Giải tích kết hợp

Giải tích kết hợp

Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học CHƯƠNG GIẢI TÍCH KẾT HỢP I TẬP HỢP CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Định nghĩa: Khái niệm tập hợp khái niệm tảng cho tốn học ứng dụng Tập hợp khái niệm ngun thuỷ khơng định nghĩa xác dựa khái niệm khác Tập hợp coi kết hợp đối tượng có chất (thuộc tính, dấu hiệu ) chung Tập hợp thường ký hiệu chữ A, B, C , Các phần tử tập hợp ký hiệu chữ thường a, b, c, Để x phần tử tập hợp X ta viết : x  X (đọc : x thuộc X ) Để x phần tử X ta viết : x  X (đọc : x khơng thuộc X ) Tập khơng có phần tử gọi tập rỗng ký hiệu   Biểu diễn tập hợp: Có hai cách biểu diễn tập hợp sau (i) Liệt kê phần tử : + Ví dụ A = { a, b, c } X = { x1, x2, , xn } (ii) Biểu diễn tập hợp cách mơ tả tính chất : + Ví dụ C = { n | n số chẵn } Y = { x | x nghiệm phương trình x2 + 2x - = }  Lực lượng tập hợp: Số phần tử tập A, ký hiệu |A|, gọi lực lượng tập A Nếu |A| <  , ta nói A tập hữu hạn, |A| =  , ta nói A tập vơ hạn Trong chương trình ta giả thiết tập hợp hữu hạn  Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A, B Nếu phần tử thuộc A thuộc B ta nói A tập B ký hiệu A  B Nếu A tập B ta ký hiệu A  B Nếu A  B B  A ta nói A B ký hiệu A = B Nếu A  B , A ≠  B ≠ A, ta nói A tập thực B  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học + Ví dụ (i) Tập rỗng  có lực lượng 0, || = Với tập A,   A (ii) Cho đa thức P(x) Ký hiệu S = {x | P(x) = 0} S tập hữu hạn (iii) Ký hiệu N tập số tự nhiên, N = {0, 1, 2, … }; Q tập số hữu tỷ; R tập só thực Ta có N  Q  R Bây ta xét tập hữu hạn A Ký hiệu tập tất tập A P(A)  Định lý Nếu |A| = n , |P(A)| = 2n Chứng minh Quy nạp theo n CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho tập A, B, X1, X2, , Xn ( n  N ) tập tập “vũ trụ” U Ta định nghĩa phép tốn sau + Phép hiệu: Hiệu A B, ký hiệu A \ B tập: A\B = {xx A & x B} + Phần bù: Phần bù A (trong U ) tập A = U \ A + Phép hợp: Hợp A B, ký hiệu A  B tập A  B = { x | x  A x  B } Tương tự, hợp X1, X2, , Xn tập n X i  {x | k,1 k n, x  X k } i 1 + Phép giao: Giao A B, ký hiệu A  B tập AB = {xx A & x B} Tương tự, giao X1, X2, , Xn tập n X i  {x | k,1 k n, x  X k } i 1 + Tích Đề-các - Tích Đề-các hai tập A, B tập  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học A x B = { (a,b) a  A & b  B } - Tích Đề-các tập X1, X2, , Xn tập X1x X2 x x Xn = { (x1, x2, , xn)  x1 X1 & x2  X2 & & xn  Xn } + Phân hoạch: - Nếu A  B = , ta nói A B rời - Nếu tập X1, X2, , Xn thoả A = X1  X2   Xn chúng rời đôi một, ta nói { X 1, X2, , Xn } phân hoạch tập hợp A  Định lý Giả sử { X1, X2, , Xn } phân hoạch tập S Khi S= X1+ X2 + + Xn  Chứng minh Hiển nhiên  Định lý Cho tập A, B, C tập vũ trụ U, ta có : (i) Luật kết hợp : (AB)C = A(B C) (AB)C = A(B C) (ii) Luật giao hoán : AB = B  A AB = B A (iii) Luật phân bố : A  ( B  C ) = (A  B)  (A  C ) A  ( B  C ) = (A  B)  (A  C ) (iv) Luật đối ngẫu De Morgan: A  B A  B n n X i X i i 1 i 1 & & A  B A  B n n X i X i i i Chứng minh (bài tập)  Định lý (về lực