HƯỚNG dẫn học SINH PHÂN TÍCH bài TOÁN xác SUẤT từ đó vận DỤNG HAI QUY tắc đếm cơ bản và QUY tắc TÍNH xác SUẤT để tìm xác SUẤT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Người thực hiện: Lê Văn Thượng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT hiệu Hóa SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HÓA NĂM 2019 Mục lục Phần I Mở đầu trang Lí chọn đề tài trang Mục đích nghiên cứu trang Đối tượng nghiên cứu trang Phương pháp nghiên cứu trang Phần II Nội dung .trang Cơ sở lí luận .trang Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến trang Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác st để tìm xác suất trang Tính xác suất định nghĩa trang Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất trang Bài tập tổng hợp .trang 13 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường .trang 22 Phần III Kết luận kiến nghị trang 24 Bài tập kiến nghị trang 26 Tài liệu tham khảo trang 29 Phần I : MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa đại số giải tích 11 chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để giải tốn Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm bản, quy tắc tính xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn vào tình cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo khái niệm xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt tốn tính xác suất theo định nghĩa em chưa nắm rõ biến cố tập hợp kết thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp kết thuận lợi biến cố thành nhiều nhóm kết thuận lợi cho việc đếm kết thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích biến cố thành hợp biến cố xung khắc giao biến cố độc lập từ vận dụng linh hoạt quy tắc để tính xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong băn khoăn khơng dám làm hay chưa Để giúp học sinh nắm rõ tốn xác suất tơi chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để tìm xác suất 1.2 Mục đích Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải tốn xác suất nhiều tình khác giúp em học sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh khối 11 học sinh ôn thi cuối khóa trường THPT Thiệu Hóa - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình SGK nâng cao mơn tốn lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải toán học sinh c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán xác suất trước sau học phương pháp phân tích 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Tập trung phân tích tập tổng hợp nâng cao phổ biến kì thi học sinh giỏi tỉnh, kì thi THPT quốc gia PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 1) Hai quy tắc đếm ( quy tắc cộng quy tắc nhân) 2) Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà: - Khơng đốn trước kết - Có thể xác định tập hợp kết xảy phép thử Khơng gian mẫu tập hợp kết xảy phép thử Không gian mẫu phép thử kí hiệu  3) Biến cố Biến cố kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy hay không xảy biến cố phụ thuộc vào kết phép thử Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C,… cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Tập  A mô tả cho biến cố A tập kết thuận lợi cho biến cố A Trong phép thử ln có hai biến cố đặc biệt: - Tập  mô tả cho biến cố ( gọi tắt biến cố không) - Tập  mô tả cho biến cố chắn Phép toán biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử T kết phép thử đồng khả - Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu A �B , gọi hợp hai biến cố A B mô tả tập  A � B - Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu AB , gọi giao hai biến cố A B mô tả tập  A � B - Biến cố A không xảy gọi biến cố đối biến cố , kí hiệu Và xảy không xảy - Nếu  A � B   ta nói - Hai biến cố và xung khắc gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 4) Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử biến cố liên quan đến phép thử T có số hữu hạn kết n( A) đồng khả năng, kí hiệu n( X ) số phần tử tập X Ta gọi tỉ số n() xác suất biến cố , kí hiệu P(A) Vậy P( A)  n( A) n ( ) 5) Tính chất xác suất: a) Tính chất bản:  P(  ) =  P(  ) =  �P (A) �1 với biến cố A  P ( A ) = 1- P(A) b) Quy tắc cộng xác suất  Nếu A B xung khắc thì: P( A �B)  P( A)  P( B)  Với biến cố ta có: P( A �B)  P( A)  P( B)  P( AB) c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập ta