CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 5 pdf

hạn chế kể từ vùng tụ tia, nên giới hạn số hạng khai triển pha viết (4.5.19) Có thể rút tiêu chuẩn tương ứng, đòi hỏi số hạng bị bỏ qua g ′′′(ξ )(ξ − ξ ) (4.5.19) phải bé so với đơn vị, tức lệch pha bỏ qua 15 Bởi g(ξ ) = r g(ξ ) = r0 , có ⎛ r − r0 r0′′′ ⎜ ⎜ r ′′ ⎝ ⎞ ⎟ z1 164 sin αz cos α ( h − z1 ) (1) H (ξ r ) ξ dξ α cos αh (5.3.1) p( r, z ) = ∞ ∫ −∞ sin αz1 cos α ( h − z ) (1) H (ξ r ) ξ dξ α cos αh l =0 Các tích phân biến đổi thành tổng phần dư cực biểu thức dấu tích phân Các cực xác định nghiệm phương trình cosαh = , (5.3.3) tức αl = π⎛ 1⎞ ⎜ l + ⎟, h⎝ 2⎠ l = 0, 1, 2, (5.3.4) Chú ý tới quan hệ α = ( k − ξ ) / , ta [ ξ l = ± k − (π / h) ( l + / 2) ] 1/ chấp nhận k có phần ảo dương bé (hấp thụ nhỏ mơi trường) Khi nghiệm di chuyển từ bán trục dương tới cung phần tư thứ nhất, từ bán trục âm tới cung phần tư thứ ba Bây di chuyển quãng đường lấy tích phân (5.3.1) xa khỏi trục số thực tới vô nửa mặt phẳng ξ phía Có thể đóng góp phần vơ qng đường tích phân khơng Kết là, tích phân biến đổi thành tổng phần dư cực cung phần tư thứ nhất, p( r, z ) = 2π i ∑ l =0 ⎡ sin αz cos α ( h − z1 ) ⎤ (1) ⎢ αd(cos αh ) / dξ ⎥ H (ξ l r ) ξ l ⎣ ⎦ξl (5.3.6) 2π i ∞ ∑ = sin α z sin α z1H (01) (ξ l r ) (5.3.7) h l Biểu thức cuối p không thay đổi z thay z1 ngược lại, với z ( ≤ z ≤ h ) Mỗi số hạng pl (5.3.7) thỏa mãn phương trình Helmholtz (5.1.2) điều kiện biên, gọi thức chuẩn Chúng ta xét đặc tính thức chuẩn Tại khoảng cách lớn (so với bước sóng) kể từ nguồn ( ξ l r >> 1) , hàm Hankel thay số hạng thứ biểu diễn tiệm cận (4.3.5), cho ⎛ 2π ⎞ ⎟ pl ( r, z ) ≅ ⎜ h ⎜ ξlr ⎟ ⎝ ⎠ (5.3.5) Các nghiệm ξ l nằm trục số thực mặt phẳng ξ π ( l + / ) < kh trục số ảo π ( l + / ) > kh Sẽ thuận tiện ∞ ∞ p( r, z ) = ∑ pl = (5.3.2) 1/ sin α z1 sin α z exp [i (ξ l r − π / 4)] (5.3.8) Chúng ta thấy thức chuẩn sóng di chuyển hướng ngang sóng đứng hướng z Từ suy thức chuẩn biểu diễn xếp chồng hai sóng tựa phẳng di chuyển pl ( r, z ) ~ r −1 / {exp[i (ξ l r + α l z )] − exp[i (ξ l r − ξ1 z )]} (5.3.9) truyền góc ⎛ α1 ⎞ ⎟ ⎝ k⎠ χ l = ± arcsin ⎜ (5.3.10) so với mặt phẳng nằm ngang χ l tăng lên l tăng Biên độ thức chuẩn giảm dọc theo lớp r −1 / Tùy thuộc đại lượng π ⎛ 1⎞ ⎜l + ⎟ kh ⎝ 2⎠ hay, ý tới (5.3.5), bé hay lớn đơn vị mà thức chuẩn truyền lớp 165 166 không suy yếu 17 giảm theo hàm mũ với khoảng cách Tần số thấp f l mà sóng