Một số chuyên đề ôn toán thi Đại học

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!. Khóa học LTĐH môn Toán

Trang 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ

Ví dụ 1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính góc giữa hai véc tơ ()

AB BC b) Gọi I là trung điểm của AB Tính góc giữa hai véc tơ ()

12

Do ∆ABC đều nên CI⊥AI ⇔CI AI =0

01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

3

34

232

II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Một véc tơ u≠0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d

2) Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm:

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b Kí hiệu ( )a; b

Từ định nghĩa ta có sơ đồ a// a ( )a; b (a ; b)

a; b =0

Trang 3

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:

Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:

Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot

Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng

phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai

đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại

Ta dễ nhận thấy AD // BC

o

SDASD; BC SD; AD

SD; BC =30

b) Tính góc giữa SB và CD

o

Trang 4

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,

để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các

đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt

nhau

Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD

o

MPNAB,CD MP, NP

Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a

Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được

Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là

trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với

Trang 5

b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a →DI=a 2

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC Biết AB=2 ,a CD=2a 2,MN=a 5

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC=a 2 Tính góc giữa ()

,

SC AB , từ đó suy ra góc giữa SC và AB

III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu ( )a b; =90o←→ ⊥a b.

Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0. =

Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD trong đó = = = = o = o = o

AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 Gọi I và J lần lượt

là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD

b) Tính độ dài IJ

Hướng dẫn giải:

Trang 6

a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,

∆ACD vuông cân tại A

Từ đó BC=BD=a,CD=a 2 →∆BCD vuông cân tại B

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên

Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD

b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được

2 2

Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB=BSC=CSA

Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

SA.SC SA.SC.cos SA;SC

SA.SB SA.SB.cos SA;SB SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB

Ví dụ 3 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆∆∆∆BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa

BC và AM

AC và BM

Hướng dẫn giải:

a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng

Gọi M là trung điểm của CD Ta có

AO.CD= AM+MO CD=AM.CD+MO.CD

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay

O là giao điểm của ba đường cao) Khi đó

Trang 7

Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI AM a 3

a) Tính góc giữa các đường thẳng: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) (′ ′) (′ ′ ′ )

b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI=OA+OA′+OB+OB′+

Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:

Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a)

Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao)

a) Tính góc giữa: (AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C ′ ′) (′ ′) (′ ′ ′ )

ACB′ 60 A C , B C′ ′ ′ 60

Trang 8



Khi đó OI=OA′+OB′+OC′+OD′

Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có OA OC 2OO OI 4OO

Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a

c) Phân tích hai véc tơ AC , BD′

theo ba véc tơ a, b, c.

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có

a.b 0a.c 0b.c 0

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, SA = 2a và vuông góc với đáy Tính

góc giữa các đường thẳng sau:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là

trung điểm H của AB, biết SH =a 3. Gọi I là trung điểm của SD Tính góc giữa các đường thẳng:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu

vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc giữa

a) SB và CD

b) SB và AC

Trang 9

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm

Trang 10

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)

b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB Tính góc giữa hai đường AC và

JN

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a AD; =a 3 Hình chiếu vuông góc

của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a Tính góc giữa

a) (SB; CD)

b) (AC; SD)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S

xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với 1 ; 2

Trang 11

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm của BC Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI+2HA=0và SH =a 3

a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)

b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với 1 ; 2

d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD

e) (SC; MN), với M, N như trên

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC)

là điểm H thuộc AB sao cho 1

3

AH = AB Biết diện tích tam giác SAB bằng

2

3.2

Trang 12

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 1 Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

a) từ C đến mặt phẳng (SHD)

b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông

góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho HB=2HA Biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách

Trang 13

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

85 853

a a

Trang 14

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Dạng 2 Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (P), với H là chân đường cao

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh a 2. Biết SA = 2a và SA ⊥

(ABCD) Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBC)

b) từ A đến (SCD)

c) từ A đến (SBD)

d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM)

e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI)

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=2 ;a AD=3 a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AC Biết góc giữa mặt phẳng (SBC)

b) Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính khoảng cách từ O đến (SMN)

06 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 15

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2 ;a AD=a 3. Biết tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

a) từ A đến (SBC)

b) từ A đến (SCD)

c) từ A đến (SBD)

d) Gọi M là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB =

Trang 16

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3

Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm

Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2

Từ đó ta có điều kiện tương ứng

vn b

x a

Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2

Ta có điều kiện

( )

0

02

x a m

m

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9

+ Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9

Trang 17

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2

42

m b

x a

m

vn m

+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 6−2 6< < +m 6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m= ±6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 6 2 6

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4

Trang 18

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0

Điều đó xẩy ra khi ( )

1 2

1

.2

Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm

Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai nghiệm đều dương

Điều đó xẩy ra khi

+) Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi m< − −4 2 5

Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

y mx

theo tham số m

Trang 19

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?

a)

3

33

Trang 20

Xét các hàm số y= f x( )=ax3+bx2 + +cx d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm : ax3+bx2+ + =cx d mx+ ⇔n Ax3+Bx2+Cx+ = ⇔D 0 h x( )=0

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho

DẠNG 1 BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

TH1 : Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm x = x0

Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) chính là số nghiệm của phương trình h(x) = 0

Thông thường trong bài thi Đại học thì thường sẽ nhẩm được nghiệm của phương trình Các nghiệm thường gặp là ±1;

±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thuật nhẩm nghiệm ở đây là cô lập tham số m, cho hệ số chứa m bằng 0 Nếu ta nhẩm được một

TH 1: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi 0

Phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép khác x o hoặc phương trình

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng xo

Ta có điều kiện:

0( ) 00( ) 0

Phương trình h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép chính là x o Điều

đó tương đương với

002

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,51 MB