CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 7 pps

Chương lý thuyết đơn giản cách đáng kể SỰ DẪN SÓNG PHỤ THUỘC KHOẢNG CÁCH Ở chương trước xét truyền âm đại dương nơi có độ sâu, đặc trưng âm học đáy biển trắc diện tốc độ âm c( z ) nước không thay đổi dọc theo đường truyền Nhiều phép xấp xỉ tương đối tốt tình thực vậy, lý thuyết phát triển có nhiều ứng dụng thực tiễn Tuy nhiên, đơi cần khái qt hóa lý thuyết cho trường hợp đặc trưng dẫn âm đại dương biến thiên với khoảng cách theo phương ngang Cụ thể, điều cần thiết khi: a) âm truyền vùng ven bờ, nơi độ sâu biển biến thiên cách đáng kể; b) sóng âm ngang qua đới front đại dương, ví dụ, hải lưu Gulf Stream, Kurosyo v.v c) âm truyền khoảng cách lớn cỡ hàng nghìn km Biến thiên trắc diện c( z ) đáng kể trường hợp này, đặc biệt đường truyền nằm hướng kinh tuyến Lý thuyết truyền âm trường hợp tổng qt mơi trường có đặc trưng biến thiên dọc theo ba tọa độ cịn chưa phát triển cách đầy đủ Nhưng có tình làm cho vấn đề trở nên dễ dàng trường hợp chúng ta, cụ thể đặc trưng ống dẫn sóng đại dương hướng ngang biến thiên chậm Khi đó, đưa tham số nhỏ tương ứng như: độ nghiêng đáy nhỏ tỉ số nhỏ građien phương ngang građien phương thẳng đứng tốc độ âm cho trường hợp trắc diện c( z, r ) phụ thuộc vào khoảng cách Sự tồn tham số nhỏ làm cho 235 Hiện có ba phương pháp phân tích truyền sóng mơi trường phát triển tương đối tốt - phương pháp dẫn sóng quy chiếu, phương pháp phương trình parabolic phương pháp tia 7.1 CÁC THỨC CHUẨN TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP HỒN TỒN: PHƯƠNG PHÁP DẪN SĨNG QUY CHIẾU Bây ta xét dẫn sóng âm đại dương, tốc độ âm c( z, r ) biến thiên theo độ sâu, mà theo khoảng cách phương ngang r = { x, y } , chậm nhiều Bài toán quy tìm nghiệm phương trình Helmholtz áp suất âm p( z, r ) ∆p + k ( z, r ) p = 0, k( z, r ) = ω / c( z, r ) (7.1.1) với điều kiện tương thích lân cận nguồn, biên vô Hiện chấp nhận đáy bề mặt đại dương phản xạ lý tưởng Chúng ta sử dụng thuật ngữ dẫn sóng quy chiếu r = r1 ống dẫn sóng đồng khơng phụ thuộc r , trắc diện tốc độ âm thẳng đứng cho hàm c( z, r1 ) Một cách tổng quát, độ sâu phụ thuộc vào r , h = h( r ) Nhưng ống dẫn sóng quy chiếu tương ứng với điểm r1 có đáy nằm ngang độ sâu h = h( r1 ) Chúng ta chấp nhận rằng, dẫn sóng quy chiếu tương ứng với r có hệ đầy đủ hàm riêng trực giao ψ l ( z, r ), l = 1, 2, tùy thuộc vào z ( r lấy làm tham số) thỏa mãn phương trình d 2ψ l [ ] + k ( z, r ) − ξ l2 ψ l = (7.1.2) dz với điều kiện biên đáy mặt Ở ξ l = ξ l ( r ) giá trị riêng dẫn sóng quy chiếu r 236 Về nguyên tắc, trường phụ thuộc vào z r cho biểu diễn khai triển thành số hạng hàm ψ l Do đó, ta biểu diễn nghiệm (7.1.1) dạng