3 Xây dựng bậc tôpô trên đa tạp
3.3 Bậc tôpô bất biến với sự lựa chọn giá trị chính qui
Trước hết, ta có bổ đề sau đây
Bổ đề 2 (Về tính thuần nhất). Cho N là một đa tạp liên thông. Cho y và z là các điểm trong tùy ý của N. Khi đó, có một vi đồng phôi h:N →N biến y thành z và h hợp luân với ánh xạ đồng nhất .
Chứng minh
Chi tiết xem trong [2], Homogeneity Lemma (page 22, 23 & 24)
Mệnh đề 9. Cho N là một đa tạp m chiều trong Rk, h là một vi đồng phôi từ N vào N, h hợp luân với ánh xạ đồng nhất. Khi đó, h bảo toàn định hướng.
Chứng minh
Để chứng minh h bảo toàn định hướng, ta lấy x ∈ N bất kỳ và chứng minh dhx :T Nx →T Nh(x) bảo toàn định hướng.
Gọi F là phép hợp luân giữa Id và h , F : [0,1]×N → N, với F(0, x) = x và F(1, x) =h(x)
Đặt, Ft(x) =F(t, x), như vậyF0 =Id, F1 =h.
Cho ϕ là tham số hóa bảo toàn định hướng từ Rm vào lân cận V của x trong N và ϕ(0) =x.
Xét G : [0,1]×Rm → N được xác định bởi G(t, x) = F(t, ϕ(x)) với mọi (t, x)∈
[0,1]×Rm.
ĐặtGt(x) =G(t, x), như vậyGt(x) =Ft(ϕ(x)) , suy ra dGt
0 =dFt x◦dϕ0.
Gọi e= (e1, ..., em) là cơ sở chuẩn tắc của Rm , khi đó α = (dϕ0(e1), ..., dϕ0(em))là cơ sở của T Nx và sign(α) = 1 do ϕ bảo toàn định hướng . Đặt
β= (dFxt(dϕ0(e1)), ..., dFxt(dϕ0(em))) = (dGt0(e1), ..., dGt0(em))
Ta cóFt vàϕ là những vi đồng phôi nên Gt cũng là một vi đồng phôi. Như vậy dGt
0 và dFt
x là các đẳûng cấu giữa hai không gian vectơ. Do đó , dGt
0 và dFt
x bảo toàn định hướng khi chúng mang một cơ sở dương thành một cơ sở dương . Như vậy, dFt
x bảo toàn định hướng khi và chỉ khi sign(β) = 1 , điều này cũng tương đương dGt
0 bảo toàn định hướng . Tóm lại, để chứng minh dhx = dF1
x là bảo toàn định hướng, ta chỉ cần chứng minh dG1
0 bảo toàn định hướng .
Ánh xạ G: [0,1]×Rm →N ⊂Rk, G có k thành phần làG = (G1, ..., Gk). Khi đó Gt cũng có k thành phần tương ứngGt= (Gt 1, Gt 2, ..., Gt k)với Gt i =Gi(t, .), i= 1, . . . , k. Gt : Rm → N dGt 0 : Rm → T Nx
3.3. BẬC TÔPÔ BẤT BIẾN VỚI SỰ LỰA CHỌN GIÁ TRỊ CHÍNH QUI 27 Ảnh của cơ sởe= (e1, ..., em) qua ánh xạ dGt
0 là αt= (αt 1, ..., αt m) với αt i = dGt 0(ei) = (∇Gt 10.ei,∇Gt 20.ei, . . . ,∇Gt k0.ei)T = ∂Gt 1(0) ∂xi ,∂G t 2(0) ∂xi , ...,∂G t k(0) ∂xi T Vì G là hàm trơn, ta suy ra ∂Gti(0) ∂xj , 1≤i≤ k, 1≤j ≤m là các hàm trơn theo t . Như vậy các tọa độ của αi đều là các hàm trơn theo t . Cố địnhb = (b1, ..., bm) là một cơ sở dương của T Nx . Ma trận M(t)chuyển đổi cơ sở từ b sangαt. Cho nên, M(t) liên tục theo t và det(M(t))6= 0.
Hơn nữa, khi t = 0 thì G0(x) = ϕ(x) nên dG0
0 bảo toàn định hướng suy ra sign(α0) = 1, tức là det(M(0)) >0.
Cho nên det(M(t))>0 với mọi t ∈[0,1]. Đặc biệt, det(M(t))>0
Vậy dG1
0 bảo toàn định hướng , tức là dhx bảo toàn định hướng .
Tóm lại, ta đã chứng minh được h là một vi đồng phôi bảo toàn định hướng.
Định lý 3. Bậc Brouwer deg (f,y) không phụ thuộc vào viêïc lựa chọn giá trị chính qui y.
Chứng minh Lấy y, z ∈S(f)
Theo bổ đề 2, có một vi đồng phôi h : N → N biến y thành z và h hợp luân với ánh xạ đồng nhất Id . Theo mệnh đề 9, h là vi đồng phôi bảo toàn định hướng
Nên với mọi x∈M
sign(d(h◦f)x) =sign(dhf(x)◦dfx) =sign(dfx)
Hơn nữa: f−1(y) = {x∈M |f(x) =y} = {x∈M |f(x) =h−1(z)} = {x∈M |h◦f(x) =z} = (h◦f)−1(z) Mặt khác, doId ∼h nên f ∼h◦f ( mệnh đề 5 ). Theo mệnh đề 8 deg(f, z) = deg(h◦f, z) = P x∈(h◦f)−1(z)sign(d(h◦f)x) = P x∈f−1(y)sign(dfx) = deg(f, y)
28 PHẦN 3. XÂY DỰNG BẬC TÔPÔ TRÊN ĐA TẠP