Chương III Cơ sở động lực học chất lỏng Đ3-1 Những khái niệm chung Động lực học chất lỏng nghiên cứu qui luật chung chuyển động chất láng Nh ®∙ biÕt, chÊt láng thùc (nhít) chun động, xuất sức masát trong, nên kết luận động lực học chất lỏng lý tưởng chất lỏng thực (nhớt) khác Động học chất lỏng nghiên cứu chuyển động chất lỏng mà không xét lực tác dụng Vì vậy, phương trình động học chung cho trường họp chất lỏng lý tưởng chất lỏng thực Ta coi môi trường chất lỏng chuyển động môi trường liên tục bao gồm vô số phân tử chất lỏng vô nhỏ chuyển động, phân tử nhỏ đặc trưng đại lượng chuyển động gọi yếu tố chuyển động là: a) áp suất thủy động học p: Trong chuyển động chất lỏng lý tưởng, áp suất thủy động hướng vào mặt chịu tác dụng hướng theo pháp tuyến mặt đó, thành phần tiếp tuyến Do đó, áp suất thủy động chất lỏng lý tưởng có tính chất áp suất thủy tĩnh Trong chuyển động chất lỏng thực, áp suất thủy động hướng vào mặt chịu tác dụng, không hướng theo pháp tuyến, tổng hợp thành phần ứng suất pháp tuyến pn thành phần ứng st tiÕp tun t tÝnh nhít g©y b) VËn tèc u cđa phÇn tư chÊt láng ta gäi lưu tốc điểm (coi phần chất lỏng chiếm vị trí vô nhỏ điểm) c) Gia tốc a phần tử chất lỏng: Những yếu tố chuyển động biến đổi liên tục theo vị trí phần tử theo thời gian, chúng hàm số liên tục tọa độ không gian x, y, z vµ thêi gian t: p = p (x, y, z, t); u = u (x, y, z, t); a = a (x, y, z, t) §3-2 Chun động không ổn định chuyển động ổn định Trong nghiên cứu chuyển động chất lỏng đưa nhiều cách phân loại nhằm sâu vào mặt chuyển động phân loại chuyển động chuyển động không ổn định chuyển động ổn định 60 http://www.ebook.edu.vn Ta gọi chuyển động không ổn định chuyển động mà yếu tố chuyển động phụ thuộc thời gian tøc lµ: u = u (x, y, z, t); p = p (x, y, z, t) v.v hoặc: ảu ¶p ¹ 0; ¹ v.v ¶t ¶t ThÝ dơ mùc níc ë bĨ chøa thay ®ỉi yếu tố chuyển động điểm môi trường chảy thay đổi theo thời gian Thí dụ mực nước H giảm dần, lưu tốc điểm A luồng nước giảm dần (hình 3-1) Hình 3-1 Ta gọi chuyển động ổn định chuyển động mà yếu tố chuyển động không biến đổi theo thời gian, tức là: u = u (z, y, z); p = p (x, y, z) v.v ¶p ¶u = 0; = v.v ¶t ¶t hc: ThÝ dơ mùc níc ch¶y bĨ chứa không đổi (hình 3-2) yếu tố chuyển động điểm môi trường chảy ®Ịu kh«ng ®ỉi theo thêi gian, thÝ dơ lu tèc điểm A luồng nước giữ không đổi Chủ yếu nghiên cứu chuyển động ổn định chất lỏng H=const Hình 3-2 Đ3-3 Quĩ đạo - đường dòng Quĩ đạo đường phần tử chất lỏng không gian Khái niệm quĩ đạo quen thuộc, thường gặp vật lý, học v.v Đường dòng đường cong thời điểm cho trước, qua phần tử chất lỏng có véctơ lưu tốc tiếp tuyến đường Có thể vẽ đường dòng môi trường chất lỏng sau: đ Tại thời ®iĨm t phÇn tư chÊt láng M cã tèc ®é u biểu thị véctơ u , thời đ điểm đó, phần tử chất lỏng M1 sát cạnh phần tử M nằm véctơ u , cã tèc ®é u1, ® cịng ë thêi ®iĨm ®ã phần tử chất lỏng M2 sát cạnh phần tử M1 nằm véctơ u có đ tốc độ u ; tiếp tục làm trên, ta có điểm M3, M4 với véctơ lưu đ đ tố: u , u Đường cong C qua điểm M1, M2, M3, M4 lấy tốc độ u1, u2, u3, u4 v v làm tiếp tuyến đường dòng thời điểm t (hình 3-3) http://www.ebook.edu.vn 61 Do vËn tèc cã thĨ thay ®ỉi ®èi với thời gian, nên khái niệm đường dòng có liên quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với thời điểm khác ta có đường dòng khác Chú ý đừng lẫn khái niệm đường dòng khái niệm quỹ đạo Do định nghĩa đường dòng ta thấy hai đường dòng giao tiếp xúc Đườ ng d òng Trong chuyển động ổn định, yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian nên đường dòng đồng thời lại quỹ đạo phần tử chất lỏng đường dòng Hình 3-3 Đ3-4 Dòng nguyên tố, dòng chảy Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy đường cong kín giới hạn diện tích vô nhỏ dw, tất đường dòng qua điểm đường cong kín tạo thành mặt có dạng mặt ống (hình 3-4a) gọi ống dòng Khối lượng chất lỏng chuyển động không gian giới hạn ống dòng gọi dòng nguyên tố Có thể hình dung dòng nguyên tố tập hợp đường dòng qua tất ®iĨm cđa diƯn tÝch dw nãi trªn dw dw w Hình 3-4 Do tính chất không giao đường dòng nên chất