có: P ( AB)  P ( A).P ( B ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo khái niệm xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt tốn tính xác suất theo định nghĩa em chưa nắm rõ biến cố tập hợp kết thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp kết thuận lợi biến cố thành nhiều nhóm kết thuận lợi cho việc đếm kết thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích biến cố thành hợp biến cố xung khắc giao biến cố độc lập từ vận dụng linh hoạt quy tắc để tính xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên tốn xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước tốn xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong băn khoăn không dám làm hay chưa 2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC ST ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Tính xác suất định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A là: P( A)  n( A) n( ) Như chất việc tính xác suất biến cố A việc đếm số phần tử phép thử ngẫu nhiên số kết thuận lợi cho biến cố A Chính em học sinh cần nắm vững hai quy tắc đếm biết cách phân tích biến cố hay kiện hay công việc cần thực thành phương án, phương án lại thực theo cơng đoạn từ tìm bước giải toán Bài toán Gieo ba đồng xu cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau: a) Có hai mặt sấp xuất b) Có mặt sấp xuất c) Có nhiều mặt sấp xuất Hướng dẫn học sinh phân tích: Thực chất tốn đếm số kết xảy phép thử gieo ba đồng xu cân đối đồng chất đếm số kết thuận lợi cho biến cố Ta kí hiệu S mặt sấp xảy , N mặt ngữa xảy Các khả xảy là:  khả năng:    NNN ; NNS ; NSN ; SNN ; NSS ; SNS ; SSN ; SSS  a) Gọi A biến cố có hai mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho A gồm NSS; SNS; SSN Vậy P( A)  b) Gọi B biến cố có mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho B   gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , sấp SNN; NSN; NNS ba sấp SSS Vậy P( B)  Nhậ xét: Ta đếm phần bù  B   NNN  suy P( B )  � P( B)  a) Gọi C biến cố có nhiều mặt sấp xuất Số kết thuận lợi cho C   gồm SNN; NSN; NNS NNN Vậy P(C )   Bài toán Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau: a) Tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc b) Số chấm xuất mặt hai xúc xắc c) Tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số chẵn Hướng dẫn học sinh phân tích: Thực chất tốn đếm số kết xảy phép thử gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất đếm số kết thuận lợi cho biến cố Các khả xảy là: 6.6  36 khả : (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 6) � � � (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 6) � � � � � � � � (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 6) � � a) Xét biến cố A: tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc Tập  A kết thuận lợi A :  A   (2, 6), (6, 2), (3,5),(5,3), (4, 4) suy n( A )  Vậy P ( A)  36 b) Gọi B biến cố số chấm xuất mặt hai xúc xắc Ta có:  A   (1,1); (2, 2);(3,3); (4, 4); (5,5);(6, 6) suy n( B )  Vậy P( B)   36 c) Gọi C biến cố tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số chẵn Trong trường hợp ta liệt kê tất kết thuận lợi C 27 kết Vậy P(C )  27  36 Nhận xét: Tuy nhiên ta đếm tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc số lẻ có 3.3  kết là: C   (1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);(5,1);(5,3);(5,5) Suy P(C )  � P(C )    Cách đếm thuận lợi 36 4 Bài toán Một hộp đựng thẻ có đánh số 1, 2, 3, , đó.Bốc ngẫu nhiên ba thẻ Tìm xác suất để ba thẻ thu có: a) Tổng số ghi ba thẻ số chẵn b) Tích số ghi ba thẻ số chẵn Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi phần tử không gian mẫu tập ba phần tử tập chín phần tử, nên số phần tử không gian mẫu C93 a) Gọi A biến cố tổng số ghi ba thẻ số chẵn Mỗi kết thuận lợi A hai thẻ lẻ thẻ chẵn ba thẻ chẵn nên số kết thuận lợi A C52 C41  C43 C52 C41  C43 11  Vậy xác suất biến cố A P( A)  C93 21 b) Gọi B biến cố tích số ghi ba thẻ số chẵn Mỗi kết thuận lợi B thẻ chẵn hai thẻ lẻ, hai thẻ chẵn thẻ lẻ ba thẻ chẵn nên số kết thuận lợi A C41 C52  C42 C51  C43 C41 C52  C42 C51  C43 37  Vậy xác suất biến cố A P( B)  C93 42 Nhận xét: Tuy nhiên ta đếm phần bù tích số ghi ba thẻ số lẻ có C53 kết Suy P( B)  C53 5 37  � P( B)    Cách đếm thuận lợi C9 42 42 42 Bài tốn 4: Một đội niên tình nguyện gồm