Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1(4 điểm): a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n 3 + 3n 2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n. Bài 2 (4 điểm) a) Giải phơng trình sau: (x - 2).(x - 5).(x - 6).(x - 9) = (x + 2).(x + 5).(x + 6).(x + 9) b) Phõn tớch a thc thnh nhõn t 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b+ + + + + Bài 3 (4 điểm) a) Tìm các số x, y, z nguyên thoả mãn bất phơng trình x 2 + y 2 + z 2 xy + 3y + 2z - 4 b) Cho P = n 4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố. Bài 4 (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lợt tại M, N. a) Tứ giác AEMD là hình gì? vì sao? b) Tìm vị trí của E trên AB, F trên AD sao cho diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. c) Chứng minh rằng. 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + Bài 5 (2điểm) Cho a,b,c l độ d i ba cạnh của tam giác ABC v a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 3 4Q a b c abc = + + + . Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8 Bài 1 (4 điểm) a) Thực hiện chia 2 n n 1 m n 1 + + = + = n + 1 n 1 + 0.5 Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ớc của 1 0.5 Hay n + 1 {1; -1 }. Khi đó : n + 1 = 1 n = 0 Z ( t/m) 0,5 n + 1 = -1 n = -2 Z (t/m) Với n = 0 m = 1 . Với n = -2 m = - 3 . Vậy 0.5 b) A = n 3 + 3n 2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) 0.5 Khi đó : 3(n+1) M 3 0,5 n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3. 0.5 Vậy 0,5 Bài 2 (4 điểm) 2- a) PT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 18 11 30 11 18 11 30x x x x x x x x + + = + + + + Đặt: 2 2 11 24 11 24 x x X x x Y + = + + = ( ) 2 2 1 2 2 36 36 0 X Y X Y = = 0 0 X Y X Y = + = 2 2 2 2 11 24 11 24 0 11 24 11 24 0 x x x x x x x x + = + + + + = 2 22 0 2 48 0 x x = + = 0x = Vậy PT có nghiệm là x = 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 b) Phõn tớch a thc thnh nhõn t (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 t x = a + b - c; y = b + c a; z = c + a b => x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a Ta cú:(a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 = [(x + y + z) 3 x 3 ] (y 3 + z 3 ) = (x + y + z - x)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 ] - (y + z)(y 2 - yz + z 2 ) = (y + z)[(x + y + z) 2 + x(x + y + z) + x 2 - y 2 + yz - z 2 ] = (y + z)(x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx+x 2 +xy+xz+x 2 - y 2 + yz - z 2 ) = (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx) = 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] 0.5 0,5 0,5 0,5 = 3(y + z)(x + y)(x + z) = 3. 2c.2b.2a = 24abc Vy (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - (b + c - a) 3 - (c + a - b) 3 = 24abc Bài 4.(6 điểm) Đúng mỗi phần đợc 2 điểm a. Ta có ã ã DAM ABF= (cùng phụ ã BAH ) AB = AD ( gt) ã ã 0 90BAF ADM= = (ABCD là hình vuông) ADM BAF = (g.c.g) (0,5 đ) DM=AF mà. AF = AE Nên. AE = DM (0,5đ) lại có. AE // DM ( vì AB // DC ) suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác. ã 0 90DAE = (0,5đ) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật ( 0,5đ) b. Ta có ABH FAH : (g.g) (0,25đ) AB BH AF AH = hay BC BH AE AH = ( AB=BC, AE=AF) (0,25đ) Lại có ã ã HAB HBC= (cùng phụ ã ABH ) CBH EAH : (c.g.c) (0,5đ) Bài 3 (4 điểm) a. x 2 +y 2 +z 2 xy + 3y + 2z - 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 0 4 4 3 1 1 0 2 2 y y x xy y z z y y x z + + + + + ữ ữ + + ữ ữ Vì: ( ) 2 2 2 0; 3 1 0; 1 0 2 2 y y x z ữ ữ nên ta phải có 1 1 0 2 2 y y x z = = = x = 1; y = 2; z = 1 Vậy x = 1; y = 2; z = 1 thoả mãn 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2 = (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n + 1) 2 + 1]. Vì n là số tự nhiên nên (n + 1) 2 + 1 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1. Khi đó P = 5 là số nguyên tố. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D A M C N H E B F 2 CBH EAH S BC S AE = ữ mà 4 CBH EAH S S = (gt) (0,5đ) 2 4 BC AE = ữ nên BC 2 = (2AE) 2 BC = 2AE E là trung điểm của AB (0,25đ) Vậy E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD thì diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. (0,25đ) c.Ta có AD // CN (gt). áp dụng hệ quả định lý ta lét AD AM CN MN = AD CN AM MN = (0,5đ) Lại có: MC // AB ( gt). áp dụng hệ quả định lý ta lét MN MC AB MC AN AB AN MN = = hay AD MC AN MN = (0,5đ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 AD AD CN CM CN CM MN AM AN MN MN MN MN + + = + = = = ữ ữ ữ ữ (pytago) (0,5đ) 2 2 1 AD AD AM AN + = ữ ữ 2 2 2 1 1 1 AM AN AD + = (đpcm) (0,5đ) Bài 5 (2 điểm) Ta có 3-2a =a+b+c-2a = b+c-a > 0 tơng tự 3-2b > 0 ; 3-2c > 0 0,5 p dụng BĐT Cauchy, ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 a b c a b c + + = ữ 0,5 Khai triển ta có : ( ) 4 6 14 + + abc ab bc ca cộng hai vế với ( ) 2 2 2 3 a b c+ + 0,5 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 3 14 13a b c abc a b c + + + + + = Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều. 0,5 . một số là bội của 3. 0.5 Vậy 0,5 Bài 2 (4 điểm) 2- a) PT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 18 11 30 11 18 11 30x x x x x x x x + + = + + + + Đặt: 2 2 11 24 11 24 x x X x x Y + = + + = ( ) 2. dục & Đào tạo Việt Yên Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8 Bài 1 (4 điểm) a) Thực hiện chia 2 n n 1 m n 1 + + = + = n + 1 n 1 + 0.5 Để m nguyên với n nguyên. Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1(4 điểm): a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n 3