CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 3 doc

Chương - giảm khoảng cách phương ngang theo góc mở số lớp bù trừ tăng lớp khác Những điều kiện tồn chùm tia phân kỳ yếu đại dương phân tầng với mối phụ thuộc lũy thừa vào số khúc xạ bình phương phân tích [2.24] SỰ PHẢN XẠ ÂM TỪ BỀ MẶT VÀ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG: CÁC SÓNG PHẲNG Bề mặt đáy đại dương biên phức tạp Chúng thường gồ ghề đất đáy nước môi trường khơng đồng Tuy nhiên, chí xem biên mặt phẳng môi trường đồng ta thu kết hữu ích Trường hợp xét chương Ngoài ta hạn chế trường hợp sóng phẳng đơn giản Ở giai đoạn xuất phát lý thuyết giới thiệu môi trường giả định chất lỏng Lý thuyết áp dụng cách hồn tồn cho mặt phân cách khơng khí - nước cách gần (song không tồi) cho biên nước đất 3.1 CÁC HỆ SỐ PHẢN XẠ VÀ TRUYỀN QUA TẠI MẶT PHÂN CÁCH GIỮA HAI CHẤT LỎNG Ta giả thiết mặt phân cách hai môi trường mặt nằm ngang Mật độ môi trường bên bên ký hiệu ρ ρ , tốc độ âm c c1 góc tới θ (hình 3.1) Bỏ qua nhân tử exp( − iω t ) , ta viết áp suất âm sóng tới pi = exp [ i k ( x sin θ + z cos θ )], k ≡ ω /c (3.1.1) Biên độ sóng giả định đơn vị mặt phẳng x z chọn làm mặt phẳng sóng tới Sóng phản xạ viết dạng Như thấy từ (2.1.2) áp suất âm p tốc độ âm ψ sóng điều hịa khác nhân tử số đó, sử dụng đại lượng hai đại lượng hồn tồn khơng quan trọng 95 96 pr = V exp [ i k ( x sin θ − z cos θ )] , (3.1.2) V hệ số phản xạ Trường tồn phần mơi trường bên p = pi + pr = [exp( i kz cos θ ) + V exp( − i kz cos θ )] exp( i kx sin θ ) (3.1.3) Thế (3.1.3), (3.1.4) vào phương trình thứ (3.1.6), ta nhận (3.1.7) + V = W exp [ i ( k1 sin θ − k sin θ ) x] Vì vế trái khơng phụ thuộc vào x , nên vế phải phải độc lập với x , từ ta nhận định luật khúc xạ quen thuộc k sin θ = k1 sin θ (3.1.8) Quan hệ biểu diễn tốc độ pha sóng truyền dọc theo mặt phân cách môi trường bên bên Nó cịn viết dạng (3.1.9) sin θ = n sin θ , n = k1 c = , tức số khúc xạ biên Bây (3.1.7) có dạng k c1 1+ V = W (3.1.10) Tiếp theo, (3.1.3) (3.1.4) vào phương trình thứ hai (3.1.6) cho (3.1.11) ρ (1 − V ) cos θ = nρ W cos θ Hình 3.1 Các tham số để rút biểu thức hệ số phản xạ hệ số truyền qua Sóng khúc xạ mơi trường bên viết dạng p1 = W exp [ i k1 ( x sin θ − z cos θ )], k1 ≡ ω / c1 Ký hiệu m = ρ / ρ sử dụng (3.1.9), ta tìm từ (3.1.10) (3.1.11): V= (3.1.4) W hệ số truyền qua θ xác định từ điều kiện liên tục áp suất âm thành phần pháp tuyến tốc độ phần tử mặt phân cách (3.1.5) p = p1 , v z = v1z z = (xem (2.1.2)) p = p1 , ∂p ∂p1 = ρ ∂z ρ1 ∂z (3.1.6) 97 m cos θ − n cosθ1 m cosθ − n − sin θ = , m cosθ + n cosθ1 m cosθ + n − sin θ W= 2m cosθ m cosθ + n − sin θ (3.1.12) Hãy lưu ý đặc điểm lý thú sau hệ số phản xạ truyền qua: 1) Khi θ → π / ta có V → −1, W → không phụ thuộc vào tham số mơi truuwowngf 2) Tại góc tới θ thỏa mãn phương trình 98 m cos θ − n − sin θ = , tức sin θ = m2 − n2 m −1 , (3.1.13) cong mô đun pha hệ số phản xạ trường hợp m = 1,56 , n = 1,008 (bùn sét) trị số khác α [3.1] Phương trình (3.1.2) hệ số phản xạ cịn viết dạng Z −Z V= (3.1.16) Z1 + Z hệ số phản xạ trở nên khơng biên trở thành hồn tồn suốt 3) Giả sử n số thực, n < sin θ > n Trong trường hợp (3.1.12) viết