lỏng xuyên qua ống dòng mà vào dòng nguyên tố Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy đường cong kín giới hạn diện tích hữu hạn w bao gồm vô số diện tích dw vô nhỏ cách nói trên, tạo nên vô số dòng nguyên tố; tập hợp dòng nguyên tố gọi dòng chảy (hình 3-4b) Môi trường chất lỏng chuyển động coi môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức môi trường coi dòng chảy Sau nhiều chương, ta nghiên cứu chuyển động chất lỏng dạng dòng chảy (mẫu nghiên cứu) nên cần phải xác định u tè mµ ta gäi lµ u tè thđy lùc dòng chảy 62 http://www.ebook.edu.vn Nghiên cứu tính chất động học động lực học chất lỏng chuyển động ta cã thĨ dïng hai mÉu chun ®éng nh sau: A- Môi trường chất lỏng chuyển động coi tập hợp vô số dòng nguyên tố; nghiên cứu theo mẫu này, ta dễ dàng đến công thức tính toán cho dòng chảy có kích thước hữu hạn Đó toán thứ nguyên (còn gọi toán chiều) phương pháp thường dùng để suy công thức tính toán B- Môi trường chất lỏng chuyển động coi tập hợp vô số phần tử chất lỏng Nghiên cứu theo mẫu này, ta thường đến phương trình vi phân, khó tích phân để đến công thức tính toán cho dòng chảy thực tế, có kích thước cụ thể Đó toán ba chiều Phương pháp có ý nghĩa lớn mặt lý thuyết phương pháp nghiên cứu Ta trình bày hai phương pháp nghiên cứu, theo hai mẫu A - Môi trường chuyển động coi tập hợp vô số dòng nguyên tố Đ3-5 Những yếu tố thủy lực dòng chảy a) Mặt cắt ướt mặt ướt: Là mặt cắt thẳng góc với tất đường dòng Mặt cắt ướt mặt phẳng (thí dụ m-m, n-n) (hình 3-5) đường dòng đường thẳng song song, mặt cong (thí dụ c-c, d-d) đường dòng không song song Diện tích mặt cắt ướt dòng chảy thường ký hiệu w, diện tích mặt cắt ướt vô nhỏ dw, ta có dòng nguyên tố b) Chu vi ướt: Trong thực tế, chất lỏng thường chuyển động biên giới rắn Khi đó, chu vi mặt cắt ướt có phận thành rắn, có phận thành rắn toàn thành rắn Chu vi ướt bề dài phần tiếp xúc chất lỏng thành rắn mặt cắt ướt, chu vi ướt ký hiệu c (đọc "khi") Đường dòng Mặt cắt ướt cong Mặt cắt ướt phẳng Hình 3-5 d Hình 3-6 Theo hình 3-6a: c = AB + BC + CD Theo h×nh 3-6b: c = pd http://www.ebook.edu.vn 63 c) Bán kính thủy lực: Là tỷ số diện tích mặt cắt ướt w chu vi ít c, ký hiƯu lµ R, ω (3-1) x d) Lưu lượng: Là thể tích chất lỏng qua mặt cắt ướt đơn vị thời gian, ký hiệu Q Đơn vị lưu lượng thường m 3/s, l/s Giả thiết có diện tích phẳng dw, tốc độ u chất lỏng qua diện tích lập với pháp tuyến diƯn tÝch mét gãc a ThĨ tÝch chÊt láng dW ®i qua thêi gian dt râ rµng b»ng thĨ tích hình trụ đáy dw, dài udt tức tích số đáy dw với chiều cao udtcosa (hình 3-7): R= dW = dQ dt = udt cosa dw Gọi un hình chiếu u lên pháp tuyÕn, ta cã u n = ucosa, vËy: dQ = undw Nếu diện tích phẳng dw lại mặt cắt ướt dòng nguyên tố rõ ràng lưu tốc điểm mặt cắt ướt phải thẳng góc với mặt (theo định nghĩa mặt cắt ướt) Vậy lưu lượng nguyên tố dQ dòng nguyên tố bằng: dQ = udw (3-2) Lưu lượng toàn dòng chảy tổng số lưu lượng nguyên tố mặt cắt ướt toàn dòng: Q = ũ dQ = ò udω ω (3-3) ω un a dw H×nh 3-8 Hình 3-7 e) Lưu tốc trung bình dòng chảy mặt cắt tỷ số lưu lượng Q diện tích w mặt cắt ướt đó, ký hiệu v, đơn vị thường đo m/s, cm/s Q (3-4) Theo định nghĩa ta thay dòng chảy thực tế có phân bố véctơ lưu tốc điểm u không mặt cắt ướt dòng chảy tưởng tượng có véctơ lưu tốc song song mặt cắt ướt v cho lưu lượng qua hai dòng chảy v= 64 http://www.ebook.edu.vn Căn vào điều giải thích ta thấy rõ ràng việc thay làm mặt cắt ướt mặt phẳng, khái niệm lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v liên quan chặt chẽ đến điều kiện mặt cắt phải mặt phẳng nói cách khác, điều kiện đường dòng phải song song Trong trường hợp dòng chảy phẳng thay nói có nghĩa thay đường cong phân bố lưu tốc điểm u đường thẳng phân bố lưu tốc trung bình v cho diện tích đồ phân bố lưu tèc thùc W = ị udω b»ng diƯn tÝch ω hình chữ nhật ' = v (hình 3-8) Từ (3-3) (3-4) ta viết được: v= ũ ud (3-5) Như vậy, lưu lượng thể tích hình trụ có đáy mặt cắt ướt, có chiều cao lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v (hình 3-8) Trong nghiên cứu nhiều vấn đề thủy