giao trinh toan roi rac ppsx

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ BÀI 1: LOGIC VÀ MỆNH ĐỀ 1. Mở đầu: - Các quy tắc của logic cho ý nghĩa chính xác của các mệnh đề. Các quy tắc này dùng được sử dụng để phân biệt giữa các lập luận toán học đúng hoặc không đúng. - Các quy tắc của logic đóng vai trò quan trọng trong suy luận toán học và nhiều ứng dụng trong lĩnh vực tin học như: thiết kế các mạng trong máy tính, xây dựng các chương trình máy tính, kiểm tra tính đúng đắn của các chương trình và nhiều ứng dụng khác. 2. Mệnh đề: • Khái niệm: Một mệnh đề là một câu trần thuật đúng hoặc sai, chứ không thể vừa đúng vừa sai. • Ví dụ: + Ví dụ 1: Xét các câu sau: 1. Hà nội là thủ đô của Việt nam 2. Việt trì là một thành phố biển. 3. 1 + 1 = 2 4. 2 + 4 = 5 Các câu 1 và 3 là đúng, trong khi các câu 2 và 4 là sai và như vậy cả 4 câu trên là các mệnh đề. + Ví dụ 2: Xét các câu sau: 1. Hôm nay là thứ mấy? 2. Vấn đề này cần được xem xét cẩn thận. 3. x + 1 = 2 4. x + y = z Các câu 1 và 2 không phải là mệnh đề vì chúng không phải là câu trần thuật. Còn các câu 3 và 4 không phải là mệnh đề vì chúng chẳng đúng cũng chẳng sai bởi các biến trong các câu đó còn chưa được gán cho giá trị cụ thể nào. Từ các câu loại này có thể tạo thành các mệnh đề bằng nhiều cách khác nhau (xem phần sau của chương này). • Phân loại mệnh đề: - Mệnh đề đơn (sơ cấp): Là những mệnh đề chỉ có một câu. - Mệnh đề phức hợp: Là những mệnh đề được kết hợp từ nhiều mệnh đề. • Quy ước: - Các mệnh đề và các biến được ký hiệu bởi các chữ cái như: p,q,r,s, - Giá trị chân lý của một mệnh đề là đúng và sẽ được ký hiệu là T nếu đó là một mệnh đề đúng, và là sai và được ký hiệu là F, nếu đó là một mệnh đề sai. - Một bảng chân lý trình bày mối quan hệ giữa các giá trị chân lý của các mệnh đề. Bảng giá trị chân lý đặc biệt có ý nghĩa trong việc xác định giá trị chân lý của các mệnh đề được tạo ra từ các mệnh đề đơn giản hơn. 3. Các định nghĩa phép toán mệnh đề: Phép toán mệnh đề là phương pháp tạo ra các mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có – Geogre Boole “Các định luật của tư duy”. + Định nghĩa 1: Giả sử p là một mệnh đề. Câu “không phải là p” là một mệnh đề, được gọi là phủ định của p. Phủ định của p được ký hiệu là ¬p (hoặc p ) - Bảng chân lý: p ¬p T F F T - Ví dụ: Tìm phủ định của mệnh đề: “Hôm nay là chủ nhật”. Phủ định của mệnh đề trên là: “Hôm nay không phải là chủ nhật”. Phủ định của một mệnh đề cũng có thể được xem như là kết quả tác dụng của toán tử phủ định lên một mệnh đề. Toán tử phủ định xây dựng một mệnh mới từ mệnh đề đơn hiện có. + Định nghĩa 2: Giả sử p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề “p và q” được ký hiệu bởi p ^ q là đúng khi cả p và q là đúng, còn sai trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề p ^ q được gọi là hội của p và q. - Bảng chân lý: p Q p^q T T F F T F T F T F F F - Ví dụ: Giả sử p là