thành V= m cosθ − i sin 2θ − n m cos θ + i sin 2θ − n (3.1.14) Z = ρ c / cos θ Z1 = ρ c1 / cos θ trở kháng mơi trường phía phía sóng phẳng truyền hướng tạo thành góc θ θ với pháp tuyến mặt phân cách Biểu thức cịn viết thành V = exp( iϕ ), ϕ = arctg sin θ − n m cosθ (3.1.15) Đối với mơ đun hệ số phản xạ ta có V = , tức trường hợp diễn phản xạ tồn phần Hiệu pha sóng phản xạ sóng tới mặt phân cách cho ϕ Đường cong phía hình 3.2a đường cong phía hình 3.2b mô đun pha hệ số phản xạ đáy cát ( m = 1,95, n = 0,86 ) hàm số góc mở ( χ = π / − θ ) khơng có suy yếu đáy [3.1] Khi mơi trường có hấp thụ, n số phức, n = n (1 + iα ) , α > Bây tách riêng mô đun pha hệ số phản xạ, ta có V = V exp( iϕ ), V < Trên hình 3.2 vẽ mơ đun pha hệ số phản xạ α khác Với trường hợp n > (tốc độ âm đáy nhỏ tốc độ âm Hình 3.2 Mơ đun (a) pha (b) hệ số phản xạ ρ1 / ρ = 1,95 , c / c1 = 0,86 nước) khơng xảy phản xạ tồn phần Hình 3.3 minh họa đường 99 100 Phương trình (3.1.16) V áp dụng trường hợp nửa khơng gian phía ( z > ) chất rắn chí mơi trường khơng đồng phân tầng Trong trường hợp Z in , “trở kháng đầu vào” nửa khơng gian phía dưới, sử dụng thay Z1 Giá trị Z giữ nguyên không đổi (mục 3.4) Ta ý đơi Z1 có giá trị phụ thuộc vào góc tới, gọi trở kháng chuẩn (thí dụ, xem [3.1]) Khái niệm hữu ích âm học phịng, có lẽ khơng dùng âm học nước Thật ra, cơng trình [3.2] cho thấy, khái niệm áp dụng cho đại dương trường hợp tốc độ âm đáy nhỏ nhiều so với nước sóng đáy truyền vng góc với biên Trong thực tế điều khơng xảy 3.2 SỰ TRUYỀN SÓNG ÂM TỪ NƯỚC VÀO KHƠNG KHÍ VÀ NGƯỢC LẠI Đối với trường hợp sóng âm từ nước tới biên với khơng khí có (3.1.12) m = ρ a / ρ w = 0,0013 2 n = cW / c a = 20,6 Khi (3.1.12) hệ số truyền qua viết xác dạng 2m cosθ (3.2.1) n Sự truyền qua cực đại với góc tới pháp tuyến (θ = ) Trong trường W= Hình 3.3 Mơ đun (a) pha (b) hệ số phản xạ ρ / ρ = 1,56 , c / c1 = 1,008 , có hấp thụ đáy Đối với đáy cứng hoàn toàn ( ρ → ∞ ) ta có Z1 → ∞, V = Trong trường hợp theo (3.1.6) ∂p / ∂z = biên Nếu sóng từ nước tới bề mặt biển tự do, ρ → 0, Z1 → V = −1 Áp suất âm theo hợp (3.1.3) trở thành không bề mặt tự đại lượng nhỏ 101 W= 102 2m ≈ 5,7 ⋅ 10 − n Theo (3.1.10) hệ số phản xạ V khác với − đại lượng Do giả thiết thường dùng V = −1 tốt trường hợp Bây ta xét trường hợp ngược lại - sóng tới từ khơng khí đến bề mặt nước Kết thu nhìn tỏ đáng ngạc nhiên Giả sử ta lại sử dụng phương trình (3.1.12) hệ số phản xạ truyền qua Tuy nhiên số “1” phải gán cho nước Kết ta có m= ρw = 770, ρa n= ca = 0,22 cw truyền âm từ môi trường vào môi trường khác qua bề mặt nước Bây định luật bảo toàn thỏa mãn đối xứng tồn ta xem xét phản xạ truyền qua lượng (chứ áp suất âm) Để đơn giản ta xét trường hợp tia tới vng góc lần chấp nhận biên độ áp suất âm sóng tới đơn vị Khi biên độ áp suất âm sóng phản xạ sóng truyền qua V W Tuần tự mật độ dịng lượng ta có I i = ( ρ c) −1 , Vì m lớn, ta có m cos θ >> tất θ ngoại trừ θ ≈ π / tuân theo (3.1.12) V ≈ W ≈ Điều có nghĩa diễn truyền qua hoàn tồn, áp suất âm sóng truyền qua (trong nước) hai lần lớn áp suất âm sóng tới Mặc dù kết bất ngờ, dễ dàng dự đoán Thật vậy, áp suất âm khơng khí lân cận bề mặt hai lần