Lý thuyết bậc topo trên đa tạp compact định hướng được

Lý thuyết bậc topo trên đa tạp compact định hướng được

LÝ THUYẾT BẬC TÔPÔ TRÊN ĐA TẠP

COMPACT ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

Nguyễn Quốc Hưng - Phan Hồ Anh Thư - Võ Nguyễn Thủy Tiên

June 26, 2009

2

Mục lục

1.1 Khái niệm và một số tính chất về đa tạp 5

1.2 Giá trị chính qui 7

1.3 Định lý về phân loại đa tạp 1-chiều 7

1.4 Phép đồng luân và phép hợp luân 8

2 Đa tạp định hướng được 11 2.1 Định hướng trên không gian vectơ 11

2.2 Định hướng trên đa tạp 11

2.3 Định hướng trên đa tạp tích 12

2.4 Định hướng trên biên 14

3 Xây dựng bậc tôpô trên đa tạp 21 3.1 Định nghĩa bậc tôpô trên đa tạp 21

3.2 Bậc tôpô bất biến với phép đồng luân 22

3.3 Bậc tôpô bất biến với sự lựa chọn giá trị chính qui 26

3.4 Kết luận 28

4 Ứng dụng của Bậc Topo trên đa tạp 29

3

4 MUÏC LUÏC

PHẦN 1

Một số kiến thức cơ sở

1.1 Khái niệm và một số tính chất về đa tạp

Mệnh đề 1 Tích của một đa tạp không có biên X và một đa tạp có biên Y là một

đa tạp có biên Hơn nữa: ∂(X × Y ) = X × ∂Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y và

T (X × Y )(x 0 ,y0)= T (X)x0× T (Y )y0, với mọi (x0, y0) ∈ X × Y

Chứng minh

Xét X là đa tạp không có biên m chiều trong Rk, Y là đa tạp có biên n chiềutrong Rl

(i) Chứng minh X × Y là đa tạp m + n

Lấy điểm (x0, y0) ∈ X × Y , ta chứng minh (x0, y0) có một lân cận vi đồng phôivới tập mở trong Hm+n

Vì x0 ∈ X nên x0 có lân cận Ux 0 vi đồng phôi với tập mở U1

ϕ(x 0 ) trong Rm quaánh xạ ϕ

ϕ : Ux0 → Uϕ(x1 0)

Vì y0 ∈ Y nên y0 có lân cận Vy0 vi đồng phôi với tập mở V1

ψ(y 0 ) trong Hn qua ánhxạ ψ

ψ : Vy0 → Vψ(y1 0)Mà: U1

Do đó,X × Y là đa tạp m + n

(ii) ∂(X × Y ) = X × ∂Y

Theo định nghĩa, ∂(X × Y ) là các điểm tương ứng với các điểm trên ∂Hm+n quaphép tham số hoá nào đó Như vậy:

5

6 PHẦN 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

∂(X × Y ) = S

(x 0 ,y0)∈X×Y

n(x, y) ∈ Ux 0 × Vy 0| (ϕ(x), ψ(y)) ∈hU1

ψ(y 0 )∩ ∂Hno

= S

x0∈X,y0∈Y

n(x, y)|x ∈ Ux0, y ∈ Vy0, ψ(y) ∈ V1

ψ(y0)∩ ∂Hno(∗)

= {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } = X × ∂YTrong đó ta cần chứng tỏ đẳng thức (*) Ta đã biết:

Ta sẽ chứng minh A=B

Lấy (x, y) ∈ A như vậy tồn tại (x0, y0) ∈ X × Y sao cho x ∈ Ux 0, y ∈ Vy 0, ψ(y) ∈

V1

ψ(y 0 )∩ ∂Hn Suy ra x ∈ X và y ∈ ∂Y

Ngược lại, cho (x, y) ∈ B ta có

Tóm lại ta có ∂(X × Y ) = X × ∂Y

(iii) T (X × Y )(x0,y0) = T (X)x0 × T (Y )y0, với mọi (x0, y0) ∈ X × Y

Theo trên ta có,

T (X × Y )(x0,y0) = dΦ(ϕ(x0),ψ(y0))(Hm+n)

=  dϕϕ(x 0 ) 0

0 dψψ(x 0 )

(Hm+n)

= dϕϕ(x 0 )(Rm) × dψψ(x 0 )(Hn)

