C 3 ta lại lần nữa chú ý đến đẳng thức (4-23) và đẳng thức )z( trên khoảng (3L; 5L). 86 Khi thay z = 5L - 0 vào biểu thức (4-24) và z = 5L + 0 vào (4-25) ta có: a V e ma V e a V eC mmm 0 2 0 4 0 5 3 4 1 = Từ đó suy ra: + += mmm ee m e a V C 531 0 3 4 1 Bây giờ ta sẽ có đợc biểu thức )z( ở trong khoảng (5L; 7L). mL Lz mL Lz mL Lz e)Lz( Lm )Lz( mLa V e)Lz( mLa V e a V )z( 5 2 22 0 3 00 5 2 5 4 1 3 2 1 ++ += (4-26) Ta xác định , từ (4-12) rút ra: )z( (-L < z < L) 1 C)z( = Ta sẽ đặt: 0 = )z( (-L < z < L) (4-27) Trên cơ sở các định lý tổng quát về va chạm của vật rắn có thể kết luận: Dịch chuyển tại đầu tự do của thanh U x = L cần là hàm số liên tục của thời gian. Ta có: )z()Lz()Lat()Lat(U Lx = + = = 2 (4-28) Tiếp tục ta tìm đợc: )L()L(U t Lx 00 0 ++= += = Thỏa mãn đẳng thức: )L(U t Lx 0 0 += += = Khi chú ý điều kiện liên tục U x=L và các điều kiện đầu (4-2) ta có: 00 = + )L( Bây giờ ta đặt: 0 2 = a L t , khi đó )L()L()L(U a L t Lx 03030 0 2 == = = (4-29) Nh vậy khi chú ý đến biểu biểu thức (4-27): )L()L()L(U a L t Lx 03030 0 2 +=++= += = Từ điều kiện liên tục rút ra: (3L 0) = (3L + 0) (4-30) Rõ ràng có thể có đợc đối với các giá trị bất kỳ t = 0 2 a nL (n = 0, 1, 2 ) nằm trong khoảng thời gian va chạm. 87 Ta sẽ giới hạn các sự phụ thuộc tìm đợc (4-27) (4-30) để xác định (z) trong khoảng (L; 3L) và (3L; 5L). Việc xác định (z) trong các khoảng tiếp theo đợc thực hiện tơng tự nh xác định (z) ở trong hai khoảng đã chỉ ra ở trên. Trên cơ sở công thức (4-16) và (4-24) ta có: mL Lz e a mLV C)z( = 0 2 L < z < 3L (4-31) mL Lz mL Lz mL Lz e)Lz( a V e a mLV e a mLV C)z( 3 0 3 00 3 3 2 ++= (4-32) Với 3L < z < 5L Từ điều kiện (4-27) và (4-31) ta có a mLV C 0 2 = , và từ điều kiện (4-30); (4-32) ta có: a mLV e a mLV Ce a mLV C mm 0 2 0 3 2 0 2 += Từ đó suy ra C 3 = 0. Nh vậy: = mL Lz e a mLV )z( 1 0 L < z < 3L (4-33) mL Lz mL Lz mL Lz e)Lz( a V e a mLV e a mLV )z( 3 0 3 00 3 2 ++= (4-34) Với 3L < z < 5L Tơng tự với đẳng thức (4-33) và (4-34) ta có: mL Lz mL Lz mL Lz e)Lz( Lm a mLV e)Lz( mLa mLV e a mLV )z( 5 2 22 0 3 00 5 2 1 3 2 11 + ++ = (4-35) Với 5L < z < 7L Nếu xét cấu trúc của hàm và (z) trên các khoảng khác nhau, ta có thể nhận xét: Sự chuyển từ khoảng nào đó đến khoảng tiếp sau sẽ kèm theo sự xuất hiện ở thành phần hàm số và tơng ứng hàm số (z) số hạng mới nào đó với sự bảo toàn các số hạng trớc. Việc nghiên cứu chi tiết này cho phép E.A.Nhicôlai xây dựng đợc biểu thức giải tích hàm số thuận tiện đối với khoảng tùy ý của sự thay đổi biến số của hàm số. )z( )z( )z( Sau khi xác định hàm số (z) có thể hoàn toàn nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng và vận tốc của thanh. Sau khi sử dụng đẳng thức (4-10) ta sẽ theo dõi dịch chuyển sau của các chất điểm của thanh sinh ra sau thời điểm va chạm. 88 [...]... ( 4- 4 a) và ( 4- 7 ) ta có: P(t ) U = (at ) + (at ) = EF x (at ) = (at ) + Hay: P(t ) EF P(t ) (at ) = (at ) + EFa Suy ra: (c) Thay (a) và (c) vào ( 4- 4 2) ta có: P(t ) + Đặt: C Ca P(t ) + P(t ) = 2Ca 2 (at ) M EF ( 4- 4 3) C Ca 2 = 2n; = 1 + n 2 M EF Trong đó: C C.a = M 2.EF 2 2 1 Vậy ( 4- 4 3) có thể viết lại là: 92 2 P (t ) + 2 n P(t ) + (1 + 2n 2 )P(t ) = 2Ca 2 (at ) ( 4- 4 4) Phơng trình ( 4- 4 4) ... EFa (c) Thay (a), (b) và (c) vào ( 4- 4 2) ta có: P(t ) + Đặt: Ca C P(t ) + P(t ) = 2Ca 2 (at ) EF M ( 4- 4 3) Ca C 2 = 2n ; = 1 + n 2 EF M 2 Trong đó: 1 = C C.a M 2.EF 2 Vậy ( 4- 4 3) có thể viết lại là: 2 P( t ) + 2n P( t ) + (1 + n 2 )P( t ) = 2Ca 2 (at ) ( 4- 4 4) 98 Phơng trình ( 4- 4 4) chính là phơng trình vi phân xác định lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc 4. 2.2.3 Xác định lực nén của đệm đàn... ) = C 2 e nt sin 1 t = Từ ( 4- 4 a) và ( 4- 7 ) ta có: CV nt e sin 1 t 1 P (t ) U = (at ) + (at ) = 0 x EF Trong khoảng thời gian này cha xuất hiện sóng phản nên (at ) = 0 , do đó: (at ) = P0 (t ) EF Vậy sóng thuận ở miền 1, 2 trong cọc là: 99 ( 4- 4 6) (at x) = 1 x P0 (t ) EF a ( 4- 4 7) Để xác định sóng phản ở đáy cọc (x = L) ta sử dụng điều kiện biên ( 4- 6 b) Từ ( 4- 7 ) và ( 4- 6 b) ta có: U = a[(at L ) +... P1 t a EF ( 4- 5 1a) 4. 2.2.3 Xác định ứng suất trong cọc ở miền 1, 2 và 3 Theo định luật Hooke ta có công thức xác định ứng suất nh sau: = E U x Trong đó: là ứng suất trong cọc Từ ( 4- 4 7) ta có ứng suất trong cọc ở miền 1 là: 1 x 1 = P0 t F a Từ ( 4- 4 7) và ( 4- 4 8a) ta có ứng suất trong cọc ở miền 2 là: 2 = 1 x x 2L P0 t a + P0 t + a F Từ ( 4- 4 8a) và ( 4- 5 1a) ta có ứng suất... ( 4- 5 1) 4. 2.1 .4 Xác địmh ứng suất trong cọc ở miền 1, 2 và 3 Theo định luật Hooke ta có công thức xác định ứng suất nh sau: = E U x Trong đó: là ứng suất trong cọc; E là môđun đàn hồi của vật liệu làm cọc Từ ( 4- 4 7) ta có ứng suất trong cọc ở miền 1 là: 1 = 1 x P1 t F a Từ ( 4- 4 7) và ( 4- 4 8) ta có ứng suất trong cọc ở miền 2 là: 2 = 1 x x 2L P0 t a P0 t + a F Từ ( 4- 4 8) và ( 4- 5 1)... khối lợng riêng của cọc 2 Nghiệm tổng quát của ( 4- 1 ) theo Đa-lăm-be có dạng: U( x , t ) = (at x ) + (at + x ) ( 4- 7 ) 3 Điều kiện đầu của bài toán: Ta chọn thời điểm t = 0 trùng với thời điểm bắt đầu va chạm Với t = 0 thì U=0 ; U =0 t ( 4- 2 ) 4 Điều kiện biên của bài toán: Tại đầu cọc x = 0 thì: 97 U P(t ) = x E.F ( 4- 4 a) U =0 t Tại đáy cọc x = L thì: ( 4- 6 b) 4. 