p( z, r ) = ∑ Ψl (r )ψ l ( z, r ) (7.1.3) l hệ số khai triển cho Ψl = Bl H (01) (ξ l r ) , Bl số ống dẫn sóng phân tầng khơng phụ thuộc khống cách Có thể kỳ vọng rằng, trường hợp chúng ta, Bl hàm biến thiên chậm r Thế (7.1.3) vào (7.1.1) bỏ qua đối số hàm ngắn gọn, ta ∂ 2ψ l ∂2 p , = ∑ Ψl ∂z ∂z l ∂ p ∂x + ∂ p ∂y ( ) ⎧∂ ∂⎫ ∇r = ⎨ , ⎬ ⎩ ∂x ∂y ⎭ Giả thiết hàm ψ l trực giao, tức h ∫0 +ξ m )Ψm (7.1.4) ψ lψ m dt = δ l m = −2∑ ∇ r Ψl ∫ψ m ∇ rψ l dz −∑ Ψl ∫ψ l Phải lưu ý kết hợp thức xảy điều kiện biên, trường hợp đáy nghiêng Để đơn giản, ta xét tốn có đối xứng hình trụ, độ âm c = ( r, z ) phụ thuộc vào z khoảng cách r Khi đó, ta có phép Khi đó, đưa (7.1.4) vào (7.1.1) sau nhân với ψ m ( z, r ) tích phân theo z từ tới h cho tập hợp phương trình vi phân kép: (∇ r Vế phải (7.1.5) nhỏ tính chất ống dẫn sóng biến thiên đủ chậm theo khoảng cách phương ngang Nếu ta chấp nhận vế phải khơng, phương trình cho thức chuẩn không cặp đôi Mỗi thức chuẩn truyền ống dẫn sóng cách độc lập với nhau, thích ứng với điều kiện biến đổi ống dẫn sóng Phép xấp xỉ tương tác thức bị bỏ qua thường gọi xấp xỉ đoạn nhiệt 7.2 XẤP XỈ ĐOẠN NHIỆT: BẤT BIẾN TIA ≡ ∇ p = ∑ Ψl ∇ 2ψ l + 2∇ r Ψl ∇ rψ l + ψ l ∇ Ψl , r r r l nhà nghiên cứu áp dụng nhiều lần Chwieroth nnk [7.4] xét chi tiết trường hợp trắc diện tốc độ âm theo phương thẳng đứng có dạng parabon m∇ r ψ l dz (7.1.5) l Phương trình sở phương pháp dẫn sóng quy chiếu Phương trình tương tự trường hợp sóng điện từ Katzenelenbaum [7.1] thu lần Trong trường hợp sóng âm phương trình Pierce [7.2] muộn Milder [7.3] nhận 237 xấp xỉ đoạn nhiệt ∂ ⎛ ∂Ψm ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ r ∂r ⎟ + ξ m ( r )Ψm = r ∂r ⎝ ⎠ (7.2.1) Ta đưa hàm Fm ( r ) = r / Ψm ( r ) , hàm thỏa mãn phương trình ⎞ ⎛ " Fm = − ⎜ ξ m + ⎟ Fm 4r ⎠ ⎝ (7.2.2) Chúng ta quan tâm tới nghiệm phương trình cuối ξ m r >> Khi đó, bỏ qua số hạng thứ hai dấu ngoặc , ta nhận phương trình cho Fm " Fm = −ξ m ( r ) Fm 238 (7.2.3) p ( z, r ) = ( / π )1 / exp ( −iπ / 4)∑ψ l ( z1 , 0)ψ l ( z, r ) (ξ l r ) −1 / Nghiệm phương trình phép xấp xỉ WKB, thấy so sánh với (6.7.1), r − Fm ( r ) = Am ξ m1 / ( r ) exp ⎡i ∫0 ξ m ( r ) dr ⎤ , ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Nếu ý tới tất thức chẩun, nhận cho áp suất âm (7.1.3) p( z, r ) = ( / π )1 / exp( −iπ / 4)∑ψ l ( z)ψ l ( z1 )(ξ l r ) −1 / exp( iξ l r ) l (7.2.6) Tại khoảng cách r tương đối nhỏ từ nguồn (nhưng lớn so với bước sóng âm) biến thiên tính chất mơi trường hướng ngang không ảnh hưởng tới trường âm ξ l xem số Vì vậy, khoảng cách (7.2.5) (7.2.6) phải Vì với số ξ l ∫0 ξ l dr = ξ l r , ⎞ ⎠ ∫ ξ l dr ⎟ ⎟ (7.2.8) độ sâu (7.2.1) ống dẫn sóng quy chiếu tương ứng với r cho