Nguyên lý đếm:

2.1. Nguyên lý cộng (quy tắc cộng):a. Nguyên lý: a. Nguyên lý:

Giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2

cách và nếu hai việc này không thể thực hiện đồng thời, khi đó sẽ có n1 + n2 cách làm một trong hai việc đó.

b. Ví dụ:

i. Ví dụ 1: Trong một kỳ thi có 20 đề thi được đánh số 1, 15 đề thi đánh số 2 và 8 đề thi đánh số 3. Hỏi một sinh viên có bao nhiêu cách để bốc được một trong số các đề thi đó. ii. Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách để chọn một sinh viên làm đại diện cho lớp có 20 sinh viên

năm thứ 2 và 25 sinh viên năm thứ 3.

c. Phát biểu dưới dạng tập hợp:

Nếu A1, A2, A3, ….,An là các tập hợp rời nhau Ai ∩ Aj = Ø, khi đó số các phần tử của các tập hợp này bằng tổng số các phần tử của các tập thành phần:

|A1 U A2 U A3 U …. U An| = |A1| + | A2| + …. + |An|

2.2. Nguyên lý nhân (Quy tắc nhân):a. Nguyên lý: a. Nguyên lý:

Giả sử có một nhiệm vụ nào đó được tách ra làm hai việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1

cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã được làm, khi đó sẽ có n1 x n2 cách làm nhiệm vụ này

b. Ví dụ:

i. Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gán nhãn ghế trong một rạp hát. Biết rằng mỗi nhãn gồm một chữ cái và một chữ số tiếp theo.

Giải: Trước tiên có thể chọn một trong 26 chữ cái, sau đó có thể chọn một trong 10 chữ số. Nguyên lý nhân chỉ ra rằng có 26 x 10 cách khác nhau để gán nhãn cho những chiếc ghế này.

ii. Ví dụ 2: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 7?.

Giải: Bit thứ nhất của xâu có thể chọn bằng 2 cách, bit thứ 2 có thể chọn bằng 2 cách, ..., bit thứ 7 có thể chọn bằng 2 cách. Nguyên lý nhân chỉ ra rằng có 27 cách chọn các bit của xâu nhị phân, do đó có 27 xâu nhị phân.

iii. Ví dụ 3: Đếm số tập con của một tập hữu hạn.

Giải: Giữa các tập con của S và dãy nhị phân có độ dài |S| có sự tương ứng một – một. Cụ thể là, một tập con của S được gán với dãy nhị phân có số 1 ở vị trí thứ i nếu phần tử thứ i trong dãy thuộc tập con này, và là 0 trong trường hợp ngược lại.

c. Phát biểu dưới dạng tập hợp:

Nếu A1, A2, A3, ….,An là các tập hợp hữu hạn, khi đó số phần tử của tích Đề-các của các tập hợp này bằng tích của các phần tử của các tập thành phần:

2.3. Bài toán đếm kết hợp cả hai nguyên lý:

Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi có bao nhhiêu mật khẩu?

Giải:

P: tổng số mật khẩu.

P6: số mật khẩu có độ dài 6 ký tự P7: số mật khẩu có độ dài 7 ký tự P8: số mật khẩu có độ dài 8 ký tự

=> P = P6 + P7 + P8 trong đó: P6 = 366 - 266 P7 = 367 – 267 P8 = 368 - 268 3. Nguyên lý bù trừ: 3.1. Nguyên lý:

Giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2

cách và hai việc này thực hiện đồng thời ở n3 cách, khi đó sẽ có n1 + n2 – n3 cách làm một trong hai việc đó.

3.2. Ví dụ:

Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài là 8 bit hoặc được bắt đầu bằng bit 1 hoặc kết thúc bằng 2 bit 00?

Giải: Việc thứ nhất: xây dựng xâu nhị phân có độ dài 8 bit bắt đầu bằng bit 1, có thể xây dựng được 27 = 128 xâu, vì bit đầu chỉ có thể chọn một giá trị duy nhất các bit còn lại có thể chọn một trong 2 giá trị.

Việc thứ hai: xây dựng xâu nhị phân có độ dài 8 bit kết thúc bằng 2 bit 00, có thể làm bằng 26 = 64 xâu.

Có thể làm cả hai việc đồng thời, có thể xây dựng các xâu nhị phân dài 8 bit bắt đầu bằng bit 1 và kết thúc bằng hai bit 00, bằng 25 = 32 cách.

Theo nguyên lý bù trừ ta có 128 + 64 – 32 = 160 xâu nhị phân có độ dài là 8 bit bắt đầu bằng bit 1 và kết thúc bằng 2 bit 00.

3.3. Phát biểu dưới dạng tập hợp:

Nếu A1, A2 là các tập hợp và A1 ∩ A2 ≠ Ø, khi đó số các phần tử của các tập hợp này bằng tổng số các phần tử của các tập thành phần:

|A1 U A2| = |A1| + | A2| - |A1∩ A2|