mệnh đề “Hôm nay là chủ nhật” và q là mệnh đề “Hôm nay trời mưa”. Tìm hội của các mệnh đề p và q. Giải: Hội của hai mệnh đề p ^ q là mệnh đề “Hôm nay là chủ nhật và trời mưa”. Mệnh đề này là đúng vào hôm chủ nhật trời mưa và là sai vào bất kỳ ngày nào không phải là chủ nhật và vào ngày chủ nhật nhưng trời không mưa. + Định nghĩa 3: Giả sử p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề “p hoặc q”, được ký hiệu là p ۷ q, là mệnh sai khi cả p và q đều sai, và đúng trong các trường hợp còn lại (có nghĩa là hoặc q là đúng, hoặc q là đúng, hoặc cả p và q cùng đúng). Mệnh đề p ۷ q được gọi là tuyển của p và q. - Bảng chân lý: p Q p v q T T T F T T F F T F T F - Ví dụ 1: Giả sử p là mệnh đề “Hôm nay là chủ nhật” và q là mệnh đề “Hôm nay trời mưa”. Tìm tuyển của các mệnh đề p và q. Giải: Tuyển của p và q (p ۷ q) là mệnh đề: “Hôm nay là chủ nhật hoặc hôm nay trời mưa”. Mệnh đề này đúng vào bất kỳ ngày nào là chủ nhật hoặc ngày trời mưa (kể cả ngày chủ nhật có mưa). Nó chỉ sai khi ngày đó không phải là ngày chủ nhật và trời không mưa. - Ví dụ 2: Giả sử p là mệnh đề “Các sinh viên đã học giải tích có thể theo học lớp này.” và q là mệnh đề “Các sinh viên đã học đại số có thể theo học lớp này.”. Tìm tuyển của các mệnh đề p và q. Giải: Tuyển của p và q (p ۷ q) là mệnh đề: “Các sinh viên đã học giải tích hoặc đại số có thể theo học lớp này.” Mệnh đề trên còn có thể hiểu: “Các sinh viên đã học giải tích hoặc đại số, nhưng không phải cả hai môn, đều có thể theo học lớp này.” Ở đây, người ta muốn nói rằng + Định nghĩa 4: Giả sử p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề tuyển loại trừ của p và q, ký hiệu là p ⊕ q là một mệnh đề chỉ đúng khi một trong hai mệnh đề p và q là đúng và sai trong mọi trường hợp còn lại (mệnh đề p ⊕ q chỉ đúng trong trường hợp p hoặc q là đúng). - Bảng chân lý: p Q p ⊕ q T T F F T F T F F T T F - Ví dụ: Giả sử p là mệnh đề “Tôi sẽ mua một chiếc máy tính để bàn.” và q là mệnh đề “Tôi sẽ mua một chiếc máy tính sách tay.”. Tìm tuyển loại trừ của các mệnh đề p và q. Giải: Mệnh đề tuyển loại trừ của p và q (p ⊕ q) là mệnh đề: “Tôi sẽ mua một chiếc máy tính để bàn hoặc sách tay.”. Mệnh đề trên có nghĩa là: “Tôi sẽ mua một chiếc máy tính để bàn hoặc sách tay nhưng không phải mua cả hai.” + Định nghĩa 5: Giả sử p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề kéo theo “p → q” là một mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai, còn đúng trong mọi trường hợp còn lại. Trong phép kéo theo nói trên p được gọi là giả thuyết còn q được gọi là kết luận. - Bảng chân lý: p q p → q T T F F T F T F T F T T - Ví dụ: Giả sử p là mệnh đề “Hôm nay là thứ ba.” và q là mệnh đề “Hôm nay học toán rời rạc.”