Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Giáo án BDHSG Toán 8 Tiết 1-2-3-4 Chuyên đề 1: phép nhân và phép chia đa thức Dạng tổng quát: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D Các bài toán vận dụng: Bài toán 1: Cho biểu thức: M = 433 432 229 1 ) 433 1 2( 229 3 + - 433229 4 a) Bằng cách đặt a= 229 1 , b= 433 1 , hãy rút gọn biểu thức M theo a và b b) Tính giá trị của biểu thức M. Giải: a) M = aabbaba 54)1()2(3 == b) M = 229 5 229 1 55 ==a Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức: A= 15555 2345 ++ xxxxx với x= 4 Giải: Cách 1. Thay 4 = x , ta có A = 4 5 -5.4 4 +5.4 3 -5.4 2 +5.4-1 = 4 5 -(4+1).4 4 +(4+1).4 3 -(4+1)4 2 + (4+1).4-1 = 4-1 = 3 Cách 2: Thay 5 bởi 1+x , ta có: A = 1)1()1()1()1( 2345 ++++++ xxxxxxxxx = xxxxxxx ++ 334455 2 + 1 2 + xx = 1 x = 3. Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thờng thay chữ bằng số.Nhng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ. Bài toán 3: Chứng minh hằng đẳng thức 2 ))(())(())(( xcabcabaxcxcxbxbxax ++=++ biết rằng cbax ++= 2 Giải: Biến đổi vế trái ta đợc: ).()(23ã 2222 cabcabcbaxxabcxxbcbxcxxabbxx +++++=+++++ Thay cba ++ bởi x2 đợc vế trái bằng cabcabx +++ 2 , bằng vế phải. Giáo án BDHSG Toán 8 bài tập: Bài tập 1: Rút gọn bểu thức [ ] }{ )5(322 xyxyyxxy + Với 2222 2,2 babaybabax +=++= . Bài tập 2: a)Chứng minh rằng 121110 222 ++ chia hết cho 7 b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp Bài tập 3: Tính 39 8 118117 5 119 118 5 117 4 119 1 117 1 3 + Bài tập 4: Chứng minh hằng đẳng thức: ( )()()())(( 222222 abcccabbbcaacbacabcabcba ++=++++ Bài tập 5: Rút gọn biểu thức ))()(( cxbxax +++ biểu rằng 60,7,6 ==++=++ abccabcabcba Tiết 5-6-7-8 Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: cabcabcbacba 222)( 2222 +++++=++ Mở rộng: nnnnn aaaaaaaaaaa 121 22 1 2 2 2 1 2 21 2 2 ) ( +++++++=++ Tổng quát: n b n a n aBbBba +=+=+ )()( )( Giáo án BDHSG Toán 8 Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x-y ; b) x 2 +y 2 ; c)x 3 +y 3 . Giải a) (x-y) 2 =x 2 -2xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2 -4xy=(x+y) 2 -4xy=9 2 -4.14=25=5 2 suy ra x-y = 5 b) (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy suy ra x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy = 9 2 -2.14 = 53 c) (x+y) 3 = x 3 +y 3 +3x 2 y+3xy 2 = x 3 +y 3 +3xy(x+y) suy ra x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y) =9 3 -3.14.9 = 351 Nhận xét: 1. Hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phơng bằng nhau. ( A B) 2 = ( B A ) 2 2. Để tiện sử dụng ta còn viết: ( A + B) 3 = A 3 + B 3 + 3AB(A+B) ( A B) 3 = A 3 - B 3 - 3AB(A-B ) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y 5) 2 - 6xy + 26 Giải : A = x 2 + 9y 2 + 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26 = ( x 2 - 10x + 25) + ( 9y 2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) 2 + ( 3y-5) 2 + 1 Vì (x-5) 2 0 (dấu = xảy ra x=5 ); (3y-5) 2 0 (dấu = xảy ra y= 3 5 ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y 3 5 = ). Ta viết min A = 1. Nhận xét : 1. Các hằng đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc nhau. Chẳng hạn: (A B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2 hoặc ngợc lại 2. Bình phơng của mọi số đều không âm : ( A B ) 2 0 (dấu = xảy ra A = B). Ví dụ 4: Cho đa thức 2x 2 - 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Giải: thay x bởi y-1, ta đợc : 1x 2 - 5x +3 = 2( y 1) 2 - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y 2 - 2y + 1) 5y + 3 + 5 = 2y 2 - 9y + 10 Ví dụ 5: Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? Giáo án BDHSG Toán 8 A = (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1) B = 2 32 . Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 nhiều lần, ta đợc: A = 2 32 -1. Vậy A < B. Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c) 3 + (a - b c) 3 -6a(b + c) 2 . Giải : A = [a + (b + c)] 3 + [a (b + c)] 3 - 6a(b + c ) 2 = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) + a 3 -3a 2 (b + c) + + a 3 - 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 - (b + c) 3 - 6a(b + c) 2 = 2a 3 Bài tập vận dụng: A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - (18 4 - 1)(18 4 + 1) ; c) 100 2 - 99 2 + 98 2 - + 2 2 - 1 2 d) (20 2 +18 2 + +4 2 +2 2 ) (19 2 +17 2 + +3 2 +1 2 ) ; e) 22 22 75125.150125 220780 ++ Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí : a) A = 22 22 246254 242258 ; b) B = 263 2 + 74.263 + 37 2 ; C = 136 2 -92.136 + 46 2 ; c) D = (50 2 + 48 2 + +2 2 ) (49 2 +47 2 + +3 2 + 1 2 ) Bài 8 : Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c . Bài 9 : Tìm x và tìm n N biết x 2 + 2x + 4 n - 2 1+n +2 = 0. B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) : D C B A Giáo án BDHSG Toán 8 Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x 2 -x+1) ; b) 3x 2 (x+1)(x-1) (x 2 -1)(x 4 +x 2 +1)+(x 2 -1) 3 ; c) (a+b+c) 3 +((a-b-c) 3 +(b-c-a) 3 +(c-a-b) 3 ; Bài 11 : Tìm x biết : 6(x+1) 2 -2(x+1) 3 +2(x-1)(x 2 +x+1) = 0 Bài 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(c+a). Bài 13 : Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng : a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3(ab cd)(c +d) . Bài 14 : Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a 3 +b 3 ) 3(a 2 +b 2 ) . Tiết 9-10-11-12 Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân *) Khái niệm chung về tứ giác: +) Định nghĩa : a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau). Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác. b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. Trong hình, ABCD là tứ giác lồi 3. Định lí: Tổng các gọc trong tứ giác bằng 360 0 . *) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi: Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi. ABCD lồi ABCD có hai đờng chéo cắt nhau. Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: (I) Tia Oz nằm trong gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M Oz, N Oy (II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy. (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao? M C A B j M' M B C A M N C A B Giáo án BDHSG Toán 8 b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM là tứ giác lồi? c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. Giải a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trờng hợp : - M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). - M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M nằm trong góc A. Do đó AM là tia trong của góc A, mà A và M nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên đoạn Am cắt đoạn thẳng BC và ABMC là tứ giác lồi. Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC là tứ giác lõm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh của tứ giác lồi. c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng MN không cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC). H .2a các ví dụ : Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo. *) Nhận xét : o C D A B O C D A B Giáo án BDHSG Toán 8 Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba. Giải Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức trong BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). Trong tam giác ABO và CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) và (4) ta đợc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề : Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng chéo. 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao? Ví dụ 2: Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chứng minh rằng : AB < AC. Giải Gọi giao điểm của AC và BD là O Trong tam giác AOB, ta có : AB < AO + OB (1) Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) và (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : AB + BD AC + CD (4) Từ (3) và (4) suy ra AB < AC. (đpcm) Ví dụ 3 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : Q F P D C B A Giáo án BDHSG Toán 8 PQ 2 ABDC + Gợi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về đờng trung bình trong tam giác. Giải GT Tứ giác ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ 2 ABDC + Cm: Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm F của AC. Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do đó : PF = 2 DC Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó : QF = 2 AB Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = 2 ABDC + Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có : PQ = PF + QF = 2 ABDC + Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có : PQ 2 ABDC + . ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy ngay rằng : P, Q, F thẳng hàng AB//CD. Do đó ta chứng minh đợc rằng : PQ 2 ABDC + . Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD. Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí: (1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ = 2 ABCD + (2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ 2 ABCD + và PQ < 2 ABDC + Các bài tập : Bài tập 1: D C B A D C B A D C B A Giáo án BDHSG Toán 8 Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E. Bài tập 2: Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi. Bài tập 3: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc tù. Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD. *) hình thang hình thang cân: Hình thang: -) Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. AB//CD ABCD là hình thang hoặc (AB//CD,AD//BC) AD//BC Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình 2. Định lí (về đờng trung bình) AB//CD PQ//AB và PQ = 2 CDAB + hình thang cân 1. Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. Tính chất: Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang ABCD (AB//CD) : BC= AD Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau. Hình thang ABCD(AB//CD) : AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. 3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang đó có một trong các tính chất sau : 1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). D E O K L B C A O E D H C B A Giáo án BDHSG Toán 8 2) Hai đờng chéo bằng nhau. Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK. Giải : Lấy trên AB một điểm L sao cho AL = AK Lấy trên AC một điểm D sao cho AD = AE Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau. DL = EK (1) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : 2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) Nhng trong tam giác OKL, ta có : OK + OL > LK (3) Trong DEO : EO + OD > ED (4) Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5) Từ giả thiết AE + AK = AB + AC Suy ra BE = CK Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên BE = CK Vậy DC = CK. Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL. Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra : LK + ED = 2BC (6) Từ (5) và (6), ta có : EK > BC ( đ p c m). Ví dụ 5 : Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc. Biết đ- ờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy. Giải : Vẽ AE// BD (E CD). Vì AC BD (gt) nên AC AE (quan hệ giữa tính song song và vuông góc). Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn) AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy ra AC = AE ; V AEC vuông cân tại A ; đờng cao AH cũng là trung tuyến, do đó AH = 1 1 EC (AB CD) 2 2 = + hay AB + CD =2h. Nhận xét: Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đờng phụ ta có thể : - Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ trên). [...]... tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên : B = x4 6x3 + 11x2 6x + 1 Tiết 25-26-27- 28 Chuyên đề 6 : phơng pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên I Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z 1 Tính chia hết : a) Định nghĩa : Cho a, b Z ( b 0) Giáo án BDHSG Toán 8 Nếu có q Z sao cho a = bq Thì ta nói: a là bội của b hoặc b là ớc của a a chia hết cho b... 1, ta có : n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8( k + 1) +2 Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho 8 Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8 Bài tập : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n : a) n3 n + 4 không chia... Bài tập 8: CD AB 2 thì tứ giác ABCD là hình thang Cho tam giác ABC trong đó AB > AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB +AC Giáo án BDHSG Toán 8 Chứng minh rằng : BC < EK Tiết 13 => 18 Chuyên... ABCD là hình thang 2 Giải : Giáo án BDHSG Toán 8 Gọi O là trung điểm của BD Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt là đờng trung bình của ABD và BCD nên B AB và OM // AB ; (1) OM = 2 CD ON = và ON // CD ; (2) A O 2 N Suy ra O nằm giữa M và N Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác M ABCD là hình thang D C +) Nhận xét : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh... 4) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng 9x2 + 6x 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2) *) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức : mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q) Giáo án BDHSG Toán 8 Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b đợc tách thành b1 + b2 sao cho b1b2 =ac Trong thực hành... +4x+4) =(x-1)(x+2)2 Giáo án BDHSG Toán 8 Cách 2 x3 +3x2 4= x3 -1 + 3x2 -3 = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3) = (x-1)(x+2)2 Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1 Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x3 -5x2 + 8x -3 Giải : Các số.. .Giáo án BDHSG Toán 8 - Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên - Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao Ví dụ 6 : à à Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A + C = 180 0 Chứng minh rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D b) Tứ giác ABCD là hình thang cân K Giải : ả à ả a) Vẽ BH... : b +) b chắn r= 0, 1, 2, 3, + 2 b (hoặc r= 0, 1, 2, 3, - ) 2 b-1 +) b lẻ r= 0, 1, 2, 3, 2 3 Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số : Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a, b) hoặc (a, b) Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác Thuật toán dựa trên điịnh lí sau đây : +) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b a = bq (a, b) = b +) Nếu a chia cho b, d... hết cho 6 Giáo án BDHSG Toán 8 A(n) là hiệu của hai hạng tử : n3 n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết cho 6, nên : A(n) M6 Ví dụ 6 : Chứng minh rằng tổng lập phơng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 Gải : Ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 Ta có : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 -3n + 18n + 9n2 +... a) x2 6x + 8 ; b) 9x2 + 6x -8 ; Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành bình phơng của một nhị thức Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử a) Cách 1 x2 -6x + 8 = x2 2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x- 4) Cách 2 x2 6x + 8 = x2 6x + 9 1 = (x -3)2- 1 = (x 2)(x 4) Cách 3 x2 6x +8 = x2 - 4 - . 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - ( 18 4 - 1)( 18 4 + 1) ; c) 100 2 - 99 2 + 98 2 - + 2 2 - 1 2 d) (20 2 + 18 2 + +4 2 +2 2 ) (19 2 +17 2 + +3 2 +1 2 ) ; e) 22 22 75125.150125 220 780 ++ Bài 7 : Tính. trong hai số A và B ? Giáo án BDHSG Toán 8 A = (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1) B = 2 32 . Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1). áp dụng. và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo. *) Nhận xét : o C D A B O C D A B Giáo án BDHSG Toán 8 Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đờng phụ, xét các