BÀI TẬP CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP pps

Hỏi 1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đó luôn có mặt của Bình.. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự đại hội sinh viên của trờng sao cho trong 3 n

Trang 1

Giải tích tổ hợp – Xác suất

Các quy tắc đếm cơ bản Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Chỉnh hợp – Chỉnh hợp – Tổ hợp Tổ hợp

I – Chỉnh hợp – Tổ hợp Các quy tắc đếm cơ bản

1/ Quy tắc cộng

Một công việc A đợc chia ra k công việc A1 , A2 , … , A , Ak để thực hiện ; mỗi công việc độc lập không liên quan đến nhau Trong đó :

+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện

… , A

+ Công việc Ak có nk cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 + n2 + … , A + nk) cách

2/ Quy tắc nhân

Một công việc A đợc thực hiện lần lợt qua k giai đoạn A1 , A2 , … , A , Ak

Trong đó :

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

… , A

+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện

Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện nào ở giai đoạn còn lại

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 n2… , A n k) cách

 Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta phải dùng quy tắc

cộng

II – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của X

gọi là một hoán vị của n phần tử

2/ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử

Pn = n! = 1.2.3… , An

III – Chỉnh hợp – Tổ hợp Chỉnh hợp

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một chỉnh hợp chập k của n phần tử

(0  k  n , k  N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X

2/ Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

Akn = n !

(n k) !  ( 0 ≤ k ≤ n )

 Chú ý : Hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau

Pn = Ann = n !

(n n) !  = n !

IV – Chỉnh hợp – Tổ hợp tổ hợp

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một tổ hợp chập k của n phần tử (0

 k  n , k  N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X

2/ Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử

Ckn = n !

k!(n k) !  ( 0 ≤ k ≤ n )

3/ Các tính chất của tổ hợp

 Ckn = Cn - kn

 Ckn + Ck + 1n = Ck + 1n + 1

4/ Chú ý : Phân biệt hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp

 Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X

 Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự

 Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự

Trang 2

A Một số chú ý

1/ Số chẵn : Chữ số tận cùng là : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8

2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9

3/ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hết cho 3

4/ Dấu hiệu chia hết cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9

5/ Dấu hiệu chia hết cho 5 : Số tận cùng là 0 ; 5

6/ Dấu hiệu chia hết cho 6 : Số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3

7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4

8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8

9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0

 Giả sử số phải lập có dạng : N =

1 2 3 4 n

a a a a a Khi chọn các chữ số a1 , a2 , … , A , an ta chọn những chữ số bị ràng buộc trớc

Ví dụ

+ a1 phải khác 0

+ Nếu N lẻ thì an phải chọn các số lẻ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9

B Bài tập

Bài 1 : Cho tập A có các phần tử 1,2,3,4,5,6,7 Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau đợc

lấy ra từ tập A

Giải

Cách 1

 Tập A không chứa số 0

 Số các số có năm chữ số đợc lấy từ tập A là số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử nên có

A57 = 2520 số

Cách 2 : Gọi số cần tìm là N =

1 2 3 4 5

a a a a a

 Chọn a1 có 7 cách (chú ý a1 ≠ 0 )

 Chọn a2 có 6 cách

… , A

Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3 = 2520 số thoả mãn

Bài 2 : Cho tập A có các phần tử 0,1,2,3,4,5,6,7 Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau

đ-ợc lấy ra từ tập A

Giải

Cách 1

 Tập A chứa số 0

 Gọi số cần tìm là N = a a a a a1 2 3 4 5

 Chọn a1 có 7 cách vì a1 ≠ 0

 Bốn chữ số còn lại có A47 cách chọn

Theo quy tắc nhân co 7 A47 = 5880 số thoả mãn

Cách 2 : Gọi số cần tìm là N =

1 2 3 4 5

a a a a a

Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4 = 5880 số thoả mãn

Bài 3 : Cho tập A = {1,2,3,4,5}

1/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Tính tổng các số này 2/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

3/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số lẻ gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này chia hết

Dạng 1 : Bài toán tập hợp số

Trang 3

Giải

1/

a) Số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau là : P5 = A55 = 120 (số)

b) Tính tổng

 Nhận xét : Trong 120 số trên có 60 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng bằng 66666

Ví dụ : (12345 và 54321 ; 13254 và 53412 ; 43512 và 23154 … , A)

