Thủy lực 2 ( Nxb Nông nghiệp ) - Chương 11 pot

Chuyển động không ổn định là chuyển động trong đó các yếu tố thủy lực ở một vị trí xác định như: lưu tốc, lưu lượng, độ sâu, mặt cắt ướt.... Cuối cùng lúc chế độ chảy thay đổi liên tiếp

ổn định Lúc các cống lấy nước, âu thuyền dẫn nước vào hay tháo nước ra, lúc đê đập bị vỡ thì dòng chảy ở thượng hạ lưu sông cũng trở thành không ổn định Trong quá trình vận hành của trạm thủy điện, do phụ tải tăng giảm, lưu lượng chảy vào tuabin thay đổi cũng sinh ra dòng không ổn định trong kênh dẫn hay trong sông ở hạ lưu

Dòng chảy trong các đoạn sông chịu ảnh hưởng của thủy triều cũng là dòng chảy không ổn định

Chuyển động không ổn định là chuyển động trong đó các yếu tố thủy lực ở một vị trí xác định như: lưu tốc, lưu lượng, độ sâu, mặt cắt ướt đều thay đổi theo thời gian

Có những chuyển động không ổn định là thay đổi chậm Ví dụ: Sự truyền đỉnh lũ,

dòng không ổn định sinh ra do điều tiết ngày ở kênh dẫn của trạm thủy điện, dòng chảy trong các đoạn sông chịu ảnh hưởng của thủy triều Trong các trường hợp đó, đường mặt nước tức thời có dạng sóng, có độ cong rất bé, độ dài của sóng bằng hàng trăm hàng nghìn lần độ cao của sóng Nhưng có những trường hợp khác, trong một khoảng cách ngắn,

độ sâu mực nước lại thay đổi rất rõ rệt Ngay tại một mặt cắt, trong một thời gian tương

đối ngắn lưu lượng thay đổi cũng tương đối nhiều, độ dốc mặt nước trong kênh dẫn cũng thay đổi đột ngột Trong các trường hợp này, chuyển động không ổn định thuộc loại thay

đổi gấp

Do dòng không ổn định trong lòng dẫn hở có quan hệ với hiện tượng sóng nên người

ta cũng gọi chuyển động không ổn định là chuyển động sóng

Chuyển động không ổn định có tính chất thay đổi chậm còn gọi là sóng liên tục

Chuyển động không ổn định có tính chất thay đổi nhanh còn gọi là sóng gián đoạn

Nhưng sóng trong chuyển động không ổn định trong lòng dẫn hở khác với sóng ngoài biển hay trong hồ do gió sinh ra Trong trường hợp này, sóng có khả năng vận chuyển một lượng nước lớn Sóng biển hầu như không có dao động tại chỗ của chất điểm nước

Chuyển động không ổn định trong đó thuần tuý chỉ có nâng cao hoặc hạ thấp mực nước gọi là sóng một chiều (hình 11-1)

Sóng truyền theo dòng chảy gọi là sóng thuận (hình 11-1a, b), trường hợp ngược lại

gọi là sóng nghịch (hình 11-1c, d) Sóng có đặc tính nâng cao mặt nước gọi là sóng dương

(hình 11-1a, c) ngược lại nếu làm hạ thấp mực nước thì gọi là sóng âm (hình 11-1b, d)

Sóng dương cũng như sóng âm đều có thể là sóng thuận hay sóng nghịch Tất cả các sóng đều có hai phần: đầu sóng và thân sóng (hình 11-1a)

Thân sóng

Đầu sóng

Vị trí mặt tự do ban đầu

sẽ sinh ra hiện tượng phản xạ sóng Sóng sẽ chia thành hai: một sóng tiếp tục chuyển động theo phương ban đầu gọi là sóng khúc xạ và sóng khác quay ngược trở lại gọi là sóng phản xạ Trong trường hợp sóng gặp phải một tường thẳng đứng thì chỉ có sóng phản xạ thuần

tuý Ngoài ra còn có sóng đổi hướng, đó là sóng sinh ra lúc lưu lượng ở tuyến đầu đang thay đổi theo hướng nào đó, thì sau một thời gian ngắn, lưu lượng ấy lại thay đổi theo hướng ngược lại Sóng lũ thuộc loại sóng đổi hướng Cuối cùng lúc chế độ chảy thay đổi

liên tiếp theo các hướng khác nhau, thì chuyển động không ổn định đó gọi là sóng phức tạp Ví dụ: dòng chảy thay đổi trong điều tiết ngày ở trạm thủy điện, dòng chảy trong các

