Tuyển Tập Tổ Hợp pps

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 4 22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. 23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn. 24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. 25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở đòa điểm A, 2 người ở đòa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 26. (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghò Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp. 27. (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? 28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9? 29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000? 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0. 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 32. (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 1 Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM 1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2. 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123. 2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau? 3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. 4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau: 1. n là số chẵn. 2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1. 5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? 6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? 7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 2 Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? 8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: 1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau. 2. Các chữ số được xếp tuỳ ý. 9. (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: 1. Bạn C ngồi chính giữa. 2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. 10. (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. 11. (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. 12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? 2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu: 1) phải có ít nhất là 2 nữ. 2) chọn tuỳ ý. 14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 3 được: 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. 2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. 3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. 15. (ĐH Y HN 2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? 16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6. 17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. 18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên. 19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. 20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. 21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 8 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. 62. (ĐH khối B 2005 dự bò 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. 63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. 64. (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 65. (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. 66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt? 67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó. 68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d 1 , d 2 song song với nhau. Trên đường thẳng d 1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho. Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 5 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần. 33. (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau. 34. (HV Chính trò quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. 1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. 35. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 36. (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần? 37. (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá. 39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5. 40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) 1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một? 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau? 41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 6 bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới). 43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vò trí chính giữa? 44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1. 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. 45. (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. 46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phần tử. 1. Có bao nhiêu tập hợp con của A? 2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) 1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. 2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345. 48. (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất: 1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam. 2. Một học sinh nữ và một học sinh nam. 49. (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? 50. (ĐH khối D dự bò 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 7 ít nhất một em được chọn. 51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. 52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vò. 53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? 55. (CĐ Sư phạm khối A 2002) 1. Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt. b) 6 đường tròn phân biệt. 2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên. 56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò) Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. 57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245. 58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. 59. (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. 60. (ĐH khối B 2005) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 12 2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vò trí tuỳ ý trong 9 vò trí (5 vò trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần). Vậy: có tất cả = 4 9 9! A 5! = 6.7.8.9 = 3024 số. 9. (ĐH Hàng hải 1999) 1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách. Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách. Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu. 2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách. Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách. Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu. 10. (HV BCVT 1999) * Số các số có 6 chữ số khác nhau là: - 65 1010 AA = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: 6 9 A = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là: - 65 99 AA = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số. 11. (ĐHQG HN khối B 2000) * Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau: Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có 3 4 A khả năng chọn 3 chữ số cuối. Þ Có 4. 3 4 A = 4.4! = 96 số. * Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có 3 4 A = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có 2 3 A = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. 