 Do đó , tổng của 120 số là : S = 60.66666 = 3999960

2/ Gọi số cần tìm là N =

1 2 3 4 5

a a a a a Vì N là số chẵn nên

 Chọn a5 có 3 cách (1 , 3 , 5)

Theo quy tắc nhân có : 3.4.3.2.1 = 72 (số lẻ)

3/ Tơng tự có 2.4.3.2.1 = 48 số chẵn

4/ Gọi số cần tìm là N =

1 2 3

a a a Vì N là số chia hết cho 9 nên ta có : (a1 + a2 + a3 ) chia hết cho 9 Nên ta chọn bộ ba chữ số (a1 ; a2 ; a3 ) là : {(1,3,5) ; (2,3,4)}

 Trờng hợp 1 : Chọn bộ (1,3,5) có P3 = A33 = 6 số thoả mãn

 Trờng hợp 2 : Chọn bộ (2,3,4) có P3 = A33 = 6 số thoả mãn

Theo quy tắc cộng có : 6 + 6 = 12 số thoả mãn

Bài 4 : Với các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau

trong đó luôn có mặt chữ số 5

Giải

Gọi số cần tìm là N =

1 2 3 4

a a a a

Cách 1 :

Bớc 1 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau

 Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.4 = 720 số

Bớc 2 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau nhng không có chữ số 5 (bỏ chữ số 5)

Có 5.5.4.3 = 300 số

Bớc 3 : Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 là :

720 – 300 = 420 số

Cách 2

- Chọn a1 = 5

- Chọn a2 = 5

… , A

- Chọn a4 = 5

Bài 5 : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó nhỏ

hơn 345

Giải

1 2 3

a a a Vì N < 345 nên a1 chỉ có thể là 1 , 2 , 3

 Trờng hợp 1 : a1 = 1  N =

2 3

1a a + Chọn a2 có 5 cách chọn

+ Chọn a3 có 4 cách chọn

 Có 5.4 = 20 số dạng

2 3

1a a

 Trờng hợp 2 : a1 = 2  N =

2 3

2a a + Chọn a2 có 5 cách chọn

+ Chọn a3 có 4 cách chọn

 Có 5.4 = 20 số dạng

2 3

2a a

Trang 4

 Trờng hợp 3 : a1 = 3  N =

2 3

3a a

* Chọn a2 có 3 cách chọn (1 , 2 , 4 )

- Nếu a2 = 1 thì a3 có 4 cách chọn (2,4,5,6)  Có 4 số dạng

3

31a thoả mãn

- Nếu a2 = 2 thì a3 có 4 cách chọn (1,4,5,6)  Có 4 số dạng

3

32a thoả mãn

- Nếu a2 = 4 thì a3 có 2 cách chọn (1,2)  Có 2 số dạng

3

34a thoả mãn  Có 4 + 4 + 2 = 10 số dạng

2 3

3a a thoả mãn

Vậy theo quy tắc cộng có : 20 + 20 + 10 = 50 số thoả mãn bài toán

Bài 6 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại

3 lần , các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần

Giải

1 2 3 4 5 6 7 8

a a a a a a a a Vì trong N chữ số 5 có mặt 3 lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5

 Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 số

* Trong N chữ số 5 có mặt 3 lần nên khi ta hoán vị 3 chữ số 5 này thì N vẫn không thay đổi nên N bị lặp lại 3! lần

Vậy số các số thoả mãn bài toán là : 35280

3! = 5880 số

Ví dụ : Số 10355564 thì khi ta hoán vị 3 chữ số 5 vẫn đợc số đó

Bài 7 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6

không đứng cạnh nhau

Giải

 Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau là : P6 = A66 = 6! = 720 số

 Bây giờ ta tìm số các số có 6 chữ số mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau

- Hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau ta xem nh một số a thống nhất Vậy bây giờ còn các chữ số : 2,3,4,5,a  Có A55 = 5! = 120 số

- Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số 1 và 6 trong a ta đợc 2! Số mới

 có cả thảy : 2!.120 = 240 số mà có hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau

Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là :