đoạn sóng ở gần biển, v.v

Trong chương này, ta chỉ nghiên cứu chuyển động không ổn định thay đổi chậm và quy luật biến đổi của trị số trung bình các yếu tố thủy lực của mỗi mặt cắt

Đ 11-2 Phương trình vi phân cơ bản của chuyển động

không ổn định thay đổi chậm

Quy luật cơ bản của chuyển động không ổn định, cũng như các quy luật chuyển động khác, bao gồm các mối quan hệ cơ bản nói lên tính liên tục và sự chuyển động của dòng nước Ta sẽ nghiên cứu hai phương trình cơ bản viết dưới dạng phương trình vi phân và cách tích phân hai phương trình đó

1 Ph-ơng trình liên tục

Đối với chất lỏng không nén được, ta đ∙ có phương trình liên tục của dòng không ổn

định là phương trình (7-1):

ωt

ả

ả +

Qs

ả

ả +

( )ωvs

ả

nên phương trình (11-2) trở thành:

B zt

ả

ả +

( )ωvs

ả

ả +

qs

vt

ả

ả + w

hs

ả

Vì chuyển động là thay đổi chậm nên có thể bỏ qua những tổn thất cục bộ, do đó:

Cho tới nay, tổn thất cột nước dọc đường (hd) của dòng không ổn định được nghiên cứu còn ít nên thường vẫn tính tổn thất đó như với dòng ổn định:

J = hds

ả

ả =

2 2

v

C R =

2 2

v và Q lấy trị số dương nếu chảy theo chiều của s

v và Q lấy trị số âm nếu chảy theo chiều ngược lại Vậy (11-7) được viết là:

vt

ả

ả = i –

hs

ả

ả =

1g

vt

ả

ả +

vg

vs

vt

ả

ả +

vg

vs

không ổn định thay đổi chậm trong lòng dẫn hở

Giải bài toán về chuyển động không ổn định trong lòng dẫn hở chính là việc tích phân hệ thống hai phương trình vi phân:

Do Q = vw ta có:

Qs

ả

ả = v

ωs

ả

ả + w

vs

ả

ả =

1B

ωs

Biết những hàm số đó ta có thể giải hàng loạt vấn đề thực tế

Hệ phương trình (11-18) là hệ phương trình vi phân phi tuyến có hệ số biến đổi, đưa

về phương trình vi phân đạo hàm riêng loại Hypécbôn Việc tìm tích phân của loại phương trình này còn gặp nhiều khó khăn vè mặt toán học Nhiều nhà nghiên cứu đ∙ cố gắng tìm các biện pháp giải gần đúng có thể đáp ứng những nhu cầu thực tế

Các cách giải, đại thể có thể chia làm 4 loại:

1 Loại thứ nhất

Dùng phương pháp phân tích toán học chặt chẽ để tích phân các phương trình trên Ví dụ: Cách giải của Xanhvênăng cho dòng không ổn định trong kênh chữ nhật nằm ngang, bỏ qua lực cản Lời giải riêng đơn giản nhất đó cho đến nay vẫn được sử dụng trong một số trường hợp thực tế

Cách giải tổng quát nhất thuộc loại này, trong trường hợp kênh lăng trụ là phương pháp đường đặc trưng của X.A Khơritchianôvích đề xuất từ năm 1938

Phương pháp này giúp ta có thể xét đến nhiều vấn đề khác nhau trong thực tế công trình mà không cần bỏ qua lực cản Lúc tính toán chỉ cần viết các phương trình đặc trưng dưới dạng sai phân Có một số tác giả như Lâm Bỉnh Nam và Diệp Bỉnh Như đ∙ đưa ra những phương pháp đồ giải dựa trên cơ sở các phương trình đặc trưng