lực, hay dùng lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v, khái niệm quan trọng Các yếu tố thủy lực trình bày nói cho mặt cắt; chúng thay đổi từ mặt cắt sang mặt cắt khác, tức thay đổi theo chiều dòng chảy hàm số chiều chuyển động s Do đó, toán nghiên cứu theo mẫu dòng nguyên tố trở thành toán chiều Đ3-6 Phương trình liên tục dòng chảy ổn định Chất lỏng chuyển động cách liên tục, nghĩa môi trường chất lỏng chuyển động không hình thành vùng kh«ng gian trèng kh«ng, kh«ng chøa chÊt láng TÝnh chÊt liên tục biểu thị biểu thức toán học gọi phương trình liên tục Trước tiên ta xác lập phương trình liên tục dòng nguyên tố chảy ổn định Trên dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt A B có diện tích tương ứng dw1 dw2 (hình 3-9) với lưu tốc điểm tương ứng u1, u2 Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng dòng nguyên tố giới hạn hai mặt A B có vị trí thể tích dòng giới hạn mặt cắt A' B' Biết chuyển động ổn định, hình dạng dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà vào dòng nguyên tố Ta nói rằng: muốn dòng nguyên tố chỗ trống, chất lỏng không nén thể tích chất lỏng đoạn dòng nguyên tố giới hạn hai mặt cắt ướt A B phải trị số không đổi tøc lµ: thĨ tÝch khèi [A, B] = thĨ tÝch khối [A', B'] Vì thể tích khối [A', B] chung nªn ta cã: thĨ tÝch khèi [A, A'] = thÓ tÝch khèi [B, B'] ThÓ tÝch khèi [A, A'] = dw1u1dt; thÓ tÝch khèi [B, B'] = dw2u2dt VËy: u1dw1dt = u2dw2dt http://www.ebook.edu.vn 65 Do ®ã: u1dw1 = u2dw2 (3-6) Phương trình (3-6) phương trình liên tục dòng nguyên tố Theo (3-2) biểu thức (3-6) viết thành: dQ1 = dQ2 hc dQ = const (3-7) Chó ý phương trình (3-6) yếu tố lực nên cho chất lỏng lý tưởng lẫn chất lỏng thực w w Hình 3-9 Từ phương trình liên tục (3-6) dòng nguyên tố ổn định, ta suy phương trình liên tục cho dòng chảy ổn định Ta tích phân phương trình (3-6) cho toàn mặt c¾t w: ị u1dω1 = ị u2 dω2 ω1 (3-8) ω2 Theo (3-5) cã thĨ dùa vµo lu tèc trung bình mặt cắt ướt v1 v2 tương ứng với mặt cắt ướt w1 w2 : phương trình (3-8) viết thành: v1w1 = v2 w2 (3-9) Đó phương trình liên tục dòng chảy ổn định chất lỏng không nén được, cho chÊt láng lý tëng lÉn chÊt láng thùc tÕ Tõ công thức (3-4) biến đổi (3-8) thành: Q1 = Q2 hoặc: Q = const Như vậy, dòng chảy ổn định, lưu lượng qua mặt cắt b»ng Chó ý r»ng tõ (3-9) cã thĨ viÕt: v1 ω = v ω1 (3-10) tøc lµ dòng chảy ổn định, lưu tốc trung bình tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt Thí dụ 1: Nước chảy đầy qua ống tròn có đường kính d1= 20 cm, sang ống tròn khác d2 = 10 cm, với lưu lượng 30 l/s Tìm tốc độ trung bình v dòng chảy èng Lu lỵng Q = 30 l/s = 0,03 m3/s 66 http://www.ebook.edu.vn Lu tèc èng thø nhÊt: v1 = Q Q 0, 03 = = = 0, 95 m / s ω1 πd1 / 3,14 ´ 0,12 / Lu tèc èng thø hai: v2 = Q Q 0, 03 = = = 3,8 m / s ω2 πd / 3,14 ´ 0,12 / Đ3-7 Phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định w w Để suy phương trình Bécnuiy, ta áp dụng định luật động năng: "sự biến thiên động khối lượng định di động qung đường, công lực tác dụng lên khối lượng đó, qung đường đó" D Z1 Z2 D Hình 3-10 Trong dòng chảy ổn định chất lỏng lý tưởng, ta xét đoạn dòng nguyên tố giới hạn hai mặt cắt 1-1 2-2 (hình 3-10) có diện tích tương ứng dw1 dw2 Ta lấy mặt phẳng nằm ngang Ox làm mặt chuẩn; mặt cắt 1-1 có trọng tâm độ cao z1 mặt chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt p1, lưu tốc u1; mặt cắt 2-2 có trị số tương ứng z2, p2 u2 Vì mặt cắt 1-1 2-2 vô nhỏ nên giả thiết trị số u1, p1 u2, p2 không đổi điểm mặt cắt tương ứng Sau thời gian vô nhỏ Dt, phần tử chất lỏng mặt cắt ướt 1-1 đ di động qung đến vị trí 1'-1', độ dài Ds1 cđa qu∙ng ®ã b»ng: Ds1 = u1Dt Cịng thời gian Dt, phần tử chất lỏng mặt cắt 2-2, di động qung đến vị trí 2'-2', độ dài Ds2 qung bằng: Ds2 = u2Dt http://www.ebook.edu.vn 67 Lưu lượng qua mặt cắt ướt 1-1 2-2 bằng: dQ = u1dw1 = u2dw2 Không gian 1-1 2'-2' chia làm khu: a, b, c (xem h×nh 3-10) Trong thêi gian Dt, biến thiên động D(đn) đoạn dòng nguyên tố xét hiệu số động khu c khu a, động khu b không đổi: D(đn) = dQt ổ u - u1 u2 u2 γ - ρdQΔt = dQΔt