Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.
Trang 1SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012-2013
TRƯỜNG THPT PHÚC TRẠCH MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
Thời gian:180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số: 1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0
Câu 2.(2 điểm).1 Giải phương trình: (1 cos 2 ) sin 2
2(sin 3 sin )(1 sin )
1 sin
x
2.Giải hệ phương trình:
2
7
x xy y
Câu 3.(1 điểm).Tính tích phân sau:
6
0
os2
dx
c x
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD)
và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Câu 5 (1điểm) Cho ba số x,y,z không đồng thời bằng 0, thỏa mãn điều kiện:
( x y z )2 2( x2 y2 z2) 0
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F
x y z xy yz zx
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B
Thí sinh thi khối D không phải làm câu 7a, 7b
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6a.(2điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(0;2), N(5;-3), P(-2;-2), Q(2;-4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD,
DA của hình vuông ABCD Tính diện tích hình vuông đó
2 Tìm m để bất phương trình:
4x x m 2x x m 0có nghiệm với mọi x 0; 2 Câu 7a (1điểm)
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức (2 x 1)n biết tổng tất cả các hệ số của nó là 59049
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6b.(2điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 y2 2 x 4 y 0và điểm A(-1;3) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong (C) và có diện tích bằng 10
2 Giải phương trình: log22 log2 5log 8 25log 22
x
x Câu 7b.(1điểm) Tính tổng: S 2 C1n 2 22 Cn2 2 33 Cn3 2 nnCn n
Hết
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
TXĐ:x 1
2
1
x
nên hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) ( 1; v )
Hàm số không có cực trị
0,25
lim
2
2
y là đường TCN
1
x y
x
1
x y
x
nên x=-1 là đường TCĐ
0,25
Bảng biến thiên:
x -1
y’ + +
y
1 2
1
2
0,25 I.1
Đồ thị: Cắt ox tại A(1;0)
Cắt oy tại B(0; 1
) 2
Gọi M( 0 0
0
1
; 2( 1)
x x
x
) ( )C là điểm cần tìm Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phươngtrình
: ' 0 0 0
0
1 ( )( )
2( 1)
x
x
0 0 2
0 0
1 1
( )
2( 1) 1
x
x x
0,25
Gọi A = ox A(
2
0 2 0 1 2
B = oy B(0;
2
2 0
2 1 2( 1)
x
) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là:
G(
2 0
;
6 6( 1)
x
0,25 I.2
Do G đường thẳng:4x + y = 0
2 0
x
2
0
1 4
1
x
(vì A, B O nên x022x0 1 0)
0,25
Trang 30 0
1
1
( ; )
x M ; với 0 3 3 5
( ; )
x M
0,25
Giải phương trình: (1 cos 2 )sin 2
2(sin 3 sin )(1 sin )
1 sin
x
Đk: sin x 1
0,25
(1) 2 cos x sin 2 x 4sin 2 cos cos x x x
0,25
2
cos 0 2cos sin 2 (2 cos 1) 0 sin 2 0
1 cos
2
x
x
0,25 II.1
2 3
x k
k Z
0,25
đk :y 1 ta có
1
4
0,25
x y x y
0,25
Đặt u x y v , x y ta có hệ :
2 2
u v
1 5
u v
0,25 II.2
1
u
v
từ đó ta có 3
2
x y
2
x y
0,25
Ta co
:I=
(cos )
0,25 III,
Đặt t=cosx ,Đổi cận ;
3
Trang 4có ;I=
3
2
Ta có :I 1 2
2
t
t
0,25
0,25
I
K
L
E
N H
A
D
S
M
Gọi H, N, L, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SC, HD
