DE TOAN 7 (CHINH THUC) potx

Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 7 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( 4 điểm) a)Tính A = ( 1 4 - 1 ) . ( 1 9 - 1 ) . ( 1 16 - 1 ) . ( 1 100 -1 ) . ( 1 121 - 1 ) b) S = 2010 2009 2008 2 2 2 2 1 Bài 2 : ( 4 điểm) a) Tìm x , y nguyên biết xy + 3x y = 6 b) Cho A = 1 1.2 + 1 3.4 + + 1 37.38 B = 1 20.38 + 1 21.37 +.+ 1 38.20 CMR A B là một số nguyên. Bài 3 ( 4 điểm ): a) Cho S= 17 + 17 2 +17 3 + +17 18 chứng tỏ rằng S chia hết cho 307 b) Cho a thc )(xf = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Bit rng : )2()2();1()1( == ffff Chng minh : )()( xfxf = vi mi x. Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đờng thẳng đi qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB , AC lần lợt tại E và F . Chứng minh : a) 2BME = ACB - B b) 2 2 2 4 FE AH AE+ = . c) BE = CF . Bài 5 ( 2 điểm) Cho 4 s khụng õm a, b, c, d tha món a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t 4 s ny. S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu? Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 7 Bài 1 a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 15 99 120 1.3 2.4 3.5 9.11 10.12 . . . . . . 4 9 16 100 121 2 3 4 10 11 1.2.3.4 10.3.4.5.6 11.12 1.2.11.12 12 2 .3 11 2 .11 22 = = = = 1 1 b) S = 2010 2009 2008 2 2 2 2 1 2S = 22 222 2200920102011 0.5đ 2S - S = 12222 22.222 2220092009201020102011 ++++ 0.5đ S = 12.22 20102011 + 1122 20112011 =+= 1 đ Bài 2 a)xy + 3x y = 6 => (x 1). (y+3) = 3 => x 1 và y+3 là Ư( 3) Tìm ra các cặp (x, y ) thoả mãn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6) b)A = 1 1 1 1.2 3.4 37.38 + + + = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 37 38 + + + = ( 1 + 1 3 + 1 1 5 37 + + ) 1 1 1 2 4 38 + + + ữ = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 38 2 4 38 + + + + + + + + ữ ữ = 1 1 1 20 21 38 + + + B = 1 1 1 20.38 21.37 38.20 + + + => 58B= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 20 38 21 37 38 20 20 21 38 2A + + + + + + = + + + ữ = B = 2 58 29 58 2 A A Z B => = = 1 1 1 1 Bài 3 : Mỗi ý đúng cho 1 điểm a) S = 17( 1+17+17 2 ) + 17 4 ( 1+17+17 2 ) + +17 16 ( 1+17+17 2 ) = 17. 307 + 17 4 .307 + + 17 16 .307 0,5 = 307( 17+ 17 4 +.+ 17 16 ) Vì 307 307 nên 307( 17+ 17 4 +.+ 17 16 ) 307 Vaọy S 307 0, 5 b) 01234 )1( aaaaaf ++++= 01234 )1( aaaaaf ++= Do )1()1( = ff nên a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = a 4 - a 3 + a 2 - a 1 + a 0 a 3 + a 1 = - a 3 - a 1 a 3 + a 1 = 0 (1) 0.25đ Tơng tự: 01234 24816)2( aaaaaf ++++= 01234 24816)2( aaaaaf ++= Vì )2()2( = ff nên 4a 3 + a 1 = 0 (2) 0.25đ Từ (1) và (2) a 1 = a 3 = 0 0.25đ Vậy 0 2 2 4 4 )( axaxaxf ++= 0 2 2 4 40 2 2 4 4 )()()( axaxaaxaxaxf ++=++= với x )()( xfxf = với x 0.25đ Bài 4 a) AEH AFH = (cgc) Suy ra à à 1 E F= Xét CMF có ã ACB là góc ngoài suy ra ã ã à CMF ACB F= BME có à 1 E là góc ngoài suy ra ã à à 1 BME E B= 0.5đ Vậy ã ã ã à à à 1 ( ) ( )CMF BME ACB F E B+ = + hay ã ã à 2BME ACB B= (đpcm). 0.25đ b) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : ta có HF 2 + HA 2 = AF 2 hay 2 2 2 4 FE AH AE+ = (đpcm) 0.75đ c) C/m ( )AHE AHF g c g = Suy ra AE = AF và à à 1 E F= Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) C/m đợc ( ) (1)BME CMD g c g BE CD = = và có à ã 1 E CDF= (cặp góc đồng vị) do do đó ã à CDF F CDF= cân CF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 0.75đ Bài 5 Cho 4 s khụng õm a, b, c, d tha món a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t 4 s ny. S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu? 1 C H M E D B A F Giả sử a b c d ≥ ≥ ≥ khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 ) ( 3 ) S a b a c a d b c b d c d a b a c a d b c b d c d a b c d = − + − + − + − + − + − = − + − + − + − + − + − = + − + Do 3 0 3 ; 3c d S a b S a b + ≥ ⇒ ≤ + = + khi c = d = 0, lúc đó a + b = 1. Do 1a ≤ ta có S = 2a + (a + b) = 2a + 1 ≤ 2.1 + 1 hay S ≤ 3 Kết luận. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ . a) S = 17( 1+ 17+ 17 2 ) + 17 4 ( 1+ 17+ 17 2 ) + + 17 16 ( 1+ 17+ 17 2 ) = 17. 3 07 + 17 4 .3 07 + + 17 16 .3 07 0,5 = 3 07( 17+ 17 4 +.+ 17 16 ) Vì 3 07 3 07 nên 3 07( 17+ 17 4 +.+ 17 16 ) 3 07 Vaọy. 1 3.4 + + 1 37. 38 B = 1 20.38 + 1 21. 37 +.+ 1 38.20 CMR A B là một số nguyên. Bài 3 ( 4 điểm ): a) Cho S= 17 + 17 2 + 17 3 + + 17 18 chứng tỏ rằng S chia hết cho 3 07 b) Cho a thc. mãn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6) b)A = 1 1 1 1.2 3.4 37. 38 + + + = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 37 38 + + + = ( 1 + 1 3 + 1 1 5 37 + + ) 1 1 1 2 4 38 + + + ữ = 1 1 1 1 1 1 1 1