ç ç 2 g è ÷ ữ ứ Ta tính đến công lực tác dụng lên khối đoạn dòng nguyên tố xét Các lực gồm trọng lực áp lực thủy động Công sinh trọng lực Ctr.1 đoạn dòng nguyên tố xét công trọng lượng khèi chÊt láng khu a di chun mét ®é cao b»ng z – z2 ®i tíi khu c, tøc lµ: Ctr.1 = gdw1Ds1(z1 – z2) = gdQDt(z1 – z2) áp lực thủy động tác dụng lên đoạn nguyên tố ®ang xÐt gåm lùc: P1 = p1 dw1, híng th¼ng góc vào mặt cắt ướt 1-1; P2 = p2 dw2, hướng thẳng góc vào mặt cắt ướt 2-2; động áp lực bên hướng thẳng góc với phương chuyển động nên không sinh công Công sinh áp lực P1 P2 bằng: Cáp = P1Ds1 - P2Ds2 = p1 dw1Ds1 - p2 dw2Ds2, = p1 dw1u1Dt - p2 dw2u2Dt = dQ(p1 - p2) Dt Theo định luật động ta viết được: D(đn) = Ctr.1 + Cáp, tøc lµ: ỉ u - u1 γ dQΔt ç ç g è ÷ = gdQΔt (z1 - z ) + dQ(p1 - p )Dt ữ ứ Chia hai vế cho gdQDt, tức viết phương trình động cho đơn vị trọng lỵng chÊt láng, ta cã: u u1 p p = z1 - z + - 2g g γ γ Tõ ®ã: z1 + 68 p1 u1 p u2 + = z2 + + γ 2g γ 2g http://www.ebook.edu.vn (3-11) V× mặt 1-1 2-2 dòng nguyên tố tùy ý chọn, nên phương trình (3-11) viết díi d¹ng: z + p γ + u2 2g = const (3-12) Phương trình (3-11), (3-12) gọi phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định Phương trình phương trình thủy lực, quan trọng Đ3-8 Phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng thực, chảy ổn định Ta đ biết chất lỏng thực có tính nhớt chuyển động sinh sức ma sát làm cản trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản chất lỏng phải tiêu hao phần biến thành nhiệt không lấy lại Vì chất lỏng thực: z + p γ + u2 2g ¹ const , mà giảm dọc theo chiều chảy Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì: z1 + p1 u1 p u2 + > z2 + + γ 2g γ 2g Ký hiÖu h'w phần lượng bị tiêu hao đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1-1 2-2 lµ: z1 + p1 u1 p u2 + = z + + + h 'w γ 2g γ 2g (3-13) Sè h¹ng h'w gäi tổn thất lượng đơn vị dòng nguyên tố, h'w gọi tổn thất cột nước dòng nguyên tố Nếu ta gọi H = z + p1 u1 + = const , th× ë mặt cắt 2-2 sau mặt cắt 2g 1, ta có: z + p γ + u2 2g + h 'w = H = const (3-13') Phương trình (3-13') dạng phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng thùc http://www.ebook.edu.vn 69 ü ¶u x + u z ω y - u y ωz ï ÷= ÷ ¶t ï ø ï ï ï ¶u y ỉ p u ¶ ý u ω u , ỗ - - - ữ = ỗ ữ ¶t + ( x z - z x ) ï ρ ø ¶y è ï ï ¶u p u ả ổ - - - ữ = z + u y ωx - u x ω y ù ỗ ữ ảt ảz ỗ ù ố ứ ỵ p u2 ả ổ ỗ - - ảx ỗ ố Đồng thời ( ( ) (3-87) ) Hệ phương trình (3-87) viết cho trường hợp lực khối lượng lực Viết dạng véctơ, hệ phương trình (3-87) trở thành: ổ p u2 grad ỗ - - ỗ ố gọi: + đ đ đ ảu + rot u u , ữ= ữ ¶t ø (3-87') p u2 + =E ρ ® đ rot u = , phương trình (3-87') viết lại thành: đ đ đ ảu + gradE + Ω Ù u = ¶t Trong trường hợp chuyển động ổn định: (3-87'') đ ảu x ¶u y ¶u z ¶u = , tøc = = =0 ảt ảt ảt ảt hệ phương trình (3-87) viết thành: 2ử ỹ ả ổ ỗ - - p - u ÷ = 2(u z ω y - u y z ), ù ảx ỗ ữ ù ứ ố ù 2ử ả ổ ỗ - - p - u ÷ = 2(u x ωz - u z x ), ù ý ảy ỗ ữ ù ố ứ 2ử ù ảổ ỗ - π - p - u ÷ = 2(u y ω x - u x y ) ù ảz ỗ ữ ù ố ứ ỵ Hệ phương trình (3-88)viết dạng véctơ trở thành: ổ p u2 grad ỗ - - ỗ ố hoặc: đ ® ® ÷ = rot u Ù u ÷ ø ® gradE + Ω Ù u = http://www.ebook.edu.vn (3-88) (3-88') (3-88'') 117 Đ3-24 Tích phân hệ thống phương trình vi phân chuyển động chất lỏng lý tưởng Ta nghiên cứu việc tích phân hệ thống phương trình vi phân chuyển động Ơle viết dạng triển khai Gơrômêcô (3-86) Ta xét trường hợp thường gặp: lực khối lượng lực chuyển động ổn định; trường hợp biểu thị hệ phương trình (3-88), ta nhân hai vế phương trình hƯ (3-88) riªng biƯt víi dx, dy, dz, råi cộng vế đối vế, ta được: 2ử ổ ỗ - π - p - u ÷ = (ω y u z - ωz u y )dx + (ωz u x - ω x u z )dy + (ω x u y - y u x )dz d ỗ ữ ứ ố [ Hoặc: ổ p u2 dỗ - - - ữ = D ỗ ữ ứ ố ] (3-89) D định thức sau đây: dx D = x ux dy ωy uy dz ωz uz ViÖc tÝch phân phương trình (3-89) đơn giản nhiều trêng hỵp D = Ta chØ xÐt trêng hỵp này, đó: ổ p u2 dỗ - - - ữ = ỗ ữ ứ ố Lấy tích phân, ta được: + p u2 + = C = const ρ (3-90) BiÓu thøc (3-90) gọi tích phân Bécnuiy Tích phân nói tổng đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng (bao gồm biểu thị p, áp p u2 , động - ) số, trường hợp D = Ta xét trường hợp D = Ta biết định thức triệt tiêu, số hạng hàng (hoặc cột) không số hạng hàng (hoặc cột) tỷ lệ với số hạng hàng (hoặc cột) khác Như có trường hợp D = sau đây: 118 http://www.ebook.edu.vn wx = wy = wz = §ã trường hợp chuyển động Khi phương trình (3-90) số tích phân C có trị số cho điểm môi trường chuyển động, trường hợp này, D = víi bÊt kú dx, dy, dz nµo, tøc lµ víi đoạn ds nào, không thiết ds phải lấy dọc theo đường dòng Nói cách khác, chuyển động thế, đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng điểm dòng chảy dx dy dz = = ux uy uz Đó phương trình đường dòng Khi tích phân (3-90) cho đường dòng riêng biệt, với trị số C riêng cho đường dòng trường hợp này, biểu thức D thành phần w khác không, nghĩa chuyển động chuyển động xoáy Vậy tích phân Bécnuiy ứng dụng cho chuyển động xoáy, số C tích phân có trị số khác dọc đường dòng khác Vậy đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng không đổi dọc theo ®êng dßng dx dy dz = = ωx y z Đó phương trình đường xoáy Khi tích phân (3-90) cho đường xoáy riêng biệt, với trị số C riêng cho đường xoáy Rõ ràng tích phân Bécnuiy ứng dụng cho chuyển động xoáy trường hợp này, số C tích phân có trị số khác dọc đường xoáy khác Như đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng không đổi dọc theo đường xoáy ux uy uz = = ωx ω y ωz TØ lƯ thøc nµy chứng tỏ điểm, phương lưu tốc trùng với phương vận tốc quay, nói cách khác đường dòng trùng với đường xoáy; chuyển động có đặc trưng gọi chuyển động xoắn, phần tử chÊt láng võa di ®éng võa quay xung quanh ®êng dòng Trong trường hợp chuyển động xoắn, tích phân (3-90) có số C giữ trị số cho điểm môi trường chuyển động, giống trường hợp chuyển động nói trên, D triệt tiêu, không phụ thuộc tọa độ phần tử chất lỏng Như đơn vị khối lượng chất lỏng lý tưởng chuyển động xoắn có trị số điểm môi trường chất lỏng chuyển động Bốn điểm kết luận thấy cách biện luận phương trình véctơ (3-88''), sau: http://www.ebook.edu.vn 119 ® Víi Ω = 0, tøc chun động thế, rõ ràng theo (3-88''), ta có: gradE = 0, đó: E = const, với tất điểm đ Nhân vô hướng hai vế (3-88'') với u ổđ đ ỗ u × gradE ÷ = u × gradE = u ỗu ữ ỗ ữ ố ứ đ ổ ỗ u ì gradE ữ = u dE = hoặc: u ỗu ữ ds ỗ ữ ố ứ dE ®ã: = ds ® Chó ý r»ng ds lµ lấy đường dòng (vì nhân vô hướng với u ) nên: E = const (dọc đường dòng) đ Nhân vô hướng hai vế (3-88'') với được: ổđ ỗ ì gradE = W ì ỗ ì gradE ỗ ố đ ổđ ỗ hoặc: W ì ỗ ì gradE ỗ ố đó: ữ ữ =0 ÷ ø ÷ dE =0 ÷ =W d ÷ ø dE = d ® Chó ý r»ng d lấy đường xoáy (vì nhân vô hướng với ) nên: E = const đ đ (dọc đường xoáy) đ đ Với ÔÔ u , ta sÏ cã Ω ´ u = vµ theo (3-88'') gradE = ®ã: E = const víi tất điểm Đó trường hợp chuyển động xoắn 120 http://www.ebook.edu.vn Sau xác định phạm vi øng dơng cđa tÝch ph©n BÐcnuiy (3-90), ta xÐt hai trường hợp lực khối lượng thường gặp thủy lực học: trường hợp lực đơn trọng lực trường hợp lực trọng lực lực quán tính Trường hợp lực trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, lực khối lượng trọng lực thì: Fz = ả = g ảz Do đó: p = gz + C BiĨu thøc (3-80) viÕt thµnh: gz + P u2 + = const ρ NÕu viÕt cho đơn vị trọng lượng, ta chia hai vế cho g được: z+ p u2 + = C, 2g (3-91) C số tích phân Biểu thức (9-31) thường gọi phương trình Bécnuiy, phương trình quan trọng thủy lực Chú ý nghiên cứu phương trình Bécnuiy dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định (Đ3-7), ta tìm biểu thức (3-12) giống biĨu thøc (3-91) Nhng suy diƠn biĨu thøc (3-12) định luật động năng, số C (tức trị số lượng đơn vị có trị số không đổi dọc theo dòng nguyên tố xét; dòng nguyên tố khác C có trị số khác Kết luận phương trình (3-12) ứng với trường hợp phương trình (3-90), tức trường hợp C giữ không đổi dọc theo đường dòng Rõ ràng cách suy diễn phương trình Bécnuiy theo mẫu dòng nguyên tố định luật động không cho ta thấy hết trường hợp ứng dụng nó, vừa trình bày Suy diễn phương trình Bécnuiy (3-91) từ tích phân Bécnuiy (3-90), ta kết luận phương trình Bécnuiy (3-91) áp dụng cho chuyển