720 – 240 = 480 số

Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao

cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1

Giải

1 2 3 4 5 6

a a a a a a

 Tr ờng hợp 1 : a1 = 1  N =

2 3 4 5 6

1a a a a a

- Có 5 vị trí cho chữ số 0

- Còn 4 vị trí còn lại có A48 cách chọn

 Có 5 A48 = 8400 số dạng

2 3 4 5 6

1a a a a a thoả mãn bài toán

 Tr ờng hợp 2 : a2 = 1  N =

1 3 4 5 6

a 1a a a a

- Có 4 vị trí cho chữ số 0 vì a1 ≠ 0

Trang 5

- Còn 4 vị trí còn lại có A48 cách chọn

 Có 4 A48 số dạng

1 3 4 5 6

a 1a a a a thoả mãn bài toán

 Nếu a3 = 1 hoặc a4 = 1 hoặc a5 = 1 hoặc a6 = 1 thì cũng tơng tự nh a2 = 1

Vậy theo quy tắc cộng có : 5 A84 + 5.(4 A84) = 8400 + 33600 = 42000 số thoả mãn bài toán

Bài tập tự giải Bài 9 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 70.000

Đáp số

 Các chữ số lấy là : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 Có 4386 số thoả mãn

Bài 10 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một sao cho

số vừa tìm đợc lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600

Đáp số

 a1 chọn 3 , 4 , 5

 Có 90 số thoả mãn

Bài 11 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn :

1/ Không bắt đầu bằng 123

2/ Không tận cùng bằng 4

Đáp số

1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) Có 594 số thoả mãn bài toán

2/ a5 ≠ 4 Có 504 số thoả mãn bài toán

Bài 12 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn

không chia hết cho 3

Đáp số

 Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số các số chia hết cho 3 trớc )

 Có 60 số thoả mãn bài toán

Bài 13 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn :

1/ Luôn có mặt chữ số 6 và chữ số hàng trăm là 4

2/ Một trong hai số đầu tiên là 3 và số đó chia hết cho 5

Đáp số

1/ Có 52 số cần tìm

2/ Có 76 số cần tìm

Bài 14 :

1/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chữ số đứng đầu tiên là số

lẻ

2/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)

Đáp số

Ta lấy các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

1/ Có 42000 số thoả mãn

2/

 Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

 Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

Mỗi lần hoán vị 6 chữ số đã chọn ta sẽ có 6! Số mới

 Có C35.C35.6! số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

 Khi ta hoán vị nh trên thì có trờng hợp có số 0 nhảy lên đứng đầu Xét trờng hợp này có C35.C24.5! số

Vậy có : C35.C35.6! - C35.C24.5! = 64800 số thoả mãn bài toán

Bài 15 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đồng thời thoả mãn các tính chất sau :

1/ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn

2/ Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5

3/ Các chữ số ở vị trí thứ 4 , thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau

Đáp số Có 10.10.5.A103 8 = 2.880.000 số thoả mãn bài toán

Dạng 2 : Bài toán chọn ngời

Trang 6

Bài 1 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 ngời

2/ Chọn ra một đội văn nghệ gồm 13 ngời trong đó có ít nhất 10 nữ và phải có cả nam và nữ

Giải

1/

 Tổng số học sinh của lớp là : 10 + 15 = 25 học sinh

 Chọn 12 ngời bất kì trong 25 ngời có C1225 cách chọn

2/ Ta chia ra các trờng hợp sau

* Tr ờng hợp 1 : 10 nữ và 3 nam  Có C1015.C103 cách chọn

Theo quy tắc cộng có : C1015.C103 + C1115.C102 + C1215.C110 = 426335 cách chọn

Bài 2 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 6 ngời có cả nam và nữ

2/ Chọn ra một nhóm gồm 10 ngời trong đó có ít nhất 2 nam

Giải

1/ Tổng số học sinh của lớp là : 20 học sinh

 Cách 1 : Chia ra các trờng hợp

+ Có 1 nam và 5 nữ

 Dùng quy tắc cộng

 Cách 2 : Dùng phơng pháp loại trừ

- Chọn ra 6 ngời bất kì trong 20 ngời có C620 cách

- Chọn ra 6 ngời toàn là nam trong 8 nam có C68 cách

- Chọn ra 6 ngời toàn là nữ trong 12 nữ có C126 cách

 Số cách chọn 6 ngời có cả nam và nữ là : C620- C68 - C126 = 37808 cách

2/ Chia ra các trờng hợp  có 183370 cách chọn

Bài 3 : Một lớp học có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ trong đó có Bình Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đó luôn có mặt của Bình 2/ Chọn ra một nhóm gồm 8 ngời trong đó có một tổ trởng còn lại là thành viên biết rằng không

có Bình trong đó

Giải

1/ Tổng số học sinh của lớp là : 6 + 9 = 15 học sinh

 Vì ban đại diện luôn có mặt của Bình nên ta chỉ cần chọn 6 ngời trong 14 bạn còn lại Vậy có C146 cách chọn ban đại diện