người, có An Bình Người ta phân cách ngẫu nhiên thành hai nhóm nhóm người Tính xác suất để An Bình thuộc nhóm Hướng dẫn học sinh phân tích: Khơng gian mẫu  tập hợp tất cách phân chia người thành hai nhóm, nhóm người Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm Nên số cách phân nhóm C8 Gọi A biến cố " An Bình thuộc nhóm" Số kết thuận lợi A số cách phân nhóm cho An Bình thuộc nhóm Nên số kết thuận lợi n(A )  C62 Vậy P ( A)  C62  C8 2 Áp dụng quy tắc để tính xác suất Cần nhấn mạnh rằng: Nếu A B xung khắc thì: P( A �B)  P( A)  P( B) Nếu A B độc lập ta có: P ( AB )  P ( A).P ( B ) Với biến cố ta có: P( A �B)  P( A)  P( B)  P( AB) Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi kích thước chất liệu có bi trắng, bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: a) Bốn bi lấy màu b) Bốn bi lấy có đủ ba màu Phân tích để giúp học sinh đưa nhận xét: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm kết ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất biến cố A Trong không gian mẫu gồm C18 phần tử Gọi A biến cố lấy bi màu Gọi A1 biến cố bi lấy màu trắng, n( A1 )  C5 Gọi A2 biến cố bi lấy màu xanh, n( A2 )  C6 Gọi A3 biến cố bi lấy màu đỏ, n( A3 )  C7 Các biến cố A1 , A2 , A3 biến cố xung khắc đôi A  A1 �A2 �A3 Vậy xác suất để bốn bi lấy màu là: C54 C64 C74 11 P ( A)  P( A1 )  P( A2 )  P ( A3 )     C18 C18 C18 612 b) Gọi B biến cố lấy bi có đủ ba màu Gọi B1 biến cố bi lấy có hai bi màu trắng, bi xanh, bi đỏ Ta có C52 C61 C71 P ( B1 )  C184 Gọi B2 biến cố bi lấy có hai bi màu xanh, bi trắng, bi đỏ Ta có C62 C51.C71 P ( B2 )  C184 Gọi B3 biến cố bi lấy có hai bi màu đỏ, bi xanh, bi trắng Ta có C72 C61 C51 P ( B3 )  C184 Các biến cố B1 , B2 , B3 biến cố xung khắc đôi B  B1 �B2 �B3 Vậy xác suất để bốn bi lấy có đủ ba màu là: P ( B )  P( B1 )  P( B2 )  P ( B3 )  C52 C61 C71 C62 C51.C71 C72 C51 C61 35    C184 C184 C184 68 Bài tốn Có hai hộp chứa cầu kích thước Hộp thứ chứa trắng đen Hộp thứ hai chứa trắng đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất để lấy được: a) Hai cầu trắng b) Hai màu c) Hai cầu khác màu Hướng dẫn học sinh phân tích: Việc lấy bình cầu độc lập với để lấy hai cầu có màu quy định bình phải lấy có màu cho hai lấy phải màu quy định Điều khiến phải vận dụng quy tắc nhân cho giao biến cố độc lập quy tắc cộng cho hợp biến cố xung khắc Cụ thể ta tiến hành sau: Gọi A1 , A2 biến cố lấy cầu trắng từ hộp thứ hộp thứ hai Gọi B1 , B2 biến cố lấy cầu đen từ hộp thứ hộp thứ hai Các biến cố độc lập với 10 a) Gọi A biến cố chọn số chẵn nhỏ 2015 Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d � 0; 2; 4;6 , a � 1; 2 Ta nhận thấy a chữ số việc chữ số b, c khác với a chữ số Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: a = b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn Trường hợp lập 7.7.4 = 196 (số) Trường hợp 2: a = b 0, c 0, d có cách chọn Trường hợp lập (số) Trường hợp 3: a = b 0, c 1, d có cách chọn Trường hợp lập (số) Suy số số chẵn nhỏ 2015 là: 203 (số) Vậy xác suất chọn số chẵn nhỏ 2015 P( A)  203 29  2058 294 b) Gọi B biến cố chọn số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d � 0; 2; 4;6 , a � 1; 2 , a, b, c, d đôi khác Ta nhận thấy a chữ số việc chọn chữ số b, c, d khác với a chữ số Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: a = d có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp lập 4.5.4 = 80 (số) Trường hợp 2: a = b 0, c 1, d Trường hợp lập (số) Suy số số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác là: 81 (số) Vậy xác suất chọn số chẵn nhỏ 2015 có chữ số khác P ( A)  81 27  2058 686 Bài toán 14 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để: a) Số chọn số chẵn có chữ số đôi khác b) Số chọn số lẻ nhỏ 600.000 có chữ số khác Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm số tự nhiên có chữ số dạng abcdef Công việc tạo sản phẩn việc lập số tự nhiên dạng abcdef Nguyên liệu tạo sản phẩm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Công việc tạo số dạng abcdef gồm sáu công đoạn: Chữ số a có cách chọn a khác 0, năm chữ số lại có 10 cách chọn nên theo quy tắc nhân ta lập tất 9.105 số có sáu chữ số a) Gọi A biến cố chọn số chẵn có chữ số đôi khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcdef cho f � 0; 2; 4;6;8 , a �0 hay a � 