áp suất âm sóng tới tổng cộng áp suất âm sóng tới sóng phản xạ Vì áp suất âm liên tục cắt qua biên, nên nước áp phải Vậy áp suất âm giảm khoảng 2000 lần sóng truyền từ nước vào khơng khí, tăng lên hai lần sóng truyền từ khơng khí vào nước Hệ cá cảm nhận tốt tiếng ồn khơng khí nghe âm cá Câu hỏi nảy sinh tăng gấp đôi áp suất âm nước diễn đồng thời với phản xạ hồn tồn sóng từ bề mặt nước liệu có mâu thuẫn với định luật bảo tồn lượng khơng Câu hỏi khác giải thích tồn bất đối xứng 103 I r = V ( ρ c) −1 , I t = W ( ρ1 c1 ) −1 (3.2.2) Ở số “1” tới môi trường mà từ phản xạ diễn nước hay khơng khí Định luật bảo toàn lượng trường hợp biểu diễn đẳng thức (3.2.3) Ii = Ir + It hay thay (3.2.2) vào n W m Mặt khác, từ (3.1.12) tia tới vng góc (θ = ) ta có 1− V = V= m−n , m+n W= 2m m+n (3.2.4) (3.2.5) Rất dễ kiểm tra sau thay biểu thức vào (3.2.4) (3.2.4) trở thành đồng thức Biểu thức cho độ suốt lượng biên phân cách, tức tỷ số It n = W2 Ii m đáng quan tâm Nếu tính đến công thức thứ hai (3.2.5), ta 104 It 4mn = I i ( m + n) (3 2.6) Với mặt phân cách nước - không khí ( m = 770, n = 0,22 ) ta có I t = 10 −3 I i , tức có phần ngàn lượng qua biên Công thức (3.2.6) giữ nguyên không đổi ta thay đổi thứ tự môi trường, tức ta tráo đổi n → / n Vậy độ suốt lượng biên không phụ thuộc vào mơi trường sóng tới Bây ta xét sóng âm từ khơng khí tới bề mặt nước với góc tới xiên Trường hợp lý thú phản xạ nội tồn phần xảy sin θ > n = 0,22 , tức θ > 12 o 43' Trong (3.1.4) áp suất âm Hình 3.4 Hệ số suy giảm áp suất âm nước, trường hợp phản xạ toàn phần sóng âm phẳng tới từ khơng khí nước sử dụng (3.1.8) ta có k1 cosθ1 = ik sin θ − n , (3.2.7) k số sóng khơng khí Nếu lưu ý W ≈ (xem trên), ta có biên độ áp suất âm nước p1 ≈ exp( −δ z ), δ = k (sin θ − n )1 / (3.2.8) Vậy biên độ áp suất âm giảm theo hàm mũ với độ sâu Trên hình 3.4 đại lượng δ biểu diễn hàm góc tới θ tần số khác Ngoài tần số f bước sóng tương ứng nước λ1 cho đường cong Thí dụ, tần số 100 Hz ( λ1 = 15 m ) góc tới θ = 45 o ta có δ = 1,3 m −1 , tức biên độ sóng giảm theo nhân tử 2,7 độ sâu 77 cm 105 3.3 SỰ PHẢN XẠ SÓNG ÂM TỪ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG GỒM CÁC LỚP LỎNG Tiếp tục phức tạp hóa mơ hình đáy đại dương, giả thiết gồm hay số lớp lỏng đồng nằm nửa không gian lỏng đồng 3.3.1 Sự phản xạ từ lớp lỏng Cơ sở lập luận vấn đề nghiệm toán đơn giản gồm phản xạ sóng âm từ nửa khơng gian (hình 3.5) tới lớp nằm nửa không gian môi trưường 1, giả thiết đồng 106 b) sóng xun qua biên phía lớp, qua lớp, phản xạ từ biên phía lớp, lại qua lớp cuối khỏi lớp qua biên phía nó; biên độ (phức) W32 V12 W23 exp( iαd ), α ≡ k2 cos θ Trong biểu thức sau tính đến thay đổi pha sóng q trình hai lần qua lớp; đại lượng W32 W23 hệ số truyền qua biên môi trường 2, sóng qua chúng hướng tiến lên quay lại Theo (3.1.10) (3.3.2) W32 = + V32 , W23 = + V23 , Hình 3.5 Hệ thống sóng tuân theo phản xạ từ lớp Hệ số phản xạ V từ lớp viết dạng hệ số phản xạ “từng phần” V23 V12 biên 2, 1, Theo kết mục 3.1, ta có V23 = Z − Z3 ; Z + Z3 ρ jcj , cosθ j j = 1, 2, tiếp tục Lấy tổng tất sóng tạo nên trường sóng phản xạ tổng cộng, ta tìm biên độ (đồng thời hệ số phản xạ biên độ sóng tới lấy đơn vị): V = V23 + W32 V12 W23 exp( 2iαd ) + W32 V32 V12 W23 exp( 4iαd ) V12 tương tự với số tương ứng đổi chỗ cho Ở Zj = c) sóng xuyên qua lớp, phản xạ hai lần từ biên phía lần từ biên phía trên, qua lớp bốn lần sau khỏi lớp qua biên phía nó; rõ ràng biên độ W32 V12 V32 V12 W23 exp( iαd ) , + W23 V32 V12 W23 exp( 6iαd ) + = ∞ (3.3.1) V23 + W32 W23 W12 exp( 2iαd ) ∑ [V32 V12 exp( 2iαd )] n n =0 Như trước đây, ta giả thiết biên độ sóng tới lớp đơn vị Sóng kết phản xạ từ lớp xem tổng cộng sóng sau (hình 3.5): a) sóng phản xạ từ biên phía lớp (mặt phân cách môi trường 3); biên độ sóng V23 ; 107 Sử dụng tổng cấp số nhân vơ hạn, ta có exp( 2iαd ) V = V23 + W32 W23 V12 − V32 V12 exp( 2iαd ) Sau áp dụng (3.3.2) quan hệ V32 = −V23 sau số biến đổi ta tìm 108 V= V23 + V12 exp( 2iαd ) + V23 V12 exp( 2iαd ) (3.3.3) Chú ý tới quan hệ A B tuân theo (3.3.6) ta (2 Z in ) = Z Công thức giải toán nêu đầu mục Cách tiếp cận tiện lợi khác tới toán sóng phản xạ từ lớp xác định trở kháng đầu vào lớp Do kết phản xạ nhiều lần biên lớp mà hệ sóng hình thành truyền hai hướng dương âm z có tốc độ pha hướng x Nếu bỏ qua nhân tử exp ( i k2 x sin θ − iω t ) cho đơn giản áp suất âm lớp viết dạng p2 = A exp( iα z ) + B exp( − iα z ) , (3.3.4) A B số Thành phần pháp tuyến tốc độ ∂p2 α vz = = [ A exp( iω z ) − B exp( −iω z )] (3.3.5) iωρ ∂z ωρ Nói chung tỷ số Z( z ) = p / v z xác định cho z gọi trở kháng Đại lượng biến đổi liên tục cắt qua (1 biên, p v z liên tục Đại lượng hữu ích Z ( ) ≡ Z in) trở (1 Z in) (1 Z − iZ in) tgαd , (3.3.8) phương trình quan trọng làm cho tính tốn trở kháng đầu vào từ biên tới biên khác lớp Bây ta trường hợp đơn giản xét, (1 môi trường nửa không gian đồng nhất, Z in) = Z1 , Z1 cho (3.3.1) j = Thật vậy, trở kháng Z( z ) liên (1 tục biên z = , Z in) tính nhờ sử dụng giá trị áp suất âm tốc độ pháp tuyến môi trường Với z môi trường (bỏ qua nhân tử trên) p1 = W1 exp ( ik1 z cos θ ), v1z = ∂p1 k1W1 cos θ = exp ( ik1 z cos θ ) iωρ ∂z ωρ 1 Do ⎛ p ⎞ ωρ (1) = = Z1 Z in = ⎜ ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ 1z ⎠ z=0 k1 cosθ1 kháng đầu vào môi trường Nếu chia (3.3.4) cho (3.3.5), đặt z = , ý tới giá trị α sử dụng (3.3.1) ta Z (1) − Z A+B = Z2 , B = in) A (1 A−B Z in + Z (1 Z in) − iZ tgαd Bây trở kháng đầu vào lớp tuân theo (3.3.8) Z − i Z tgαd (2 Z in ) = Z2 Z − i Z1 tgαd (3.3.6) (3.3.9) (2 Tiếp theo đại lượng Z in ) ≡ Z ( − d ) trở kháng đầu vào biên (2 Khi tìm Z in ) , ta biểu diễn hệ số phản xạ cơng thức phía lớp z = − d Một lần từ (3.3.4, 5) ta tìm đơn giản (2 Z in ) = Z A exp( − iαd ) + B exp( iαd ) A exp( − iαd ) − B exp( iαd ) (3.3.7) 109 V= 110 (2 Z in ) − Z (2 Z in ) + Z (3.3.10) Trong thực tế trường tổng cộng sóng tới phản xạ mơi trường viết dạng p3 = exp [ i k3 ( z + d ) cos θ ] + V exp [ − i k3 ( z + d ) cos θ ] (3.3.11) Sử dụng phương trình cuối ta xác định v3 z yêu cầu (2 cho quan hệ Z( − d ) ≡ ( p3 / v3 z ) z = − d = Z in ) phải thực hiện, ta công thức (3.3.10) Công thức (3.3.3) cho biểu thức V hai dạng khác nhau; phương diện chúng biến đổi từ dạng sang dạng Ta xét số trường hợp đặc biệt a) Giả sử αd = Nπ , N = 1, 2, 3, hay ý tới giá trị α , d = Nλ /( cos θ ), độ dày lớp số tích phân λ /( cos θ ) , λ bước sóng âm mơi trường Tại tia tới vng góc N = trường hợp lớp nửa sóng Vì tgαd = cần giả thiết số sóng k1 , k2 k3 số phức Trong trường hợp trở kháng Z1 , Z Z số phức 3.3.2 Sự phản xạ từ số lớp Giả sử hai môi trường bán vô mà ta ký hiệu n + có n − lớp ký hiệu 2, 3, , n (hình 3.6) Giả sử sóng phẳng tới lớp cuối góc tới θ n +1 Nhiệm vụ xác định hệ số phản xạ Từ giới thiệu rõ ràng để đạt mục đích cần tìm trở (n kháng đầu vào toàn hệ thống lớp Zin ) Rõ ràng đại lượng xác định ( n − 1) lần áp dụng công thức (3.3.8) Thật vậy, (1 đặt Z in) = z1 , d = d2 α = α − k2 cos θ , ta nhận trở kháng (2 đầu vào Z in ) biên phía lớp thấp Tiếp theo, thực (1 (2 vế phải (3.3.8) phép thay Z in) → Z in ) , Z → Z , (2 trường hợp này, từ (3.3.9) ta nhận Z in ) = Z1 Vậy lớp nửa sóng khơng có tác động tới sóng tới (như thể lớp không tồn tại) phản xạ diễn thể môi trường trực tiếp tiếp xúc với b) Giả sử αd = ( N − 1)(π / ) hay d = λ ( N − 1) /( cos θ ) , tức độ dày lớp số lẻ λ /( cos θ ) Tại tia tới vng góc N = trường hợp lớp phần tư sóng Vì tgαd = ∞ (2) trường hợp này, từ (3.3.9) ta nhận Z in = Z / Z1 Bây từ (3.3.10) thấy rõ điều kiện Z = Z1 Z thực (3 α → α d → d3 , ta thu cho vế trái Z in ) , trở kháng đầu vào lớp thứ hai kể từ đáy tiếp tục Cuối cùng, sau tìm (n Z in −1) , từ quan hệ (n Z in ) = 111 (n Z n − i Z in −1) tgα n dn Zn (3 3.12) ta xác định trở kháng đầu vào cần thiết hệ thống lớp Hệ số phản xạ ta có V = , tức khơng có phản xạ sóng truyền qua hồn tồn vào nửa khơng gian phía Trong thí dụ đặc thù vừa xét giả định khơng có hấp thụ tất mơi trường Để tính tới hấp thụ, thường làm (n Z in −1) − i Z n tgα n dn V= (n Z in ) − Z n+1 (n Z in ) + Z n+1 (3.3.13) Như trước đây, đại lượng Z1 , Z , , Z n +1 cho (3.3.1) Thí dụ, ta viết trở kháng đầu vào cho hệ hai lớp ( n = 3) 112 3.4 SỰ PHẢN XẠ ÂM TỪ VẬT RẮN dạng tường minh (3 Z in ) = Z1 Z − Z1 Z 3δ 2δ − Z Z3 − Z2 i ( Z2 δ + Z Z 3δ ) , δ 2δ − i ( Z1 Z 3δ + Z Z1δ ) (3.3.14) δ j ≡ tgα j d j j = 1, 2, Rõ ràng hệ số phản xạ hệ thống lớp cịn tìm cách áp dụng liên tiếp công thức (3.3.3); nhiên chúng không dừng lại chi tiết việc Trong số trường hợp cần phải tính tới độ đàn hồi tiếp tuyến đáy Điều thực mục Ta giả thiết đáy nửa không gian đồng vô hạn z > với mật độ ρ tham số đàn hồi Láme λ1 µ Nửa khơng gian z < từ sóng âm phẳng xâm nhập tới biên z = giả thiết chất lỏng với mật độ ρ tốc độ âm c (tham số Láme λ = ρ c ) Các tốc độ sóng dọc ngang chất rắn biểu diễn qua ρ , λ1 µ sau: ⎛ λ + µ1 ⎞ ⎟ c1 = ⎜ ⎟ ⎜ ρ ⎠ ⎝ 1/ , ⎛µ ⎞ b1 = ⎜ ⎟ ⎜ρ ⎟ ⎝ 1⎠ 1/ (3.4.1) Tốc độ hạt điểm chất rắn biểu diễn theo hạng hàm ϕ1 vô hướng ψ vectơ [3.3] v1 = grad ϕ1 + rotψ (3.4.2) Trong trường hợp toán hai chiều, giả thiết tất đại lượng phụ thuộc vào tọa độ x z vectơ v1 nằm mặt phẳng xz , hàmg ψ chọn cho có thành phần y nó, ta ký hiệu ψ , khác khơng Khi theo (3.4.2) v1 vectơ có thành phần ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ v1x = − , v1 y = 0, v1z = + (3.4.3) ∂x ∂z ∂z ∂x ϕ1 ψ gọi hàm sóng dọc ngang Hình 3.6 Những tham số để tính hệ số phản xạ truyền qua hệ lớp Nét bật hệ số phản xạ hay nhiều lớp đặc điểm dao động mối phụ thuộc vào