cịn truyền khơng suy yếu gọi tần số tới hạn hay tần số “cắt bỏ” thức chuẩn Nó xác định từ phương trình (5.3.11) (π / kh )( l + / ) = or f l = ( c / h )( l + / ) c ≡ f0 4h vl u l = c tất thức chuẩn suy yếu Trong trường hợp này, có trường “gần” lân cận nguồn quan sát thấy Tốc độ pha thức chuẩn dọc theo lớp vl = ω / ξ1 = c [1 − ( f l / f ) ] −1 / (5.3.12) tùy thuộc vào tần số âm f Khi f → ∞ , tốc độ pha tiệm cận tới tốc độ âm không gian tự do; tần số tới hạn, vl trở nên lớn vô hạn f < f l trở nên chủ yếu ảo Phương trình (5.3.12) mơ tả dẫn sóng hay tản mát hình học, nguyên nhân biến dạng xung truyền lớp Tốc độ nhóm thức chuẩn ul = dω = c [1 − ( f l / f ) ] / dξ l (5.3.13) Chú ý tới (5.3.4, 10), ta tìm u l = c cos χ l Lưu ý tốc độ nhóm u l tỉ số độ dài chu trình tia Dl thời gian di chuyển t l sóng âm chu trình Thật vậy, Dl = h cos χ l , t l = ( h / c ) sin χ l , ta có (5.3.14) Sự phụ thuộc vào z biên độ thức chuẩn nhân tử sin α l z Sự phụ thuộc l = 0, , thể hình 5.3 Ta thấy l số lần độ sâu lớp (ngoại trừ z = ) áp suất âm không Đại lượng (2π i / h ) sin α l z l (5.3.15) gọi hàm kích thích thức thứ l trường hợp xét Nó trở nên khơng l nguồn nằm bề mặt tự ( z1 = ) Nếu nguồn nằm lân cận bề mặt ( z1 nhỏ) hàm kích thích khác khơng, nhỏ Đó “hiệu ứng lưỡng cực” (mục 4.1) Để tính tốn cường độ âm hay p phải nhân tổng biểu thức (5.3.8) với biểu thức liên hiệp phức Trong trường hợp nhận số hạng có dạng exp [ i (ξ l − ξ l′ ) r ] , l l′ bao gồm tất giá trị lấy tổng Mỗi số hạng dao 2π Chu kỳ giao thoa động với r biến thiên với chu kỳ Λ l, l′ = ξ l − ξ l′ phương ngang thức gần chu kỳ lớn Λ l, l +1 − 2π /(ξ l − ξ l +1 ) Dl / t l = c cos χ l = u l 17 Sự phụ thuộc tốc độ pha tốc độ nhóm vào tần số thể hình 5.2 Tại tần số tới hạn, thức chuẩn chuyển đổi thành thức đứng hướng z u l = Khi f → ∞ , tốc độ nhóm tiến tới c − tốc độ âm khơng gian tự Các tốc độ pha nhóm thức chuẩn tuân theo mối liên hệ đơn giản l thấp tần số tới hạn thấp Tại tần số f < Một quan hệ tương tự đại dương phân tầng (5.3.16) Nếu kh >> , giá trị ξ l gần với ξ l +1 Từ (5.3.5) ta có cách Trường hợp k thực xét 167 168 gần ξ l − ξ l +1 k ≅ πα l 0) , phương trình có nghiệm thực x l < v, l = 1, 2, Các số sóng phương ngang thức chuẩn ξ l = (1 / h) [( kh ) − x l2 ] / ρ , c ρ , c1 mật độ tốc độ âm lớp nửa không gian phía Ta thấy từ (5.5.1) V hàm hai giá trị θ ( n − sin θ ) / có hai giá trị Sẽ hợp lý