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 a, b, c ,d, e, f đôi khác Ta nhận thấy f chữ số a có cách chọn f khác chữ số 15 a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: f = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp lập 9.8.7.6.5 = 15120 Trường hợp 2: f �0 f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp lập 4.8.8.7.6.5 = 53760 Suy số số chẵn có chữ số khác đơi là: 68880 Vậy xác suất chọn số chẵn có chữ số đôi khác P ( A)  68880 287  9.105 3750 b) Gọi B biến cố số chọn số lẻ nhỏ 600.000 có chữ số khác Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcdef cho a � 1; 2;3; 4;5 , f � 1;3;5;7;9 a, b, c ,d, e, f đôi khác Ta nhận thấy f � 1;3;5 a có cách chọn f � 7;9 a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: f � 1;3;5 f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp chọn 3.4.8.7.6.5 = 20160 Trường hợp 2: f � 7;9 f có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn, e có cách chọn Trường hợp chọn 2.5.8.7.6.5 = 16800 Suy số số lẻ có chữ số khác đơi nhỏ 600000 là: 20160 + 16800 = 36960 Vậy xác suất chọn số lẻ có chữ số khác đôi nhỏ 600000 P( B)  36960 77  9.10 1875 Bài toán 15 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để: a) Số chọn số chẵn có chữ số đơi khác b) Số chọn số chia hết cho có chữ số khác c) Số chọn số chia hết cho 25 có chữ số khác d) Số chọn số chia hết cho có chữ số khác Hướng dẫn học sinh phân tích: Mỗi sản phẩm số tự nhiên có chữ số đơi khác dạng abcd Công việc tạo sản phẩn việc lập số tự nhiên dạng abcd cho chữ số không chọn lập lại Nguyên liệu tạo sản phẩm số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Công việc tạo số dạng abcd gồm bốn cơng đoạn: 16 Chữ số a có cách chọn a khác 0, cách chọn chữ số lại chỉnh hợp chập chữ số lại nên theo quy tắc nhân ta lập tất 6.A63 số có bốn chữ số đơi khác a) Gọi A biến cố chọn số chẵn có bốn chữ số đôi khác Mỗi kết thuận lợi A chọn số dạng abcd cho d � 0; 2; 4;6 , a �0 hay a � 1; 2;3; 4;5;6 a, b, c ,d đôi khác Ta nhận thấy d chữ số a có cách chọn d khác chữ số a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 6.5.4 = 120 (số) Trường hợp 2: d �0 d có cách chọn, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 3.5.5.4 = 300 (số) Suy số số chẵn có bốn chữ số khác đơi là: 120 + 300 = 420 (số) Vậy xác suất chọn số chẵn có bốn chữ số đơi khác P ( A)  420  720 12 b) Gọi B biến cố chọn số chia hết cho có bốn chữ số đôi khác Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcd cho d � 0;5 , a � 1; 2;3; 4;5;6 a, b, c ,d đôi khác Ta nhận thấy d chữ số a có cách chọn d chữ số a có cách chọn Vì tập kết thuận lợi phân thành hai tập không giao Trường hợp 1: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 6.5.4 = 120 (số) Trường hợp 2: d = a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Trường hợp chọn 5.5.4 = 100 (số) Suy số số chia hết cho có bốn chữ số khác đôi là: 120 + 100 = 220 (số) Vậy xác suất chọn số chia hết cho có bốn chữ số đơi khác P( B)  220 11  720 36 c) Gọi C biến cố số chọn chia hết cho 25 có chữ số đơi khác Mỗi kết thuận lợi B chọn số dạng abcd cho hai chữ số cd 25, 50 Trường hợp cd 25 a khác c, d va nên a có cách chọn, b khác c, d a nên b có cách chọn Trường hợp có 16 (số) Trường hợp cd 50 a khác c, d nên a có cách chọn, b khác c, d a nên b có cách chọn Trường hợp có 20 (số) Suy số số chia hết cho 25 có bốn chữ số khác đơi là: 36 (số) Vậy xác suất số chọn chia hết cho 25 là: P(C )  36  720 20 17 d) Gọi D biến cố số chọn số chia hết cho có chữ số khác Ta biết số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết trước hết ta cần xác định số tập gồm chữ số chia hết cho Tập chữ số chia hết cho E   0;3;6 , tập chữ số chia dư F   1; 4 tập chữ số chia dư G   2;5 Chọn từ ba tập hợp phần tử để tập có phần tử chữ số có tổng chia hết hai phần tử chọn từ E, phần tử chọn từ F, phần tử chọn từ G hai phần tử chọn từ F hai phần tử chọn từ G nên có tất 3.2.2 + = 13 tập Trong tập có tập có phần tử tập phần tử khác Mỗi tập có phần tử lập 3.3.2.1  18 (số), tập có phàn tử khác lập 4! = 24 (số), suy lập tất 8.18  5.24  264 (số) Vậy xác suất số chọn chia hết cho P( D)  264 11  720 30 Bài toán 16 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có chữ số xuất ba lần chữ số lại có mặt lần Hướng dẫn học sinh phân tích: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số tương đương với bỏ chữ số 0, 1, 2, 3, vào ô trống sau Ơ có cách chọn số lại có cách chọn số Nên số số lập 4.56 = 62500(số) Để tạo số có cữ số mà chữ số xuất ba lần chữ số lại có mặt lần cơng việc ttương đương với bỏ chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, vào trống Chữ số có cách bỏ, chọn lại số cácg chọn C63 , cách chọn ô ta có cách bỏ ba chữ số 1, ba lại bỏ ba chữ số 2, 3, có 3! cách bỏ Vậy số số cữ số mà chữ số xuất ba lần chữ số lại có mặt lần 6.C63 3!  