Nguyên lý Dirichlet tổng quát: a Nguyên lý:

a. Nguyên lý:

Nếu có k + 1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt vào trong k hộp, thì có ít nhất một hộp chứa hai hoặc nhiều hơn hai đồ vật.

Chứng minh:

Giả sử không tồn tại hộp nào chứa nhiều hơn một đồ vật.

Khi đó tổng số đồ vật có trong k chiếc hộp nhỏ hơn hoặc bằng k. Điều đó mâu thuẫn với giả thuyết có k+1 đồ vật.

Vậy phải tồn tại một chiếc hộp có nhiều hơn một đồ vật. Nguyên lý trên được gọi là nguyên lý Dirichlet.

b. Ví dụ:

i. Ví dụ 1: Trong bất kỳ một nhóm 367 người thể nào cũng có ít nhất hai người trùng ngày sinh vì một năm có nhiều nhất là 366 ngày.

ii. Ví dụ 2: Trong một lớp có 65 sinh viên thể nào cũng có hai sinh viên cùng quê.

3. Nguyên lý Dirichlet tổng quát:a. Nguyên lý: a. Nguyên lý:

Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp, sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất ⌈N/k⌉ đồ vật. Chứng minh:

Giả sử không có hộp nào trong k hộp chứa nhiều hơn ⌈N/k⌉ - 1 vật. Khi đó tổng số vật chứa trong k chiếc hộp nhiều nhất là

k*(⌈N/k⌉-1) < k*((N/k+1)-1) = N. Điều này trái với giả thuyết.

(trong đó ta dùng bất đẳng thức ⌈N/k⌉ < (N/k+1).)

b. Ví dụ:

i. Ví dụ 1: Trong 100 người có ít nhất 100/12 = 9 có cùng tháng sinh.

ii. Ví dụ 2: Cần bao nhiêu mã vùng nếu theo quy định cách đánh số máy điện thoại của thành phố Hà nội hiện nay (NXXXXXX) để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại không bị trùng nhau.

Giải: Hiện nay có 9 x 106 = 9.000.000 số điện thoại.

Theo nguyên lý Direchlet trong số 25 triệu máy điện thoại có ít nhất

⌈25000000/9000000⌉ = 3 có cùng số. Để đảm bảo mỗi máy có một số cần có ít nhất 3 mã vùng.

iii. Ví dụ 3: Trong một tháng có 30 ngày, một đội bóng thi đấu ít nhất mỗi ngày một trận. Tổng số trận đấu trong tháng đó mà đội bóng đã chơi là 45 trận. Hãy chỉ ra rằng có những ngày liên tiếp đội bóng đó chơi cả thảy 14 trận.