Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 6 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) a) Tính nhanh: A = 1.982.973.96 96.397.298.1 )98 321( )321()21(1 ++++++ +++++++++++ b) Tìm phân số bằng phân số 21 57 và có mẫu số lớn hơn tử số là 216 Bài 2 (4 điểm) a) Cho số B; ngời ta đổi chỗ các chữ số của số B để đợc số C gấp ba lần số B; Chứng minh rằng số C chia hết cho 27. b) Tìm các số nguyên tố x và y sao cho các số 5x+y và xy +13 cũng là các số nguyên tố. Bài 3 (4 im). 1) Tỡm ch s tn cựng ca 2010 2011 2007 2008 + . 2) S hc sinh ca mt trng xp hng, mi hng 20 ngi hoc 25 ngi hoc 30 ngi u tha 15 ngi. Nu xp mi hng 41 ngi thỡ va . Tớnh s hc sinh trng ú, bit s hc sinh ca trng ú cha n 1000. Bài 4 (6 im). 1) Cho xoy và xoz Om l tia phõn giỏc ca yoz . Tớnh s o xom trong cỏc trng hp sau: a) xoy = 100 0 , xoz = 60 0 a) xoy = , xoz = ( > ) 2) Bốn điểm A,B,C,D không nằm trên đờng thẳng a. Chứng tỏ rằng đờng thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn AB,AC,AD,BC,BD,CD Bài 5 ( 2 điểm): Chứng minh rằng A= n 6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 ( n N, n>1) không là số chính phơng. Phòng Giáo dục & Đào tạo Việt Yên Hớng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2010 - 2011 Môn : Toán 6 Câu 1: (4 điểm) a) Đặt S = 1 + (1 +2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 +3 + 4) + + (1 + 2 + 3 + + 98) (gồm 98 tổng) (0.5 điểm) Vì số 1 có mặt ở 98 tổng, số 2 có mặt ở 97 tổng, số 3 có mặt ở 96 tổng, , số 97 có mặt ở 2 tổng, số 98 có mặt ở 1 tổng. (0.5 điểm) Do đó: S = 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 97.2 + 98.1 (0.5 điểm) Vậy A = 1 98.197.23.962.971.98 1.982.97 96.397.298.1 = ++++ +++++ (0.5 điểm) b) 21 7 57 19 = - Các phân số bằng phân số 21 57 có dạng 7 ( , 0) 19 k k Z k k (0.5 điểm) - Vì mẫu lớn hơn tử là 216 => 19k 7k = 219 (0.5 điểm) => k = 18 (0.5 điểm) - Phân số cần tìm là 7.18 126 19.18 342 = (0.5 điểm) Câu 2: (4 điểm) a) Theo đề bài ta có: C = 3B suy ra C 3. Nhng vì đổi chỗ các chữ số nên tổng các chữ số của B và C là nh nhau mà C 3 nên B 3. (0.5 điểm) Vì C = 3B mà B 3 suy ra C 9. (0.5 điểm) Nhng C 9, điều này có nghĩa là tổng các chữ số của C 9 (0.5 điểm) suy ra B 9 mà C = 3B. Vậy C 27 (0.5 điểm) b) Ta có x,y, 5x+y và xy + 13 là các số nguyên tố nên 5x+y và xy + 13 là các số nguyên tố lớn hơn 3=> 5x+y và xy + 13 là các số lẻ =>xy chẵn=>x chẵn hoặc y chẵn (0.5 điểm) * Nếu x chẵn mà x nguyên tố=>x=2=>10+y và 2y+13 là số nguyên tố (0.5 điểm) - Nếu y= 3k( k N * ) mà y nguyên tố nên y=3 => 10+y=13 và 2y+13=19 là các số nguyên tố ( thoả mãn) - Nếu y= 3k+1(k N * ) ta có 2y+13= 6k+15 3 nên 2y+13 không nguyên tố - Nếu y= 3k+2(k N * ) ta có 10+y= 3k+12 3 nên 10+y không nguyên tố (1 điểm) * Nếu y chẵn lập luận tơng tự ta có x=3 và y=2 thoã mãn (0.5 điểm) Cõu 3 (4 im). 