= T (X)x 0 × T (Y )y 0

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2 Tích của một đa tạp có biên X và một đa tạp không có biên Y là một

đa tạp có biên Hơn nữa: ∂(X × Y ) = ∂X × Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y và

T (X × Y )(x0,y0) = T (X)x 0 × T (Y )y 0, với mọi (x0, y0) ∈ X × Y

1.2 GIÁ TRỊ CHÍNH QUI 7

1.2 Giá trị chính qui

Mệnh đề 3 Cho M, N là các đa tạp không có biên m chiều Ánh xạ f : M → N làhàm trơn và y là giá trịï chính quy của f Khi ấy {x ∈ M : f(x) = y} = f−1(y) rời rạc.Ngoài ra nếu M là compact thì f−1(y) hữu hạn

Chứng minh

Ta giả sử y ∈ f(M) Khi ấy f−1(y) 6= ∅

lấy x ∈ f−1(y), tức là x là điểm chính quy Khi đó, theo định lý hàm ngược thìcó một lận cận của x mà f song ánh Do đó, f−1(y) rời rạc

Khi M là compact, thì f−1(y) compact ( vì f−1(y) đóng trong M) Khi đó, nếu f−1(y)vô hận giá trị thì có x0 ∈ f−1(y) là điểm tụ, điều này không thể (vì f−1(y) rời rạc )

Do đó, f−1(y) hữu hạn

Cho Y, Z là đa tạp bất kỳ ( có biên hoặc không có biên ) và dim(Y ) ≥ dim(Z).Cho f : Y → Z là hàm trơn Ta đặt S(f) là tập hợp các giá trị chính qui của f

Định lý 1 (Sard) S(f) trù mật trong Z

Chứng minhChi tiết xem trong [2], Corollary, page 11



1.3 Định lý về phân loại đa tạp 1-chiều

Định lý 2 (Phân loại đa tạp 1-chiều) Cho M là đa tạp 1-chiều liên thông, chỉ có 4 khảnăng xảy ra:

(i) nếu M là đa tạp 1-chiều compact, không có biên thì vi đồng phôi với S1

(ii) nếu M là đa tạp 1-chiều compact, có biên thì vi đồng phôi với [0,1]

(iii) nếu M là đa tạp 1-chiều không compact, không có biên thì vi đồng phôi với (0,1)(iv) còn không thì M là đa tạp 1-chiều không compact, có biên lúc này M vi đồngphôi với (0,1]

Chứng minhChi tiết xem trong "Topology from the Differentiable viewpoint" của John W.Milnor (page 55,56 & 57 )

Lưu ý 1 Nếu M là đa tạp bất kỳ thì nó sẽ là hội những đa tạp liên thông có chiều làdim(M) Do đó,M là đa tạp 1-chiều bất kỳ thì M sẽ vi đồng phôi T , trong đó T là hộicủa những S1, [0,1], [0,1), (0,1)

8 PHẦN 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.4 Phép đồng luân và phép hợp luân

Định nghĩa 1 (Phép đồng luân)

Cho X ⊂ Rk, Y ⊂ Rn và 2 ánh xạ trơn f, g từ X vào Y Ta nói f và g là 2 ánh xạđồng luân ( ký hiệu f ∼ g) nếu tồn tại hàm trơn F:

F : [0, 1] × X → Yvà F (0, x) = f(x), F (1, x) = g(x) với mọi x ∈ X

Lúc đó, hàm F được gọi là một phép đồng luân giữa f và g

Định nghĩa 2 (Phép hợp luân)

Cho X ⊂ Rk

, Y ⊂ Rn và hai vi đồng phôi f, g từ X vào Y Ta nói f và g là 2 ánh xạhợp luân nếu tồn tại một phép đồng luân F : [0, 1] × X → Y giữa f và g sao cho với mọi

t ∈ [0, 1], ánh xạ x → F (t, x) là một vi đồng phôi từ X vào Y

Lúc đó, hàm F được gọi là một phép hợp luân giữa f và g

Mệnh đề 4 Quan hệ đồng luân và quan hệ hợp luân là các quan hệ tương đương trêntập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y

Chứng minh1/ Chứng minh quan hệ đồng luân là quan hệ tương đương

Ta có f ∼ f vì tồn tại phép đồâng luân F giữa f và f là:

F : [0, 1] × X → Y(t, x) 7→ f(x)Quan hệ đồng luân có tính đối xứng Thật vậy, cho f ∼ g qua phép đồng luân

F Khi đó, ánh xạ G(t, x) = F (1 − t, x) là phép đồng luân giữa g và f

Cuối cùng ta chứng minh quan hệ đồng luân có tính bắc cầu Cho f∼g qua phépđồng luân F , g∼h qua phép đồng luân G Ta sẽ tìm phép đồng luân K giữa f và h Đặt

ψ(x) = 0 nếu 0 ≤ t ≤ 1

3

1 nếu 23 ≤ t ≤ 1

1.4 PHÉP ĐỒNG LUÂN VÀ PHÉP HỢP LUÂN 9

Lấy (t0, x0) ∈ [0, 1] × X Ta sẽ chứng minh K trơn tại (t0, x0)

, t0 ∈ (a, b) nên a < t0 < b Đặt c = min 1

2, b , ta có (a, c) × U là tập hợp mở trong

3,2

3) × X ta có K(t,x) = g(x) Vì g trơn trên X , ta suy ra K (t,x)trơn trên (1

3,23) × X Vậy K trơn tại (t0, x0)

Tóm lại f ∼ h qua phép đồng luân K

Vậy quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương

2/ Chứng minh quan hệ hợp luân là quan hệ tương đương : dễ thấy



10 PHẦN 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Mệnh đề 5 Cho h là ánh xạ trơn từ X vào Y, f và g là các ánh xạ trơn từ Y vào Z, nếu

f ∼ g thì ta cũng có (f ◦ h) ∼ (g ◦ h)

Chứng minhGọi F : [0, 1] × Y → Z là phép đồng luân giữa f và g, khi đó G : [0, 1] × X → Z ,G(t, x) = F (t, h(x)) chính là phép đồng luân giữa (f ◦ h) và (g ◦ h)



PHẦN 2

Đa tạp định hướng được

2.1 Định hướng trên không gian vectơ

Tiếp theo, ta sẽ làm rõ khái niệm định hướng trên đa tạp tích Trước hết, ta nhắclại định hướng trên không gian vectơ và định hướng trên đa tạp

Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, β và β0 là hai cơ sở của V Ta nói

β và β0 cùng định hướng nếu ma trận chuyển cơ sở từ β sang β0 có định thức dương.Ngược lại, ta nói β và β0 ngược định hướng nếu ma trận chuyển cơ sở từ β sang β0 cóđịnh thức âm Như vậy, quan hệ " cùng định hướng " là một quan hệ tương đươngtrên tập hợp các cơ sở của V và phân hoạch tập hợp này thành hai lớp tương đương.Một định hướng cho V là một cách gán dấu (+1) cho các phần tử thuộc một lớp tươngđương và gán dấu (−1) cho các phần tử thuộc lớp còn lại Như vậy, khi V đã được địnhhướng thì một cơ sở β bất kỳ của V sẽ có sign(β) = 1 hoặc sign(β) = −1 Hơn nữa,để định hướng cho V, ta chỉ cần chọn một cơ sở β nào đó của V và đặt sign(β) = 1;sau đó, gán dấu 1 cho các cơ sở cùng định hướng với β, gán dấu là −1 cho các cơ sởngược hướng với β

Xét V, W là hai không gian vector được định hướng Cho A : V → W là mộtđẳng cấu Khi đó,nếu β và β0 cùng thuộc một lớp tương đương trên V thì 2 cơ sở , Aβvà Aβ0 tương ứng cũng thuộc cùng lớp tương đương trên W Như vậy, với mọi cơ sở βcủa V, Aβ luôn luôn cùng dấu hoặc luôn luôn ngược dấu với β, ta nói A bảo toàn địnhhướng hoặc đảo ngược định hướng Nếu A bảo toàn định hướng, đặt sign(A) = 1, nếu

A đảo ngược định hướng, đặt sign(A) = −1

2.2 Định hướng trên đa tạp

Cho X là một đa tạp m chiều ( có biên hoặc không có biên ) , ta nhắc lại địnhnghĩa định hướng trên đa tạp