tần số sóng góc tới giao thoa sóng bị phản xạ nhiều lần từ biên lớp 113 (rìa) Có thể hàm thỏa mãn phương trình sóng 114 ∆ϕ1 = ∂ 2ϕ1 c1 ∂t ∆ψ = ∂ 2ψ b12 ∂t ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ψ = + ∂z ∂z ∂x (3.4.4) Giả sử sóng âm phẳng ϕ1 = exp [ ik ( x sin θ + z cos θ )] Các thành phần pháp tuyến tốc độ v z tenxơ ứng suất Z z phải liên tục cắt qua biên chất lỏng chất rắn Vì ứng suất tiếp tuyến chất lỏng triệt tiêu nên thành phần Z x phải không biên Trong trường hợp hai chiều ta có biểu thức sau cho thành phần tenxơ ứng suất mà ta quan tâm [3.3]: ∂u ⎞ ∂u ⎛ ∂u Z z = λ1 ⎜ x + z ⎟ + µ1 z , ⎟ ⎜ ∂z ⎠ ∂z ⎝ ∂x ∂u ⎛ ∂u Z x = µ1 ⎜ x + z ⎜ ∂z ∂x ⎝ ⎞ ⎟, ⎟ ⎠ Zy = 0, (3.4.9) từ chất lỏng tới bề mặt chất lỏng - chất rắn Thế sóng phản xạ viết dạng (3.4.10) ϕ r = V exp [ ik ( x cos θ − z cos θ )] Vậy trường âm tổng công chất lỏng ϕ = [exp ( i kz cos θ + V exp ( − i kz cos θ )] exp ( i kz sin θ ) (3.4.11) Các sóng dọc sóng ngang chất lỏng viết (3.4.5) u x u z ly độ dọc trục x trục z nhận cho sóng tuần hồn cách chia chia thành phần tốc độ v1x v1z cho iω Ta định trường tốc độ chất lỏng hàm ϕ Tốc độ hạt v = grad ϕ Bây điều kiện biên đáy z = viết liên tục Z z : ⎛ ∂ 2ϕ ∂ 2ψ ⎞ ⎟, λ∆ϕ = λ1 ∆ϕ1 + µ1 ⎜ 21 + ⎜ ∂z ∂x∂z ⎟ ⎝ ⎠ (3.4.8) (3.4.6) dạng ϕ1 = W exp [ i k1 ( x sin θ + z cos θ )] , (3.4.12) ψ = P exp [ i χ ( x sin γ + z cos γ )] , (3.4.13) k, k1 χ số sóng k= ω c , k1 = ω c1 , χ1 = ω b1 , (3.4.14) θ γ góc trục z đường pháp tuyến với front sóng dọc sóng ngang chất rắn Nếu thay (3.4.11-13) vào (3.4.6-8) đặt z = ta ba phương trình để tìm hệ số V , W , P góc θ , γ Khi (3.4.8) cho k (1 − V ) cos θ = k1 W cos θ exp[ i ( k1 sin θ − k sin θ ) x] Z x không: ∂ 2ϕ1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ = 0, − + ∂x∂z ∂x ∂z liên tục v z : (3.4.7) 115 − χ sin γ P exp[ i ( χ sin γ − k sin θ ) x] (3.4.15) Vì vế trái không phụ thuộc vào x nên vế phải phải khơng phụ thuộc vào x Điều phương trình 116 k sin θ = k1 sin θ = χ sin γ (3.4.16) thỏa mãn Điều kiện sau xác định hướng sóng chất lỏng Bây (3.4.15) viết thành k (1 − V ) cos θ = k1W cos θ − χ P sin γ (3.4.17) (3.4.22) Ở Z Z1 có ý nghĩa mục 3.1 Z t = ρ1b1 Đại cos γ lượng Z in tuân theo mục 3.1 gọi trở kháng đầu vào nửa không gian chất rắn Ngoài Tương tự, từ (3.4.7) ta k12 W cos 2θ1 + χ 12 P cos 2γ = Tiếp theo, ta cộng trừ 2µ1 (3.4.18) mW = ∂ ϕ1 với vế phải (3.4.6) ý ∂x tổng đạo hàm bậc hai ϕ1 theo x z ∆ϕ Khi ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞ ⎟, λ∆ϕ = ( λ1 + µ1 )∆ϕ1 + µ1 ⎜ ⎜ ∂x∂z − ∂x ⎟ ⎝ ⎠ z = (3.4.19) − k12 , Lưu ý ∆ϕ = − k ϕ ∆ϕ1 = ϕ ý biểu thức (3.4.1, 14) thường lệ sử dụng cách ký hiệu m = ρ / ρ phương trình cuối viết dạng đơn giản ϕ m = ϕ1 − ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ⎞ ⎜ ⎟, − χ 12 ⎜ ∂x∂z ∂x ⎟ ⎝ ⎠ z = (3.4.20) Thế giá trị ϕ , ϕ ψ vào phương trình này, ta phương trình thứ ba để xác định hệ số V, W P : ⎤ ⎛k ⎞ 1+ V ⎡ = ⎢1 − ⎜ ⎟ sin θ1 ⎥ W − P sin 2γ ⎜χ ⎟ m ⎥ ⎢ ⎝ 1⎠ ⎦ ⎣ (3.4.21) Giải hệ phương trình (3.4.17, 18, 21) thực số biến đổi có sử dụng (3.4.14) ta tìm 117 Z1 cos 2γ , Z in + Z − mV = Z t sin 2γ Z in + Z (3.4.23) 3.4.1 Phân tích hệ số phản xạ Hãy lưu ý số đặc điểm lý thú V cho công thức (3.4.22) phương trình viết lại dạng Z in − Z , Z in + Z Z in ≡ Z1 cos 2γ + Z t sin 2γ V= Z in a) Tại góc tới vng góc sóng âm biên (θ = θ = γ = ) ta có = Z1 , P = , tức sóng tiếp tuyến khơng phát sinh b) Với θ ≠ từ (3.4.16) ta có góc phản xạ sóng dọc sóng ngang c b sin θ1 = sin θ , sin γ = sin θ (3.4.24) c c c Nếu θ = arcsin , γ = 45 o , Z in = Z t W = , tức có 2b1 sóng ngang phát sinh chất rắn trường hợp c) Giả sử tốc độ sóng dọc đáy nhỏ nước, tức c1 < c Dĩ nhiên trường hợp b1 < c Đại lượng Z in số thực, tức biên biên cản Các hệ số phản xạ số thực luôn nhỏ đơn vị (ngoại trừ trường hợp θ = π / ) Năng lượng mang khỏi biên vào nửa không gian rắn sóng dọc sóng ngang Biểu thức (3.4.22) Z in biến đổi thành 118 ⎛ tgγ ⎞ Z in ⎟ sin 2γ = − ⎜1 − ⎜ tgθ1 ⎟ Z1 ⎠ ⎝ Z in = Z t sin 2γ − i Z t cos 2γ , Vì ln ln b1 < c1 (theo (3.4.24)) γ < θ , Z in < Vậy trở kháng toàn phần biên rắn nhỏ trở kháng Z1 chất lỏng với giá trị ρ c1 , tức kích thích sóng ngang dẫn tới “làm xốp” biên hệ làm giảm hệ số phản xạ Còn phải lưu ý trở kháng Z in biến đổi theo góc tới θ so với trở kháng Z1 chất lỏng với ρ c1 Tartakovski [3.4] (3.4.25) tức trở kháng đầu vào số phức Phần kháng sóng ngang, cịn phần sóng dọc Thay (3.4.25) vào công thức thứ (3.4.22) ta hệ số phản xạ Bình phương mơ đun V = ( Z t sin 2γ − Z ) + Z1 cos 2γ ( Z t sin 2γ + Z ) + Z1 cos 2γ (3.4.26) Đại lượng nhỏ đơn vị phần định lượng âm bị mang khỏi biên sóng ngang cho biết d) Bây ta xét trường hợp c1 > c, b1 < c , trường hợp c thường diễn với đáy Nếu sin θ < , có nghĩa sin θ < , c1 c khơng có so với trường hợ c) Tuy nhiên, sin θ = , c1 có tượng lý thú Từ (3.4.24) ta có θ = π / Z1 = ∞ , Z in = ∞ V = , có nghĩa phản xạ tồn phần xảy Nếu θ tăng tiếp, lại diễn phản xạ phần Thật vậy, từ (3.4.24) thấy c cosθ1 = (1 − sin θ1 ) / = ± i cos θ sin θ > Bằng cách c1 đòi hỏi (3.4.12) có giới hạn z → ∞ , người ta phải chọn dấu bên Do đó, ta có Z1 = − i Z1 Bây sóng dọc chất rắn sóng “khơng đồng nhất” truyền dọc theo biên suy giảm theo hàm mũ với khoảng cách kể từ biên Sóng ngang sóng phẳng bình thường rời bỏ biên với góc γ Trở kháng đầu vào theo (3.4.22) viết lại thành 119 Hình 3.7 Mơ đun hệ số phản xạ từ đáy biển ρ / ρ = 2, c / c1 = 0,9, b1 / c = 0,5 (đường 1), 0,4 (đường 2) 0,3 (dường 3) 120 Chúng ta không xét chi tiết trường hợp xảy âm học biển tốc độ sóng ngang đáy lớn so với tốc độ nước ( b1 > c ) Dĩ nhiên trường hợp c1 > c Người đọc c có phản xạ phần bình dễ dàng hiểu sin θ > c1 thường, phần trở kháng đầu vào sóng dọc phần thuần, tức c trở kháng đầu vào túy (3.4.26) Cuối cùng, sin θ > b1 ảo phản xạ tồn phần Trong cơng trình Brekhovskikh ([3.2], mục 7) xét chi tiết phản xạ sóng âm từ biên nước - chất rắn Hình 3.7 minh họa mơ đun hệ số phản xạ từ đáy hàm số góc tới θ ρ / ρ = 2, c / c1 = 0,9 b1 / c = 0,3 − 0,5 3.4.2 Các sóng Rayleigh Stonley bề mặt Một sóng bề mặt truyền dọc theo mặt phân cách nửa không gian rắn lỏng Tốc độ khơng phụ thuộc vào tần số nhỏ so với tốc độ chất rắn chất lỏng Vì vậy, biên độ giảm theo hàm mũ hai mơi trường với khoảng cách kể từ mặt phân cách, dọc theo mặt phân cách sóng truyền khơng suy giảm Sóng mặt phân cách hai môi trường rắn Stonley phát