1. Tỡm ch s tn cựng ca 2010 2011 2007 2008 + . Ta cú 2007 4 cú tn cựng bng 1. M 2010 = 4.502 + 2 ( ) 502 2010 4 2 2007 2007 .2007= , li cú ( ) 502 4 2007 cú tn cựng bng 1 v 2 2007 cú tn cựng bng 9 Nờn 2007 2010 cú tn cựng bng 9. M 2008 4 cú tn cựng bng 6 v 2011 = 4.502 + 3 ( ) 502 2011 4 3 2008 2008 .2008 = , li cú ( ) 502 4 2008 cú tn cựng bng 6 v 3 2008 cú 0,5 0,5 0,5 m z y x m z y x tn cựng bng 2 2011 2008 cú tn cựng bng 2. 2010 2011 2007 2008 + cú tn cựng bng 1. 0,5 2. S hc sinh ca mt trng xp hng, mi hng 20 ngi hoc 25 ngi hoc 30 ngi u tha 15 ngi. Nu xp mi hng 41 ngi thỡ va . Tớnh s hc sinh trng ú, bit s hc sinh ca trng cha n 1000. Gi s hc sinh ca trng l: x , * , 1000x N x < Ta cú: x 15 chia ht cho 20 x 15 chia ht cho 25 x 15 chia ht cho 30 Khi ú x 15 l bi ca 20, 25, 30 ( ) { } 15 300;600;900; x { } 315;615;915; x Mt khỏc x chia ht cho 41 v x nh hn 1000, nờn x = 615 Vy trng ú cú 615 hc sinh. 0,5 0,5 0,5 0,5 Cõu 4 (6 im) 1 Hc sinh v hỡnh c hai trng hp a. TH 1: Ta cú ã 0 0 0 100 60 40yOz = = ã ã ã 0 0 0 60 20 80xOm xOz zOm = + = + = TH 2: Ta cú: ã 0 0 0 100 60 160yOz = + = ã ã 0 80zOm mOy = = ã 0 0 0 80 60 20xOm = = 1 1 b. ã ã ;xOy xOz = = ( > ). Hc sinh xỏc nh c 2 trng hp nh hỡnh v trờn v tớnh c: TH 1: Vi Oy, Oz cựng thuc na mt phng b l Ox: ã xOm = 2 2 + + = TH 2: Vi Oy, Oz thuc hai na mt phng cú b l Ox thỡ: Vi 0 180 + : ã xOm = 2 2 + = Vi 0 180 + > , thỡ: ã xOm = 180 0 - 2 1 0,5 0,5 2) Đờng thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng.Ta xét 3 TH: (0.5 điểm) * Nếu cả 4 điểm A,B,C,D thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào (0.5 điểm) * Nếu có một điểm thuộc một nửa mặt phẳng, 3 điểm còn lại thuộc nửa mp đối thì đờng thẳng a cắt 3 đoạn thẳng (0.5 điểm) * Nếu có 2 điểm thuộc nửa 1mp và 2 điểm còn lại thuộc nửa mp đối thì đờng thẳng a cắt 4 đoạn thẳng (0.5 điểm) Câu 5: Ta có A= n 2 ( n 4 - n 2 +2n+ 2)=n 2 [( n 4 - 2n 2 +1)+( n 2 +2n+1)] (0.5 điểm) A= n 2 [( n 2 -1) 2 + ( n+1) 2 ] A= n 2 ( n+1) 2 .[(n-1) 2 +1] A= n 2 ( n+1) 2 . B (1 điểm) Ta phải chứng minh B không là số chính phơng: Vì ( n-1) 2 < ( n-1) 2 +1 < n 2 => B không là số chính phơng Vậy A không là số chính phơng ( ĐPCM) (0.5 điểm) . 20, 25, 30 ( ) { } 15 300 ;60 0;900; x { } 315 ;61 5;915; x Mt khỏc x chia ht cho 41 v x nh hn 1000, nờn x = 61 5 Vy trng ú cú 61 5 hc sinh. 0,5 0,5 0,5 0,5 Cõu 4 (6 im) 1 Hc sinh v hỡnh c. hp a. TH 1: Ta cú ã 0 0 0 100 60 40yOz = = ã ã ã 0 0 0 60 20 80xOm xOz zOm = + = + = TH 2: Ta cú: ã 0 0 0 100 60 160 yOz = + = ã ã 0 80zOm mOy = = ã 0 0 0 80 60 20xOm = = 1 1 b. ã ã ;xOy. 3 có mặt ở 96 tổng, , số 97 có mặt ở 2 tổng, số 98 có mặt ở 1 tổng. (0.5 điểm) Do đó: S = 1.98 + 2.97 + 3. 96 + + 97.2 + 98.1 (0.5 điểm) Vậy A = 1 98.197.23. 962 .971.98 1.982.97 96. 397.298.1 = ++++ +++++