2/ Vì không có Bình tham gia nên chỉ có 14 bạn

 Chọn một tổ trởng có C114 cách chọn (còn 13 bạn )

 Chọn 7 bạn còn lại trong 13 bạn có C137 cách chọn

 Theo quy tắc nhân có : C114.C137 = 24024 cách chọn

Bài 4 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có Nam

1/ Chọn ra một tổ trực nhật có 8 bạn , trong đó có một tổ trởng và còn lại là thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam luôn có mặt trong tổ

Trang 7

2/ Chọn ra một đội văn nghệ 10 ngời trong đó có 1 tổ trởng , 1 th kí và các thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam nhất thiết phải có mặt

Giải

1/ Ta chia ra các trờng hợp sau :

 Tr ờng hợp 1 : Nam là tổ trởng  Chỉ cần chọn 7 bạn còn lại trong 19 ngời còn lại  Có C197 cách chọn

 Tr ờng hợp 2 : Nam không là tổ trởng

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời còn lại có C119 cách chọn

- Chọn 6 thành viên trong 18 ngời còn lại có C186 cách chọn

 Có C119.C186 cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có : C197 + C119.C186 cách chọn

2/ Ta chia ra các trờng hợp sau :

 Tr ờng hợp 1 : Nam là tổ trởng

- Chọn một th kí trong 19 ngời có C119 cách chọn

- Chọn 8 thành viên trong 18 ngời còn lại có C188 cách

 Tr ờng hợp 2 : Nam là th kí

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời có C119 cách chọn

 Tr ờng hợp 3 : Nam là thành viên

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời có C119 cách chọn

- Chọn một th kí trong 18 ngời có C118 cách chọn

 Có C119.C118.C177 cách chọn

Bài 5 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự

đại hội sinh viên của trờng sao cho trong 3 ngời đó có ít nhất một cán bộ lớp

Giải

Ta chia ra các trờng hợp sau :

 Tr ờng hợp 1 : Có 1 cán bộ lớp

- Chọn 1 cán bộ lớp trong 2 cán bộ có C12 cách chọn

- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C182 cách chọn

Tr

ờng hợp 2 : Có 2 cán bộ lớp

- Chọn 2 cán bộ lớp trong 2 cán bộ có C22 cách chọn

- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C182 cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có : C12.C182 + C22.C182 = 324 cách chọn

Bài tập tự giải Bài 6 : Một đội văn nghệ có 20 ngời trong đó có 10 nam và 10 nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời sao cho :

1/ Có đúng 2 nam

Trang 8

2/ Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong đó

Đáp số

1/ C102 C103 = 5400 cách

2/ C102 C103 + C103 C102 + C104 C110 = 12900 cách

Bài 7 : Một tập thể gồm 14 ngời trong đó có 6 nam và 8 nữ trong đó có Thanh và Thơ , ngời ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 ngời Tìm số cách chọn trong mỗi trờng hợp sau :

1/ Trong tổ phải có cả nam và nữ

2/ Trong tổ phải có 1 tổ trởng , 5 tổ viên hơn nữa Thanh và Thơ không đồng thời có mặt trong

tổ

Đáp số

1/ Có thể dùng phơng pháp loại trừ  Có 2974 cách thoả mãn bài toán

2/

H

ớng dẫn (có thể dùng phơng pháp loại trừ)

- Bớc 1 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên (A)

- Bớc 2 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên trong đó cả Thanh và Thơ cùng có mặt (B)

Kết quả : A – B = 15048 cách

Bài 8 : Một lớp học có 30 học sinh gồm 3 loại : Có 5 học sinh giỏi , 10 học sinh trung bình và 15 học sinh yếu

1/ Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5 học sinh có đủ cả ba loại và không có quá 2 học sinh yếu

