Xử lý ảnh số - Biểu diễn và miêu tả part 1 potx

Chu . o . ng 8 BI ˆ E ˙’ UDI ˆ E ˜ NV ` AMI ˆ EU TA ˙’ Sau khi a ˙’ nh d¯u . o . . c phˆan d¯oa . n th`anh c´ac v`ung bˇa ` ng nh˜u . ng phu . o . ng ph´ap tr`ınh b`ay trong Chu . o . ng 7, tˆa . pho . . p c´ac pixel thu . `o . ng d¯u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ n v`a miˆeu ta ˙’ o . ˙’ da . ng th´ıch ho . . p cho c´ac tiˆe ´ n tr`ınh xu . ˙’ l´y vˆe ` sau. Vˆe ` co . ba ˙’ n, c´o hai c´ach biˆe ˙’ udiˆe ˜ nv`ung: (1) biˆe ˙’ u diˆe ˜ ndu . . a trˆen c´ac d¯ˇa . c tru . ng bˆen ngo`ai (biˆen), hoˇa . c (2) du . . a trˆen c´ac d¯ˇa . c tru . ng bˆen trong v `ung (c´ac pixel ta . o th`anh v`ung). Viˆe . ccho . nphu . o . ng ph´ap biˆe ˙’ udiˆe ˜ n th´ıch ho . . p chı ˙’ l`a mˆo . t phˆa ` ncu ˙’ atiˆe ´ n tr`ınh xu . ˙’ l´y khiˆe ´ nchod˜u . liˆe . uh˜u . u ´ıch. Kˆe ´ tiˆe ´ pl`amiˆeu ta ˙’ (t ´u . c l`a t´ach c´ac d¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ av`ung) v`ung du . . a trˆen biˆe ˙’ udiˆe ˜ nd¯u . o . . ccho . n. Chˇa ˙’ ng ha . n, mˆo . t v`ung c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ nbo . ˙’ i biˆen cu ˙’ a n´o v´o . i biˆen d¯u . o . . cmiˆeu ta ˙’ bo . ˙’ i c´ac d¯ˇa . c tru . ng nhu . d¯ ˆo . d`ai biˆen, hu . ´o . ng cu ˙’ a d¯oa . n thˇa ˙’ ng nˆo ´ i c´ac d¯iˆe ˙’ mcu . . c tri . ,v`asˆo ´ c´ac cung l˜om trˆen biˆen. N´oi chung, cho . nbiˆe ˙’ udiˆe ˜ n ngo`ai khi ta muˆo ´ ntˆa . p trung v`ao c´ac d¯ˇa . c tru . ng h`ınh d´ang; v`a cho . nbiˆe ˙’ udiˆe ˜ n trong khi ta muˆo ´ ntˆa . p trung v`ao nh˜u . ng t´ınh chˆa ´ tnˆo . ita . icu ˙’ a d¯ ˆo ´ itu . o . . ng nhu . m`au sˇa ´ cv`akˆe ´ tcˆa ´ u. Trong ca ˙’ hai tru . `o . ng ho . . p, c´ac d¯ˇa . c tru . ng d¯u . o . . ccho . n d¯ ˆe ˙’ miˆeu ta ˙’ cˆa ` n ´ıt nha . yca ˙’ m nhˆa ´ td¯ˆo ´ iv´o . inh˜u . ng biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ inhu . thay d¯ˆo ˙’ ik´ıchthu . ´o . c, ti . nh tiˆe ´ n, quay. C´ac miˆeu ta ˙’ trong chu . o . ng thoa ˙’ m˜an mˆo . t hay hˆa ` uhˆe ´ t c´ac t´ınh chˆa ´ t n`ay. 8.1 C´ac phu . o . ng ph´ap biˆe ˙’ udiˆe ˜ n C´ac k ˜y thuˆa . t phˆan d¯oa . n trong Chu . o . ng 7 cho ta d˜u . liˆe . u thˆo o . ˙’ da . ng c´ac pixel do . c theo biˆen hoˇa . c c´ac pixel d¯u . o . . cch´u . a trong mˆo . tv`ung. Mˇa . cd`unh˜u . ng d ˜u . liˆe . u n`ay d¯ˆoi khi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 (b) H`ınh 8.1: C´ac hu . ´o . ng su . ˙’ du . ng trong m˜a x´ıch 4-hu . ´o . ng (a) v`a 8-hu . ´o . ng (b). d¯ u . o . . csu . ˙’ du . ng tru . . ctiˆe ´ pd¯ˆe ˙’ nhˆa . nd¯u . o . . c c´ac miˆeu ta ˙’ (chˇa ˙’ ng ha . n khi x´ac d¯i . nh kˆe ´ tcˆa ´ u cu ˙’ av`ung), trong thu . . ctˆe ´ su . ˙’ du . ng phu . o . ng ph´ap biˆe ˙’ udiˆe ˜ nd˜u . liˆe . uda . ng th´ıch ho . . pcho ph´ep gia ˙’ m khˆo ´ ilu . o . . ng t´ınh to´an khi miˆeu ta ˙’ d¯ ˆo ´ itu . o . . ng. Phˆa ` n n`ay tr`ınh b`ay mˆo . tsˆo ´ phu . o . ng ph´ap biˆe ˙’ udiˆe ˜ nv`ung. 8.1.1 M˜a x´ıch M˜a x´ıch d¯u . o . . csu . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ udiˆe ˜ n biˆen bˇa ` ng mˆo . t d˜ay liˆen tiˆe ´ p c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng (x´ac d¯ i . nh bo . ˙’ id¯ˆo . d`ai v`a hu . ´o . ng). D - ˇa . cbiˆe . t, biˆe ˙’ udiˆe ˜ n n`ay du . . a trˆen t´ınh 4- hay 8-liˆen thˆong cu ˙’ a c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng. Hu . ´o . ng cu ˙’ amˆo ˜ i d¯oa . n thˇa ˙’ ng d¯u . o . . c m˜a ho´a bˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng so . d¯ ˆo ` d¯´anh sˆo ´ nhu . trong H`ınh 8.1. C´ac a ˙’ nh sˆo ´ thu . `o . ng d¯u . o . . clu . utr˜u . v`a xu . ˙’ l´y o . ˙’ da . ng lu . ´o . i v´o . i khoa ˙’ ng c´ach bˇa ` ng nhau theo c´ac hu . ´o . ng x v`a y. M˜a x´ıch d¯u . o . . cta . o ra bˇa ` ng c´ach lˆa ` n theo biˆen, chˇa ˙’ ng ha . n theo chiˆe ` u kim d¯ˆo ` ng hˆo ` v`a g´an mˆo . thu . ´o . ng cho d¯oa . nnˆo ´ icˇa . p c´ac pixel. Phu . o . ng ph´ap n`ay c´o hai nhu . o . . cd¯iˆe ˙’ m: (1) m˜a x´ıch d¯u . o . . c xˆay du . . ng thu . `o . ng rˆa ´ t d`ai; v`a (2) bˆa ´ tk`ymˆo . t thay d¯ˆo ˙’ i nho ˙’ do . c theo biˆen do nhiˆe ˜ u hoˇa . c do phˆan d¯oa . n khˆong tˆo ´ t s˜e l`am thay d¯ˆo ˙’ i m˜a m`a khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t c´o liˆen quan d¯ˆe ´ n h`ınh d´ang cu ˙’ a d¯ u . `o . ng biˆen. D - ˆe ˙’ vu . o . . t qua kh´o khˇan n`ay, tru . ´o . chˆe ´ t ngu . `o . i ta thu . `o . ng lˆa ´ ymˆa ˜ ula . id¯u . `o . ng biˆen bˇa ` ng c´ach cho . nmˆo . tlu . ´o . iv´o . i khoa ˙’ ng c´ach l´o . nho . nnhu . trong H`ınh 8.2(a). Sau khi d¯ u . `o . ng biˆen d¯u . o . . c duyˆe . t, mˆo . td¯iˆe ˙’ m biˆen d¯u . o . . c g´an v´o . imˆo ˜ in´ut cu ˙’ alu . ´o . il´o . nnˆe ´ un´ut n`ay gˆa ` nv´o . id¯u . `o . ng biˆen c ˜unhu . H`ınh 8.2(b). D - u . `o . ng biˆen d¯u . o . . clˆa ´ ymˆa ˜ ula . i theo c´ach n`ay c´o thˆe ˙’ d¯ u . o . . cbiˆe ˙’ udiˆe ˜ nbˇa ` ng 4− hay 8−m˜a x´ıch nhu . trong c´ac H`ınh 8.2(c) v`a (d) 232 (a) • • • • • •• • • • • • •• • (b) H`ınh 8.2: (a) D - u . `o . ng biˆen v`a lˆa ´ ymˆa ˜ ula . i; (b) kˆe ´ t qua ˙’ cu ˙’ alˆa ´ ymˆa ˜ ula . i; (c) m˜a x´ıch 4-hu . ´o . ng; (d) m˜a x´ıch 8-hu . ´o . ng. tu . o . ng ´u . ng. D - iˆe ˙’ mbˇa ´ td¯ˆa ` u trong H`ınh 8.2(c) tu . o . ng ´u . ng dˆa ´ uchˆa ´ m v`a d¯u . `o . ng biˆen l`a 4-d¯u . `o . ng d¯i bˆen ngo`ai ngˇa ´ n nhˆa ´ t trong lu . ´o . icu ˙’ a H`ınh 8.2(b). Biˆe ˜ udiˆe ˜ nbiˆen trong H`ınh 8.2(c) l`a m˜a x´ıch 0033 01 v`a trong H`ınh 8.2(d) l`a m˜a x´ıch 076 12. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a m˜a x´ıch phu . thuˆo . c v`ao khoa ˙’ ng c´ach cu ˙’ alu . ´o . ilˆa ´ ymˆa ˜ ula . i. C´ac ph´ep to´an trˆen m˜a x´ıch Du . ´o . i d¯ˆay l`a mˆo . tsˆo ´ ph´ep to´an trˆen m˜a x´ıch d¯i . nh ngh˜ıa theo 8 liˆen thˆong. Dˆe ˜ d`ang mo . ˙’ rˆo . ng cho 4 liˆen thˆong (b`ai tˆa . p). 1. [Nghi . ch d¯a ˙’ o] Nghi . ch d¯a ˙’ ocu ˙’ ax´ıcha = a 1 a 2 a n l`a x´ıch a −1 = a −1 1 a −1 2 a −1 n x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i a −1 i =(a n−i + 4) mod 8,i=1, 2, ,n. Nˆe ´ ux´ıcha thuˆa . n chiˆe ` u kim d¯ˆo ` ng hˆo ` th`ı x´ıch nghi . ch d¯a ˙’ o a −1 ngu . o . . c chiˆe ` u kim d¯ ˆo ` ng hˆo ` v`a ngu . o . . cla . i. 2. [D - ˆo . d`ai cu ˙’ ax´ıch] D - ˆo . d`ai cu ˙’ ax´ıcha = a 1 a 2 a n x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i l(a):=n e + √ 2n o , trong d¯´o n e v`a n o l`a sˆo ´ c´ac gi´a tri . chˇa ˜ nv`ale ˙’ tu . o . ng ´u . ng trong d˜ay a 1 ,a 2 , a n . Gia ˙’ su . ˙’ d¯ i ˆe ˙’ m xuˆa ´ t ph´at cu ˙’ ax´ıcha ta . i pixel (x 0 ,y 0 ). Khi d¯´o to . ad¯ˆo . cu ˙’ a pixel 233 tu . o . ng ´u . ng mˇa ´ tx´ıch a i trong x´ıch a l`a x i = i  j=1 a jx + x 0 , y i = i  j=1 a jy + y 0 , trong d¯´o k´yhiˆe . u a jx v`a a jy tu . o . ng ´u . ng l`a c´ac th`anh phˆa ` ncu ˙’ a vector a i . (Chˇa ˙’ ng ha . n a i =3th`ıa jx = −1,a jy =1). 3. [D - ˆo . rˆo . ng v`a d¯ˆo . cao cu ˙’ a chu tuyˆe ´ n d¯´ong] D - ˆo . rˆo . ng w(a) v`a d¯ˆo . cao h(a)cu ˙’ a chu tuyˆe ´ n d¯´ong x´ac d¯i . nh bo . ˙’ ix´ıcha l`a w(a) = max j x j − min j x j , h(a) = max j y j − min j y j . 4. [Khoa ˙’ ng c´ach gi˜u . a hai d¯iˆe ˙’ m] X´et hai pixel p v`a q d¯ u . o . . cnˆo ´ ibo . ˙’ imˆo . t dˆay chuyˆe ` n µ tu . o . ng ´u . ng m˜a x´ıch a. Khi d¯´o khoa ˙’ ng c´ach (Euclid) gi˜u . a hai pixel n`ay l`a d(p, q)=    n  j=1 a jx  2 +  n  j=1 a jy  2   2 . Nˆe ´ ubiˆe ´ ttˆa ´ tca ˙’ c´ac to . ad¯ˆo . cu ˙’ a c´ac pixel trˆen chu tuyˆe ´ n ta c´o thˆe ˙’ t´ınh d¯u . o . . c moment cu ˙’ a chu tuyˆe ´ n. Tuy nhiˆen m˜a x´ıch cu ˙’ achutuyˆe ´ n d¯´ong khˆong cho thˆong tin h`ınh ho . cvˆe ` v`ung d¯u . o . . c gi´o . iha . nbo . ˙’ id¯u . `o . ng biˆen l`a chu tuyˆe ´ n n`ay. Ngo`ai ra c˜ung kh´o c´o thˆe ˙’ thu . . chiˆe . nd¯ˆo ´ iv´o . i c´ac ph´ep to´an co gi˜an. M˜a x´ıch cu ˙’ ad¯u . `o . ng biˆen phu . thuˆo . c v`ao d¯iˆe ˙’ m xuˆa ´ t ph´at. Tuy nhiˆen ch´ung ta c´o thˆe ˙’ chuˆa ˙’ n ho´a bˇa ` ng thu ˙’ tu . c sau: V´o . imˆo . tm˜ax´ıch c´o d¯iˆe ˙’ m xuˆa ´ t ph´at tu`y ´y, ta xem m˜a n`ay nhu . mˆo . t d˜ay kh´ep k´ın gˆo ` m c´ac sˆo ´ tu . o . ng ´u . ng v´o . ihu . ´o . ng di chuyˆe ˙’ n v`a d¯i . nh ngh˜ıa la . id¯iˆe ˙’ m xuˆa ´ t ph´at sao cho d˜ay thu d¯u . o . . ctu . o . ng ´u . ng mˆo . tsˆo ´ nguyˆen c´o gi´a tri . nho ˙’ nhˆa ´ t. Ch´ung ta c˜ung c´o thˆe ˙’ chuˆa ˙’ n ho´a d¯ˆo ´ iv´o . i ph´ep quay bˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng hiˆe . uth´u . nhˆa ´ t cu ˙’ a m˜a x´ıch thay cho m˜a ban d¯ˆa ` u. Hiˆe . u n`ay nhˆa . nd¯u . o . . cbˇa ` ng c´ach d¯ˆe ´ m (ngu . o . . c chiˆe ` u kim d¯ˆo ` ng hˆo ` )sˆo ´ c´ac hu . ´o . ng t´ach hai phˆa ` ntu . ˙’ kˆe ` nhau cu ˙’ a m˜a. Chˇa ˙’ ng ha . n, hiˆe . u d¯ ˆa ` u tiˆen cu ˙’ a m˜a x´ıch 4-hu . ´o . ng 10103322 l`a 3133030. Nˆe ´ uch´ung ta xem m˜a nhu . d˜ay kh´ep k´ın, th`ı phˆa ` ntu . ˙’ d¯ ˆa ` u tiˆen cu ˙’ ahiˆe . u ch´ınh l`a sˆo ´ lˆa ` n chuyˆe ˙’ ndi . ch cu ˙’ a c´ac th`anh phˆa ` nd¯ˆa ` utiˆen v`a cuˆo ´ ic`ung cu ˙’ a x´ıch. Do d¯´o kˆe ´ t qua ˙’ l`a 33133030. K´ıch thu . ´o . ccu ˙’ a 234 x´ıch chuˆa ˙’ n ho´a phu . thuˆo . c v`ao k´ıch thu . ´o . c trong qu´a tr`ınh lˆa ´ ymˆa ˜ u. Tˆo ˙’ ng qu´at, gia ˙’ su . ˙’ a = a 1 a 2 a n l`a m˜a x´ıch theo d−liˆen thˆong (d = 4 hoˇa . c 8) v`a b = b 1 b 2 b n l`a hiˆe . u d¯ ˆa ` u tiˆen cu ˙’ a m˜a x´ıch a. Khi d¯´o b 1 = a n − a 1 (mod d), b i = a i −a i−1 (mod d),i=2, 3, ,n. C´ac chuˆa ˙’ n n`ay chı ˙’ ch´ınh x´ac nˆe ´ u c´ac d¯u . `o . ng biˆen bˆa ´ tbiˆe ´ nv´o . i c´ac thay d¯ˆo ˙’ icu ˙’ a ph´ep quay v`a co gi˜an. Nhu . ng d¯iˆe ` u n`ay hiˆe ´ mxa ˙’ y ra trong thu . . ctˆe ´ . Chˇa ˙’ ng ha . n, c`ung mˆo . td¯ˆo ´ itu . o . . ng d¯u . o . . csˆo ´ ho´a theo hai hu . ´o . ng kh´ac nhau s˜e ta . o ra c´ac h`ınh da . ng kh´ac nhau, v´o . im´u . cd¯ˆo . sai kh´ac tı ˙’ lˆe . v´o . id¯ˆo . phˆan gia ˙’ icu ˙’ aa ˙’ nh. 8.1.2 Xˆa ´ pxı ˙’ d¯a gi´ac Mˆo . td¯u . `o . ng biˆen sˆo ´ c´o thˆe ˙’ xˆa ´ pxı ˙’ bo . ˙’ imˆo . t d¯a gi´ac v´o . id¯ˆo . ch´ınh x´ac t `uy ´y. V´o . imˆo . t d¯ u . `o . ng cong d¯´ong, xˆa ´ pxı ˙’ l`a ch´ınh x´ac khi sˆo ´ c´ac ca . nh trong d¯a gi´ac bˇa ` ng sˆo ´ c´ac d¯iˆe ˙’ m biˆen trong d¯´o mˆo ˜ icˇa . p pixel kˆe ` nhau x´ac d¯i . nh mˆo . tca . nh trong d¯a gi´ac. Trong thu . . ctˆe ´ , mu . cd¯´ıch cu ˙’ axˆa ´ pxı ˙’ d¯a gi´ac l`a gi˜u . la . i d´ang d¯iˆe . ucu ˙’ ad¯u . `o . ng biˆen v´o . isˆo ´ ca . nh d¯a gi´ac ´ıt nhˆa ´ t. B`ai to´an n`ay, n´oi chung, khˆong tˆa ` mthu . `o . ng v`a c´o thˆe ˙’ tˆo ´ n nhiˆe ` u th`o . i gian thu . . c hiˆe . nviˆe . c t`ım kiˆe ´ m. Tuy nhiˆen, phu . o . ng ph´ap biˆe ˙’ udiˆe ˜ n biˆen bˇa ` ng c´ach xˆa ´ pxı ˙’ d¯a gi´ac ph`uho . . pv´o . imˆo . tsˆo ´ ´u . ng du . ng trong xu . ˙’ l´y a ˙’ nh. C´ac phu . o . ng ph´ap ho . . p du . . a trˆen tiˆeu chuˆa ˙’ n sai sˆo ´ hay nh˜u . ng tiˆeu chuˆa ˙’ n kh´ac d¯ u . o . . c´apdu . ng v´o . i b`ai to´an xˆa ´ pxı ˙’ d¯a gi´ac. Ch´ung ta c´o thˆe ˙’ ho . . p c´ac d¯iˆe ˙’ mdo . c theo biˆen cho d¯ˆe ´ n khi d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng kh´o . p c´ac d¯iˆe ˙’ md¯u . o . . cho . . pv´o . i sai sˆo ´ b`ınh phu . o . ng nho ˙’ nhˆa ´ tvu . o . . t qu´a mˆo . t ngu . ˜o . ng cho tru . ´o . c. Khi d¯iˆe ` ukiˆe . n n`ay thoa ˙’ m˜an, c´ac tham sˆo ´ cu ˙’ a d¯ u . `o . ng thˇa ˙’ ng d¯u . o . . clu . utr˜u . , sai sˆo ´ d¯ ˇa . tvˆe ` 0, v`a thuˆa . t to´an d¯u . o . . clˇa . pla . i, ho . . p c´ac d¯iˆe ˙’ m m´o . ido . c theo biˆen cho d¯ˆe ´ n khi lˆo ˜ ila . ivu . o . . t qu´a ngu . ˜o . ng cho ph´ep. Kˆe ´ tth´uc thuˆa . t to´an, giao cu ˙’ a c´ac d¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng sinh ra c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯a gi´ac. Kh´o khˇan ch´ınh cu ˙’ a thuˆa . t to´an n`ay l`a c´ac d¯ı ˙’ nh n´oi chung khˆong tu . o . ng ´u . ng v´o . inh˜u . ng chˆo ˜ uˆo ´ n (chˇa ˙’ ng ha . n c´ac g´oc) cu ˙’ a biˆen do mˆo . td¯u . `o . ng thˇa ˙’ ng m´o . ichı ˙’ d¯ u . o . . c kho . ˙’ ita . o khi sai sˆo ´ vu . o . . t gi´a tri . ngu . ˜o . ng. Nˆe ´ uchˇa ˙’ ng ha . n, mˆo . t d¯oa . n thˇa ˙’ ng d`ai d¯i ngang qua g´oc, mˆo . tsˆo ´ (phu . thuˆo . c v`ao ngu . ˜o . ng) d¯iˆe ˙’ m qua g´oc s˜e d¯u . o . . cch´u ´y tru . ´o . c khi sai sˆo ´ vu . o . . t ngu . ˜o . ng. Tuy nhiˆen, viˆe . ct´achc`ung v´o . iho . . pc´othˆe ˙’ gia ˙’ i quyˆe ´ t kh´o khˇan n`ay. Phu . o . ng ph´ap t´ach d¯oa . n biˆen l`a chia mˆo . t d¯oa . n liˆen tiˆe ´ p th`anh hai phˆa ` n cho d¯ˆe ´ n khi thoa ˙’ tiˆeu chuˆa ˙’ n cho tru . ´o . c. V´ı du . , ta c´o thˆe ˙’ d¯`oi ho ˙’ i khoa ˙’ ng c´ach t`u . mo . id¯iˆe ˙’ m 235 . (b`ai tˆa . p). 1. [Nghi . ch d¯a ˙’ o] Nghi . ch d¯a ˙’ ocu ˙’ ax´ıcha = a 1 a 2 a n l`a x´ıch a 1 = a 1 1 a 1 2 a 1 n x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i a 1 i =(a n−i + 4) mod 8,i =1, 2, ,n. Nˆe ´ ux´ıcha. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 (b) H`ınh 8 .1: C´ac hu . ´o . ng su . ˙’ du . ng trong m˜a x´ıch 4-hu . ´o . ng (a) v`a 8-hu . ´o . ng (b). d¯ u . o . . csu . ˙’ du . ng. 8.2: (a) D - u . `o . ng biˆen v`a lˆa ´ ymˆa ˜ ula . i; (b) kˆe ´ t qua ˙’ cu ˙’ alˆa ´ ymˆa ˜ ula . i; (c) m˜a x´ıch 4-hu . ´o . ng; (d) m˜a x´ıch 8-hu . ´o . ng. tu . o . ng ´u . ng. D - iˆe ˙’ mbˇa ´ td¯ˆa ` u