32 Lực nổi là hợp lực của các lực áp suất hớng thẳng đứng lên một vật thể chìm và bằng trọng lợng của chất lỏng bị chiếm chỗ (định luật Acsimet). Trong hình 3.4, lực thẳng đứng lên mặt trên 2 1 4 bằng trọng lợng của chất lỏng ở trên bề mặt đó, và lên mặt đáy 2 3 4 bằng chất lỏng ở trên bề mặt đó, thậm chí dù chất lỏng không chiếm toàn bộ thể tích đó. Hình 3.4. Lực nổi tác động lên một thể tích chìm trong nớc Nh vậy lực thẳng đứng thực tế thể hiện trọng lợng của chất lỏng trong thể tích 1 - 2- 3- 4 (thể tích chiếm chỗ). Lực đợc đặt ở trọng tâm của thể tích bị chiếm chỗ. Nh vậy, F v = gv 1234 . (3.5.1) Chơng 4. Động học chất Lỏng 33 4.1. Mở đầu Động học là hình học của chuyển động. Nh vậy động học chất lỏng mô tả những chuyển động chất lỏng mà không xét đến những lực gây ra chuyển động đó. Động học rất quan trọng bởi vì nó có thể giải thích nhiều hiện tợng chất lỏng theo một cách đơn giản. Có thể nghiên cứu những chuyển động chất lỏng bằng cách quan sát những hạt chất lỏng đã cho khi chúng di chuyển trong không gian (phơng pháp Lagrange) hoặc bằng cách quan sát chuyển động của những hạt chất lỏng khác nhau khi chúng đi qua những điểm cố định trong không gian (phơng pháp Euler). Trong phơng pháp Lagrange, đờng đi của hạt chất lỏng hoặc quỹ đạo là đờng cong có tầm quan trọng cơ bản. Trong phơng pháp Euler, đờng dòng là đờng cong có tầm quan trọng cơ bản. Phơng pháp Euler nói chung tiện lợi hơn và đợc sử dụng ở đây. 4. 2. Đờng dòng và dòng nguyên tố Đờng dòng là một đờng cong mà tiếp tuyến của nó ở bất kỳ điểm nào đều trùng với vectơ vận tốc chất lỏng tại điểm đó (xem hình 4.1). Do đó, có thể không có vận chuyển của khối lợng chất lỏng ngang qua một đờng dòng. Từ những xem xét động học (hình 4.1) thấy rằng dy/dx = V/U. Tơng tự, dz /dy = W/V và dx/dz = U/W. Nh vậy: W dz V dy U dx . (4.2.1) Hình 4.1. Đờng dòng Giả sử, lấy ví dụ một dòng chảy 2 chiều với U = kx, V = - ky và k = const. Điều đó dẫn tới: dx /x = - dy/y hoặc ln(x) = - ln(y) + C 1 , tơng đơng với xy = C 2 , trong đó C là hằng số tích phân. Điều này thể hiện một trạng thái dòng chảy với những đờng dòng hyperbol dạng góc vuông (dòng chảy tại góc), nh trong hình 4.2. 34 Hình 4.2. Đờng dòng tại một góc Đờng dòng đặc biệt là đờng dòng phân chia, tách ra hai miền dòng chảy (ví dụ, dòng chính và dòng hoàn lu nghịch). Dòng nguyên tố là một phần tử dòng chảy đợc bao bọc bởi những đờng dòng và nh vậy chất lỏng không thể đi qua những biên của dòng nguyên tố (xem hình 4.3). Hình 4.3. Dòng nguyên tố 4.3. Hàm dòng Trong dòng chảy hai chiều những phơng trình của đờng dòng có thể mô tả bằng những hàm dòng . Giá trị không đổi dọc theo một đờng dòng. Những giá trị khác nhau chỉ định những đờng dòng khác nhau. U và V là những thành phần vận tốc liên quan đến hàm dòng nh sau: U = -/y (4.3.1) V = /x (4.3.2) dy y dx x d . (4.3.3) Vì = (x,y), vi phân toàn phần của dẫn đến: d = Vdx- Udy. (4.3.4) 35 Hàm dòng không đổi khi d = 0, kết quả là V dx - Udy = 0. Biểu thức này thể hiện phơng trình đờng dòng (phơng trình 4.2.1). Nh vậy, hàm dòng không đổi đối với một đờng dòng. Giả sử, ví dụ hàm dòng = - kxy. Điều này dẫn tới U = kx và V = - ky. Những đờng dòng là những đờng cong = const, nghĩa là những đờng hypebol dạng góc vuông xy = const (xem hình 4.2). 4.4. Gia tốc Vận tốc chất lỏng có thể thay đổi theo vị trí và theo thời gian. Nó có thể đợc mô tả nh sau: dt rd trfV ),( (4.4.1) trong đó: V = vectơ vận tốc chất lỏng với các thành phần U, V, W. r = vectơ vị trí với những thành phần x, y, z. Ba thành phần vận tốc đợc xác định nh sau: U = dx/dt = U(x,y,z,t) V = dy/dt = V(x,y,z,t) W = dz/dt = W(x,y,z,t) (4.4.2) và cũng là những hàm của vị trí và thời gian. Một khi vận tốc của một phần tử hoặc hạt chất lỏng là một hàm của cả vị trí lẫn thời gian, chúng ta có thể viết cho thành phần x, ví dụ dt t U dz z U dy y U dx x U dU (4.4.3) cùng những biểu thức tơng tự cho dV và dW. Gia tốc trong hớng x là: t U z U W y U V x U U t U dt dz z U dt dy y U dt dx x U dt dU a x (4.4.4) trong đó tz W y V x U dt d (4.4.5) đợc gọi là đạo hàm vật chất, hoặc thể chất, hoặc hạt. Ba số hạng đầu tiên liên quan đến chuyển động của các hạt chất lỏng và là những gia tốc đối lu, và số hạng cuối cùng liên quan đến sự thay đổi thuộc tính tại một điểm cố định theo thời gian, là gia tốc địa phơng. Trong dạng vectơ, gia tốc của một hạt chất lỏng là 36 t V V t V z V W y V V x V U dt Vd a ).