720 (số) Suy xác suất cần tìm P 720 36  62500 3125 Bài tốn 17 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có mặt chữ số lẻ chữ số nằm hai chữ số lẻ Hướng dẫn học sinh phân tích: Số số có chữ số phân biệt 9.9.8.7.6.5.4.3.2  9.9! (số) Việc tạo số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số lẻ chữ số nằm hai chữ số lẻ tương đương với bỏ năm chữ số chẵn bốn chữ số lẻ vào ô trống sau cho chữ số nằm hai chữ số lẻ Vì có chữ số lẻ nên ta xét trường hợp sau: Trường hợp Khơng có mặt chữ số Khi chữ chữ số có cách chọn để bỏ, có cách bỏ số lẻ vào ô liền trước cách bỏ chữ số lẻ vào liền sau có 18 chữ số 0, sáu lại có 6! cách bỏ chữ số lại Trường hợp lập 7.4.3.6! (số) Tương tự cho trường hợp khơng có chữ số 3, 5, 7, Có trường hợp vậy, nên lập tất 5.7.4.3.6! (số) Suy xác suất cần tìm P 5.7.4.3.6!  9.9! 54 Bài toán 18 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 7, 8, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn có mặt chữ số chữ số không đứng cạnh Hướng dẫn học sinh phân tích: Số số có chữ số phân biệt A96  544320 (số) Việc tạo số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số chữ số không đứng cạnh tương đương với bỏ chữ số vào ô trống sau cho chữ số chữ số ln có mặt khơng đứng cạnh Số cách bỏ hai chữ số không đứng cạnh 30 cách Trong có 10 cách có Trường hợp Ơ có số cách bỏ vào lại A85 Trường hợp có 10.A85 (số) Trường hợp Ơ khơng có có cách bỏ số cách bỏ vào lại A74 Trường hợp có 20.7.A74 (số) Suy xác suất cần tìm P  10 A85  20.7 A74 184800 55   A96 544320 162 Bài toán 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, người ta lập tất số tự nhiên có chữ số phân biệt a) Chọn ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để số chọn số chẵn ln có mặt chữ số b) Chọn ngẫu nhiên hai số vưà lập Tính xác suất để hai số chọn có số lớn 2015 Hướng dẫn học sinh phân tích: Gọi S tập số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau, lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Ta có n( S )  5.5.4.3  300 (số) a) Gọi A biến cố số chọn số chẵn ln có mặt chữ số Vơí abcd �S , abcd chẵn ln có mặt chữ số 1, ta phân tập hợp số loại thành tập hợp số sau: Loại số mà a  d có trường hợp 0, 2, số trường hợp b c A42 Số số loại A42  36 (số) Loại số mà b  , d  số trường hợp a c A42 Số số loại 12 (số) Loại số mà b  , d �0 d có trường hợp, số trường hợp a c 3.3  Số số loại 18 (số) Tương tự vơí loại số có c  có 12  18  30 (số) 19 Vậy có tất 36  30  30  96 (số) Suy xác suất cần tìm P( A)  96  300 25 b) Số cách lấy hai số thuộc S C300 Gọi B biến cố hai số chọn có số lớn 2015 Biến cố đối B B hai số chọn nhỏ 2015 Số abcd �2015 , a  a  Trường hợp a  số trường hợp ba chữ số b, c, d A53 Số số loại 60 (số) Trường hợp a  có ba số 2013, 2014, 2015 Nên có tất 63 (số) có bốn chữ số đơi khác không lớn 2015 Suy C632 cách lấy hai số nhỏ 2015 Vậy P( B)   P( B)   C632 42897  C300 44850 Bài toán 20: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S Tính xác suất để lấy số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn học sinh phân tích: Khơng gian mẫu S Số phần tử S n( S )  A94  3024 Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd A tập số thuộc S chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Vì abcd  1000a  100b  10c  d  1001a  99b  11c  (a  c)  (b  d ) nên abcd chia hết cho 11 b  d  (a  c) chia hết cho 11 Từ giả thiết a  b  c  d chia hết cho 11 suy a  c, b  d chi hết cho 11 Các cặp có tổng chi hết cho 11 (2;9), (3;8), (4;7), (5;6) Nên số số abcd thuộc A n( A)  �3 �2!�2!  48 Vậy P( A)  48  3024 63 Bài toán 21: Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ " THANH HOA'' thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứng cạnh Hướng dẫn học sinh phân tích: Số cách xếp khác chữ cụm từ " THANH HOA'' có cữ H, chữ A thành hàng ngang n()  8!  