lượng tập hợp) (i) Lực lượng tập con: A  B  |A| ≤ |B| (ii) Lực lượng hợp  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học A  B = A+ B  A  B  (iii) Nguyên lý bù trừ Poincaré: n A k k 1 n   m     1 Ai1  Ai2   Aim   m 1  1i1 i  i m n  (iv) Lực lượng tích Đề-các X1x X2 x x Xn = X1 X2  Xn  (v) Lực lượng tương đương: |A| = |B|  Tồn song ánh từ A vào B Chứng minh (bài tập)  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học II GIẢI TÍCH KẾT HỢP BÀI TỐN GIẢI TÍCH KẾT HỢP Trong thực tế ta thường gặp toán sau: Cho tập hữu hạn X Các phần tử X chọn ghép theo quy luật Hãy tính số nhóm tạo thành Ngành toán học nghiên cứu toán loại gọi Giải tích kết hợp  Ví dụ: Cơng ty phát hành sách bán sách thông qua hệ thống hiệu sách Giả sử có 12 đầu sách đầu sách ký hiệu 1, 2, …, 12 Có khách hàng đến hiệu sách đặt mua, người Gọi x 1, x2, x3 sách mà khách hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba đặt mua ( x 1, x2, x3  {1, 2, … , 12 } ) Hỏi có ( x1, x2, x3 ) ? Kết toán đếm phụ thuộc vào việc giao sách: hiệu sách hay công ty (i) Trường hợp 1: Người giao sách hiệu sách khách hàng đặt mua đầu sách khác Khi hiệu sách cần biết thứ tự ( x1, x2, x3 ) Số ( x1, x2, x3 ) 12.11.10 = 1320 (ii) Trường hợp 2: Người giao sách hiệu sách khách hàng đặt mua đầu sách giống Khi hiệu sách cần biết thứ tự ( x 1, x2, x3 ) x1, x2, x3 giống Số ( x1, x2, x3 ) 123 = 1728 (iii) Trường hợp 3: Người giao sách công ty khách hàng đặt mua đầu sách khác Khi cơng ty khơng cần biết thứ tự ( x 1, x2, x3 ) Số ( x 1, x2, x3 ) 12.11.10 / 1.2.3 = 1320 / = 220 (iv) Trường hợp 4: Người giao sách công ty khách hàng đặt mua đầu sách giống Khi cơng ty khơng cần biết thứ tự (x 1, x2, x3 ) x1, x2, x3 giống Số ( x1, x2, x3 ) gồm trường hợp sau: + Trường hợp người đặt mua đầu sách: có 12 khả + Trường hợp người đặt mua đầu sách: có C(12,2) = 132 khả ( C(n, k) số tổ hợp chập k n phần tử)  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học + Trường hợp người đặt mua đầu sách: có 220 khả Tổng cộng số (x1, x2, x3 ) 12 + 132 + 220 = 364 CÁC KẾT HỢP CƠ BẢN a) Ngun lý nhân: Xét tốn giải tích kết hợp Ta giả sử nhóm kết hợp phần tử tập X xây dựng qua k bước: Bước có n1 khả Bước có n2 khả Bước k có nk khả Khi số nhóm kết hợp n1.n2 nk b) Chỉnh hợp + Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n phần tử có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần không lặp lại Một chỉnh hợp chập k n xây dựng qua k bước sau : Chọn thành phần đầu : có n khả Chọn thành phần thứ hai : có n - khả Chọn thành phần thứ k : có n - k + khả Như vậy, theo nguyên lý nhân, số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n, k ) n(n  1) ( n  k  1)  n! (n  k )! + Ví dụ 1: Tính số hàm đơn ánh từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử Giải : Mỗi hàm đơn ánh từ X vào Y tương ứng với chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Y Như số cần tìm A(n, k) = n.