đưa bề mặt Riemann với hai khoảng; khoảng V đơn trị Điểm phân nhánh hai khoảng θ = arcsin n Các tích phân (5.2.4, 5) biến đổi tổng phần dư cực (phổ gián đoạn) tích phân dọc theo phía đường phân nhánh từ điểm phân nhánh (phổ liên tục) Người đọc xem nghiên cứu tỉ mỉ phổ liên tục cơng trình khác ([5.3, mục 37.3] [5.4, mục 2.21]) Ở thảo luận phổ gián đoạn (các thức chuẩn) Đây phần trường khoảng cách đủ lớn kể từ nguồn c1 > c Nếu xét thức vậy, ta tính phần dư (5.2.4) Sử dụng phương trình cực, {exp [−iα ( h − z1 )] + V exp [iα ( h − z1 )]}α (5.5.2) (5.5.3) viết lại thành ctg x = −( mx ) −1 ( v − x )1 / (5.5.4) 173 x l z1 , h (5.5.6) −1 V = ⎛ mx − x − v ⎞ ⎛ mx + x − v ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Bây sử dụng (5.5.4), ta tìm ⎛ dV ⎞ 2 ⎜ ⎟ = −2i ( v / mx l ) (1 / x l ) sin x l tgx l V dx ⎠ xl ⎝ (5.5.7) Kết là, nhận biểu thức sau cho thức lớp p( r, z ) = k1 < 1, ξ = k sin θ k = 2i exp ( −ix l ) sin Nếu biểu diễn theo x , (5.5.1) Nếu lưu ý tới (5.5.1) đưa ký hiệu x = αh = h( k − ξ )1 / , v = kh(1 − n )1 / , n = l ξlh ⎛ ⎡ d ⎤ dV ⎞ ⎢ dξ V exp ( 2i αh )⎥ α l = α ⎜ 2i + V dx ⎟ ⎠ xl ⎣ ⎦ l ⎝ tần số nguồn không gần với tần số tới hạn thức số thức chuẩn Theo (5.2.4, 5) phương trình cực + V exp( 2iαh ) = (5.5.5) sin( x l z / h ) sin( x l z l / h ) 2π i H (01) (ξ l r ) (5.5.8) ∑ 2 h l − ( v / mx l ) (1 / x l ) sin x l tgx l Biểu thức (5.5.8) biểu thức không biến phân thay đổi lẫn z z1 và, đó, z phạm vi ≤ z ≤ h Ta xác định tần số tới hạn thức chuẩn Từ (5.5.4) suy x l thực lớn xác định tần số tới hạn f l thức thứ l nhận phương trình x l = π ( l + / ) x l = v đồng thời thỏa mãn Khi f l tìm từ phương trình v = π ( l + / ) 174 dạng tường minh fl = c ( l + / 2) 2h − n (5.5.9) Biểu thức (5.5.9) mối liên hệ quan trọng độ dày lớp h , số khúc xạ n tần số tới hạn f l Vậy biết h f l , ta tìm n và, đó, tốc độ âm mơi trường phía bên Điều kiện x l < v thức khơng suy yếu có ý nghĩa vật lý đơn giản Sử dụng (5.5.3), viết ξ l > kn hay sin θ l > n Vì θ l góc tới sóng phẳng tương ứng, điều kiện có nghĩa sóng phẳng tạo thành thức khơng suy yếu chịu phản xạ toàn phần biên z = h Hình 5.5 Các nghiệm phương trình tản mạn tùy thuộc độ dày lớp tần số âm Trên hình 5.5 x l l = 0, 1, m = cho hàm tham số v Tại v → ∞ có x l → π ( l + 1) Khi tần số âm tăng lên, số nghiệm thực và, đó, số thức lan truyền trở nên lớn Hình 5.6 [5.5] cho thấy phụ thuộc vào độ sâu biên độ thức chuẩn thứ ( l = ) năm tần số khác từ 118 đến 13 160 Hz, trường hợp h = 90 m, c = 1500 m/s, c1 = 1501,5 m/s, ρ1 = ρ (sự phụ thuộc vào độ sâu tốc độ âm thể bên trái hình) Biên độ giảm theo hàm mũ với độ sâu mơi trường phía dưới, tần số lớn giảm nhanh Tại tần số cao, thực tế tất lượng sóng chứa phạm vi lớp Tần số tới hạn trường hợp 93,3 Hz Tốc độ pha thức thứ thể hình tần số khác Nó ln ln lớn tốc độ âm lớp tiệm cận tới tốc độ âm tần số tăng lên Hình 5.6 Phụ thuộc vào z biên độ thức chuẩn thứ tần số khác nhau; v1 tốc độ pha thức chuẩn [5.5] 5.6 ĐỊNH LUẬT SUY YẾU TRUNG BÌNH Những phương pháp giới thiệu cho phép thực 175 176 tính tốn xác trường âm Tuy nhiên, tính tốn thường tỏ phức tạp Trong nhiều chi tiết trường âm, ví dụ cấu trúc giao thoa tinh đơi hồn tồn khơng cần dùng đến Đối với ứng dụng thực tế, ước lượng cường độ âm có hồn tồn đủ Trong mục chúng tơi đưa cơng thức giải tích đơn giản để tính tốn quy luật “trung bình” áp suất âm bình phương theo khoảng cách nước nông xuất khúc xạ tia phản xạ nhiều lần đáy Việc dẫn lập công thức dựa giả thiết tính áp dụng lý thuyết tia tổng hợp không hiệp biến tia Chúng ta chấp nhận độ sâu biển số bề mặt nước phẳng (hiệu ứng sóng biển xét sau, mục ??) Xét chùm tia hẹp với độ rộng góc dχ từ nguồn nằm độ sâu z = z1 với góc χ có khoảng cách chu trình D( χ ) Bình phương mơ đun áp suất âm chùm này, theo mục 2.5, p = fE / r , f nhân tử tiêu điểm (2.5.3), E = E( χ ) nhân tử phân rã hấp thụ môi trường thất thoát phản xạ đáy Đầu lượng nguồn giả định chuẩn hóa cho môi trường đồng p = / r Ta chấp nhận r lớn so với D tìm p chùm chọn chùm đối xứng từ nguồn góc − χ Tốn tử biểu thị phép lấy trung bình khoảng với góc ± χ ), chùm cắt qua độ sâu máy thu hai lần tồn chu trình (nếu chúng tới độ sâu đó) Tất điểm độ sâu z phạm vi chu trình gán tỉ trọng Vậy ta có 〈p 〉= hay, sử dụng giá trị f từ (2.5.3) lấy tích phân tất χ - góc tia tới độ sâu z - ta thu trường tổng cộng 〈p 〉= E = V(χ h ) (5.6.1) 2N exp ( − β r ) , (5.6.2) β hệ số hấp thụ khối nước, V ( χ ) hệ số phản xạ biên độ đáy N = N ( χ h ) số lần phản xạ Nếu chấp nhận β tia với χ khác nhau, đưa exp( − β r ) ngồi tích phân đặt N ≈ r / D( χ ) N lớn, ta nhận từ (5.6.1) ⎡⎛ 2r ⎞ ⎤ ⎛4⎞ 〈 p 〉 = ⎜ ⎟ exp( − β r )∫ ( D sin χ ) −1 exp ⎢⎜ ⎟ ln V ( χ h ) ⎥ cos χ dχ ⎝r⎠ ⎣⎝ D ⎠ ⎦ (5.6.3) Ở χ h χ biểu diễn qua χ quan hệ cos χ cos χ cos χ h = = , c c1 ch p = fE / r phải nhân