Xử lý ảnh số - Khôi phục ảnh part 3 ppt

l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier r`o . ira . ccu ˙’ a f e (x). Tu . o . ng tu . . , W −1 g l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier cu ˙’ a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a g v`a k´yhiˆe . ul`aG(k),k =0, 1, ,M − 1. Bˆay gi`o . x´et ma trˆa . nbiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i D trong (5.8). Ta biˆe ´ trˇa ` ng (xem Phˆa ` n 5.2.1), c´ac phˆa ` ntu . ˙’ trˆen d¯u . `o . ng ch´eo ch´ınh cu ˙’ a D ch´ınh l`a c´ac gi´a tri . riˆeng cu ˙’ a ma trˆa . n chu tr`ınh H.Nhu . ng exp  2πi M (M −j)k  = exp  − 2πi M jk  . Do d¯´o ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t λ(k)= M−1  j=0 h e (j) exp  − 2πi M jk  . Vˆa . y D(k, k)=λ(k) v´o . i k =0, 1, ,M−1. Vˆe ´ pha ˙’ icu ˙’ aphu . o . ng tr`ınh n`ay ch´ınh l`a MH(k), trong d¯´o H(k) l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier r`o . ira . ccu ˙’ a h`am th´ac triˆe ˙’ n h e (x): H(k):= M−1  j=0 h e (j) exp  − 2πi M kj  ,k=0, 1, ,M − 1. Do d¯´o D(k, k)=MH(k). Vˆa . yPhu . o . ng tr`ınh (5.8) c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . i G(k)=MH(k)F (k), v´o . i k =0, 1, ,M−1, trong d¯´o G(k) l`a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a vector W −1 g v`a MH(k)F (k) l`a c´ac phˆa ` ntu . ˙’ cu ˙’ a vector cˆo . t DW −1 f. Vˆe ´ pha ˙’ icu ˙’ aphu . o . ng tr`ınh trˆen l`a t´ıch chˆa . pcu ˙’ a f e (x)v´o . i h e (x) trong miˆe ` ntˆa ` nsˆo ´ .Kˆe ´ t qua ˙’ n`ay chı ˙’ ra rˇa ` ng c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m khˆo ´ ilu . o . . ng t´ınh to´an do G(k),H(k)v`aF (k) l`a c´ac biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier r`o . ira . cd¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bˇa ` ng thuˆa . t to´an FFT. Ta c´o thuˆa . t to´an tu . o . ng tu . . cho mˆo h`ınh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng 2D nhu . sau. T`u . (5.5), ta c´o W −1 g = DW −1 f + W −1 n, (5.9) trong d¯´o W −1 l`a ma trˆa . ncˆa ´ p MN × MN; D l`a ma trˆa . nd¯u . `o . ng ch´eo cˆa ´ p MN × MN; H l`a ma trˆa . n khˆo ´ i chu tr`ınh cˆa ´ p MN × MN; f v`a g l`a c´ac vector trong R MN x´ac d¯i . nh bˇa ` ng c´ach xˆe ´ p c´ac h`ang cu ˙’ a f e (x, y)v`ag e (x, y)tu . o . ng ´u . ng (xem Phˆa ` n 5.2.2). Vˆe ´ tr´ai cu ˙’ a (5.9) l`a vector cˆo . tk´ıch thu . ´o . c MN. K´yhiˆe . u c´ac phˆa ` ntu . ˙’ 121 cu ˙’ a n´o l`a G(0, 0),G(0, 1), ,G(0,N−1); G(1, 0),G(1, 1), ,G(1,N−1); ; G(M − 1, 0),G(M −1, 1), ,G(M − 1,N − 1). C´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh rˇa ` ng G(u, v)= 1 MN M−1  x=0 N−1  y=0 g e (x, y) exp  −2πi  ux M + vy N  , v´o . i u =0, 1, ,M − 1,v=0, 1, ,N − 1. N´oi c´ach kh´ac G(u, v) ch´ınh l`a biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Fourier 2D r`o . ira . ccu ˙’ a g e (x, y). Tu . o . ng tu . . c´ac vector W −1 f v`a W −1 n c´o c´ac phˆa ` ntu . ˙’ tu . o . ng ´u . ng l`a F (u, v)= 1 MN M−1  x=0 N−1  y=0 f e (x, y) exp  −2πi  ux M + vy N  v`a N(u, v)= 1 MN M−1  x=0 N−1  y=0 η e (x, y) exp  −2πi  ux M + vy N  , v´o . i u =0, 1, ,M −1,v=0, 1, ,N −1. Cuˆo ´ ic`ung, H(u, v)= 1 MN M−1  x=0 N−1  y=0 h e (x, y) exp  −2πi  ux M + vy N  v`a ma trˆa . nd¯u . `o . ng ch´eo D c´o c´ac phˆa ` ntu . ˙’ x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i D(k, j)=    MNH  k N  ,k mod N  nˆe ´ u k = j, 0nˆe ´ u k = j. Phu . o . ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . ida . ng G(u, v)=MNH(u, v)F (u, v)+N(u, v) (5.10) trong d¯´o u =0, 1, ,M − 1, v`a v =0, 1, ,N − 1. Sˆo ´ ha . ng MN trong phu . o . ng tr`ınh (5.10) l`a hˆe . sˆo ´ vˆo hu . ´o . ng, do d¯´o d¯ˆe ˙’ d¯ o . n gia ˙’ n c´o thˆe ˙’ chuyˆe ˙’ n v`ao H(u, v). Khi d¯´o D(k, j)=    H  k N  ,k mod N  nˆe ´ u k = j, 0nˆe ´ u k = j v´o . i k,j =0, 1, ,MN − 1, v`a G(u, v)=H(u, v)F(u, v)+N(u, v) (5.11) 122 trong d¯´o u =0, 1, ,M−1,v =0, 1, ,N−1, v`a h`am H(u, v)d¯u . o . . c nhˆan v´o . ihˆe . sˆo ´ MN. Phu . o . ng tr`ınh (5.10) (hay (5.11)) chı ˙’ ra rˇa ` ng hˆe . MN × MN phu . o . ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe ˙’ d¯ u . avˆe ` gia ˙’ ihˆe . chı ˙’ c´o MN phu . o . ng tr`ınh! C´ac phu . o . ng tr`ınh n`ay c˜ung c´o thˆe ˙’ suy tru . . ctiˆe ´ pt`u . (5.5) do d¯i . nh l´y t´ıch chˆa . p. Tuy nhiˆen, mu . cd¯´ıch cu ˙’ ach´ung ta l`a su . ˙’ du . ng c´ac kh´ai niˆe . m ma trˆa . nd¯ˆe ˙’ d¯ i d¯ ˆe ´ nc`ung kˆe ´ t qua ˙’ -d¯iˆe ` ucˆa ` n thiˆe ´ t trong phˆa ` n sau d¯ˆe ˙’ phu . chˆo ` ia ˙’ nh. 5.3 Phu . o . ng ph´ap d¯a . isˆo ´ Nhu . d¯˜a chı ˙’ ra trong Phˆa ` n 5.1.3, mu . cd¯´ıch cu ˙’ a phu . chˆo ` ia ˙’ nh l`a x´ac d¯i . nh a ˙’ nh gˆo ´ c f t`u . a ˙’ nh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng g v´o . i c´ac gia ˙’ thiˆe ´ t cho tru . ´o . cvˆe ` H v`a n.Ch´ung ta x´et mˆo h`ınh (5.5). Ta s˜e su . ˙’ du . ng phu . o . ng ph´ap d¯a . isˆo ´ d¯ ˆe ˙’ t`ım u . ´o . clu . o . . ng ˆ f cu ˙’ a f sao cho sai sˆo ´ l`a ´ıt nhˆa ´ tv´o . i r`ang buˆo . c n`ao d¯´o. D - ˆe ˙’ d¯ o . n gia ˙’ nch´ung ta s˜e su . ˙’ du . ng phu . o . ng ph´ap b`ınh phu . o . ng tˆo ´ i thiˆe ˙’ u. 5.3.1 Khˆoi phu . c khˆong d¯iˆe ` ukiˆe . n Phu . o . ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . i n=g-Hf. Ta cˆa ` nt`ımmˆo . txˆa ´ pxı ˙’ ˆ f sao cho n 2 = g − H ˆ f 2 l`a tˆo ´ i thiˆe ˙’ u. D - ˇa . t J( ˆ f):=g − H ˆ f 2 . ´ Ap du . ng d¯iˆe ` ukiˆe . ncˆa ` ncu ˙’ acu . . c tri . ta c´o ˆ f thoa ˙’ m˜an phu . o . ng tr`ınh ∂J( ˆ f) ∂ ˆ f =0=−2H t (g −H ˆ f). Suy ra ˆ f =(H t H) −1 H t g. 123 Gia ˙’ su . ˙’ M = N v`a tˆo ` nta . i ma trˆa . n nghi . ch d¯a ˙’ o H −1 . Khi d¯´o ˆ f = H −1 (H t ) −1 H t g = H −1 g. (5.12) 5.3.2 Khˆoi phu . c c´o d¯iˆe ` ukiˆe . n Phˆa ` n n`ay x´et b`ai to´an cu . . ctiˆe ˙’ u ho´a phiˆe ´ m h`am Q ˆ f 2 v´o . i r`ang buˆo . c n=g-Hf, trong d¯´o Q l`a to´an tu . ˙’ tuyˆe ´ n t´ınh n`ao d¯´o. X´et h`am Lagrange J( ˆ f):=Q ˆ f 2 + α(g −H ˆ f 2 −n 2 ) trong d¯´o α l`a nhˆan tu . ˙’ Lagrange. Theo phu . o . ng ph´ap nhˆan tu . ˙’ Lagrange, nghiˆe . m ˆ f thoa ˙’ m˜an phu . o . ng tr`ınh ∂J( ˆ f) ∂ ˆ f =0=2Q t Q ˆ f − 2αH t (g −H ˆ f). Suy ra ˆ f =  H t H + γQ t Q  −1 H t g. (5.13) Gi´a tri . γ = 1 α d¯ u . o . . cd¯iˆe ` uchı ˙’ nh sao cho thoa ˙’ d¯ i ˆe ` ukiˆe . ns˜ed¯u . o . . cx´et sau. C´ac phu . o . ng tr`ınh (5.12) v`a (5.13) l`a co . so . ˙’ cho nh˜u . ng b`ai to´an phu . chˆo ` i trong c´ac phˆa ` n sau. Chˇa ˙’ ng ha . n, Phˆa ` n5.4s˜echı ˙’ ra Phu . o . ng tr`ınh (5.12) ch´ınh l`a phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` ibˇa ` ng lo . c ngu . o . . c. Tu . o . ng tu . . ,Phu . o . ng tr`ınh (5.13) c´o thˆe ˙’ suy ra c´ac kˆe ´ t qua ˙’ nhu . lo . c Wiener cˆo ˙’ d¯ i ˆe ˙’ nc˜ung nhu . c´ac kˆe ´ t qua ˙’ kh´ac. Vˆa ´ nd¯ˆe ` l`a cho . n ma trˆa . nbiˆe ´ nd¯ˆo ˙’ i Q th´ıch ho . . p. 5.4 Lo . c ngu . o . . c 5.4.1 D - ˇa . t b`ai to´an Tru . ´o . chˆe ´ tx´et c´ac phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` ia ˙’ nh t `u . khˆoi phu . c khˆong d¯iˆe ` ukiˆe . n trong Phu . o . ng tr`ınh (5.12). Nˆe ´ u gia ˙’ thiˆe ´ t M = N v`a su . ˙’ du . ng (5.7) th`ı Phu . o . ng tr`ınh (5.12) 124 suy ra ˆ f = H −1 g =(WDW −1 ) −1 g = WD −1 W −1 g. Do d¯´o W −1 ˆ f = D −1 W −1 g. Hay c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . i (´ap du . ng Phˆa ` n 5.2.3) ˆ F (u, v)= G(u, v) H(u, v) , (5.14) v´o . i u, v =0, 1, ,N −1. Theo (5.11), c´ac phˆa ` ntu . ˙’ H(u, v)d¯u . o . . c chia cho N 2 v`a v`ı D l`a