2 Loại thứ hai

Lúc đường mặt nước tức thời của dòng không ổn định có dạng sóng, độ cao của sóng rất nhỏ, độ dài của sóng rất lớn, thì có thể dùng lý luận sóng có biên độ nhỏ để giải hệ thống (11-15) Do bỏ qua các tích số, hay bình phương của những lượng vô cùng bé, nên người ta có thể biến phương trình phi tuyến tính thành tuyến tính để tìm tích phân

Người ta dùng phương pháp sóng biên độ nhỏ để giải bài toán dòng không ổn định trong các kênh của trạm thủy điện điều tiết ngày Trong một số trường hợp thực tế, người ta cũng có thể đạt được những kết quả thỏa m∙n yêu cầu

3 Loại thứ ba

Giải gần đúng hệ phương trình (11-15) bằng cách thay hệ phương trình (11-15) bằng một hệ phương trình sai phân, kết hợp giữa giải bằng số và bằng đồ giải Trong nhiều trường hợp người ta đ∙ bỏ số hạng quán tính Phương pháp này gọi là phương pháp trạng thái tức thời và được dùng khá rộng r∙i

4 Loại thứ tư

Giải bằng máy tính điện tử Đây là một hướng lớn đ∙ được nhiều nước trên thế giới chú ý tới Có hai thứ máy tính: máy tính điện tử bằng số (phương pháp số) và loại máy tương tự

Máy tính tương tự dựa vào sự tương tự về hình thức toán học giữa sự chuyển động của dòng điện trong các mạch điện với sự chuyển động của dòng nước trong lòng dẫn hở để làm nên các mô hình tương tự Trong mô hình tương tự, người ta có thể thu được các trị số của các đại lượng về điện Từ đó có thể suy ra được các trị số của yếu tố thủy lực mà ta cần tìm Máy tính điện tử bằng số dựa trên cơ sở các phương pháp tính bằng số cho hệ phương trình vi phân cơ bản hoặc hệ phương trình của đường đặc trưng

Đ11-4 Điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Các yếu tố thủy lực trong dòng không ổn định biến đổi theo thời gian t và khoảng cách s, thỏa m∙n hệ phương trình (11-15) hoặc (11-18) Hệ phương trình đạo hàm riêng ấy

có rất nhiều nghiệm, trong đó ta phải tìm ra một nghiệm duy nhất thỏa m∙n một số điều kiện cụ thể cho trước của bài toán, đó là điều kiện ban đầu và điều kiện biên

1 Điều kiện ban đầu

Là tình hình toàn dòng chảy lúc ban đầu hoặc tại một thời điểm t0 nào đó Điều kiện ban đầu cần phải biết trước, cụ thể cần phải biết:

0

t t

Q= = Q(s)

và zt t=0= z(s)

2 Điều kiện biên

Là quy luật biến đổi theo thời gian t của cùng một hoặc hai yếu tố thủy lực trong (11-19) hoặc (11-20) tại hai mặt cắt ở hai đầu

Quy luật biến đổi này phải đ∙ biết, thí dụ biết

1

s s

Q = = Q1(t) và zs s= 2= z2(t) hoặc:

1

s s

Q = = Q1(t) và Qs s= 2= Q2(t) hoặc:

điều kiện ban đầu và điều kiện biên cũng phải nghiệm đúng hệ phương trình vi phân

Thí dụ: Khi nghiên cứu dòng không ổn định trong một kênh dẫn của nhà máy thủy

điện, kênh xuất phát từ một hồ chứa nước, thì điều kiện biên ở đầu trên có thể xem là “mực nước thượng lưu không đổi” (mực nước hồ) và điều kiện biên ở đầu dưới là “đường quá trình lưu lượng của mặt cắt hạ lưu” (do điều kiện vận hành của nhà máy thủy điện xác

định) Còn điều kiện ban đầu là: biết trị số lưu lượng và mực nước trên toàn bộ kênh lúc bắt

t0 - thời điểm bắt đầu tính toán,

sd, sc - tọa độ của mặt cắt trên và dưới của đoạn sông (kênh) tính toán

Khi có một biến đổi nào đó xảy ra ở mặt cắt có tọa độ s, tại thời điểm t, thì biến đổi

đó sẽ lan truyền sang mặt cắt khác với tốc độ W Như vậy trong thời đoạn dt lan truyền