3360 3!.2! Gọi A biến cố " có hai chữ H đứng cạnh nhau" có hai trường hợp: - Có chữ H đứng cạnh số cách xếp chữ H 6, nên số cách xếp chữ có chữ H cạnh �C52 �3!  360 - Có chữ H đứng cạnh có hai trường hợp: chữ H nằm hai vị trí đầu (hoặc cuối) có cách xếp chữ H lai chữ H nằm vị trí có cách xếp chữ Cái H lại nên số cách xếp chữ có chữ H cạnh (5 �2  �5) �C52 �3!  1800 20 Vậy xác suất để có hai chữ H đứng cạnh P( A)  360  1800  3360 14 Bài toán 22: Một lớp học có 42 học sinh xếp thành vòng tròn chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia vào trò chơi Tính xác suất để học sinh chọn khơng có hai học sinh đứng kề Hướng dẫn học sinh phân tích: Số phần tử không gian mẫu số cách chọn học sinh tùy ý C42  11480 Số cách chọn học sinh có hai học sinh đứng cạnh có hai trường hợp có học sinh cạnh học sinh cạnh 42 �38  42  1638 Suy số cách chọn học sinh học sinh cạnh 11480  1638  9842 Vây xác suất cần tìm P  9842 703  11480 820 Bài toán 23: Gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Gọi P tích ba số ba lần tung (mỗi số số chấm mặt xuất lần tung), tính xác suất cho P không chia hết cho Hướng dẫn học sinh phân tích: TH1: Tích ba số ba lần gieo không hia hết chọn từ tập  1,3,5 có 3.3.3  27 khả TH2: Tích ba số ba lần gieo khơng hia hết chọn từ tập  1, 2, 4,5 có 4.4.4  64 khả TH3: Tích ba số ba lần gieo khơng hia hết cho nên chọn từ tập  1,5 có 2.2.2  khả Do tích ba số ba lần gieo khơng chia hết cho 27  64   83 Suy P  83 83  63 216 Bài toán 24: Gọi S tập tất số tự nhiên có 10 chữ số khác đơi Lấy ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để lấy số có chữ số 1, 2, 3, 4, 5, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải số đứng trước chữ sô Hướng dẫn học sinh phân tích: Số số thuộc S n()  �9! Gọi A tập tất số S có chữ số 1, 2, 3, 4, 5, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải số đứng trước chữ sô Cách lập số A bỏ 10 chữ số khác vào 10 sau Chọn ô bỏ chữ số 0, 8, kể chữ số nằm ô C103 �3! cách Chọn ô ô trống (trừ ô trống sau bên phải) bỏ chữ số có cách Các lại có cách bỏ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Trường hợp có C103 �3!�6  4320 ( số) Trường hợp chữ số nằm đầu có C92 �2!�6  432 (số) 21 Suy tập A có tất 4320  432  3888 (số) Vầy xác suất lấy số có chữ số 1, 2, 3, 4, 5, xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải số đứng trước chữ sô P  3888  �9! 840 Bài toán 25: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh Hướng dẫn học sinh phân tích: Số phần tử khơng gian mẫu là: n()  10! Gọi A biến cố " khơng có học sinh lớp đứng cạnh nhau" để tìm số kết A ta tiến hành bước: Bước 1: Xếp học sinh lớp 11C thành dãy có 5! cách xếp Khi học sinh lớp 11C tạo khoảng trống đánh số từ đến sau: 1C2C3C4C5C6 Bước 2: Xếp học sinh hai lớp 11A 11B vào khoảng trống cho khơng có học sinh lớp đứng cạnh xảy hai trường hợp: Trường hơp1: Xếp vào vị trí 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, có �5!  240 cách Trường hợp 2: Xếp vào học sinh vào vị trí có vị trí hai học sinh gồm học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B , vị trí lại vị trí xếp học sinh + Có cách chọn vị trí xếp hai học sinh + Có �3 cách chọn cặp hai học sinh học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B Suy có (4 �2 �3) �2!  48 cách xếp hai học sinh, học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B vào vị trí vị trí + Có 3! cách xếp học sinh vào vị trí lại Do trường hợp có 48 �3!  288 cách xếp Suy tổng số cách xếp n(A )  5!�(240  288)  63360 cách xếp n ( ) 63360 11 A Vậy xác suất cần tìm P( A)  n()  10!  630 2.4 Hiệu sau thực sáng kiên Trên vài phương pháp phân tích giải tốn xác xuất mà nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy lớp 11G, 11D ôn tập cho học sinh cuối khóa năm học 2017-2018 2018-2019 trường THPT Thiệu Hóa Trước dạy phương pháp cho học sinh làm kiểm tra sau giảng dạy phương pháp tiếp tục khảo sát kết sau: Điểm Điểm Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 Lớp 11D - lần 37% 52,5% 10,5% 0% 11D – lần 0% 8% 54 % 38% 22 Điểm Lớp 11G - lần 11G - lần Điểm 25% 0% Điểm 5;6 37 % 3% Điểm 7;8 30 % 51 % Điểm 9;10 8% 46% Đây kết đáng mừng, thể học sinh biết phân tích tốn xác suất vận quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để