Một định hướng của đa tạp X là một cách lựa chọn định hướng cho tất cả cáckhông gian tiếp xúc T Xx (x thuộc X ) sao cho : tại mỗi điểm x ∈ X , tồn tại một lâncận được tham số hóa bởi ánh xạ ϕ : U → X và với mọi u ∈ U , dϕu : Rm → T Xϕ(u)mang định hướng dương của Rm thành định hướng dương trên T Xϕ(u) Lúc đó ta gọi

11

12 PHẦN 2 ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

ϕ là tham số hóa bảo toàn định hướng Đa tạp X gọi là "định hướng được" nếu có thểxác định trên X một định hướng như định nghĩa trên

2.3 Định hướng trên đa tạp tích

Bây giờ ta xét khái niệm định hướng trên tích các đa tạp Cho X là đa tạp mchiều, Y là đa tạp n chiều, một trong hai đa tạp là đa tạp có biên Khi đó X × Y là đatạp m + n chiều có biên theo mệnh đề 1 Hơn nữa, qua cách chứng minh trong mệnhđề 1, ta có không gian tiếp xúc tại điểm (x,y) là:

sign(α × 0, 0 × β) = sign(α)sign(β) (2.1)Trước hết ta chứng minh rằng định hướng như trên không phụ thuộc vào việcchọn cơ sở α, β Xét α1, β1 là hai cơ sở khác của X và Y , ta sẽ chỉ ra rằng sign(α ×

0, 0 × β) = sign(α1 × 0, 0 × β1) khi và chỉ khi ma trận chuyển cơ sở từ (α × 0, 0 × β)sang (α1× 0, 0 × β1) có định thức dương

2.3 ĐỊNH HƯỚNG TRÊN ĐA TẠP TÍCH 13Hơn nữa, do (2) , (3) ta có

Từ đó ta có: detP = detA.detD

Mặt khác ,

sign(α × 0, 0 × β) = sign(α1× 0, 0 × β1)khi và chỉ khi

sign(α)sign(β) = sign(α1)signn(β1)Điều này tương đương :

sign(α)sign(α1) > 0, sign(β)sign(β1) > 0hoặc sign(α)sign(α1) < 0, sign(β)sign(β1) < 0tức là :

detA > 0, detD > 0hoặc detA < 0, detD < 0hay det P > 0

Vậy sign(α1 × 0, 0 × β1) = sign(α × 0, 0 × β) khi và chỉ khi (a1× 0, 0 × β1) và(α × 0, 0 × β) cùng định hướng Như vậy cách định hướng cho T (X × Y )(x,y) như (1)không phụ thuộc cách chọn cơ sở α, β ;

Tiếp theo ta cần kiểm chứng rằng cách định hướng cho từng không gian tiếp xúcnhư (1) thật sự là một định hướng cho đa tạp X × Y Thật vậy , qua quá trình chứngminh X × Y là đa tạp , ta thấy mỗi điểm (x, y) ∈ X × Y có một tham số hóa là :

φ = ϕ × ψ : U × V → X × Y

(u, v) → (ϕ(u), ψ(v))

φ (0, 0) = (x, y)

14 PHẦN 2 ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

Trong đó ϕ : U → X là tham số hóa bảo toàn định hướng của đa tạp X tại x ,

ψ : V → Y là tham số hóa bảo toàn định hướng của đa tạp Y tại y , U ∈ Rm

, V ∈ Rn.Xét (u,v) là điểm bất kỳ trên U × V , ta sẽ chứng minh

dφ(u, v) : Rm+n → T (X × Y )(ϕ(u),ψ(v)) = T Xϕ(u)× T Yψ(v)

bảo toàn định hướng dương của Rm+n

Gọi

e = (e1, e2, , em) là cơ sở chính tắc của Rm

f = (f1, f2, , fn) là cơ sở chính tắc của Rn

Khi đó (e × 0, 0 × f) là cơ sở chính tắc của Rm+n

Gọi α là ảnh của cơ sở e qua ánh xạ dϕ(u) , ta có α cũng là một cơ sở của

T Xϕ(u), α = (dϕ(u)(e1), dϕ(u)(e2) , (dϕ(u)(em)) Tương tự β là ảnh của f quadψ(v), β = (dψ(v)(f1), dψ(v)(f2) , dψ(v)(fn)) Vì ϕ và ψ bảo toàn định hướng nênsign(α) = 1, sign(β) = 1

