giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7

Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Chơng Trờng THCS Thanh Mỹ Giáo án BDhsg toán 7 GV: Nguyễn Văn Tú NM HC 2010-2011 Đề số 1: đề thi học sinh giỏi huyện 1 Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1:(4 im) a) Thc hin phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 2:(4 im) Tỡm x bit: a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x + = + 2 b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Bi 3: (4 im) a) S A c chia thnh 3 s t l theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s ú bng 24309. Tỡm s A. b) Cho a c c b = . Chng minh rng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng minh ba im I , M , K thng hng c) T E k EH BC ( ) H BC . Bit ã HBE = 50 o ; ã MEB =25 o . Tớnh ã HEM v ã BME Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú à 0 A 20= , v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b) AM = BC Ht Đáp án đề 1toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ 3 Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, 4 qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1:(4 im) a) Thc hin phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 2:(4 im) Tỡm x bit: 5 D B A H C I F E M a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − + b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = Bài 3: (4 điểm) c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. d) Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( ) H BC∈ . Biết · HBE = 50 o ; · MEB =25 o . Tính · HEM và · BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có µ 0 A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… §¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − = − = − + + + + − − = − + + − = − − = − = b) (2 điểm) 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × = 10( 3 n -2 n ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 7 2 3 3 1 5 2 3 3 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 1 2 3 x x x x x x x x − = − =− = + = − =− + = − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + =   ⇔ − = ⇔         ⇔ b) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   7 ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷   + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ =   ⇔ − − − =     ⇔     ⇔   Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 5 4 6 (1) và a 2 +b 2 +c 2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a b c = = = k ⇒ 2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c= = = Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k + + = ⇒ k = 180 và k = 180 − + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 − , ta được: a = 72 − ; b = 135 − ; c = 30 − Khi đó ta có só A = 72 − +( 135 − ) + ( 30 − ) = 237 − . b) (1,5 điểm) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a ab b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC ∆ và EMB∆ có : 8 K H E M B A C I AM = EM (gt ) · AMC = · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC ∆ = EMB∆ · MAC⇒ = · MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB ∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra · AMI = · EMK Mà · AMI + · IME = 180 o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ · EMK + · IME = 180 o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( µ H = 90 o ) có · HBE = 50 o · HBE⇒ = 90 o - · HBE = 90 o - 50 o =40 o · HEM⇒ = · HEB - · MEB = 40 o - 25 o = 15 o · BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên · BME = · HEM + · MHE = 15 o + 90 o = 105 o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) suy ra · · DAB DAC= Do đó · 0 0 20 : 2 10DAB = = b) ∆ ABC cân tại A, mà µ 0 20A = (gt) nên · 0 0 0 (180 20 ) : 2 80ABC = − = ∆ ABC đều nên · 0 60DBC = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra · 0 0 0 80 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên · 0 10ABM = Xét tam giác ABM và BAD có: 9 20 0 M A B C D AB cnh chung ; ã ã ã ã 0 0 20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Đề số 3: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 và nhỏ hơn 9 11 Câu 3. Cho 2 đa thức P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = = = x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1+x +5 B = 3 15 2 2 + + x x Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC Đáp án đề 3 toán 7 10 [...]... Chứng minh MHK vuông cân 33 Đề số 26: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2đ) Rút gọn A= x x2 x + 8 x 20 2 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Câu 3: (1,5đ) Chứng... (a+c)d=c(b+d) 0,25 0,5 0,5 Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n + 1) = 111a = 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1 a = 3 hoặc a = - 3 * a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có: 9 9 và nhỏ hơn 10 11 9 7 9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70 Vì 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 70 9 x 77 => x = 8 Vậy phân số cần tìm là 7 8 Câu 3 Cho 2 đa thức P ( x ) = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( x ) = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q... điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC Câu 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n 8 có giá trị lớn nhất 2n 3 21 Đề số 11: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Tính: A = 0 ,75 0,6 + + 3 7 3 11 11 : + + 2 ,75 2,2 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 : + + B= 49 7 3 9 b) Tìm các giá trị của x để: x + 3 + x + 1 = 3x Câu 2: (2 điểm) a b c + + không... ; 24 p 2 + 1 là các số nguyên tố Đề số 20: đề thi học sinh giỏi Câu 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính: (Thời gian làm bài 120 phút) 3 3 + 7 13 A= 11 11 ; 2 ,75 2,2 + + 7 3 B = ( 251.3 + 281) + 3.251 (1 281) 0 ,75 0,6 + b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 Câu 2: ( 2 điểm) a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c M 17 nếu a - 11b + 3c M 17 (a, b, c Z) bz cy cx az ay bx = = a b c a b... vuông với c là số đo cạnh huyền Chứng minh rằng: a 2 n + b 2 n c 2 n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0 Đề số 16: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính: 3 1 16 1 8 5 +3 5 19 4 : 7 A= 9 4 1 24 14 2 2 34 34 17 25 B= 1 1 1 1 1 1 1 3 8 54 108 180 270 378 Câu 2: ( 2, 5 điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m... Câu 5: (1 điểm) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n 1 là hợp số Đề số 17: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 1 1 (1 + 2 + 3 + + 99 + 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 A= 1 2 + 3 4 + + 99 100 1 2 3 2 4 14 7 + 35 ( 15 ) B= 1 3 2 2 5 + 10 25 5 7 Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức A = 3x 2 2 x + 1 với x = b) Tìm x... AM c) AM EF Câu 5: (1 điểm) 1 2 1 3 1 4 Chứng tỏ rằng: 1 + + + 1 1 1 1 1 1 = + + + + 99 200 101 102 199 200 Đề số 18: đề thi học sinh giỏi Câu 1: (2 điểm) (Thời gian làm bài 120 phút) 2 2 1 1 + 0,25 + 9 11 3 5 a) Thực hiện phép tính: M = 7 7 1 1,4 + 1 0, 875 + 0 ,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) Tính tổng: P = 1 10 15 3 28 6 21 0,4 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm x biết: 2 x + 3 2 4 x = 5 2) Trên quãng... = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100 Bi 6 (4): Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 600 Tia phõn giỏc ca gúc B ct AC ti D, tia phõn giỏc ca gúc C ct AB ti E Cỏc tia phõn giỏc ú ct nhau ti I Chng minh: ID = IE Đề số 8: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1 (5): 1, Tỡm n N bit (33 : 9)3n = 72 9 2, Tớnh : 1 2 3 2 4 2 + 0, (4) + 3 5 7 A= 2 4 6 9 2 3 5 7 Bi . mẫu phân số cần t m là x Ta có: 9 7 9 10 11x < < => 63 63 63 70 9 77x < < => -77 < 9x < -70. Vì 9x M 9 => 9x = -72 => x = 8 Vậy phân số cần t m là 7 8 Câu. +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) T m giá trị nhỏ nh t của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A. đối diện nhau trên m t đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm