Số các chỉnh hợp n chọn r (chỉnh hợp chập r của n ) là A(n,r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1).
Chứng minh: Mỗi chỉnh hợp của n phần tử chọn r tương ứng với một phép chọn ra r phần tử phân biệt gồm r bước chọn liên tiếp nhau, và ở mỗi bước ta chọn một phần tử. Phần tử thứ nhất của chỉnh hợp có thể được chọn theo n cách vì có n phần tử trong tập hợp. Ðối với phần tử thứ 2 ta chỉ có n-1 cách chọn (vì ở lần thứ 2 ta phải loại ra phần tử đã chọn ở lần thứ nhất trong việc chọn). Cứ tiếp tục như thế, đến phần tử thứ r ta có n-r+1 cách chọn. Do đó, theo nguyên lý nhân, ta có số chỉnh hợp n chọn r là
n(n-1)(n-2)...(n-r+1). • Ghi chú:
1- Trường hợp r = 0, ta định nghĩa A(n,0) = 1. 2- Người ta còn ký hiệu số chỉnh hợp bởi Ar
n.
3- Ký hiệu giai thừa: Ðể tiện việc trình bày cũng như biến đổi và tính toán ta sẽ sử dụng ký hiệu n! (đọc là "n giai thừa") được định nghĩa như sau:
0! = 1 n! = (n-1)! n (n lớn hơn 0) Từ công thức ta thấy rằng )! ( ! r) A(n, r n n − =
Ðặt biệt ta có A(n,n) = n!, tức là số hoán vị của n phần tử bằng n!.
• Ví dụ: Số trường hợp lấy 4 người của một lớp gồm 10 người vào 4 vị trí (có thứ tự) đại diện cho lớp là A(10,4) = 10.9.8.7 = 5 040.
2. Tổ hợp:
a. Định nghĩa:
Cho X là một tập hợp gồm n phần tử, và r là một số nguyên không âm nhỏ hơn hoặc bằng n. Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt của X mà không phân biệt thứ tự trước sau sẽ cho ta một tổ hợp n
chọn r (tổ hợp chập r của n) . Nói cách khác, ta có thể xem một tổ hợp n chọn r như là một tập hợp con gồm r phần tử của một tập hợp có n phần tử.
Ví dụ: Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 4} . Ta có tập S' = {1, 3, 4} là một tổ hợp 4 chọn 3 (tổ hợp chập 3 của 4).
Số các tổ hợp n chọn r được ký hiệu là C(n,r). Ví dụ : C(4,2) = 6 vì ta có thể liệt kê ra tất cả các tập hợp con 2 phần tử của một tập hợp có 4 phần tử và thấy có tất cả là 6 tập con. Sau đây là công thức để tính C(n,r).
b. Công thức:
Số các tổ hợp n chọn r , với n và r là các số nguyên thỏa 0 ≤ r ≤ n, là .
Chứng minh: Ta sẽ tính số tổ hợp thông qua việc thiết lập công thức liên hệ giữa C(n,r) và A(n,r). Các chỉnh hợp n chọn r thể đạt được bằng cách lấy một tổ hợp n chọn r (hay tập con r phần tử của tập hợp n phần tử cho trước) rồi sau đó chọn một hoán vị của r phần tử trong tổ hợp. Từ đó, theo qui tắc nhân, ta có
A(n,r) = C(n,r) . A(r,r) = C(n,r) . r! Suy ra :
• Ghi chú: Số tổ hợp n chọn r C(n,r) còn được ký hiệu bởi
• Ví dụ: Số danh sách không kể thứ tự trước sau gồm 5 người của một lớp học gồm 10 người là C(10,5) = 10! / (5!5!) = 252.