Mặt khác , với (a,b) ∈ Rm× Rn = Rm+n

dφ(u, v)(a, b) = limt→0

φ((u, v) + t(a, b)) − φ(u, v)

dφ(u, v)(ei, 0) = (dϕ(u)(ei), 0), i = 1, , mdφ(u, v)(0, fj) = (0, dψ(u)(fj)), j = 1, , n

Ta suy ra ảnh của cơ sở (e × 0, 0 × f) qua ánh xạ dφ(u, v) là (α × 0, 0 × β).Theo(1), sign(α × 0, 0 × β) = 1 Vậy dϕ(u, v) bảo toàn định hướng dương của Rm+n

2.4 Định hướng trên biên

Bây giờ ta nhắc lại khái niệm " định hướng trên biên" của một đa tạp đã đượcđịnh hướng

Giả sử X là một đa tạp m chiều đã được định hướng khi đó, biên của X, ký hiệu

∂X, là đa tạp không có biên (m-1) chiều Để định hướng cho ∂X, ta sẽ định hướngcho mỗi không gian tiếp xúc T (∂X)x , với x ∈ ∂X Trước hết ta cần nói rõ hơn về

2.4 ĐỊNH HƯỚNG TRÊN BIÊN 15

không gian tiếp xúc T (∂X)x Gọi ϕ là một tham số hóa bảo toàn định hướng cho lâncận V trong đa tạp X của x

ϕ : U ⊂ Hm → V ⊂ X

ϕ(0) = xKhi đó : dϕ : Rm → T Xx

Ngoài ra, ψ = ϕ |U∩(∂Hm ) là một vi đồng phôi từ U ∩ (∂Hm) vào lân cận V ∩ ∂Xcủa x

Đặt W = {(x1, , xm−1) ∈ Rm−1 | (x1, , xm−1, 0) ∈ U ∩ ∂Hm}

Ta có W mở trong Rm−1 và vi đồng phôi với U ∩ ∂Hm qua ánh xạ:

δ : W → U ∩ ∂Hm

(x1, , xm−1) 7→ (x1, , xm−1, 0)Xét θ = ψ ◦ δ , khi đó θ : W → V ∩ ∂X và θ(0) = x , θ là một tham số hóa cholân cận V ∩ ∂X trên ∂X của x Đạo hàm tại 0 của θ là

Không gian T (∂X)x được định hướng như sau: Gọi (b2, , bm) là cơ sở của ∂Hm

sao cho sign(−em, b2, , bn) = 1 , với em ∈ Rm, em = (0, , 0, 1), định hướng trên

Rm là định hướng dương thông thường (standard positive), Khi đó T (∂X)x được địnhhướng bằng các đặt sign(dϕ0(b2), , dϕ0(bm)) = 1 , nói cách khác, nếu (b2, , bm) là

cơ sở bất kỳ của ∂Hm thì

sign(dϕ0(b2), , dϕ0(bm)) = sign(−em, b2, , bm)trong đó kết quả bên vế phải xác định theo định hướng dương thông thường trên Rm

Kiểm tra chi tiết ta sẽ thấy định hướng trên biên của đa tạp được định nghĩatốt , tức là cách định hướng trên T (∂Xx) vừa nêu không phụ thuộc việc chọn cơ sở(b2, , bm), không phụ thuộc ∈ tham số hóa ϕ và định hướng trên mỗi T (∂X)x nhưvậy thật sự là một định hướng cho cả đa tạp ∂X

Cho X là đa tạp m (m ≥ 2) chiều trong Rk Khi đó M = [0, 1] × X là một đa tạp(m+1) chiều trong Rk+1 với biên là X0∪ X1 , trong đó X0 = {0} × X, X1 = {1} × X

Ta thấy X0 và X1 vi đồøng phôi một cách tự nhiên với X qua ánh xạ:

F : X → X0

x → (0, x)

G : X → X1

x → (1, x)

16 PHẦN 2 ĐA TẠP ĐỊNH HƯỚNG ĐƯỢC

Khi [0,1] và X được định hướng, M X0 và X1 cũng được định hướng Ta nói X0

có cùng định hướng với X nếu với mọi x ∈ X , ánh xạ dFx: T Xx → T X0(0,x)bảo toànđịnh hướng X0 được gọi là trái định hướng với X nếu ∀x ∈ X , ánh xạ dFx đảo ngượcđịnh hướng Cách hiểu hoàn toàn tương tự khi ta nói X1 cùng hoặc trái định hướngvới X Trong phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng trong 2 đa tạp X0 và X1 , có một