giải tốn xác suất tốt Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tơi có trao đổi với đồng nghiệp đồng nghiệp góp ý, đánh giá sáng kiến có tính vận dụng thực tiễn cao Sáng kiến nội dung bổ ích sinh hoạt chun mơn tổ đồng nghiệp đưa vào áp dụng cho kết tốt 23 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong thực tiễn giảng dạy nhận thấy để học sinh nắm vững sâu phần xác suất cần giúp học sinh để em nắm được: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất Bước 2: Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích tìm lời giải tốn điển hình vể dạng tốn: Đồng xu, xúc xắc, hộp đựng thẻ, hộp đựng cầu, vé số, xạ thủ bắn mục tiêu, bóng đèn, Bước 3: Giúp em rèn luyện kĩ phân tích vận dụng quy tắc đếm quy tắc tính xác suất cho học sinh từ việc phân tích tìm lơì giải cho tốn tổng hợp nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng tốn Sáng kiến tơi đề cập vấn đề đại số lớp 11, lại vấn đề phổ biến đề ôn luyện thi THPT quốc gia vấn đề gây khó khăn cho nhiều học sinh Chính đề tài tơi đồng nghiệp đánh giá cao đưa vào áp dụng giảng dạy 3.2 Giải pháp đề nghị : Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn xác suất tốn bắt đầu học lớp 11 Hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Hệ thống hóa khái niệm phép thử, khơng gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuận lợi biến cố, công thức xác suất cổ điển , giải thích thơng qua ví dụ từ mơ hình cụ thể đến mơ hình trừu tượng Sau hướng dẫn 24 học sinh tính xác suất biến cố cách sử dụng quy tắc đếm công thức xác suất cổ điển Nêu quy tắc xác suất , hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc để tính xác suất số ví dụ điển hình, từ giúp học sinh rút nhận xét cách sử dụng quy tắc cách linh hoạt hợp lí trường hợp cụ thể Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập tổng hợp nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Trên số ý kiến nhỏ qua q trình giảng dạy tốn xác suất lớp 11 THPT hướng dẫn học sinh cuối khóa ơn tập Rất mong nhận góp ý thầy cô giáo em học sinh Xin chân thành cảm ơn Đề tài tơi trình bày ý tưởng hình thành trình giảng dạy trải nghiệm thực tế qua kết học tập học sinh, cam đoan sáng kiến kinh nghiệm cá nhân tự nghiên cứu Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thiệu Hóa, ngày 24 tháng năm 2019 Tác giả Lê Văn Thượng XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA CHỦ TỊCH 25 Bài tập kiến nghị Bài Gieo bốn đồng xu cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau: a) Có hai mặt sấp xuất b) Có mặt sấp xuất c) Có nhiều mặt sấp xuất Bài Gieo ngầu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần: Tính xác suất biến cố: a) A: “ Có mặt lẻ” b) B: “ Có mặt chẵn mặt lẻ” c) C: “ Tổng số chấm hai mặt số chẵn” Bài Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho a) Nam nữ ngồi xen kẽ b) Ba bạn nam ngồi cạnh Bài Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hôp viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có màu Bài Trên vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 số từ 01 đến 36 Xác suất để bánh xe sau quay dừng số Tính xác suất để quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại số số ( kể 6) lần quay đầu dừng lại số 13 36 ( kể 13 36) lần quay thứ Bài Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước tiến lên phía trước nửa mét lùi lại phía sau nửa mét với xác suất Tính xác suất để sau bốn bước trở lại điểm xuất phát Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt chấm” b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo số nhỏ 11” Bài Chon ngẫu nhiên người biết khơng có sinh vào năm nhuận Hãy tính xác suất để có hai người có sinh nhật trùng ( ngày, tháng) Bài Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn b) Tích số chấm súc sắc số chẵn Bài 10 Trong hòm có 10 chi tiết, có chi tiết hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết hỏng 26 Bài 11 Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b) Tính xác suất để cầu lấy màu Bài 12 Có lơ hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Xác suất để sản phẩm chất lượng tốt lô hàng Hãy tính xác suất để: c) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt d) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm có chất lượng tốt Bài 13 Một phòng lắp hai hệ thống chng