trước 7.2.1 Bất biến tia Khi nhận (7.2.8) sử dụng phép xấp xỉ WKB nghiệm phương trình khoảng cách (7.2.3) Tiên đề tính chất mơi trường hướng ngang biến thiên chậm thơng thường xem hồn tồn đúng.20 Đối với trường hợp ống dẫn sóng đủ rộng hướng thẳng đứng số thức lan truyền đủ lớn, phép xấp xỉ WKB sử dụng để giải phương trình độ sâu, tức thủ tục mơ tả mục 6.6 áp dụng Các giá trị riêng ξ l tìm cách sử dụng tích phân pha trường hợp Ví dụ, ống dẫn sóng bên trong, nhờ (6.7.12) có z′′ l [ k0 ∫z′ n ( z, r ) − ξ l2 / k0 l r r Chúng ta nhớ lại ξ l = ξ l (r ) giá trị riêng phương trình (7.2.5) Đối với trường hợp ống dẫn sóng đồng theo phương ngang, p( z, r ) cho (6.4.11) Nếu giả thiết ξ l r >> dạng tiệm cận hàm Hankel sử dụng, (6.4.11) trở thành ] 1/ dz = π ( l + / 2) , (7.2.9) đây, điểm quay trở lại z ′ z ′′ (tại biểu thức dấu trở l l thành không) k0 ξ l phụ thuộc vào r ta nhận Al = ( / π )1 / exp( −i π / 4)ψ l ( z1 , 0) , ⎛ × exp ⎜ i ⎜ ⎝ (7.2.4) Am số r p( z, r ) = ∑ Alψ l ( z, r )(ξ l r ) −1 / exp ⎛ i ∫0 ξ l dr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ l l Trong mục 6.7 cho thấy có hệ thống tia tương ứng (7.2.7) ψ l ( z1 , ) = ψ l ( z1 ) hàm riêng phương thẳng đứng vùng gần với nguồn ( r = ) Bây (7.2.5) áp suất âm viết thành 239 20 Nhớ lại xét toán đối xứng trụ với sơ đồ tia đơn giản mặt phẳng ngang Trong trường hợp phức tạp hơn, tia mặt phẳng ngang hình thành vùng tụ tia (mục 7.3), pháp xấp xỉ WKB phải cải biên 240 với thức chuẩn lấy phép gần WKB Trong ống dẫn sóng đồng phương ngang góc mà tia làm thành với trụch kênh ( z = z , c = c0 ) χ l ≡ χ l ( z0 ) = arccos (ξ l / k0 ) Đối với độ sâu khác, góc tương tự χ l ( z ) xác định thơng qua χ l định luật Snell (6.7.23) Hồn tồn tương tự trường hợp với ống dẫn sóng có tính chất biến thiên chậm theo khoảng cách ngang, χ l χ l ( z ) phụ thuộc vào r Tuy nhiên, chúng liên hệ với (6.7.23), tức n( z, r ) cos χ l ( z, r ) = cos χ l ( r ) , sin χ ( z, r ) dz = const c ( z, r ) I=∫ (7.2.12) Tích phân lấy tồn chu trình tia Đại lượng I gọi bất biến tia Nó liên hệ với thời gian di chuyển T sóng âm chu trình khoảng cách chu trình D Nếu bỏ qua đối số χ ( z, r ) c( z, r ) ngắn gọn, có (2.31, 4) T= (7.2.10) ∫ dz , c sin χ D= ∫ dz tgχ (7.2.13) cos χ cos χ = , c0 χ tốc độ c c0 r xem tham số Theo định luật Snell, ta có Dựa biểu diễn tia, người ta tưởng tượng mơi trường phải biến thiên chậm theo khoảng cách phương ngang phép gần đoạn nhiệt Tõ ràng cần thiết biến thiên đặc trưng ống dẫn sóng phải nhỏ độ dài chu trình tia Nói cách khác, chu trình tiếp sau phải khác so với chu trình trước Những lập luận định lượng nêu muộn hơn, viết (7.2.9) thông qua tia Nếu ξ l / k0 = cos χ l ( r ) âm góc