với xác suất mà điểm tầng máy thu 177 −1 ∫ E ( D sin χ ) cos χ1 dχ1 r Nhân tử phân rã E viết thành cách chu trình Để thực lấy trung bình vậy, biểu thức z chùm chiếu tới Xác suất tỉ số bốn lần độ rộng chùm hướng r , tức đại lượng ( ∂r / ∂χ )dχ , khoảng cách chu trình D( χ ) Thừa số xuất có hai chùm (từ nguồn fE ∂r dχ r D ∂χ (5.6.4) c h , c1 , c tốc độ âm đáy, tầng nguồn máy thu 178 Một phương pháp khác để rút biểu thức (5.6.3) thấy sách Brekhovskikh [5.6, mục 18] Trong báo Smith [5.7], phương pháp khái quát hóa cho trường hợp điều kiện truyền âm phụ thuộc vào khoảng cách [2r / D( χ )] ln V(χ ) ≅ − srχ h Khai triển phần biến thiên chậm biểu thức dấu tích phân thành chuỗi theo χ , giữ lại số hạng thứ nhất, cho Bây xét số trường hợp cụ thể sử dụng công thức (5.6.3) p 1/ = ⎛ srχ ⎞ ∞ π ⎟ dχ = ⎛ ⎞ exp( − βr ) ∫0 exp ⎜ − ⎜ ⎟ ⎜ rh h ⎟ sh ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 5.6.1 Lớp đồng ( c = c1 = c h ) (5.6.8) Ở ∞ lấy làm cận tích phân, điều khơng ảnh hưởng tới kết quả, có giá trị nhỏ χ có ý nghĩa Trong trường hợp D = 2h ctgχ , ≤ χ1 ≤ π , χ = χ1 = χ h , (5.6.5) Trong trường hợp lý tưởng đáy phản xạ hoàn toàn ( V = ), hàm mũ biểu thức dấu tích phân (5.6.3) trở thành đơn vị Khi (5.6.5) vào (5.6.3) cho = sr / h >> (giả định điều kiện thực hiện) Như nhận định luật “3/2” cho h độ sâu biển p exp( − β r ) ⋅ r − / π /2 π exp( − β r )∫0 dχ = exp ( − β r ) rh rh (5.6.6) Kết là, có định luật truyền hình trụ có suy giảm quen biết Trong trường hợp đáy hấp thụ, χ h nhỏ quan trọng tích phân (5.6.3) Khi χ h tăng lên, hàm mũ biểu thức dấu tích phân giảm nhanh / D( χ h ) ln V ( χ h ) tăng Ký hiệu ⎡ ∂ ⎤ s ≡ − ⎢ ln V ( χ ) ⎥ ⎣ ∂χ ⎦ χ =0 p , định luật trung gian định luật hình trụ lớp có đáy phản xạ lý tưởng định luật hình cầu khơng gian tự Đại lượng s nhận từ liệu thực nghiệm hệ số phản xạ lý thuyết sử dụng số giả thiết định cấu trúc đáy Trong trường hợp đơn giản đáy nửa không gian chất lỏng đồng nhất, hệ số phản xạ xác định (3.1.12), θ = π / − χ , ta nhận s sau ⎧ m ⎫ ⎪ ⎪ s = Re ⎨ ⎬, ⎪ n −1⎪ ⎩ ⎭ (5.6.9) ký hiệu Re phần thực ( m = ρ1 / ρ n = c / c1 (5.6.7) Khi đó, với độ xác tới χ , ta có 179 phức) Định luật 3/2 (5.6.8) có số hạn chế r lớn Đó thực tế lý thuyết tia giả thiết sử dụng để rút (5.6.3, 8) 180 số lượng thức có nghĩa lớn [5.3] Khi r tăng lên, số giảm khoảng cách đủ lớn có thức (có suy yếu nhỏ nhất) giữ lại Trong trường hợp (5.6.8) trở