( . (4.4.6) Trong tọa độ Đecacto t U z U W y U V x U Ua x t V z V W y V V x V Ua y t U z W W y W V x W Ua w . (4.4.7) Điều quan trọng phải chú ý là nếu một hạt thay đổi vận tốc khi di chuyển từ một điểm này đến điểm khác trong không gian thì có một gia tốc đối lu. Nếu gia tốc đối lu bằng không, thì dòng chảy đợc gọi là dòng đều. Nếu vận tốc của những hạt chất lỏng liên tiếp đi qua một điểm đã cho trong không gian thay đổi theo thời gian, thì có một gia tốc địa phơng. Nếu gia tốc địa phơng bằng không, thì dòng chảy đợc gọi là dòng ổn định. 4.5. Biến dạng Về cơ bản, có thể phân biệt bốn loại biến dạng cho một khối lập phơng nguyên tố với những cạnh x, y và z. Những biến dạng này là hệ quả của những biến đổi không gian của vận tốc. Bốn loại biến dạng là: - a dịch chuyển, - b quay, - c1 biến dạng tuyến tính, - c2 biến dạng góc. Dịch chuyển và quay bao gồm những biến dạng mà không có sự thay đổi về hình dạng của phần tử chất lỏng. Tuy nhiên, biến dạng tuyến tính và biến dạng góc bao gồm sự thay đổi hình dạng. Chỉ thông qua hai biến dạng này mới phát sinh nhiệt và cơ năng đợc tiêu tán nh kết quả của tác động nhớt trong chất lỏng. Hình 4.4 cho thấy bốn loại biến dạng trong mặt phẳng x - y của khối lập phơng. Dịch chyển: Dịch chuyển theo hớng x : Udt hớng y: Vdt hớng z : Wdt. Quay: 37 Độ quay trong mặt phẳng x - y là trung bình độ quay của những cạnh x và y, là 1/2(tan + tan): dt y U x V y ydt y U x xdt x V )( 2 1 )( 2 1 . Tốc độ quay trong mặt phẳng x - y là vận tốc góc: dt y U x V z )( 2 1 . (4.5.1) Hình 4.4. Các loại biến dạng Tơng tự, dt z V y W x )( 2 1 (4.5.2) dt x W z U y )( 2 1 . (4.5.3) Có ba thành phần của vectơ vận tốc góc : VxVcurl 2 1 2 1 . Biến dạng tuyến tính: 38 Biến dạng tuyến tính theo hớng x: (U/x)xdt; theo hớng y: (V/y) ydt theo hớng z : (W/z) z dt. Thay đổi chiều dài của mỗi cạnh gây ra thay đổi tơng ứng của thể tích khối lập phơng là: VVdiv z W y V x U e . . (4.5.4) Đối với chất lỏng không nén đợc nó bằng không (e = 0) và biểu thị phơng trình liên tục (xem thêm Chơng 5). Biến dạng góc: Biến dạng góc trong mặt phẳng x - y là trung bình các biến dạng góc của những cạnh riêng lẻ x và y: dt y U x V )( 2 1 . Mức biến dạng trong mặt phẳng x y là: )( 2 1 y U x V xyyx . (4.5.5) Tơng tự, )( 2 1 y W z V zyyz (4.5.6) )( 2 1 z U x W xzzx . (4.5.7) 4.6. Xoáy Vectơ xoáy đợc xác định nh sau (xem phơng trình 4.5.1 4.5.3): VxVcurl 2 (4.6. 1) và bằng hai lần vectơ vận tốc góc. Vectơ xoáy là hàm của cả vị trí lẫn thời gian. Một đờng xoáy là một đờng cong dọc theo đó vectơ xoáy là tiếp tuyến. Một xoáy nguyên tố đợc giới hạn bởi những đờng xoáy. Những xoáy có thể tồn tại trong dòng chảy nhớt và dòng chảy không nhớt. Nếu xoáy bằng không trong một chất lỏng đang chuyển động, thì dòng chảy đợc gọi là không quay. Nh vậy 0 Vx và: y U x V và y W z V và z U x W . (4.6.2) . dụ, dòng chính và dòng hoàn lu nghịch). Dòng nguyên tố là một phần tử dòng chảy đợc bao bọc bởi những đờng dòng và nh vậy chất lỏng không thể đi qua những biên của dòng nguyên tố (xem hình 4. 3) 4 bằng trọng lợng của chất lỏng ở trên bề mặt đó, và lên mặt đáy 2 3 4 bằng chất lỏng ở trên bề mặt đó, thậm chí dù chất lỏng không chiếm toàn bộ thể tích đó. Hình 3 .4. Lực nổi tác động. đờng dòng hyperbol dạng góc vuông (dòng chảy tại góc), nh trong hình 4. 2. 34 Hình 4. 2. Đờng dòng tại một góc Đờng dòng đặc biệt là đờng dòng phân chia, tách ra hai miền dòng chảy