Các công thức xác suất trong môn xác suất thống kê - 1 doc

Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố 1.1.1 Xác suất điều kiện Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xá

Các công thức xác suất

1.1 Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố

1.1.1 Xác suất điều kiện

Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất của biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng Chẳng hạn, nếu A

và B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0

Trường hợp khác, nếu thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất của nó bằng 1 Vấn đề còn lại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức cho A) thì khi đó P(A) được xác định thế nào Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử dụng cho trường hợp này

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian xác suất (W, , P) và B với P(B) > 0 Khi

đó với biến cố A bất kỳ, xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B

đã xảy ra, ký hiệu được xác định bởi

Dễ chứng minh được nếu B với P(B) > 0 thì là một độ đo xác xuất Từ đó ta nhận được

Tính chất 1.1.2

*

*

Ví dụ 1.1.3 Một hộp có 6 chiếc bút xanh; 5 bút đỏ và 9 bút đen Chọn ngẫu nhiên

ra 1 chiếc bút thì thấy đó không phải là bút đen Tính xác suất để bút chọn ra là bút xanh

Giải Đặt A là biến cố “Chọn được bút xanh” và B là biến cố “chọn được bút

không phải là bút đen” Ta cần tìm Do AB = A nên

1.1.2 Công thức xác suất của biến cố tích

Từ định nghĩa xác suất điều kiện ta suy ra

Mở rộng cho trường hợp tổng quát ta nhận được

Ví dụ 1.1.4 Một lô sản phẩm gồm có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm

Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 4 sản phẩm, nếu thấy có ít nhất 1 phế phẩm thì không nhận lô hàng Tính xác suất để lô hàng được nhận

Giải Đặt Ai là biến cố “sản phẩm kiểm tra thứ i là sản phẩm tốt”, i = 1, 2, 3, 4 và

A là biến cố “lô hàng được nhận” Ta có

P(A) =

Ví dụ 1.1.5 Một cuộc thi có 3 vòng thi Vòng 1 lấy 90% thí sinh; vòng 2 lấy 80%

thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy 60% thí sinh của vòng 2 Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại

Giải Ký hiệu Bi là biến cố “thí sinh đỗ ở vòng thi i”, i = 1, 2, 3 và B là biến cố

“thí sinh vượt qua cả 3 vòng thi” Ta cần tính Có

Từ đó

1.1.3 Sự độc lập của các biến cố

Định nghĩa 1.1.6 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu

P(AB) = P(A) P(B)

Từ định nghĩa trên dễ suy ra các kết quả sau

 Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi

hoặc

 Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi độc lập hoặc

là độc lập hoặc là độc lập

Định nghĩa 1.1.7 Dãy n biến cố B1, B2, , Bn được gọi là

* Độc lập từng đôi nếu

P(BiBj) = P(Bi) P(Bj) với mọi i j; i, j =

* Độc lập trong toàn thể nếu với bất kì 1 i1<i2 <…< ir n; r = 2, 3,…, n thì

Chú ý: Nếu các biến cố B1, B2,…,Bn độc lập trong toàn thể thì chúng độc lập từng đôi Tuy nhiên khẳng định ngược lại không chắc đúng Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.1.8 Gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối và đồng chất Đặt A là biến cố

”đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”; B là biến cố ”đồng xu thứ hai xuất hiện mặt

ngửa”; C là biến cố ”cả hai đồng xu cùng xuất hiện mặt sấp hoặc cùng xuất hiện mặt ngửa” Xét tính độc lập của 3 biến cố A, B, C

Giải Vì không gian mẫu nên ta có

;

Từ đó suy ra A, B, C là các biến cố độc lập từng đôi Mặt khác, vì A, B, C không đồng thời xảy ra nên

Vậy các biến cố A, B, C không độc lập trong toàn thể

Để hiểu rõ hơn về tính độc lập của các biến cố, xét các ví dụ sau

Ví dụ 1.1.9 Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất Ký hiệu A là biến cố”

Tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7”; B là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm” và C là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3 chấm” Chứng minh biến cố A độc lập với các biến cố B, C nhưng không độc lập với biến cố BC

Giải Ta có

Để tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7 ta có các khả năng sau” (1, 6); (6, 1);

(2, 5); (5, 2); (3, 4); (4; 3) Vậy Từ đó suy ra

hay A, B độc lập Tương tự A và C cũng độc lập Tuy nhiên do

nên A và BC không độc lập

Ví dụ 1.1.10 Ba xạ thủ, mỗi người độc lập bắn 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu

Xác suất bắn trúng đích của mỗi người tương ứng là 0,8; 0,75 và 0,7 Tính xác suất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu

Giải Ký hiệu Ai là biến cố ”người thứ i bắn trúng”, i = 1, 2, 3 và A là biến cố ” có

đúng một người bắn trúng mục tiêu” Ta có

= 0,8.0,25.0,3 + 0,75.0,2.0,3 + 0,7.0,2.0,25 = 0,14

1.2 Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes

1.2.1 Công thức xác suất toàn phần

Giả sử A1, A2, , An là một hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai) > 0 với mọi i = 1, 2, ,

n Khi đó với mọi biến cố A bất kỳ ta luôn có

Từ đó,