12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000) 1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là 6 9 A = 60480 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 9 BÀI GIẢI 1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) 1. {} { } Ì ì ì =È ïï ỴÛ íí Ì ï ï ỵ Ï ỵ XA X1Y 1X Y3,4,5,6,7,8 2X . Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 2 6 = 64. Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2. 2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A. * n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123. * p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài. Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n · Tính m: Lập một số chẵn 54321 aaaaa gồm 5 chữ số khác nhau a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 Ỵ A, có nghóa là: Lấy a 1 từ {2, 4, 6, 8} ® có 4 cách Lấy a 2 , a 3 , a 4 , a 5 từ 7 số còn lại của A ® có 4 7 A = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360. · Tính n: Lập một số chẵn 21 123aa bắt đầu bởi 123; a 1 ,a 2 Ỵ A; a 1 ≠ a 2 Lấy a 1 từ {4,6,8} ® có 3 cách Lấy a 2 từ A \ {1,2,3,a 1 } ® có 4 cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348. 2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách. 3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) 1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 10 Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ. Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ. Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách 2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi. Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B. Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v… Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2 6 .6!.6! = 33177600 cách. 4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) 1. Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e Ỵ {0,2,4,6}, vì là số chẵn. Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: 4 7 A = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức. Ta loại những số có dạng 0bcde . Có 3 cách chọn e, và 3 6 A cách chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3. 3 6 A = 360 số chẵn có dạng 0bcde . Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài. 2. n = abcde * Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vò trí cho 1. Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {1}: có 4 7 A cách. Như thế: có 3. 4 7 A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài. * Xem các số hình thức 0bcde . Có 2 cách chọn vò trí cho 1. Chọn chữ số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là 3 6 A . Như thế: có 2. 3 6 A = 240 số hình thức dạng 0bcde . Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số. 5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: 4 15 C = 1365. Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: * 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 211 456 CCC = 180 * 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có 121 456 CCC = 240 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 11 * 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có 112 456 CCC = 300 Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645. 6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) 1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách. * Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách. Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài. 2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách. Vậy có 2.6 = 12 cách. * Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái. Vậy: có 12 + 12 = 24 cách. 7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0 1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f Ỵ {1, 3, 5}. Do đó: f có 3 cách chọn a có 4 cách chọn (trừ 0 và f) b có 4 cách chọn (trừ a và f) c có 3 cách chọn (trừ a, b, f) d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f) e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số 2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f Ỵ {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số * Khi f Ỵ {2, 4} thì: f có 2 cách chọn a có 4 cách chọn b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn d có 2 cách chọn e có 1 cách chọn Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số. Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn. 8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999) 1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số. Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 16 1234567 aaaaaaa mà tổng các chữ số là một số chẵn. Vậy có tất cả: 9.10 5 .5 = 45.10 5 số. 24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước. Vậy số các số cần tìm là: = 5 9 9! C 5!4! = 126. 25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Có tất cả: == 324224 969597 C.CC.CC.C = 1260 cách 26. (ĐH GTVT 2000) Có 2 khả năng: * 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 12 218 C.C * 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có 21 218 C.C Vậy số chọn là: 12 218 C.C + 21 218 C.C = 324 cách. 27. (HV Quân y 2000) 1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là 3 7 A . Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là 3 4 C . Vậy số cách xếp khác nhau là: 3 7 A . 3 4 C = 840 cách. 2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp. Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vò là 3! Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách. 28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng: u 1 = 100017, 100035, …, u n = 999999 với công sai d = 18. Do đó: u n = u 1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9. Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 13 2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: 6 12 A = 665280 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: 5 6 A.7 = 5040 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: 42 68 A.A = 20160 Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: 33 69 A.A = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) 1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn: * 2 nữ, 4 nam ® có 24 1530 C.C cách hoặc * 3 nữ, 3 nam ® có 33 1530 C.C cách hoặc * 4 nữ, 2 nam ® có 42 1530 C.C cách hoặc * 5 nữ, 1 nam ® có 51 1530 C.C cách hoặc * 6 nữ ® có 6 15 C cách Vậy: có 24 1530 C.C + 33 1530 C.C + 42 1530 C.C + 51 1530 C.C + 6 15 C cách 2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: 6 45 C . 14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) 1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: abc0 hoặc abc2 hoặc abc4 * Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. Þ Có 5.4.3 = 60 số * Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. Þ Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn. 2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5 . * Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b. Þ Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b. Þ Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm. 3. Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 ® có 4 số Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 14 * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần tử ® có 3! = 6 số. Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm. 15. (ĐH Y HN 2000) Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 111 534 C.C.C = 5.3.4 = 60 Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: 12 34 C.C = 18 Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 21 34 C.C = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn 16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Xét số năm chữ số 12345 aaaaa 1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có 4 5 A = 120 cách. Vậy có 5.120 = 600 số. 2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có 2 5 A cách. Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có 3 4 A = 24 cách. Vậy có 2 5 A . 3 4 A = 480 số. 17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) 1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có 23 1010 C.C = 5400 cách. 2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau: * 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách * 3 nam và 2 nữ: có 32 1010 C.C = 5400 cách * 4 nam và 1 nữ: có 41 1010 C.C = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách. 18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn 7 cách chọn chữ số hàng nghìn 7 cách chọn chữ số hàng trăm 7 cách chọn chữ số hàng chục 7 cách chọn chữ số hàng đơn vò Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số. Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 4. Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 15 19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho 1234 aaaa . Có hai khả năng: 1. Nếu a 1 + a 2 + a 3 + a 4 là số chẵn thì có thể lấy a 5 Ỵ {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5 chữ số 12345 aaaaa với tổng các chữ số là một số lẻ. 2. . Nếu a 1 + a 2 + a 3 + a 4 là số lẻ thì có thể lấy a 5 Ỵ {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số 12345 aaaaa với tổng các chữ số là một số lẻ. Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ. 20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) 1. Có: 2 5 C cách chọn ra 2 viện bi đỏ. 4 13 C cách chọn ra 4 viên bi còn lại. Vậy có: 2 5 C . 4 13 C = 7150 cách chọn 2. Có các trường hợp xảy ra: * 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng ® có 33 95 C.C cách * 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng ® có 222 954 C.C.C cách * 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng ® có 114 954 C.C.C cách Vậy có tất cả: 33 95 C.C + 222 954 C.C.C + 114 954 C.C.C = 3045 cách. 21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 2 khả năng: 1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn ® có 5!5! cách 2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ ® có 5!5! cách Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách. 22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6. Vậy có tất cả có: 8.7.6.5. 2 4 C .1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài. 23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Số các số có 6 chữ số 123456 aaaaaa là 9.10 5 số Với mỗi số có 6 chữ số 123456 aaaaaa ta lập được 5 số có 7 chữ số Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 20 · Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5. Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 4 5 A Þ Số các số thu được là: 5. 4 5 A = 600 số. Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số. 40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) 1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9.9.8 = 648 số. 2. · Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: 4 7 A = 840 · Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0. * Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn * 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại. Þ Số các số tạo thành: 3.6. 3 6 A = 2160 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số. 41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720 Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120 số các số có chứa 61 là 5! = 120 Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số. 42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Đánh số vò trí đứng từ 1 đến 9. Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vò trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9). Có 5 cặp 3 vò trí của 3 học sinh nữ. Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vò trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vò trí còn lại là 6!. Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách. 43. (HV Quan hệ quốc tế 2001) Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9. Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8! Vậy tất cả có: 8! = 40320 số. 44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) 1. Số được xét có dạng: 123456 aaaaaa . Xếp chữ số 0 vào các vò trí từ Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 17 29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000: x = 123456 aaaaaa Từ giả thiết Þ a 1 Ỵ {5,6,7,8,9}, a 6 Ỵ {1,3,5,7,9} Có 2 khả năng: 1. a 1 lẻ: * a 1 có 6 cách chọn * a 6 có 4 cách chọn * sau khi chọn a 1 , a 6 , cần chọn 2345 aaaa , mỗi cách chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử. Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. 4 8 A = 40320 số 2. a 1 chẵn: * a 1 có 2 cách chọn * a 6 có 5 cách chọn * 2345 aaaa có 4 8 A cách chọn Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. 4 8 A = 16800 số Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm. 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5. 3 5 A = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: 4 5 A = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số. 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chọn 3 em nam: có 3 9 C cách Chọn 2 em nữ: có 2 6 C cách Vậy có: 3 9 C . 2 6 C = 1260 cách. 32. (ĐH An ninh khối D 2001) Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau: Thế thì: * Có 6 cách chọn vò trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1) * Sau khi đã chọn vò trí cho số chữ 0 ta còn 3 6 C = 20 cách chọn vò trí cho 3 chữ số 4. * Sau khi đã chọn vò trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 18 chọn cho 3 chữ số còn lại. Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số. 33. (ĐH Cần Thơ 2001) Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách. Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách. 34. (HV Chính trò quốc gia 2001) 1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là: 32 64 C.C = 120 2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: 5 6 C = 6 * Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: 41 64 C.C = 60 Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66. 