phân loại một số dạng tích phân đặc biệt

TÍCH PHÂNI.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1... Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:• Bước 1: Viết fxdx dưới dạng udv uv dx = ' bằng cách chọn một phần

TÍCH PHÂN

I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Bài toán: Tính ( )

b a

I = ∫ f x dx,

*Phương pháp đổi biến dạng I

Định lí Nếu 1) Hàm x u t = ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α β ; ] ,

2) Hàm hợp f u t ( ( )) được xác định trên [ α β ; ],

3) u ( ) α = a u , ( ) β = b,

thì ( ) ( ( )) ( )'

b a

*Phương pháp đổi biến dạng II

Định lí : Nếu hàm số u u x = ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ;sao cho f x dx g u x u x dx g u du ( ) = ( ( )) ( )' = ( ) thì

( )

( )

u b b

e e

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

• Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx = ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx = '( )

x x v

P x e dx

b a

b a

b x a

∫

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào

để chọn u và dv v dx = ' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nóichung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

'( ) ( )

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n

mx

+ +

+ + +

+

= + +

+

2 2

2

) 2 (

+)Ta có I= ∫β

α

dx c bx ax

B dx

c bx ax

b ax A dx

c bx ax

n

mx

+ +

+ + +

+

= + +

α

β α

Tích phân dx

c bx ax

b ax

A

+ +

+

) 2 (

β α

ε

c bx ax

c) Tính tích phân ( )

( )

b a

P x

Q x

= ∫ với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α α1, , ,2 αnthì đặt

3 1 tan

2 3

2 Tích phân các hàm l ượng giác

2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản

Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:

Giải

Ta có: 2 2

sin

1

t x

t

= + và

2

2

1 cos

1

t x

t

−

= +

x t

− +

c x b

x a

dx C

dx c x b

x a

x b x a

B dx

A

cos sin

cos sin

sin cos

Tích phân ∫ dx tính được

c x b

x a

x b x

+ +

−

cos sin

sin cos

Tích phân ∫ a sin x + dx b cos x + c tính được

+) Nếu R ( sin ,cos x x )là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R ( − sin , cos x − x ) = R ( sin ,cos x x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x,sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R ( − sin ,cos x x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = cos x

+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R ( sin , cos x − x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = sin x

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.1 Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản

Ví dụ 14 Tính tích phân:

1

dx I

1 2

0 3

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng

3

) 1

(

1

0

5 3

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tính

2 2

III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và lẻ trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó

( ) 0

a a

2

2sin4

2.Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a a ; ] Khi đó

α α

dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a a

= +

= +

α

α α

α α

dt t f a

a dt

a

t f a dx

a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

) (

+

= α

α

α α

α α

I dx x f dt

a

t f dt

t

1

) ( )

α

α α

dx x f

dx a

x f

2

1 1

) (

4 4

1

1

4

1 2

2 1

2 1

t dx

x

t t

∫ ∫ ∫

−

= +

1

2 dt x dx I

t dt

Suy ra

5

1 5

2

1 2

1

5 1

π+

∫ +

= 2

0 cos2 4sin2

2sin

x x

x I

sin

)

π

dx x

x x

x x

1

cossin

)

π

π

dx x

x x

2cos

)

π

dx x

x

x I

i

∫

=0

π

dx x x

I d

∫ +

= 4

01 cos2)

π

dx x

x I

tan)

π

π

dx x x

x I

π

dx x x I k

Bài 2.Tính các tích phân sau

2( 1)

)

x x

dx I

11

1

x x

I d

∫ +

= 31 3

)

x x

dx I

= 53

22

1 2) 1 ln(

x

x I

b

= e x dx x

x I d

1

3

.ln

1)

= 32

2 )

ln(

f

−

++

=

1

3 1)(