mở tia trục ống dẫn sóng Sử dụng định luật này, ta có đồng thức hiển nhiên vào (7.2.9) sử dụng (7.2.10), ta z′′ l ∫z′ l sin χ l ( z, r ) dz = (π / ω ) ( l + / 2) c ( z, r ) (7.2.11) Vì vế phải phương trình khơng phụ thuộc vào r , nên tích phân vế trái số Đây kết quan trọng, biểu thị “định luật bảo toàn” phép gần đoạn nhiệt cos χ sin χ = − ⋅ c c sin χ c0 tgχ Tích phân biểu thức cuối chu trình tia sử dụng (7.2.13), ta I = T − qD , (7.2.14) q = độ pha sóng chạy dọc theo quãng đường tia, tốc độ âm độ sâu quay ngược lại z = z′ z = z′′ , nơi χ = Ta biểu diễn T D sau: Các góc χ l (r ) χ l ( r, z ) biến đổi gián đoạn theo l Tuy nhiên, số lượng thức chuẩn lớn, biến đổi xem liên tục Trong trường hợp số l khơng cần thiết (7.2.11) viết dạng 241 1 cos χ = , v thành phần phương ngang tốc c0 v T = ∫ c −2 ( c −2 − q ) −1 / dz, sau ý tới quan hệ hiển nhiên 242 D = q ∫ ( c −2 − q ) −1 / dz bỏ qua dT dD , =q dq dq 7.2.2 Một ví dụ sử dụng bất biến tia ta nhận Xét truyền âm biển, nơi độ sâu h = h(r ) tăng đơn điều dọc dI = −D dq Bây ta tỉ số D / T thành phần phương ngang tốc độ nhóm u = dω / dξ Phương trình (7.2.11) viết lại thành ωI = const Lấy đạo hàm phương trình theo ξ ý q = ξ / ω dq − qu , ta tìm = ω dξ ⎛ dI ⎞ u = −⎜ ⎜ dq ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ dI ⎞ D ⎜I − q ⎟= ⎜ dq ⎟ T ⎝ ⎠ theo đường truyền (ví dụ, vùng ven bờ) tốc độ âm r giảm tuyến tính từ bề mặt z = tới đáy z = h : c = c s (1 − az ), ≤ z ≤ h( r ) Tốc độ âm c s bề mặt građien a hàm liên tục r Hình 7.1 biểu diễn sơ đồ tia cho trường hợp c s a không đổi, cịn h tăng tuyến tính với r : vùng ven bờ với góc nghiêng φ = 30' Ta thấy từ r định vùng tối âm bắt đầu xảy lân cận bề mặt Độ rộng vùng tăng lên với khoảng cách Ta sử dụng bất biến tia để xác định điều kiện hình thành vùng tối quy luật mở rộng Bây bất biến tia biểu diễn sau; ⎛ 1⎞ I = D⎜ − ⎟ ⎝u v⎠ Khái niệm bất biến tia có lợi nhiều phương diện Ví dụ, sử dụng nó, người ta nhận χ (r ) , góc mở tia trục kênh hàm r Khái niệm bất biến tia âm học biển Weston [7.5] hình thành lần Chúng ta chứng minh cách chặt chẽ khơng đổi I tốn đối xứng trụ Nhưng rõ ràng giả thiết đối xứng trụ hồn tồn khơng cần thiết, kết áp dụng cho trường hợp tùy ý chọn mặt phẳng r, z cho tia truyền mặt Hình 7.1 Sơ đồ tia truyền âm đại dương với đáy nghiêng građien tốc độ âm âm Độ sâu phẳng khơng rời khỏi nó, tức khúc xạ phương ngang tia nguồn z1 = 75 m, φ = 30' , a = 1,2 ⋅ 10 243 (7.2.15) 244 −4 m −1 [7.6] tgχ ∼ sin χ ∼ χ lấy tích phân, ta I = (3ac s ) −1 χ h = const (7.2.19) Một kết luận lý thú rút từbiểu thức Nếu a c s không phụ thuộc vào r , góc χ h mà tia làm với mặt phẳng ngang đáy không đổi kiểu biến thiên h(r ) Từ (7.2.17), ý