2.2.2 Thiết lập phơng trình vi phân xác định... (t ) = C 2 e nt sin 1 t = Từ ( 4- 4 a) và ( 4- 7 ) ta có: C.V nt e sin 1 t 1 P (t ) U = (at ) + (at ) = 0 EF x Trong khoảng thời gian này cha xuất hiện sóng phản nên (at ) = 0 , do đó: (at ) = 93 P0 (t ) EF ( 4- 4 6) Vậy sóng thuận ở miền 1, 2 trong cọc có dạng: (at x) = 1 x P0 t EF a ( 4- 4 7) Xác định sóng phản ở đáy cọc (x = L) ta sử dụng điều kiện biên ( 4- 6 a) và ( 4- 7 ) ta có: U = (at L ) + (at... khi đó: 2L < a < 4L, nếu m < 1,7283 4L < a < 6L, nếu 1,7283 < m < 4, 1511 6L < a < 8L, nếu 4, 1511 < m < 7,35 ; ( 4- 4 1) Từ đó suy ra nếu tăng tỷ số trọng lợng của vật thể va chạm và trọng lợng của thanh thì thời gian va chạm sẽ tăng 90 4. 2 Một vi bi toán va chạm của búa vo cọc 4. 2.1 Va chạm của búa vào cọc tự do Sơ đồ bài toán P(t) 4L/a 2L/a 0 t 3 1 L 4 2 x L/a 3L/a 5L/a Hình 4- 3 4. 2.1.1 Thiết lập... 1 x 2L P0 t + EF a ( 4- 4 8) 2L 4L t ) a a Gọi P1 ( t ) là lực nén của đệm lên đầu cọc trong khoảng thời gian này 1 2L P0t Từ ( 4- 4 8) tại đầu cọc (x = 0) ta có: (at ) = EFa a P 0 (t ) = e nt ( nC 2 sin 1 t + C 2 1 cos 1 t ) Từ ( 4- 4 6) ta có: 2L n t 2L 2L 2L a Suy ra: P 0 t =e nC 2 sin 1 t a + C 2 1 cos 1 t a a Vậy phơng trình ( 4- 4 4) có dạng: P1 (t ) + 2n... a ) + B sin 1 (t a ) ( 4- 4 9) 2Ca 2Ca C 2 1 ; B = C2n EF EF Nghiệm tổng quát của ( 4- 4 9) có dạng: P1 (t) = e 2L n t a t 2L 2L C 3 cos1t + C 4 sin 1t + A sin1 (t a ) B cos1 (t a ) 21 ( 4- 5 0) Các hằng số C3, C4 đợc xác định dựa vào điều kiện liên tục của hàm P(t) và P(t ) tại 2L thời điểm t = a 94 Từ ( 4- 5 0) ta có: 2L 2L 2L L.B P1 = C 3 cos 1 + C 4 sin 1 a a a.1 a n . =++ 2 2 ( 4- 4 3) Đặt: 22 1 2 n M C ;n EF Ca +== Trong đó: 2 2 1 2 = EF. a.C M C Vậy ( 4- 4 3) có thể viết lại là: 92 ( 4- 4 4) )at(Ca)t(P)n()t(Pn)t(P =+++ 222 1 222 Phơng trình ( 4- 4 4) chính. Từ ( 4- 4 7) ta có ứng suất trong cọc ở miền 1 là: = a x tP F 11 1 Từ ( 4- 4 7) và ( 4- 4 8) ta có ứng suất trong cọc ở miền 2 là: + = a Lx tP a x tP F 21 002 Từ ( 4- 4 8). ( 4- 3 7) Với (2L < at < 4L) Khi so sánh vế phải của đẳng thức ( 4- 3 7) với không ta có: m e mmL at 2 2 42 ++= ( 4- 3 8) Dựa trên cơ sở của a L t a L 42 << ta có: m e mm m 8 2 44 2 <++<