2/ Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 7 học sinh có đúng 2 học sinh yếu , có ít nhất 1 học sinh giỏi và có ít nhất một học sinh trung bình

Đáp số

1/ C115.C15.C103 + C115.C52.C102 + C115.C35.C110 + C152 C15.C102 + C152 C25.C110

2/ C152 C15.C104 + C152 C52.C103 + C152 C35.C102 + C152 C45.C110

Bài 1 : Tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh

Giải

 Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta đợc một đờng chéo hoặc một cạnh

 Vậy số đờng chéo và số cạnh của đa giác là : C2n

 Số cạnh của đa giác là n

 Số đờng chéo của đa giác là : C2n - n = n(n 3)

2



Bài 2 : Trên một đờng tròn cho 10 điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác nhận các điểm đó làm đỉnh

 Nhận thấy 10 điểm trên một đờng tròn

thì không có 3 điểm nào thẳng hàng

 Cứ 3 điểm không thẳng hàng tạo thành một tam

giác

 Số tam giác phải tìm là : C103 = 120

Bài 3 : Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ nhất có 10 điểm , trên đờng thứ hai có 15

điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho

Dạng 3 : Bài toán đếm số điểm ,

số đa giác , số cạnh

Trang 9

 Để tạo một tam giác cần có 3 điểm không thẳng ể tạo một tam giác cần có 3 điểm không thẳng

hàng Do đó 3 đỉnh của tam giác không thể nằm

trên một đờng thẳng

 Tr ờng hợp 1 : Tam giác tạo bởi một điểm trên

đ-ờng thẳng thứ nhất và hai điểm trên đđ-ờng thẳng

thứ hai Ta có

10.C152 tam giác thoả mãn

 Tr ờng hợp 2 : Tam giác tạo bởi một điểm trên

đ-ờng thẳng thứ hai và hai điểm trên đđ-ờng thẳng thứ

nhất Ta có

15.C102 tam giác thoả mãn

 Theo quy tắc cộng có : 10.C152 + 15.C102 tam

giác

Bài 4 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều n cạnh Hỏi

1/ Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác đó

2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác

3/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác

4/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Giải

1/ Ta biết n đỉnh của đa giác thì không có 3 đỉnh

nào thẳng hàng Do đó cứ 3 đỉnh của đa giác tạo

thành một tam giác Vậy số tam giác là : C3n

2/ Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác là tam

giác có chứa hai cạnh của đa giác Các tam giác

bắt đầu là : A1A2A3 , A2A3A4 , … , A , An-2An-1An , A

n-1AnA1 , AnA1A2

 Có n tam giác (để ý chỉ số in đậm chạy từ 1 đến

n )

Trang 10

Giải tích tổ hợp – Xác suất 3/ Tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác là

tam giác có hai đỉnh thuộc một cạnh của đa giác

và đỉnh thứ 3 đối diện với cạnh đã chọn Nh vậy

ứng với một cạnh có n – 4 đỉnh thoả mãn ( trừ đi

2 đỉnh thuộc cạnh đó và hai đỉnh liền kề với hai

đỉnh đó ) Để tạo một tam giác cần có 3 điểm không thẳng a giác có n cạnh

 Có n.(n – 4) tam giác thoả mãn

4/ Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa

giác là : C3n - n – n(n – 4)

Bài 5 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ 3 đỉnh của đa giác Hỏi

1/ Có tất cả bao nhiêu tam giác nh vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác

2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Đáp số

1/

 C320 = 1140 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác

 Có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác

2/

 Có 16.20 = 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác

 Có 800 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Bài 6 : Cho đa giác lồi n cạnh Kẻ tất cả các đờng chéo của đa giác đó biết rằng không có 3 đờng chéo

nào đồng quy Có bao nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác

Giải

 Mỗi giao điểm của hai đờng chéo tơng ứng duy nhất với một tứ giác lồi có các đỉnh là đỉnh của đa giác

 Do đó có bao nhiêu tứ giác lồi thì có bấy nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác

 Vậy số giao điểm phải tìm là : C4n

Bài 7 : Cho đa giác đều A1A2… , AA2n ( n ≥ 3) nội tiếp trong đờng tròn (O) Biết rằng số tam giác có đỉnh

là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , … , A , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm

A1 , A2 , … , A , A2n Tìm n

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	2,44 MB