được đoạn dài ds = Wdt (hình 11-2)

có dạng (11-21) Thực hiện phép biến đổi đó ta được:

f ωt

ả

ả +

1vfB

ωs

ωt

ả

ả + ω

vfg

vs

ả

ả =

1g

ùỵ

Từ phương trình thứ hai của hệ này tìm được:

f = ω

W vg-

và thay thế vào phương trình đầu ta được phương trình đại số bậc 2 của W

là tốc độ lan truyền ảnh hưởng theo phương nghịch (ngược chiều dòng chảy) (hình 11-2)

Để tiện sử dụng ta viết riêng rẽ

ỹ

ùý

2 Cách giải hệ ph-ơng trình đặc tr-ng

Giải đồng thời hệ phương trình vi phân thường (B), (C), ta được nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng:

( ) ( )

Giải đồng thời 4 phương trình của hệ (B) và (C) tức là vẽ trên mặt phẳng (s, t) lưới

đường đặc trưng đó, sao cho:

- Độ dốc của đường đặc trưng thuận bằng v + g

B

w,

- Độ dốc của đường đặc trưng nghịch bằng v – g

B

w,

- Đi từ nút này sang nút khác trên đường đặc trưng thuận thì v và w thay đổi theo (11-24),

- Đi từ nút này sang nút khác trên đường đặc trưng nghịch thì v và w thay đổi theo (11-26)

sóng thuận sóng nghịch

t

s

1 2 3 4 5 6 7 1

2 3 4 5 6 7

35 45

55 54

3 Giải hệ ph-ơng trình đặc tr-ng d-ới dạng sai phân

Ta sẽ nghiên cứu cách giải trong trường hợp lòng dẫn lăng trụ và không có kênh nhánh Nói chung có nhiều cách giải khác nhau, ở đây ta nghiên cứu cách giải của X A Khơritchianôvích

a Cách vẽ l-ới đặc tr-ng

2

v vi

trong đó dấu gạch ngang (–) trên các chữ là chỉ số trung bình của đại lượng trong khoảng Dt

Vẽ đường đặc trưng thuận qua điểm A và nghịch qua điểm B trên mặt phẳng sóng (s, t) (hình 11-4) tại đó các yếu tố của sóng (s, t, v, w) đ∙ biết Hai đường đó giao nhau tại nút M

Giải hệ phương trình (E), (F) ta sẽ tìm được s, t, v, w tại nút đó Ta đánh số các đường

đặc trưng thuận bằng chỉ số T (T = 1, 2, 3, n) và các đường đặc trưng nghịch bằng chỉ số

N (N = 1, 2, 3, m) Nút được ký hiệu bằng chỉ số T, N có nghĩa rằng đó là giao điểm của

đường đặc trưng thuận T và đường đặc trưng nghịch N Cụ thể các điểm M, A, B trong hình (11-4) được ký hiệu bằng (T, N) (T, N – 1) và (T – 1, N); các yếu tố sóng tại đó sẽ là:

sT,N; tT,N; vT,N; wT,N đối với điểm M,

sT,N -1; tT,N-1; vT,N-1; wT,N-1 đối với điểm A,

sT-1,N; tT-1,N; vT-1,N; wT-1,N đối với điểm B

t

s

A M B

T,N-1 T,N

T η

-(11-32)

Chú ý rằng theo (11-28), l là hàm số của h, và theo (11-23), (11-25) và (11-27) thì

W, W’, z là hàm số của v và h tức là hàm số của v và l Vậy có vT,N và lT,N, ta tính được

hT,N; wT,N; W’T,N; WT,N và zT,N

Tuy nhiên trong phương trình (G) và (H), W , W ' , ζ phải là trị số trung bình của các nút đ∙ biết với nút cần tìm Do đó, các hệ phương trình trên phải giải bằng cách tính

đúng dần:

- Tính gần đúng lần thứ nhất: lấy W , W ' , ζ bằng trị số tại nút đ∙ biết, giải hai

- Tính gần đúng lần thứ hai: thay các trị số W , W , ζ vừa tính được vào hệ 'phương trình (G), (H) và tính như lần thứ nhất