Gọi I AN BD K , LM SN; Dễ thấy tứ giácAHND là hình chữ nhật và
3
AN
IN
Từ giả thiết ta có SH ABCD , ME / / SH ME BD 1
Lại do AM BD 2 Từ 1 & 2 BD AMN BD AN Trong tam giác AND ta có
2
3
NA
ND NI NA NA ND a AD NA ND a
0,25
Dễ thấy CD SHN , do ML / / CD ML SHN ML SN 3
Do ABLM SCD , ABLM SCD ML (4), nên từ 3 & 4 SN ABLM
SN HK
Lại do K là trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân tại H suy ra SH HN a 2
0,25
IV
Dễ thấy CD SHN , do ML / / CD ML SHN ML SN 3
Do ABLM SCD , ABLM SCD ML (4), nên từ 3 & 4 SN ABLM
SN HK
Lại do K là trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân tại H suy ra SH HN a 2
Ta có
3
S ABCD
a
V SH AB AD ;
3
S BCM S BCD S ABCD
a
V V V
0,25
Trang 5Ta có
2
SBC
BC SH BC AB BC SAB BC SB S SB BC
2
a
3
MSBC SBC
d M SBC
S
0,25
.Từ giả thiết : ( x y z )2 2( x2 y2 z2) 0 và
1
2
4
do đó P=
3
4 4
a b c
và
2
( b c ) 4 bc nên 8
0
3
a
Ta có
0,25
16 a b c 16 a b c bc b c P 16 a a a
Xét hàm số :f(x)=3 a3 12 a2 12 a 16 với 8
0
3
a
0,25
V
Từ đó GTLN là P=11
9 chẳng han khi x=y,z=4x
GTNN là P=1 chẳng hạn khi x=0,y=z
0,25
Từ pt (C) suy ra tọa độ tân I(1;2);R= 5.Điểm C đối xứng với A qua I suy ra
C(3;1).SABCD 2 SACB AC BH 10 ( H là chân đường cao kẻ từ B xuống AC)
0,25
Ta có AC=2 5 BH 5.Vậy H là trùng với tâm I của đường tròn và ABCD là hình vuông
0,25
Phương trình đường thẳng d qua tâm I và nhận AC (4; 2)
làm vecto pháp tuyến có dạng :2x+y=0.Tọa độ của B,D là nghiệm hệ :
x y
0,25
VI.a
1
Giải hệ trên ta có :B(0 ;0) ;D(2 ;4)
0,25
Trang 6.Đặt t=2x22x với x 0; 2 ;t ' 2x22x(2 x 2) ln 2 t ' 0 x 1 0,25
t(0)=t(2)=1,t(1)=1
2
1
;1 2
t
Bất phương trỡnh trở thành :t2 2 mt m 0 m t (2 1) t2
2
( )
t
t
VI.a
2
2 2
t
1
2
m f t t
(1)
Ta cú :
0
n
k k
với ak 2kCn k
0,25
Khi đú tổng tất cả cỏc hệ số của khai triễn trờn là
:P x ( ) P (1) (2.1 1) n 59049 310 n 10
0,25
Với k=1.2 10 xột tỉ số
:
1 1
10
k k
k k
k
VII
a
Từ đú :a0 a1 a7 a8 a9 a10 Suy ra hệ hệ số lớn nhất của khai triễn là a7 27C107
0,25 Gọi AB,AD lần lượt là :AB :ax+b(y-2)=0 ax by 2 b 0 ;
Theo gt :d(P ;AP)=d(N ;AD)
a b
a b
Với 3 a b 0,chọn a=1,b=-3,thỡ diện tớch hỡnh vuụng là :S=( 2
2 2
3
b a
a b
0,25
VI.b
.1
Với a+7b=0,chọn a=7,b=-1,thỡ diện tớch hỡnh vuụng là:S=
2
2 2
3
2
b a
a b
0,25
điều kiện 0 <x 1 .Đặt log2x = t, ta có log x 2 =
t
1
, logx8 =
t
3
,
4
VI,b
.2
Phương trình (1) trở thành t2 + t 2 =
2
25 15
t
4+ t3 2t2 15t - 25 = 0
Đặt a =5, phương trình trở thành : a2 3 at t 4 t3 2 t2 0
Xem (4) là phương trình bậc hai đối với a, ta có = t2(2 t 1)2
0,25
Trang 7Bởi vậy
2
) 1 ( 3 2
) 1 2 ( 3
t t t a
t t t a
) 2 (
) 1 (
t t a
t t a
t t
t t
2 5
5
2
2
nghiệm) (vô
0 5 2
0 5
2 2
t t
t t
0,25
2
21
1
2
21 1 log2 x x = 2 2
21 1
x = 2 2
21 1
(thoả mãn )
Vậy x = 2 2
21 1
là các nghiệm của phương trình đã cho
0,25
Xột khai triễn 1 (1 x ) n 1 1(1 ) 2(1 )2 n(1 )n
VII
b
Lấy đạo hàm 2 vế ta cú (2 )n 1 1 2(1 ) 2 (1 )n1 n
n x C x C n x C
0,25
nhõn 2 vế với (1+x) ta cú n (2 x )n1(1+x)=(1 x C ) n1 2(1 x C )2 n2 n (1 x C )n n n 0,25
Thay x=1 vào 2 vế ta cú : S 2 3 n n1
0,25