động chuyển động xoáy Trong chuyển động thế, đơn vị điểm dòng chảy nhau; chuyển động xoáy, đơn vị giữ không đổi dọc theo đường dòng dọc theo đường xoáy, đơn vị có trị số khác đường dòng khác đường xoáy khác nhau; riêng trường hợp đặc biệt chuyển động xoáy đồng thời chuyển động xoắn, đơn vị có trị số điểm môi trường chất lỏng chuyển động http://www.ebook.edu.vn 121 Trường hợp lực trọng lực lực quán tính Giả sử lực quán tính lực ly tâm, xuất trường hợp hệ thèng chÊt láng quay xung quanh mét trôc ThÝ dô chất lỏng chuyển động theo đường AB đường AB lại quay xung quanh trục thẳng ®øng víi tèc ®é gãc w (h×nh 3-36) Nh vËy, gia tốc trọng lực g, phần tử chất lỏng chịu thêm gia tốc w2r lực ly tâm sinh ra, r khoảng cách phần tư chÊt láng ®ang xÐt ®Õn trơc quay; ®ã: Fx = – ¶π ¶π ¶π =w2x , Fy = – = w2y, Fz = – = –g ¶x ¶z ¶y w H×nh 3-36 VËy tõ – dp = Fxdx + Fydy + Fzdz, sau tÝch ph©n ta cã: –p = ω2 x ω2 y ω2 r + - gz + C' = - gz + C' , 2 C' số tích phân Từ phương trình (3-90), ta viết được: gz – ω r p u2 + + = const (3-92) Viết cho đơn vị trọng lượng chất lỏng, phương trình (3-92) có dạng: z+ p u2 ω r + – =C 2g 2g (3-93) Đối với hai điểm lấy đường dòng, ta viết (3-93) díi d¹ng z1 + 2 p1 u1 ω r12 p u ω r2 + – = z2 + + – , γ 2g 2g γ 2g 2g (3-94) ®ã chó ý r»ng u1 u2 vận tốc chuyển động tương ®èi, tøc lµ vËn tèc ®èi víi hƯ thèng chÊt láng ®ang quay 122 http://www.ebook.edu.vn ω2 (r2 - r12 ) gọi h 'i cột nước quán tính đoạn đường dòng từ 2g điểm đến điểm 2, phương trình (3-94) viết thành: Nếu đặt: h 'i = z1 + p1 u1 p u2 + = z2 + + – h 'i γ 2g γ 2g (3-95) Trong trêng hỵp chÊt láng nhít, có tổn thất lượng h'w đơn vị trọng lượng chất lỏng di chuyển từ điểm đến điểm 2, phương trình Bécnuiy có tính đến lực quán tÝnh (3-95) viÕt thµnh: z1 + p1 u1 p u2 = z2 + + + h 'w – h 'i + γ 2g γ 2g (3-96) Mét thí dụ ứng dụng phương trình (3-96) trường hợp dòng chảy đường rnh (với vận tốc tương đối u) máy thủy lực quay với vận tốc góc w Đ3-25 Phương trình chuyển động chất lỏng nhớt (Phương trình Naviê-Stốc) Những phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng có lực mặt ứng suất pháp tuyến p điểm phân tố diện tích xét, trị số ứng suất điểm không phụ thuộc vào hướng đặt phân tố diện tích Phương trình dạng véctơ (3-80'): đ du đ = F - gradp dt ρ Khi chÊt láng lµ chÊt lỏng nhớt, lượng vô hướng p đó, ta phải cộng thêm ứng suất pháp tuyến tiếp tuyến; ứng suất phụ thuộc phương hướng nhân tố diện tích, ứng suất điểm phân tố diện tích dw nói chung không vuông góc với dw Phương trình chuyển động chất lỏng nhớt viết thành: đ đ du đ = F - gradp - f , dt ρ (3-97) đ f tập hợp lực nhớt ứng suất nhớt, tác dụng lên đơn vị khối lượng chất lỏng Xác định ứng st chun ®éng cđa chÊt láng nhít Ta xÐt chuyển động phần tử chất lỏng, vận tốc tâm M(x, y, z) u(x, y, z, t) Tại thời điểm cho trước, ứng suất lên ph©n tè diƯn tÝch dw cã t©m M phơ thc phương hướng phân tố http://www.ebook.edu.vn 123 Ta đ biết (Đ1-6) xác định ứng suất M đ biết ứng suất tác dụng lên ba phân tố diện tích có tâm M vuông góc với trục tọa độ Gọi p + s thành phần pháp tuyến t thành phần tiếp tuyến, ta lập bảng sau ứng suất, đối xứng đường chéo thứ (bảng gọi tensơ øng suÊt): p + σ1 τ3 τ3 p + σ2 2 p + (3-98) đây, áp suất p lượng vô hướng, không phụ thuộc phương dw, thành phần s t ứng suất nảy sinh nguyên nhân nhớt (chú ý chất lỏng lý tëng th× s1 = s2 = s3 = t1 = t2 = t3 = 0) t2 w t3 s Hình 3-37 Hình 3-37 cho thấy ứng suất phân tố diện tích dw vuông góc với Ox Riêng ứng suất nhớt lập thành bảng sau (bảng gọi tensơ ứng suất nhớt): σ1 τ3 τ3 σ2 τ2 τ1 τ2 τ1 σ3 (3-99) ứng với nội dung sau đây: ứng suất song song với ứng suất tác dụng lên mặt vuông góc với Oy Oz Ox s1 t3 t2 Oy t3 s2 t1 Oz 124 Ox t2 t1 s3 http://www.ebook.edu.vn Sau ta xác định quan hệ ứng suất nguyên nhân nhớt đặc trưng chuyển động chất lỏng nhớt Những quan hệ biến hình ứng suất nhớt Ta đ biết chuyển động phần tử chất lỏng phân tích thành ba dạng: chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay chuyển động biến hình Trong chuyển động tịnh tiến quay, phần tử