(Nếu W , W' , ζ không khác nhiều so với trị số tại các nút đ∙ biết thì không cần tính lần thứ hai)

Đối với các nút ở biên (ở mặt cắt trên cùng và dưới cùng) do chỉ viết được một trong hai hệ (G) hoặc (H) nên cần kết hợp với điều kiện biên tại đó để tìm nghiệm

Thí dụ: Tìm nghiệm tại nút R ở mặt cắt trên cùng (hình 11-5) với điều kiện biên tại

mặt cắt đó là Q = Q(t)

Viết hệ (H) cho đường đặc trưng nghịch từ P đến R ta được:

sR – sP = W'PR(tR-tP)

hR – hP = ζPR(tR-tP) Giải hệ phương trình này, bằng cách lấy gần đúng lần thứ nhất W' = W'P ; ζ = zP và chú ý rằng sR = 0 ta được:

sW

Giải hệ phương trình này sẽ được vR, hR, wR Nếu điều kiện biên tại mặt cắt đầu cho là

h = h(t) thì việc giải hệ phương trình này càng dễ dàng: biết hR, ta có lR và tính ngay ra vR

s

R p

t Mặt cắt trên

Hình 11-5

b) Cách vẽ đ-ờng đặc tr-ng ban đầu

Cách giải trình bày ở trên cần xuất phát từ những nút đ∙ biết gọi là nút ban đầu Nói

chung, có thể lấy tùy ý các nút ban đầu trên mặt phẳng (s, t) lúc t = 0 (hình 11-3) Tại các nút đó, các yếu tố s, W, W’, v, l đều đ∙ biết nhờ điều kiện ban đầu Nhưng, với dòng không ổn định phát sinh từ một dòng ổn định thì các nút ban đầu không nhất thiết phải lấy tại t = 0 mà có thể lấy trên đường đặc trưng đầu tiên gọi là đường đặc trưng ban đầu Ví dụ:

12 13 14 15

23 24 25

34 35 45

là các yếu tố của dòng ổn định ban đầu đ∙ cho trong điều kiện ban đầu nên không cần dùng

đến phương trình thứ hai của hệ (G) hoặc (H) Các nút ở phía trái của đường đặc trưng ban

đầu cũng đều ở trạng thái ổn định, nên không cần tính Trong hình (11-6) đường 00 – 08 là

đường đặc trưng ban đầu vẽ trong trường hợp tuyến kích thích tại mặt cắt trên

Ta thấy cách giải như trên còn rất phiền phức và tốn công Dựa vào nguyên lý trên, Lâm Bỉnh Nam (Trung Quốc) đ∙ đề ra phương pháp vẽ lưới đặc trưng có thời đoạn Dt không đổi Nguyễn Như Khuê (trường đại học Thủy lợi Hà Nội) đ∙ cải tiến thêm phương pháp này của Lân Bỉnh Nam, đồng thời đề ra phương pháp vẽ lưới đặc trưng có độ dài Ds không đổi để áp dụng cho kênh có nhiều kênh nhánh và có mặt cắt thay đổi từng đoạn Có thể tìm hiểu kỹ hơn cách tính theo phương pháp này ở cuốn Thủy lực dòng hở của GS TS Nguyễn Cảnh Cầm, Nhà xuất bản Xây dựng, 2006

Do đó phương pháp này gọi là phương pháp trạng thái tức thời

Trong trường hợp sự biến thiên cột nước lưu tốc dọc theo dòng chảy nhỏ so với độ dốc thủy lực, ta còn có thể bỏ cả số hạng v2

Trên đoạn dòng chảy Ds, các yếu tố thủy lực của mặt cắt trên ký hiệu bằng chỉ số (t), các yếu tố thủy lực của mặt cắt dưới ký hiệu bằng chỉ số (d) Các yếu tố thủy lực trung bình của đoạn sông ký hiệu bằng dấu gạch ngang (–)

Trong thời đoạn Dt, các yếu tố thủy lực lúc đầu thời đoạn ký hiệu dấu (’) (một phẩy) các yếu tố thủy lực lúc cuối thời đoạn ký hiệu dấu (’’) (hai phẩy), các yếu tố thủy lực trung bình trong thời đoạn ký hiệu (*)

- z"=Q" Q""2