gọi sóng Stonley Theo cách tương tự, sóng mặt phân cách chất rắn chất lỏng gọi sóng Stonley Sóng mặt phân cách nửa không gian rắn chân không Rayleigh phát gọi sóng Rayleigh Vì sóng bề mặt tồn riêng rẽ khơng cần sóng tới, nên điều kiện tồn thu từ kết ta địi hỏi biên độ sóng tới tiến tới khơng, cịn biên độ 121 sóng khác hữu hạn Điều có nghĩa ta có V → ∞, W → ∞, P → ∞ , tức theo (3.4.22) (3.4.23) Z in + Z = (3.4.27) Bây ý tới đẳng thức (3.4.16) ký hiệu ξ = k sin θ = v tốc độ sóng bề mặt, ta có ω , v k cosθ = i (ξ − k )1 / , k1 cosθ1 = i (ξ − k12 )1 / , χ cos γ = i (ξ − χ 12 )1 / Thay Z in từ (3.4.22) vào (3.4.27), ý Z = ρ c / cos θ , Z1 = ρ c1 / cos θ Z t = ρ b1 / cos γ ký hiệu s = ( χ / ξ ) = ( v / b1 ) , q = ( b1 / c1 ) , r = ( b1 / c) , (3.4.28) ta nhận phương trình s , tốc độ sóng Stonley ρ s (1 − sq)1 / (1 − sr ) −1 / = (1 − s)1 / (1 − sq)1 / − ( − s) (3.4.29) ρ1 ln ln có nghiệm số thực s < 1, sr < Trong trường hợp riêng ρ / ρ = (3.4.29) giản ước thành phương trình cho tốc độ sóng Rayleigh 3.5 SỰ PHẢN XẠ TỪ MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP LIÊN TỤC Trong mục lại giả thiết đáy chất lỏng, ý tốc độ âm tăng theo độ sâu thường xảy thực tế Đối với mơ hình chấp nhận mục hình 3.8 minh họa trắc diện tốc độ âm bên trái tia từ nước xuống phía đáy bên phải Tia quay ngoặt độ sâu z = z m quay trở lại vào nửa khơng gian phía Giả thiết tốc độ âm liên tục mặt phân cách nước - đáy (mặt phẳng z = ) Građien thẳng đứng tốc độ âm đáy giả 122 thiết đủ nhỏ (biến thiên tốc độ âm bước sóng nhỏ) phản xạ khu vực z m < z < bỏ qua Giả thiết sóng âm phẳng từ phía tới biên z = với góc θ Đối với trường hợp biểu thức cho hệ số phản xạ viết cách dễ dàng (xem chi tiết [3.4], mục 25) Sóng truyền xuống phía nửa khơng gian z > lớp nguyên tố dz bị dịch chuyển pha lượng kz dz , kz = [ k ( z ) − ξ ] / , k( z ) = ω c( z ) , ξ = k0 sin θ , k( z m ) = ξ (3.5.1) dễ dàng tưởng tượng Tuy nhiên, thực tế tưởng tượng được, giải thích sở lý thuyết xác q trình sóng bị dịch pha π / phản xạ từ độ sâu z = z m Kết sóng quay trở lại mơi trường đồng phía với biên độ sóng tới có dư lượng pha ϕ = ∫z kz dz − m =2 ∫z [ k ( z) − ξ ] / dz − m π (3.5.2) Phép xấp xỉ dùng để thu biểu thức (biến thiên tính chất mơi trường bước sóng nhỏ) gọi phép xấp xỉ WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) Hình 3.8 Phản xạ từ môi trường phân lớp liên tục: (a) trắc diện c( z ) , (b) tia âm Dịch chuyển pha tích phân truyền sóng từ biên z = tới độ sâu z m zm − ∫0 kz dz có giá trị sóng truyền hướng ngược lại Tất điều 123 π 124 ... ta có exp( 2iαd ) V = V 23 + W32 W 23 V12 − V32 V12 exp( 2iαd ) Sau áp dụng (3 .3. 2) quan hệ V32 = −V 23 sau số biến đổi ta tìm 108 V= V 23 + V12 exp( 2iαd ) + V 23 V12 exp( 2iαd ) (3 .3. 3) Chú ý tới... dụng (3 .3. 1) ta Z (1 ) − Z A+B = Z2 , B = in) A (1 A−B Z in + Z (1 Z in) − iZ tgαd Bây trở kháng đầu vào lớp tuân theo (3 .3. 8) Z − i Z tgαd (2 Z in ) = Z2 Z − i Z1 tgαd (3 .3. 6) (3 .3. 9) (2 Tiếp... sau khỏi lớp qua biên phía nó; rõ ràng biên độ W32 V12 V32 V12 W 23 exp( iαd ) , + W 23 V32 V12 W 23 exp( 6iαd ) + = ∞ (3 .3. 1) V 23 + W32 W 23 W12 exp( 2iαd ) ∑ [V32 V12 exp( 2iαd )] n n =0 Như