χ ( z ′) = 0, c( z ′) = c s (1 − az ′), c h = c s (1 − ah ) χ h , az′ , ah nhỏ, ta cịn tìm χ h = 2a( h − z′) , Hình 7.2 Chu trình đầy đủ tia khúc xạ xuống phía Ống dẫn sóng quy chiếu r cố định lớp phẳng độ sâu tuân theo (7.2.15) với a số ta ước lượng bất biến tia tia biểu diễn hình 7.2 Ta có sin χ dz (7.2.16) c Ta sử dụng χ làm biến tích phân thay cho z Theo định luật h I = ∫z' z′ độ sâu quay ngược lại tia (hình 7.2) Nếu tiệm cận tới h nhỏ (cũng tới r ), đạt tới độ sâu h = h0 (tại r = r0 ), nơi độ sâu quay ngược lại trùng với bề mặt ( z ′ = ) Như thấy từ (7.2.19), góc mở tia đáy r0 χ h0 = 2a0 h0 , a0 ≡ a( r0 ) Bây ta viết lại (7.2.19) dạng 3 ( acs ) −1 χ h = ( a0 cs0 ) −1 χ h0 = ( a0 cs0 ) −1 ( 2a0 h0 ) / Snell, ta có cos χ ( z ) cos χ h = c( z ) ch (7.2.17) χ h c h góc mở tốc độ âm đáy Đạo hàm (7.2.17), ta (bỏ qua đối số χ ( z ) c( z ) ) cos χ h dc cos χ h sin χ dχ = − dz = ac s dz ch dz ch (7.2.18) 1/ ⎛ ac s ⎞ biểu thức vào Từ đây, ta tìm χ h = 2a0 h0 ⎜ ⎜a c ⎟ ⎟ ⎝ s0 ⎠ (7.2.20), thu cho z′ - độ sâu vùng tối tia xét z ′ = h − h0 ( a0 / a)1 / ( c s / cs0 ) / ac s χh ∫0 (7.2.21) Nếu a c s số, ta nhận kết lý thú khác z ′( r ) = h( r ) − h0 , Nhờ (7.2.17, 18) (7.2.16) trở thành I= (7.2.20) (7.2.22) tức biên phía vùng tối theo trắc diện đáy khoảng cách không đổi h0 bên đáy (xem hình 7.1 trường hợp cụ thể tgχ sin χ dχ Trong trường hợp thực, χ h thường nhỏ Do đó, đặt 245 với đáy phẳng nghiêng) 246 Độ sâu h0 dễ dàng xác định được, ta xét bất biến tia độ sâu h < h0 (tức r < r0 ), nơi tia bị phản xạ từ đáy ∂Ψl ~ ξ l1 / exp i ∫ ξ l dx ~ ξ l1 / exp ( i ξ l x ) ∂x ( ) (7.2.25) từ bề mặt nước Trong trường hợp độ sâu nguồn góc apectua định hướng nguồn phải định Một tia rời khỏi nguồn với góc mở cực đại xác định vùng tối mà biên vừa tìm Để áp dụng bất biến tia cho trường hợp phức tạp hơn, xem báo Harrison [7.7] Thế (7.2.25) vào (7.2.23), ta nhận phương trình quen thuộc cho dao động cưỡng phát dao động điều hịa với nghiệm, dễ dàng kiểm tra, 7.2.3 Những điều kiện áp dụng xấp xỉ đoạn nhiệt bất biến tia Ψm hiệu chỉnh cho thức chuẩn thứ m tương tác với thức thứ l Bây rút điều kiện để bỏ qua vế phải (7.1.5) Chúng ta không bậc đại lượng cách giữ lại tổng thứ giữ lấy số hạng l = m + tương tác thức lân cận hiệu Ngoài ra, thay ∇ r ∂ / ∂x , x tọa độ hướng truyền sóng, ta nhận cho Ψm phương trình ∂ Ψm ∂x 2 + ξ m Ψm = −2 Sml ∂Ψl , ∂x l = m + 1, (7.2.23) ∂ψ l dz (7.2.24) ∂x Để ước lượng bậc độ lớn vế phải (7.2.23), Ψl ước Sml = ∫ ψ m lượng phép gần WKB (tới độ xác thừa số không đổi) ( ) Ψm ~ Sml ξ l1 / 2 ξ m − ξ l2 exp ( i ξ l x ) ; − Xấp xỉ đoạn nhiệt hiệu chỉnh nhỏ so với ξ m1 / - biên độ thức chuẩn thứ m , tức Sml ξ l1 / 2ξ m/ 2 ξ m − ξ l2