báo động phòng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chuông báo khói chng báo , chng báo lửa Tính xác suất để có hỏa hoạn chng báo Bài 14 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với Tính xác suất để kết nhận số chẵn Bài 15: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Bài 16 Một máy bay có động cơ, có động cánh phải động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1, động cánh trái có xác suất hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập với Tính xác suất để máy bay thực chuyến bau an toàn trường hợp sau: a) Máy bay bay có hai động làm việc b) Máy bay bay có động cánh làm việc Bài 17 Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 ; trúng điểm điểm ; trúng điểm Xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ điểm Bài 18 Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời, có câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ câu trả lời Tính xác suất để: 27 a) Học sinh 13 điểm b) Học sinh điểm âm Bài 19 Trong lớp học có bóng đèn, bong xác suất bị cháy 0,25 Lớp học có đủ ánh sáng có bóng đèn Tính xác suất để lớp học khơng đủ ánh sáng Bài 20 Một đồn tầu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tầu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người và2 toa lại khơng có Các tập trắc nghiệm Bài 21: Trong hệ Oxy , xét điểm mà tọa độ số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hay 10 Chọn ngẫu nhiên điểm, xác suất để chọn điểm mà khoảng cách từ đến gốc tọa độ O nhỏ 10 A 35 441 B 37 441 39 441 C D Bài 22: Một hộp chứa bi trắng, bi đỏ bi xanh, tất bi có kích thước khối lượng Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy có đủ ba màu đồng thời hiệu số bi đỏ trắng, hiệu số bi xanh đỏ, hiệu số bi trắng xanh theo thứ tự lập thành cấp số cộng 40 35 D 221 221 Bài 23: Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham A 442 B 75 442 C gia buổi gặp mặt trước kỳ thi Biết em có số thứ tự danh sách lập thành cấp số cộng Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, dãy có ghế ghế ngồi học sinh Tính xác suất để tổng số thứ tự hai em ngồi đối diện nhau A 954 B 945 C 126 D 252 Bài 24: Kết  b, c  việc gieo súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, b số chấm xuất lần gieo thứ nhất, c số chấm xuất lần gieo thứ hai thay vào phương trình bậc hai x  bx  c   x �� Tính xác suất để phương trình bậc hai có nghiệm A 12 B 13 36 C 19 36 D 31 36 Bài 25: Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn  1;17 Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho A 1728 4913 B 1079 4913 C 23 68 D 1637 4913 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán lớp 11- Nhà xuất Giáo dục Bài tập dại số giải tích 11 nâng cao – Nhà xuất Giáo dục Đề thi Đại học năm – Bộ giáo dục Đào tạo Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số giải tích 11- NXB Giáo dục – Tác giả Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng Xác suất thống kê – NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Tác giả Đào Hữu Hồ Phân loại phương pháp giải toán Đại số Tổ hợp Số phức - NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Th S Lê Thị Hương, Th S Nguyễn Kiếm, Th S Hồ Xuân Thắng Bồi dưỡng Đại số Giải tích 11 - NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Th S Lê Hoành Phò Phân dạng phương pháp giải tốn Đại số Giải tích 11- NXB Đại học Quốc gia Hà nội – Trần Thị Vân Anh Phương pháp giải toán Tổ hợp – Lê Hồng Đức , Lê Bích Ngọc 10 Phương pháp giải tốn Đại số Giải tích 11 theo chủ đề - Nhà xuất Giáo dục 11 Hướng dẫn ơn tập kì thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017, 2017-2018 Nhà xuất Giáo dục 29 ... khơng dám làm hay chưa Để giúp học sinh nắm rõ toán xác suất chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh phân tích tốn xác suất từ vận dụng hai quy tắc đếm quy tắc tính xác suất để tìm xác suất 1.2 Mục đích Với... TỐN XÁC SUẤT TỪ ĐĨ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT Tính xác suất định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố A là: P( A)  n( A) n( ) Như chất việc tính. .. chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để giải toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm bản, quy tắc tính xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn vào tình cụ thể Qua