(n-1) (n-k+1) + Ví dụ 2:  Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Quay lại ví dụ mục trước Trong trường hợp 1, (x 1, x2, x3) chỉnh hợp chập 12 Vậy số A(12, 3) = 12.11.10 = 1320 c) Chỉnh hợp lặp + Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n xem phần tử tích Đề-các Xk, với X tập n phần tử Như số tất chỉnh hợp lặp chập k n nk + Ví dụ 1: Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với có thứ tự k thành phần n phần tử Y, phần tử lặp lại Như số hàm từ X vào Y nk + Ví dụ 2: Quay lại ví dụ mục trước Trong trường hợp 2, (x 1, x2, x3) chỉnh hợp lặp chập 12 Vậy số 123 = 1728 d) Hoán vị + Định nghĩa : Một hoán vị n phần tử cách xếp thứ tự phần tử Hốn vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp không lặp chập k n k = n Ta có số hốn vị P(n) = n! + Ví dụ: Có người xếp thành hàng ngang để chụp ảnh Hỏi bố trí kiểu khác ? Giải: Mỗi kiểu ảnh hoán vị người Vậy số kiểu ảnh 6! = 720 e) Tổ hợp + Định nghĩa: Một tổ hợp chập k n phần tử không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử tập có k phần tử n phần tử Gọi số tổ hợp chập k n phần tử C(n,k) ta có : A(n,k) = C(n,k) * k! Suy C(n,k) =  Giải tích kết hợp n! k!.(n  k )! 10 Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học + Ví dụ 1: Có n đội bóng thi đấu vịng trịn Phải tổ chức trận đấu bóng tất ? Giải : Mỗi trận ứng với tổ hợp chập n Vậy có C(n,2) trận đấu + Ví dụ 2: Quay lại ví dụ mục trước Trong trường hợp 3, (x 1, x2, x3) tổ hợp chập 12 Vậy số C(12, 3) = 12! 12.11.10  220 3!.(12  3)! 1.2.3 + Hệ : Tích k số tự nhiên liên tiếp chia hết k! Chứng minh Vì C(n,k) = (n-k+1).(n-k+2) n / k! số nguyên CÁC KẾT HỢP NÂNG CAO a) Hoán vị lặp + Ví dụ: Có viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi trắng Hỏi có cách viên bi theo hàng ngang Ta có tất chỗ trống để xếp viên bi Ta có C(9,3) khả xếp viên bi đỏ, C(6,2) khả xếp viên bi xanh, lại khả xếp viên bi trắng Theo nguyên lý nhân ta có C(9,3).C(6,2) = 9! 6! 9!  3!.6! 2!.4! 3!.2!.4! cách xếp + Định nghĩa: Hốn vị lặp hốn vị phần tử ấn định số lần lặp lại cho trước + Định lý: Giả sử tập S có n phần tử, có n phần tử kiểu 1, n2 phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi số hốn vị n phần tử S C n  n1 , n , , n k   n! n1!.n ! n k ! b) Tổ hợp lặp + Ví dụ: Giả sử ta có đầu sách : Tốn, Tin, Lý đầu sách có photocopy Hỏi có cách chọn Giải: Bài toán đặt chọn phần tử, không kể thứ tự cho phép lặp lại Mỗi cách chọn xác định số lượng loại sách Như ta biểu diễn cách chọn sau Toán Tin xxx | xx  Giải tích kết hợp Lý | x 11 Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học dấu x sách chọn dấu | phân cách loại sách Như cách chọn tương đương với tổ hợp chập (dấu |) từ phần tử Ta có số cách chọn C(8,2) = 28 + Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại + Định lý: Giả sử X có n phần tử Khi số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k) + Ví dụ: Quay lại ví dụ mục Trong trường hợp 4, (x 1, x2, x3) tổ hợp chập 12 Vậy số C(3 + 12 − 1, 3) = C(14, 3) = 14.13.12 / 1.2.3 = 364 + Ví dụ: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 10 có nghiệm ngun khơng âm ? Giải : Mỗi bội nghiệm nguyên