chất lỏng di chuyển thành khối vật rắn Những đặc trưng thuộc tính chÊt láng chØ thĨ hiƯn sù biÕn h×nh cđa phần tử chất lỏng, tượng tính nhớt tất nhiên phải đặc biệt gắn với biến hình Từ ta coi nh÷ng øng st nhít cã quan hƯ víi nh÷ng vËn tốc biến hình: vận tốc biến hình tương đối độ dài vận tốc biến hình góc Nếu ta giả thiết vận tốc biến hình nhỏ, ta khai triển quan hệ cấp số Taylo giữ số hạng đầu Như ta viết hàm số tuyến tính biểu thị hai giả thiết sau ứng suất nhớt Giả thiết thứ nhất: Những thành phần tiếp tuyến t øng st nhít tØ lƯ víi nh÷ng vËn tèc biÕn hình góc, tức là: ảu y ổ ảu ữ ; = -ỗ z + ỗ ảy ảz ữ ố ứ ảu ổ ảu = -ỗ x + z ữ ; ảx ứ ố ảz ổ ảu y ảu x ữ = -ỗ ỗ ảx + ảy ữ ố ứ (3-100) Như biến hình góc tương ứng với trượt bên phần tử Giả thiết thứ hai: Những thành phần pháp tuyến s ứng suất nhớt hàm tuyến tính vận tốc biến hình tương đối độ dài: ỹ ù ù ù σ = -2μ ý ¶y ï ¶u ï σ = -2 z ù ảz ỵ = -2 ¶u x ¶x ¶u y (3-101) Hai gi¶ thiÕt nµy ®ỵc nghiƯm ®óng ®èi víi chun ®éng cđa chÊt láng không nén được, đồng chất, đẳng hướng có vận tèc biÕn h×nh nhá; hƯ sè tØ lƯ m chÝnh hệ số nhớt mà ta đ biết http://www.ebook.edu.vn 125 áp suất điểm chất lỏng chuyển ®éng Ta xem xÐt mét ph©n tè diƯn tÝch dw có tâm M, đặt vuông góc với trục Ox; thành phần ứng suất pháp tuyến phân tố diện tích (hình 3-37) là: p1 = p + s1 = p - μ ¶u x , ¶x (3-102) p áp suất điểm M không phụ thuộc hướng đặt dw xung quanh M Khi xét phần tử chất lỏng, đ biết p luôn hướng vào phía phần tử, ta đặt hướng s1 dương theo chiều Khi chất lỏng đứng cân bằng, tất đạo hàm triệt tiêu, lại ứng suất pháp tuyến p; áp suất chất lỏng lý tưởng Ta thấy lại trạng thái tĩnh chÊt láng lý tëng vµ cđa chÊt láng nhít lµ nh Khi chÊt láng thùc cã mét vËn tèc, mà xung quanh điểm M tất građiên ảu x nhỏ, phân bố áp suất gần tương tự chuyển động vận tốc ảx chất lỏng lý tưởng; điều thường xảy thực tiễn vùng chảy xa mặt rắn Phương trình Naviê-Stốc Ta viết phương trình chuyển động phần tử chất lỏng thực hình hộp, có cạnh dx, dy, dz, cách lập luận chuyển động phần tử chất lỏng lý tưởng, khác trường hợp ta phải cộng thêm lực nhớt Ta hy viết phương trình động lực học trục Ox (hình 3-38) Hình chiếu lên Ox ba loại lực tác dụng là: - Lùc khèi: Fx = rdxdydz: t t - áp lực: ộ ổ ảp ự ảp p - ỗ p + ảx dx ữ ỳ dydz = - ảx dxdydz ; ứỷ ố - Những lực sinh ứng suất nhớt tác dụng lên mặt khác hình hộp: Trên mặt vuông góc với Ox: ộ ả1 ự ả æ dx ÷ ú dydz = - dxdydz ; ờ1 - ỗ + ảx ảx ố ứỷ 126 http://www.ebook.edu.vn s1 s1 t H×nh 3-38 s Trên mặt vuông góc với Oy: ộ ả3 ự ả ổ dy ữ ỳ dxdz = - dxdydz ; - ỗ + ảy ảy ố ứỷ Trên mặt vuông góc với Oz: ộ ả2 ự ả ổ dz ữ ỳ dxdy = - dxdydz - ỗ + ảz ảz ố ứỷ Như tổng hợp lực nhớt chiếu lên Ox là: ổ ả ả ả - ỗ + + ữdxdydz ỗ ảx ảy ảz ữ ố ứ Hình chiếu lên Ox lực quán tính là: rdxdydz du x dt Vậy phương trình động lực học viết theo trục Ox là: ổ ả ả ả du x ảp rdxdydz = rFxdxdydz dxdydz - ỗ + + ữdxdydz ỗ ảx ảx ảy ảz ữ dt ố ứ hoặc: du x ả ả ảp ổ ả = Fx - ỗ 1+ 3+ 2ữ ỗ ảx dt ảx ố ảy ảz ữ ứ (3-103) Nếu thay s1, t3, t2 trị số rút từ (3-100) (3-101), ta viết lại (3-103) thành: du x ảp ổ 2ả u x ¶ u x ¶ u y ¶ u x ả u z ỗ ữ = Fx – + + + + + dt ρ ảx ỗ ảx ảxảy ảz ảxảz ữ ¶y è ø hc: ỉ ¶2 u ¶2 u x ¶2 u x du x ¶p = Fx + ỗ 2x + + ỗ ảx dt ảx ảy ảz2 ố đó: n - hệ số nhớt động học, n = ảu y ảu z ả ổ ảu + ữ+ ỗ x + ữ (3-104) ữ ảx ỗ ảx ảy ảz ÷ è ø ø μ ρ NhËn xÐt r»ng dùng toán tử D để viết: Dux = ¶2ux ¶x + ¶2ux ¶y + ¶2ux ¶z , http://www.ebook.edu.vn 127 tính liên tục chất lỏng mà ta viết: ảu x ảu y ¶u z + + = 0, ¶x ¶y ¶z nên phương trình (3-104) thu gọn lại thành: du x ¶p = Fx + νDu x ρ ¶x dt (3-105) Lập luận tương tự phương trình động lực trục Oy Oz, ta đạt hệ thống ba phương trình vi phân chuyển động chất lỏng nhớt không nén được, gọi phương trình Naviê-Stốc: du x ảp ỹ = Fx + νΔu x ï dt ρ ¶x ï ï du y ¶p ï = Fy + νΔu y ý ρ ¶y dt ï ï du z ¶p = Fz + u z ù ảz dt ù ỵ (3-106) viết dạng véctơ: đ đ du đ = F - gradp + νΔ u dt (3-107) So sánh với (3-97), thì: đ đ - f = u (3-108) Hệ phương trình (3-106) Naviê tìm năm 1822 xuất phát từ giả thiết lực phân