thành không áp dụng Khoảng cách cực đại r = rm mà (5.6.8) cịn đúng, ước lượng theo cách sau Trong tích phân (5.6.8) giá trị ý nghĩa cực đại χ có bậc χ m ∼ ( h / sr )1/ Mặt khác, thức chuẩn tương ứng với họ tia với χ Tổng số thức chuẩn lan truyền xuống phía âm truyền thơng qua phản xạ liên tiếp từ đáy (như hình 5.7) Chúng ta lại (5.6.3) sử dụng cách ký hiệu χ m = ( χ h )min = arccos( c / c1 ) , góc mở đáy tia từ nguồn nằm ngang ( χ1 = ) Tại r đủ lớn, tích phân (5.6.3) dễ dàng ước lượng biểu thức hàm mũ âm giá trị tuyệt đối tăng χ1 tăng xấp xỉ 2h / λ , λ độ dài sóng âm Các góc phạm vi khoảng 0, π / tương ứng với thức Trong phạm vi khoảng 0, χ m , số thức chuẩn ( χ m / π )( h / λ ) Từ điều kiện số phải lớn nhiều so với đơn vị, ta có rm > rm , thức tính đến có [5.8] ⎡ ⎛ π ⎞ sr ⎤ exp( − β r ) p = exp ⎢ − ⎜ ⎥, ⎟ kh r ⎢ ⎝ kh ⎠ h ⎥ ⎣ ⎦ (5.6.11) định luật hình trụ với suy yếu bổ sung Nếu chấp nhận biểu thức dấu ngoặc vuông nhỏ, lại thu tiêu chuẩn (5.6.10) từ (5.6.11) Hình 5.7 Lan truyền chùm tia âm nước nông Trong trường hợp phần biến thiên chậm biểu thức dấu tích phân đưa ngồi tích phân, ta đặt χ1 = 0, χ h = χ m , biểu thức hàm mũ biểu diễn chuỗi lũy thừa χ1 đến χ12 Nếu ký hiệu f ( χ1 ) ≡ − D−1( χ h ) ln V ( χ h ) , ta có f ( χ1 ) = f ( 0) + 5.6.2 Lớp với khúc xạ âm Giả sử tốc độ âm giảm theo độ sâu Khi tất tia âm khúc xạ 181 (5.6.12) f " ( 0)χ12 , (5.6.13) f ( 0) = − D −1 ( χ m ) ln V ( χ m ) 182 (5.6.14) Ở f ′′(0 ) đạo hàm bậc hai theo χ1 Sử dụng (5.6.4), ta tìm f ' ( χ1 ) = ∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ch sin χ1 , ⎥ ⎢ ∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ c1 sin χ h f ' ( 0) = , ⎧ ∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ f " ( 0) = ⎨ ⎢ ⎥ ctgχ h ⎬ ⎪ ∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ ⎪χ ⎩ ⎭ m (5.6.15) Nếu (5.6.12-15) vào (5.6.3) lấy cận vô cùng, ta nhận p = 2π / [ r f " ( 0)]−1 / ( D sin χ )−1 = exp{ − r [ β + f ( 0)] } (5.6.16) χ1 Định luật suy yếu lần lại trở thành r −3 / , với suy yếu bổ sung hấp thụ đáy Công thức (5.6.16) khơng r lớn, có hay số thức cịn giữ lại Giá trị ước lượng r = rm cực đại cho phép thực trường hợp lớp đồng Khoảng giá trị có nghĩa χ1 cơng thức ước lượng khoảng (5.6.3) có bậc [r f ′′( )] −1 / Tổng số thức xấp xỉ 2h / λ Trong khoảng giá trị có nghĩa có [r f ′′( )] −1 / ( h / πλ ) thức Đòi hỏi số phải lớn nhiều so với đơn vị định điều kiện rm