đa tạp cùng định hướng với X và một đa tạp trái định hướng với X

Không mất tính tổng quát , ta xét [0,1] được định hướng như sau: Với mọi t ∈ [0, 1],không gian tiếp xúc tại t chính là R , ta định hướng cho không gian tiếp xúc này bằngcách đặt sign(1) = 1

Chứng minh X0 trái định hướng với XLấy x0 ∈ X bất kỳ, ta sẽ chứng minh dFx 0 đảo ngược định hướng , Gọi ϕ là thamsố hóa bảo toàn định hướng cho lân cận V của x0 trong X :

ϕ : U ⊂ Rm → V ⊂ X

ϕ(0) = x0

Với mọi u ∈ U ,

dϕu : Rm → T Xϕ(u)Lấy e = (e1, e2, , em) là cơ sở chuẩn tắc của Rm

Đặt: αu = (dϕu((−1)me1), dϕu(e2), , dϕu(em)) Do ϕ bảo toàn định hướng, ta có:

sign(αu) = sign((−1)me1, e2, , em) = (−1)m (2.4)Lấy a ∈ (0, 1) , xét ánh xạ:

θ : [0, a) × U → [0, a) × V

(t, u) → (t, ϕ(u))Với mọi (t,u)∈ [0,a)× U và h = (h1, h2, , hm+1) ∈ Rm+1, ta có

dθ(t,u)(h) = (h1, ϕu(h2, h3, , hm+1))

Γ : Rm

× [0, a) → [0, a) × Rm

(x1, x2, , xm, xm+1) 7→ (xm+1, (−1)mx1, x2, , xm)Khi đó, Γ−1([0, a) × U) có dạng W × [0, a) , trong đó

W = {(x1, , xm) | ((−1)mx1, x2, , xm) ∈ U}

Vì U mở trong Rm , Ta có W cũng mở trong Rm , từ đó suy ra W × [0, a) mở trong

∂Hm+1 Gọi δ là ánh xạ hạn chế của Γ trên W × [0, a) :

δ : W × [0, a) → [0, a) × U

2.4 ĐỊNH HƯỚNG TRÊN BIÊN 17

Với mọi (w, s) ∈ W × [0, a)

dδ(w,s) : Rm+1 → Rm+1

(u1, u2, , um, um+1) 7→ (um+1, (−1)mu1, u2, , um)Đặt ψ = θ◦δ Rõ ràng ψ là vi đồng phôi do θ và δ là các vi đồng phôi

ψ : W × [0, a) 7→ [0, a) × V

Với mọi (w, s) ∈ W × [0, a) , đặt (t,u) = δ(w, s) khi đó (t, u) ∈ [0, a) × U, ta có

dψ(w,s) : Rm+1 → T M(t,ϕ(u))= T ([0, 1])t× T Xϕ(u)

Với h = (h1, , hm+1) ∈ Rm+1 bất kỳ, ta có:

dψ(w,s)(h) = dθ(t,u)(dδ(w,s)(h1, h2, , hm, hm+1))

= dθ(t,u)(hm+1, (−1)mh1, h2, , hm)Vậy

dψ(w,s)(h) = (hm+1, dϕu((−1)mh1, h2, , hm)) (2.5)

Ta sẽ chứng minh ψ là tham số hóa bảo toàn định hướng cho lân cận [0, a)×V củađiểm (0, x0) trên đa tạp M Nghĩa là, với mọi (w, s) ∈ w×[0, a) , ta chỉ ra rằng dψ(w,s)bảotoàn định hướng Xét cơ sở chuẩn tắc của Rm+1 : ((e1, 0), (e2, 0), , (em, 0), (0, , 0, 1)),đặt

sign(β) = (−1)msign(1 × 0, 0 × αu)Theo định nghĩa định hướng trên đa tạp tích và do (2.4)

sign(β) = (−1)m sign(1).sign(αu) = (−1)2m= 1

Vậy ψ là tham số hóa bảo toàn định hướng

Ta có:

T X0,(0,x ) = dψ(0,0)(∂Hm+1)