tử Stốc lập lại năm 1845, theo lập luận trình bày, xuất phát từ giả thiết ứng suất pháp tuyến tiếp tuyến tính nhớt gây hàm số tuyến tính vận tốc biến hình, phù hợp với định luật ma sát Niutơn Nếu người ta biết tích phân phương trình Naviê-Stốc, có tính đến điều kiện biên biểu thị hàm số thời gian nói riêng có tính đến lực thành, người ta giải toán thủy động lực học giải tích Việc tích phân phương trình vấp phải khó khăn chưa giải được, ổ đử số hạng liên quan đến tính nhớt ỗ u ữ số hạng liên quan đến gia tốc è ø 128 http://www.ebook.edu.vn ® du ®Ịu cïng mét ®é lớn Đây lại điều người ta thường gặp thực tiễn, dt vùng lân cận thành rắn Vì thường phải dùng thí nghiệm để dễ nghiên cứu điều kiện dòng chảy Một số trường hợp đặc biệt, đơn giản phương trình Naviê-Stốc a) Nếu n = 0, ta trở lại phương trình chuyển động Ơle chất lỏng lý tưởng (3-80) (3-80') đ b) Nếu n = u = 0, ta trở lại phương trình Ơle thủy tĩnh (2-6) (2-6') đ đ du c) Nếu chuyển động thẳng đều, tức = u = 0, ta tìm lại phương dt trình thủy tĩnh (2-6) (2-6') áp suất điểm chất lỏng tuân theo định luật thủy tĩnh đ d) Ta có ống dòng với độ cong không ®¸ng kĨ, vËn tèc u song song víi trơc Ox Nh vËy u = ux vµ uy = uz = Phương trình Naviê-Stốc viết cho trục Oy Oz trở thành: ảp ỹ = 0, ù ¶y ï ý ¶p Fz = ï ï ảz ỵ Fy - Điều chứng tỏ mặt phẳng zOy vuông góc với đường dòng, phân bố áp suất tuân theo quy luật thủy tĩnh ta lại thấy đặc tính dòng đổi dần mà ta đ nêu Đ3-11 e) Nếu dòng chảy lưu tốc ta viết theo (3-64) đ u = gradj đó: đ Δ u = Dgradj = gradDj = VËy ph¬ng trình Naviê-Stốc, trường hợp này, đ trở thành phương trình chuyển động Ơle chất lỏng lý tưởng (3-80) Ta nói dòng chảy chất lỏng nhớt lưu tốc, chuyển động ®ỵc coi nh chun ®éng cđa chÊt láng lý tëng http://www.ebook.edu.vn 129 Suy diễn phương trình Bécnuiy chất lỏng thực đ Trong nhiều trường hợp thường gặp thùc tÕ, lùc khèi F lµ lùc cã thÕ vµ trường hợp ta xét lực trọng lùc Nh vËy ta cã: ® F = –grad(gz) (3-109) trục z đặt thẳng đứng, chiều dương hướng lên Phương trình Naviê-Stốc, trường hợp này, viết dạng véctơ sau: đ đ du = grad(gz) gradp - f dt (3-110) đ hoặc: ổ du pử đ = grad ỗ gz + ữ - f ỗ dt ữ ố ứ (3-111) đ véctơ nằm mặt phẳng, f sức ma sát đơn vị khối lượng chất lỏng Chiếu đẳng thức véctơ lên tiếp tuyến Mt lên pháp đ du tuyến Mn quỹ đạo, thành phần dt u2 du (R bán kính cong MC quỹ đạo M), (hình R dt 3-39) Chúng ta có (đối với chuyển động ổn định): u ảu ảổ pử = - ỗ gz + ữ - f t , ỗ ảs ảs ố ữ ứ Hình 3-39 (3-112) u2 ả ổ pử = - ỗ gz + ữ - f n R ản ố ứ (3-113) đ ft fn hình chiếu lực ma sát f Nhân hai vế phương trình thứ cho vi phân dài quỹ đạo ds = udt, ta đẳng thức sau đây, viết theo quỹ đạo (cũng theo đường dòng): ổ pử udu = -dỗ gz + ữ - f t ds ỗ ữ ố ứ 130 http://www.ebook.edu.vn (3-114) hoặc: ổ u2 dỗ ỗ ố ổ pử ữ = - dỗ gz + ữ - f t ds ỗ ữ ữ ố ứ ứ (3-115) Đặt ftds = dt công nguyên tố sinh quỹ đạo lực ma sát đơn vị khối lượng Chia cho g, ta được: ổ p u2 d ' dỗz + + ữ = - = - dh w ỗ ữ 2g ứ g ố hoặc: (3-116) ỉ p u2 + h 'w ÷ = dỗ z + + ỗ ữ 2g ố ứ (3-117) dh'w công nguyên tố sinh lực ma sát đơn vị trọng lượng cđa chÊt láng tøc lµ tỉn thÊt cét níc TÝch phân dọc theo quỹ đạo, ta được: z+ p u2 + + h 'w = const = H γ 2g (3-118) Đó phương trình Bécnuiy viết cho đơn vị trọng lượng chất lỏng thực, mà ta đ gặp (3-13'), (Đ3-8); ý nghĩa thủy lực hình học đẳng thức (3-118) thấy rõ hình 3-12, (§3-10) http://www.ebook.edu.vn 131 ... cắt 1'' -1 '' 2 ''-2 '' (hình 3 -1 9 b) Vậy biến thiên động lượng (hoặc dương, âm) thời gian Dt hiệu số động lượng đoạn dòng vị trí 1- 2 1'' -2 '' Theo hình 3 -1 9 b rõ ràng là: đ đ ® K 1-2 = K1 -1 '' + K1 ''-2 ® K1'' -2 ''... ta cã: u u1 p p = z1 - z + - 2g g γ γ Tõ ®ã: z1 + 68 p1 u1 p u2 + = z2 + + γ 2g γ 2g http://www.ebook.edu.vn (3 -1 1 ) V× mặt 1- 1 2-2 dòng nguyên tố tùy ý chọn, nên phương trình (3 -1 1 ) viết díi... , v 2ω ịu hc tõ (3 - 2 1) : a = ω (3 -2 0) òu dQ v Q = (3 - 2 1) dω ω v 3? ? (3 -2 2) Biểu thức (3 - 2 1) tích phân động ta dùng lưu tốc trung bình v đưa vµo hƯ sè a Theo (3 -2 2), a lµ tû sè động thực dòng chảy