không âm phương trình tương ứng 1-1 với cách chọn 10 phần tử, phần tử kiểu i lặp lại x i lần, i=1,…,4 Vậy số nghiệm số tổ hợp lặp chập 10 Vậy ta có số nghiệm C(10 + -1 , - 1) = C(13, 3) = 286 c) Tổ hợp lặp tổng quát + Định nghĩa: Tổ hợp lặp tổng qt chập k từ n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử thứ i lặp lại không ki lần (i=1,…,n), với k1 + … + kn ≥ k + Công thức: Gọi  tập hợp tất tổ hợp lặp chập k từ n phần tử Ta có || = C(k + n − 1, k) Ký hiệu Ai , i = 1, … n, số tổ hợp lặp  có phần tử thứ i lặp lại k i lần Như tập hợp tổ hợp lặp tổng quát \  Giải tích kết hợp n A i i 1 12 Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Suy số tổ hợp lặp tổng quát n   m C nk (k1 , , k n ) C ( k  n  1, k )      1 Ai1   Aim   m 1  1i1  i m n  Mặt khác phần tử Ai1   Aim sau loại ki1  phần tử thứ i1, … , ki  phần tử thứ im, tổ hợp lặp chập k− ( ki  ki   ki + m) Như ta có m m Ai1   Ai m C ( n   k  (ki1   kim  m), n  1)) Suy n   Cnk ( k1 , ,k n) C ( k  n  1, k )    (  1) m C ( n   k  (ki1   kim  m), n  1))  m 1  1i1  i m n  + Ví dụ: Cho bi đỏ, bi xanh bi vàng Tính số tổ hợp chập viên bi Mỗi tổ hợp tổ hợp lặp chập phần tử bi đỏ, bi xanh bi vàng, bi đỏ lặp khơng q lần, bi xanh lặp không lần, bi vàng lặp không lần Vậy số tổ hợp C33 (1,2,3) C (3   3,3  1)   C (3   (3   1),3  1)  C (3   (3   1),3  1)  C (3   (3   1),3  1)   C (5,2)  C (3,2)  C (2,2)  C (1,2) 10   6 HỆ SỐ NHỊ THỨC a) Các tính chất Với n, k  N, k ≤ n (i) C(n,k) = C(n,n-k) C(n,0) = C(n,n) = (ii) Công thức tam giác Pascal C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) (iii) Công thức giảm bậc k.C(n,k) = n.C(n-1,k-1) b) Nhị thức Newton Với n  N, x, y  C ta có (x+y)n = C(n,0).xn + C(n,1).xn-1.y + + C(n,n-1).x.yn-1 + C(n,n).yn + Hệ nhị thức Newton:  Giải tích kết hợp 13 Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học (i) C(n,0) + C(n,1) + + C(n,n) = 2n (số tập n phần tử 2n ) (ii) C(n,0) - C(n,1) + + (-1)nC(n,n) =  n2  (iii)  n2   C (n,2 j )  C (n,2 j  1) = j 0 n-1 j 0 (số tập chẵn số tập lẻ) c) Cơng thức Vandermonde Cho a,b,n  N Ta có n  C (a, k ).C (b, n  k ) C (a  b, n) k 0 CM Gọi E tập có a+b phần tử, A, B  E rời nhau, A có a phần tử B có b phần tử Khi tổ hợp chập n phần tử E kết hợp tổ hợp chập k phần tử A tổ hợp chập n−k phần tử B Từ suy cơng thức Áp dụng công thức cho a = b = n suy  Hệ quả: Với n  N ta có n  C (n, k ) C (2n, n) k 0  Giải tích kết hợp 14 ... CÁC KẾT HỢP CƠ BẢN a) Nguyên lý nhân: Xét tốn giải tích kết hợp Ta giả sử nhóm kết hợp phần tử tập X xây dựng qua k bước: Bước có n1 khả Bước có n2 khả Bước k có nk khả Khi số nhóm kết hợp n1.n2... Giải tích kết hợp Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất thống kê toán học II GIẢI TÍCH KẾT HỢP BÀI TỐN GIẢI TÍCH KẾT HỢP Trong thực tế ta thường gặp toán sau: Cho tập hữu hạn X Các phần tử X chọn... tập hợp tất tổ hợp lặp chập k từ n phần tử Ta có || = C(k + n − 1, k) Ký hiệu Ai , i = 1, … n, số tổ hợp lặp  có phần tử thứ i lặp lại k i lần Như tập hợp tổ hợp lặp tổng quát \  Giải tích kết