ma trˆa . nd¯u . `o . ng ch´eo nˆen nghi . ch d¯a ˙’ o 1 H(u,v) dˆe ˜ d`ang x´ac d¯i . nh. Phu . o . ng ph´ap phu . chˆo ` ia ˙’ nh bˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng Phu . o . ng tr`ınh (5.14) thu . `o . ng go . i l`a lo . c ngu . o . . c. Kh´ai niˆe . mlo . c ngu . o . . c xuˆa ´ t ph´at t`u . chˆo ˜ coi H(u, v) l`a h`am lo . cd¯u . o . . c nhˆan v´o . i F (u, v)d¯ˆe ˙’ biˆe ´ nd¯ˆo ˙’ ia ˙’ nh suy gia ˙’ mchˆa ´ tlu . o . . ng. Biˆe ˙’ uth´u . c G(u,v) H(u,v) ch´u . a to´an tu . ˙’ lo . c ngu . o . . c. A ˙’ nh khˆoi phu . c nhˆa . nd¯u . o . . ct`u . ˆ f = F −1 (F (u, v)) = F −1  G(u, v) H(u, v)  v´o . i x, y =0, 1, ,N −1. Ch´u´yrˇa ` ng nˆe ´ u H(u, v) = 0 hoˇa . crˆa ´ t nho ˙’ ta . imˆo . tsˆo ´ d¯ i ˆe ˙’ mcu ˙’ amˇa . t phˇa ˙’ ng uv, ta c´o thˆe ˙’ bo ˙’ qua trong qu´a tr`ınh t´ınh to´an F (u, v) m`a khˆong a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng d¯´ang kˆe ˙’ d¯ ˆe ´ n kˆe ´ t qua ˙’ phu . chˆo ` i. Trong tru . `o . ng ho . . p c´o nhiˆe ˜ u, th`ı ˆ F(u, v)=F (u, v)+ N(u, v) H(u, v) . Suy ra nˆe ´ u H(u, v)bˇa ` ng 0 hoˇa . crˆa ´ t nho ˙’ ,th`ı N(u,v) H(u,v) c´o thˆe ˙’ vu . o . . t qu´a kˆe ´ t qua ˙’ khˆoi phu . c a ˙’ nh F −1  ˆ F (u, v)  . Trong thu . . ctˆe ´ , H(u, v)thu . `o . ng nho ˙’ d¯i rˆa ´ t nhanh so v´o . i khoa ˙’ ng c´ach t`u . (u, v)d¯ˆe ´ ngˆo ´ cto . ad¯ˆo . , c`on nhiˆe ˜ u gia ˙’ mv´o . itˆo ´ cd¯ˆo . chˆa . m. Trong tru . `o . ng ho . . p nhu . vˆa . y, viˆe . c khˆoi phu . ca ˙’ nh d¯u . o . . c thu . . chiˆe . n ngo`ai lˆan cˆa . ncu ˙’ agˆo ´ cd¯ˆe ˙’ tr´anh chia cho khˆong. Nˆe ´ ubiˆe ´ t tru . ´o . c H(u, v),G(u, v)v`aN(u, v) th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh lo . c ngu . o . . c theo phu . o . ng tr`ınh sau: F (u, v)= G(u, v) H(u, v) − N(u, v) H(u, v) . 125 . ˆe ´ nc`ung kˆe ´ t qua ˙’ -d¯iˆe ` ucˆa ` n thiˆe ´ t trong phˆa ` n sau d¯ˆe ˙’ phu . chˆo ` ia ˙’ nh. 5 .3 Phu . o . ng ph´ap d¯a . isˆo ´ Nhu . d¯˜a chı ˙’ ra trong Phˆa ` n 5.1 .3, mu . cd¯´ıch cu ˙’ a. nhˆa ´ tv´o . i r`ang buˆo . c n`ao d¯´o. D - ˆe ˙’ d¯ o . n gia ˙’ nch´ung ta s˜e su . ˙’ du . ng phu . o . ng ph´ap b`ınh phu . o . ng tˆo ´ i thiˆe ˙’ u. 5 .3. 1 Khˆoi phu . c khˆong d¯iˆe ` ukiˆe . n Phu . o . ng. d¯iˆe ` ukiˆe . n Phu . o . ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe ˙’ viˆe ´ tla . i n=g-Hf. Ta cˆa ` nt`ımmˆo . txˆa ´ pxı ˙’ ˆ f sao cho n 2 = g − H ˆ f 2 l`a tˆo ´ i thiˆe ˙’ u. D - ˇa . t J( ˆ f):=g − H ˆ f 2 . ´ Ap du . ng