. Tìm mệnh đề p kéo theo q. Giải: Mệnh đề kéo theo của mệnh đề p và q là mệnh đề: “Nếu hôm nay là thứ ba, thì chúng ta sẽ học toán rời rạc.” Mệnh đề kéo theo trên rõ ràng là chỉ sai khi hôm nay là thứ ba mà chúng ta không học toán rời rạc. • Phép kéo theo xuất hiện ở nhiều chỗ trong các suy luận toán học, nên có rất nhiều thuật ngữ được dùng để diễn đạt p → q. Dưới đây là một số ví dụ: o “Nếu p thì q” o “p kéo theo q” o “p là điều kiện đủ của q” o “q là điều kiện cần của p”. o Trong ngôn ngữ lập trình kép theo được thể hiện trong câu lệnh lập trình nếu p thì S (if p then S) trong đó p là mệnh đề còn S là một đợn chương trình (gồm một hoặc nhiều câu lệnh cần được thực hiện). • Có một số phép kéo theo liên quan có thể được tạo từ p → q: o q → p: được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề p → q. o ¬q → ¬p: được gọi là mệnh đề phản đảo của mệnh đề p → q. + Định nghĩa 6: Cho p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề tương đương “p ↔ q” là một mệnh đề chỉ đúng khi p và q có cùng giá trị chân lý và sai trong mọi trường hợp còn lại. - Bảng chân lý: p Q p ↔ q T T F F T F T F T F F T - Chú ý: Mệnh đề tương đương p ↔ q là đúng chỉ khi hai mệnh đề kéo theo p → q và q → p đều đúng ( p) (q q) (p q p ←∧→⇔↔ ). Vì thế mệnh đề tương đương p ↔ q còn được phát biểu: “p nếu và chỉ nếu q” hay “p là cần và đủ đối với q”. + Độ ưu tiên của các toán tử logic: Ưu tiên mức 1: () Ưu tiên mức 2: ¬. Ưu tiên mức 3: ^, ۷. Ưu tiên mức 4: →, ↔. 4. Các phép toán logic và các phép toán bit: 4.1 Khái niệm: o Biểu diễn thông tin dưới dạng nhị phân (bit): 0 – không có năng lượng, 1 – có năng lượng. o Biểu diễn giá trị chân lý: 1- đúng, 0 – sai. o Biến Boole chỉ nhận giá trị đúng hoặc sai. 4.2 Phép toán bit: Các phép toán bit trong máy tính tương ứng với các liên từ logic: ^, ۷, ⊕ tương ứng là AND, OR và XOR. Bảng chân lý của các phép toán bit: OR 0 1 AND 0 1 XOR 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 4.3 Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dãy không hoặc nhiều bit. Chiều dài của xâu là số các bit trong xâu đó. 4.4 Ví dụ: Tìm AND, OR, XOR đối với hai xâu: 01101 10110 và 11000 11101. 01101 10110 11000 11101 __________ OR bit 11101 11111 AND bit 01000 10100 XOR bit 10101 01011 5. Sự tương đương của các mệnh đề: Tương đương mệnh đề có nghĩa là các mệnh đề khác nhau nhưng có cùng giá trị chân lý. Trong các lập luận thường thay thế các mệnh đề phức hợp bởi các mệnh đề tương đương đơn giản hơn. 5.1 Định nghĩa 1(Phân loại mệnh đề phức hợp theo giá trị chân lý): o Một mệnh đề phức hợp mà luôn đúng với bất kỳ giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần của nó được gọi là hằng đúng. o Một mệnh đề mà luôn luôn sai được gọi là mâu thuẫn. o Một mệnh đề không phải là hằng đúng, cũng không phải là mâu thuẫn được gọi là tiếp liên. o Ví dụ: Cho mệnh đề p. Xét bảng chân lý của các mệnh đề p ۷ ¬p và p ^ ¬p. Mệnh đề p ۷ ¬p luôn cho giá trị đúng với mọi giá trị của p do đó nó hằng đúng, mệnh đề p ^ ¬p luôn cho giá trị sai với mọi p do đó nó là một mâu thuẫn. P ¬p p ۷ ¬p p ^ ¬p T F F T T T F F 5.2 Định nghĩa 2 (Tương đương logic): Các mệnh đề p và q được gọi là tương đương logic nếu p ↔ q là hằng đúng. Ký hiệu p ⇔ q để chỉ p và q là tương đương logic. (Để xác định hai mệnh đề có tương đương hay không ta dùng bảng chân lý.) •Ví dụ 1: Chứng minh rằng ¬(p ۷ q) và ¬p ^ ¬q là tương đương logic. p q ¬p ¬q p ۷ q ¬(p ۷ q) ¬p ^ ¬q T T F F T F F T F F T T F F F T T F T F F F F T T F T T Bảng chân lý đối với ¬(p ۷ q) và ¬p ^ ¬q. •Ví du 2: Chứng mimh rằng p → q và ¬p ۷ q là tương đương logic. p q ¬p p → q ¬p ۷ q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T Bảng chân lý đối với rằng p → q và ¬p ۷ q. •Ví du 3: Chứng mimh rằng p ⊕ q và ¬(p ↔ q) là tương đương logic. p q p → q p ← q p ↔ q ¬(p ↔ q) p ⊕ q T T T T T F F T F F T F T T F T T F F T T F F T T T F F Bảng chân lý đối với p ⊕ q và ¬(p ↔ q). 5.3 Bảng tương đương logic: TƯƠNG ĐƯƠNG TÊN GỌI p ^ T <=> p p ۷ F <=> p Luật đồng nhất p ۷ T <=> T p ^ F <=> F Luật nuốt p ۷ p <=> p p ^ p <=> p Luật lũy đẳng ¬p(¬q) <=> p Luật phủ định kép p ۷ q <=> q ۷ p p ^ q <=> q ^ p Luật giao hoán p ۷ q ۷ r <=> (p ۷ q) ۷ r <=> p ۷ (q ۷ r) p ^ q ^ r <=> (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r) Luật kết hợp p ۷ (q ^ r) <=> (p ۷ q) ^ (p ۷ r) p ^ (q ۷ r) <=> (p ^ q) ۷ (p ^ r) Luật phân phối ¬(p ^ q) <=> ¬p ۷ ¬q ¬(p ۷ q) <=> ¬p ^ ¬q Luật De Morgan p ۷ ¬p <=> T p ^ ¬q <=> F (p → q) <=> (¬p ۷ q) Luật DeMorgan mở rộng (Bảng tương đương logic). Ví dụ 1: Chứng minh rằng ¬(p ۷ (¬p ^ q)) và ¬p ^ ¬q là tương đương. Biến đổi vế trái theo bảng tương đương logic. Ví dụ 2: Chứng minh rằng (p ^ q) → (p ۷ q) là hằng đúng. o Mệnh đề (p ^ q) → (p ۷ q) là hằng đúng khi mệnh đề luôn đúng với bất kỳ giá trị chân lý nào của các mệnh đề thành phần. Điều đó có nghĩa là mệnh đề tương đương logic với T. o Sử dụng phép biến đổi tương đương (p → q) ⇔ (¬p ۷ q). 6. Vị ngữ và lượng từ: 6.1 Vị ngữ: o Xét các câu: “x > 3 – x lớn hơn 3”; “ x = y + 3”; … o Hàm mệnh đề là một câu gồm 2 phần: phần chủ ngữ - biến, phần vị ngữ cho biết một tính chất mà chủ ngữ có thể có. o Gọi x1, x2, …, xn là các biến. Hàm mệnh đề P(x1, x2, …, xn) có giá trị phụ thuộc vào x1, x2, …, xn xác định một mệnh đề, P được gọi là vị ngữ. Ví dụ 1: Cho câu P(x): “x > 3”. Xác định giá trị chân lý của P(4) và P(2). Giải: Mệnh đề P(4) nhận được khi thay x = 4 vào câu “x > 3”. Do đó P(4) tức là câu “4 > 3” là đúng. Còn mệnh đề P(2) tức là câu “2 > 3” là sai. Ví dụ 2: Cho câu Q(x,y): “x = y + 3”. Xác định giá trị chân lý của Q(1,2) và Q(3,0). Giải: Mệnh đề Q(1,2) nhận được khi thay x = 1 và y =2 vào câu “x = y + 3”. Do đó mệnh đề Q(1,2) là mệnh đề “1 = 2+3” là sai. Còn mệnh đề Q(3,0) là mệnh đề “3 = 0 + 3” là đúng. 6.2 Lượng từ: Cách biến hàm mệnh đề thành các mệnh đề được gọi là sự lượng hoá. Có hai loại lượng hoá (còn gọi là lượng từ) là lượng từ phổ dụng (luợng từ “với mọi”) và lượng từ tồn tại. a. Định nghĩa 1: Lượng từ với mọi của P(x) là mệnh đề “P(x) đúng