35. (ĐH Giao thông vận tải 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = 123456 aaaaaa . + Nếu a 1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có 5 7 A = 2520 số. + Nếu a 1 ≠ 4 thì vì a 1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a 1 . Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vò trí còn lại là a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 . Khi đó các vò trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 4 6 A số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. 4 6 A = 10800 số. Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số. 36. (ĐH Huế khối ABV 2001) · Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số · Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần: + Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a Ỵ {1,2,3, ,9} Þ có 9 số + Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số: * a111 với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số * 1b11 với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số * 11c1 với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số * 111d với d Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 19 Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số + Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần. Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9.35 = 324 số · Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số. 37. (ĐH Huế khối DHT 2001) * Số cách chọn 5 em từ 13 em là: 5 13 C = 1287 * Số cách chọn 5 em toàn nam là: 5 7 C = 21 * Số cách chọn 5 em toàn nữ là: 5 6 C = 6 Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai. · Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có 2 5 C = 10 cách chọn 2 học sinh khá. * Có 5 8 C = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách. · Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có 3 5 C = 10 cách chọn 3 học sinh khá. * Có 4 8 C = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách. Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách. 39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số: · Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có 4 cách chọn vò trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vò trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 3 5 A Þ Số các số thu được là: 4.4. 3 5 A = 960 số [...]... + C11 + C12 + C13 + C14 2n Tuyển tập Đại số tổ hợp 2 Û x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x – 14x é x = 0 (loại) 2 Û x(x – 9x + 14) = 0 Û ê x = 2 (loại) ê ê x = 7 (nhận) ë 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho x = 1 Þ 2 6 (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát của khai triển là: k C17 ( ) ( ) 2 17-k x 3 3 k x4 k = C17 17 34 3 12 k - 3 x4 ( ) (k Ỵ N, 0 ≤ k ≤ 17) 38 Tuyển tập Đại số tổ hợp Để số hạng không chứa x... 5 + 7 + 8) A5 = 3360 Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x Ỵ X là: 3360.10; … Vậy tổng tất cả các phần tử của X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) 1 Số tập con của A là: C0 + C1 + C2 + + C20 = 220 20 20 20 20 22 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn... hai đẳng thức trên, ta được: 0 1 = Tuyển tập Đại số tổ hợp (1 – 3)2n = C0 - C1 31 + C2 32 - + C2n 3n 2n 2n 2n 2n 2 Ta có: I = 2 1 1 (x + 1 n+1 ) (x + 1)ndx = ò 20 2 n+1 2 26 (ĐH Hàng hải 2001) 23 (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) 1 43 Trần Só Tùng Ck n Þ Ck lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) n+1 2 48 Tuyển tập Đại số tổ hợp éx = 0 2 Û x(x – 9x + 14) –.. .Tuyển tập Đại số tổ hợp 24 Trần Só Tùng Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5 Số hoán vò của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vò trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn... · Số cách chọn 2 học sinh khối C là: C5 = 10 32 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng: n+1 2 2000 =2 2001 (2 £ - 1) ( ) 2 Cn 2n ( + ) -x n 23 + Cn-1 n (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) 6 7 8 9 Tính tổng: C10 + C10 + C10 + C10 + C10 10 trong đó Ck là số tổ hợp chập k của n phần tử n 4 x -1 n 0 Cn 2 2 x -1... nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: Cn +k Cn -k 2n 2n Tuyển tập Đại số tổ hợp Phần II BIỂU THỨC TỔ HP – NHỊ THỨC NEWTON 1 2 2 4 4 2000 2000 C0 C2001 2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + + 3 29 Trần Só Tùng x -1 n-1 - x 1 + Cn 2 2 23 - x n-1 -x n n 23 + Cn 2 3 (n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó (ĐH Bách khoa HN 1999) 2 3 4 Tính tổng: S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + + (-1 n-1.nCn ) n n 5 3 Cn... vào x, biết rằng Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 n n n 9 (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhò thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) 1 1 2 1 n 0 Tính tổng: S = Cn + C1 + Cn + + Cn n 2 3 n+1 30 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 11 (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) 2 3 4 Chứng minh: 2n-1C1... thông III 2003) 1 Tính tổng: ) (x Ỵ N, x ≥ 3) 2 3 4 S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + + (-1)n-1nCn n n 1 1 1 2 1 n Cn + Cn + + Cn 2 3 n+1 biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện: 2 Tính tổng: 6 7 8 9 10 S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 = 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) 0 T = Cn + Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 n n n 47 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) (n > 2) 34 Tuyển tập Đại số tổ hợp Chứng minh rằng: +... Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài 59 (ĐH khối B 2004) Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau: Trần Só Tùng 27 Tuyển tập Đại số tổ hợp Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x 62 (ĐH khối B 2005 dự bò 1) Ta có các trường hợp: 5 · 3 nữ và 5 nam: có C3C10 = 2520 cách 5 4 4 · 4 nữ và 4 nam: có C5C10 = 1050 cách 3 · 5 nữ và 3 nam: có C5C10 = 120 cách 5 Vậy tất... sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp: 4 * 1 nam và 4 nữ: có C1 C10 cách 10 2 3 * 2 nam và 3 nữ: có C10 C10 cách 3 2 * 3 nam và 2 nữ: có C10 C10 cách 23 4 * 4 nam và 1 nữ: có C10 C1 cách 10 1 4 2 3 Vậy tất cả có: 2 C10 C10 + 2 C10 C10 4 T = C2 + C20 + + C20 20 20 C0 20 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp = 15000 cách 49 (ĐH Y HN 2001) Ta xét các trường hợp sau: 1 Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, . Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 1 Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM 1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều. Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 9 BÀI GIẢI 1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) 1. {} { } Ì ì ì =È ïï ỴÛ íí Ì ï ï ỵ Ï ỵ XA X1Y 1X Y3,4,5,6,7,8 2X . Do đó số các tập X bằng số các tập con. Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: * 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 211 456 CCC = 180 * 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có 121 456 CCC = 240 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 11