Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 15
Trn S Tựng TRNG THPT CHUYấN HSP H NI s 19 THI TH I HC V CAO NG NM 2010 Mụn thi: TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) I. PHN CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s yxmx42221=++ (1). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Chng minh rng ng thng yx1=+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m. Cõu II (2 im): 1) Gii phng trỡnh: xxx222sin2sintan4pổử-=-ỗữốứ 2) Gii h phng trỡnh: ( )xxx2223332log43log(2) log(2)4++-= Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: I = xdxxx320sincos3sinp+ũ Cõu IV (1 im): Cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cnh huyn AB = 2a. Trờn ng thng d i qua A v vuụng gúc mt phng (ABC) ly im S sao cho mp(SBC) to vi mp(ABC) mt gúc bng 600. Tớnh din tớch mt cu ngoi tip t din SABC. Cõu V (1 im): Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: xxxxfxxx43224885()22-+-+=-+ II. PHN T CHN (3 im) 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp (E) cú tiờu im th nht l ( )3;0- v i qua im M4331;5ổửỗữốứ. Hóy xỏc nh ta cỏc nh ca (E). 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(0; 1; 3) v ng thng d: xtytz1223ỡ=-ù=+ớù=ợ. Hóy tỡm trờn ng thng d cỏc im B v C sao cho tam giỏc ABC u. Cõu VII.a (1 im): Chng minh: nnnnnnCCCnCnn212223222123 .().2-++++=+ , trong ú n l s t nhiờn, n 1 v knC l s t hp chp k ca n. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; 7) v ng thng AB ct trc Oy ti E sao cho AEEB2=uuuruuur. Bit rng tam giỏc AEC cõn ti A v cú trng tõm l G132;3ổửỗữốứ. Vit phng trỡnh cnh BC. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: xyz11311-+== v mt phng (P): xyz2220+-+=. Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm nm trờn ng thng d cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi (P) v i qua im A(1; 1; 1). Cõu VII.b (1 im): Gii h phng trỡnh: xyyxyx332241615(1)ỡù+=+ớ+=+ùợ. ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Xột PT honh giao im: xmxx422211++=+ xmxx42220+-=( )xxmx32210+-= xgxxmx320()210(*)ộ=ờ=+-=ở Ta cú: gxxm22()32 0Â=+ (vi mi x v mi m ) ị Hm s g(x) luụn ng bin vi mi giỏ tr ca m. Mt khỏc g(0) = 1 ạ 0. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0. Vy ng thng yx1=+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m. Cõu II: 1) iu kin: xcos0ạ xk.2ppạ+ (*). PT x x x2221cos2sintanpổử-ỗữốứ=xxx1sin2tan(sin21)=xxsin21tan1ộ=ờ=-ở xkxl2.22.4ppppộ=+ờờờ=-+ởxkxl.4.4ppppộ=+ờờờ=-+ởxk.42pp=+ . (Tha món iu kin (*) ). 2) iu kin: xx22340log(2)0ỡ->ùớ+ùợ xx2240(2)1ỡù->ớ+ùợxx23ộ>ờÊ-ở (**) PT ( )xxx2222333log43log(2) log(2)4++-= xx2233log(2)3log(2)40+++-= ( )( )xx2233log(2)4log(2)10+++-= x23log(2)1+= x2(2)3+= x 23=- Kim tra iu kin (**) ch cú x 23=-- tha món. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l: x 23=-- Cõu III: t tx23sin=+ = x24cos- . Ta cú: xt22cos4=v xxdtdxx2sincos3sin=+. I = xdxxx320sin.cos3sinp+ũ= xxdxxx3220sin.coscos3sinp+ũ= dtt152234 -ũ= dttt1523111422ổử-ỗữ+-ốứũ = tt152312ln42+- = 115432lnln415432ổử++ỗữ-ỗữ--ốứ = ( ) ( )( )1ln154ln322+-+. Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC) ị SA ^ AB; SA ^ AC Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB ị BC ^ AC ị BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on SB di gúc vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ng kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 450 = a 2; ãSCA060= l gúc gia mp(SBC) v mp(ABC). SA = AC.tan600 = a 6. T ú SBSAABa222210=+=. Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S = d2p= p.SB2 = a210p. Cõu V: Tp xỏc nh: D = R . Ta cú: fxxxxx221()22222=-++-+ ( BT Cụsi). Du "=" xy ra xxx2221 1+==. Vy: min f(x) = 2 t c khi x = 1. II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Ta cú ( ) ( )FF123;0,3;0- l hai tiờu im ca (E). Trn S Tựng Theo nh ngha ca (E) suy ra : aMFMF122 =+= ( )22433135ổử++ỗữốứ + ( )22433135ổử-+ỗữốứ= 10 ị a = 5. Mt khỏc: c = 3 v abc222 = ị bac22222=-= Vy ta cỏc nh ca (E) l: A1( 5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; 22) ; B2 ( 0; 22). 2) d cú VTCP du (1;2;0)=-r. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d. Gi s ( )t tH 1;22;3+ ị ( )AHtt1;12;0=-+uuuur M AH ^ d nờn dAHu^uuurrị ( ) ( )tt112120-+-+= t15=- ị H68;;355ổửỗữốứ ị AH = 355. M DABC u nờn BC = AH221553= hay BH = 155. Gi s Bss(1;22;3)-+ thỡ ss22121525525ổửổử--++=ỗữỗữốứốứ ss2251020+= s135-= Vy: B63823;;355ổử-+ỗữốứv C63823;;355ổử+-ỗữốứ hoc B63823;;355ổử+-ỗữốứ v C63823;;355ổử-+ỗữốứ Cõu VII.a: Xột khai trin: nnnnnnnnxCxCxCxCxC012233(1) .+=+++++ Ly o hm 2 v ta c: nnnnnnnnxCxCxCnxC112231(1)23 .--+=++++ Nhõn 2 v cho x, ri ly o hm ln na, ta c: nnnnnnnnxnxnxCxCxCnxC22222112231(1)(1)(1)123 .---ộự+-+ởỷ+=++++ Cho x = 1 ta c pcm. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AGAM23=uuuruuur ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú VTPT AG80;3ổử=-ỗữốứuuur nờn cú PT: y 3= ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AEEB2=uuuruuur nờn B(1; 1). ị Phng trỡnh BC: xy2570-+=. 2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị Ittt(13;1;)+-+ . Bỏn kớnh R = IA = tt21121-+. Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn: tdIPR53(,())3+== tt237240-= tRtR0124773737ộ=ị=ờ=ị=ờở. Vỡ (S) cú bỏn kớnh nh nht nờn chn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; 1; 0). Vy phng trỡnh mt cu (S): xyz222(1)(1)1-+++=. Cõu VII.b: xyyxyx3322416(1)15(1)(2)ỡù+=+ớ+=+ùợ T (2) suy ra yx2254= (3). Th vo (1) c: ( )yxxyyx22335 .16+=+ xxy x325160= x 0= hoc xxy25160= ã Vi x 0= ị y24= y 2= . ã Vi xxy25160= xyx2165-= (4). Th vo (3) c: xxx22216545ổử--=ỗữốứ Trần Sĩ Tùng Û xxxx4242–32256–125100+=Û xx42124132–2560+=Û x21= Û xyxy1(3)1(3)éêë==-=-=. Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ===================== . - = dttt1523111422ổ - ữ +- ứũ = tt152312ln42 +- = 1154 32lnln 4154 32ổử++ỗ - -- ốứ = ( ) ( )( )1ln154ln322 +-+ . Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC) ị SA ^ AB; SA. Bss(1;22;3 )-+ thỡ ss221 2152 5525ổửổ -- ++=ỗữỗữốứốứ ss2251020+= s13 5-= Vy: B63823;;355ổ -+ ỗữốứv C63823;;355ổử +- ữốứ hoc B63823;;355ổử +- ữốứ v C63823;;355ổ -+ ỗữốứ