với mọi giá trị của x trong không gian”. Lượng từ với mọi của P(x) được ký hiệu là: ∀ x P(x). Mệnh đề ∀ x P(x) cũng được diễn đạt như: “Đối với mọi x P(x)” Ví dụ: Diễn đạt câu: “Tất cả sinh viên ở lớp này đều đã học giải tích” như một lượng từ với mọi. Giải: Cho P(x) là ký hiệu câu: “x đã học giải tích”. Khi đó câu “Tất cả sinh viên ở lớp này đều đã học giải tích”có thể được viết ∀ x P(x), ở đây không gian gồm tất cả sinh viên trong lớp học đó. b. Định nghĩa 2: Lượng từ tồn tại của P(x) là mệnh đề “Tồn tại một phần tử trong không gian sao cho P(x) là đúng”. Lượng từ tồn tại của P(x) được ký hiệu là: )(xxP∃ . Lượng từ tồn tại )(xxP∃ cũng được diễn đạt như sau: “Tồn tại x sao cho P(x)”. “Tồn tại ít nhất một x sao cho P(x)”. “Đối với một x nào đó P(x)”. Ví dụ: Cho P(x) là câu “x > 3”. Tìm giá trị chân lý của )(xxP∃ với không gian là tập các số thực. Giải: Vì “x > 3” là đúng với x = 4, nên lượng tử tồn tại của P(x) là đúng. BÀI 2: TẬP HỢP 1. Một số khái niệm cơ bản: a. Khái niệm: Các đối tượng trong một tập hợp cũng được gọi là phần tử của tập hợp đó. Tập hợp được nói là chứa các phần tử của nó. b. Cách mô tả tập hợp:  Cách 1: Mô tả tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp nếu có thể. Ký hiệu tập hợp T = {phần tử thứ 1, phần tử thứ 2, …}. Ví dụ 1: Tập các nguyên âm, V = {a, e, i, o, u}. Tập các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10, O = {1, 3, 5, 7, 9}.  Cách 2: Mô tả tập hợp bằng cách chỉ rõ các thuộc tính đặc trưng của các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ mô tả tập hợp các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10, O = {x | x là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10}. R = {x | x là số thực}.  Cách 3: Mô tả tập hợp bằng hình vẽ hay giản đồ Venn (do nhà toán học người Anh John Venn đưa ra lần đầu tiên vào năm 1881). c. Quy ước:  Để biểu diễn một phần tử a thuộc một tập hợp A ta ký hiệu: Aa ∈ .  Để biểu diễn một phần tử a không thuộc một tập hợp A ta ký hiệu: Aa ∉ .  Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập rỗng và được ký hiệu là Ø. Ví dụ tập hợp các số lẻ chia hết cho 2. d. Định nghĩa 2: Hai tập hợp là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng phần tử. Ví dụ: Các tập {1, 3, 5}, {5, 3, 1} và {1, 3, 3, 5, 5, 5} là bằng nhau vì chúng có cùng các phần tử. Trật tự các phần tử trong mô tả tập hợp và phần tử được liệt kê nhiều lần là không quan trọng. ( Xem lại định nghĩa ) e. Định nghĩa 3: Tập A được gọi là tập con của tập B nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của A đều là một phần tử của B. Chúng ta dùng ký hiệu BA ⊆ để chỉ A là tập con của B. Chúng ta thấy rằng BA ⊆ nếu và chỉ nếu lượng từ )( BxAxx ∈→∈∀ là đúng. Ví dụ: A = {x | x là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10} B = {x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 10} => BA ⊆ . - Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp (cần chứng minh mệnh đề “nếu ∅∈x thì Sx ∈ là đúng”. Mệnh đề này luôn đúng vì ∅∈x luôn sai). - Mọi tập hợp đều là tập con của chính nó. - Nếu tập A là con của tập B và tồn tại Bb ∈ sao cho Ab ∉ thì tập A được gọi là tập con thực sự của tập B. Ký hiệu BA ⊂ . - Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu tập A là con của tập B và ngược lại. - Các tập cũng có thể có các phần tử là các tập hợp khác. f. Định nghĩa 4: Cho S là một tập hợp. Nếu có chính xác n phần tử phân biệt trong S, với n là số nguyên không âm thì ta nói rằng S là một tập hữu hạn và n là bản số của S. Bản số của S được ký hiệu là |S|. 2. Phép toán trên tập hợp: a. Định nghĩa 1 (Phép hợp): B}xA x|{x ∈∨∈=∪ BA b. Định nghĩa 2 (Phép giao): B}xA x|{x ∈∧∈=∩ BA c. Định nghĩa 3: Hai tập hợp được gọi là rời nhau nếu giao của chúng bằng rỗng. d. Định nghĩa 4 (Phép trừ): A – B = B}xA x|{x ∉∧∈ e. Định nghĩa 4 (Phần bù): A}x|{xA ∉= f. Các hằng đẳng thức tập hợp: Cho U là không gian. HẰNG ĐẲNG THỨC TÊN GỌI AUA AA =∩ =∅∪ Luật đồng nhất ∅=∅∩ =∪ A UUA Luật nuốt AAA AAA =∩ =∪ Luật lũy đẳng AA = Luật bù ABBA ABBA ∩=∩ ∪=∪ Luật giao hoán )()()( )()()( CABACBA CABACBA ∩∪∩=∪∩ ∪∩∪=∩∪ Luật kết hợp CBACBACBA CBACBACBA ∩∩=∩∩=∩∩ ∪∪=∪∪=∪∪ )()( )()( Luật phân phối ABBA ABBA ∪=∩ ∩=∪ Luật De Morgan g. Tích Đề các. i. Định nghĩa 1: Gọi dãy (bộ) sắp thứ tự (a 1 , a 2 , …, a n ) là một tập hợp sắp thứ tự, có a 1 là phần tử thứ nhất, a 2 là phần tử thứ 2, … và a n là phần tử thứ n. Hai dãy (bộ) sắp thứ tự là bằng nhau nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng của chúng là bằng nhau. ii. Định nghĩa 2: Cho A và B là hai tập hợp. Tích đề các của A và B được ký hiệu là AxB là tập hợp của tất cả các cặp (a,b) với A ∈ a và B ∈ b . Từ đó: B}b A a|b){(a, BA x ∈∧∈= Tổng quát: An}anA2^ ^a2A1^a1 |an) , a2, {(a1, An x x A2 x A1 ∈∈∈…=… [...]... b) | a ∈ A và f(a) = b} b Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm f(n) = 2n + 1 Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm f(x) = x2 1 2 3 4 5 6 7 8 BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1: Logic và mệnh đề Dùng bảng chân lý để chứng minh luật giao hoán: a pV q⇔qVp b pʌ q⇔qʌp Dùng bảng chân lý để chứng minh luật kết hợp: a (p V q) V r ⇔ p V (q V r) b (p ʌ q) ʌ r ⇔ p ʌ (q ʌ r) Dùng bảng chân lý để chứng minh luật phân phối: p ʌ (q V r) ⇔ (p ʌ . 1 (Phép hợp): B}xA x|{x ∈∨∈=∪ BA b. Định nghĩa 2 (Phép giao) : B}xA x|{x ∈∧∈=∩ BA c. Định nghĩa 3: Hai tập hợp được gọi là rời nhau nếu giao của chúng bằng rỗng. d. Định nghĩa 4 (Phép trừ): A. lũy đẳng ¬p(¬q) <=> p Luật phủ định kép p ۷ q <=> q ۷ p p ^ q <=> q ^ p Luật giao hoán p ۷ q ۷ r <=> (p ۷ q) ۷ r <=> p ۷ (q ۷ r) p ^ q ^ r <=> (p ^ q) ^ r. đồng nhất ∅=∅∩ =∪ A UUA Luật nuốt AAA AAA =∩ =∪ Luật lũy đẳng AA = Luật bù ABBA ABBA ∩=∩ ∪=∪ Luật giao hoán )()()( )()()( CABACBA CABACBA ∩∪∩=∪∩ ∪∩∪=∩∪ Luật kết hợp CBACBACBA CBACBACBA ∩∩=∩∩=∩∩ ∪∪=∪∪=∪∪ )()( )()( Luật