Khai thác một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là rất phức tạp, nó rèn luyện cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo và sự khéo léo, mỗi kết quả của việc chứng minh bất đẳng thức đều được xem là rất có vai trò trong việc giải quyết hữu hiệu các nội dung khác của Toán học và các khoa học khác. Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi phân tích thông tin về bài toán và chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Tôi suy nghĩ rằng không có một công thức, một cách làm chung nào có thể giải quyết mọi dạng toán, mọi bài toán, vì như thế toán học sẽ không còn sự sáng tạo không ngừng nữa và hơn hết nó sẽ mất đi giá trị to lớn của mình điều kiện các khoa học khác.

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là rất phức tạp, nó rèn luyện cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo và sự khéo léo, mỗi kết quả của việc chứng minh bất đẳng thức đều được xem là rất có vai trò trong việc giải quyết hữu hiệu các nội dung khác của Toán học và các khoa học khác

Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi phân tích thông tin về bài toán và chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất Tôi suy nghĩ rằng không có một công thức, một cách làm chung nào có thể giải quyết mọi dạng toán, mọi bài toán, vì như thế toán học sẽ không còn sự sáng tạo không ngừng nữa và hơn hết nó

sẽ mất đi giá trị to lớn của mình điều kiện các khoa học khác

Tuy nhiên, qua quá trình dạy toán và làm toán, tôi thế rằng có rất nhiều bài toán

có vẻ như tách rời và không liên quan đến nhau, nhung khi giải toán xong các bài toán tôi phát hiện ra nguồn gốc của chúng về cơ bản là giống nhau và chúng đều được xuất phát từ một bài toán ban đầu nào đó rất cơ bản

Chính vì vậy tôi bắt đầu từ những bài toán đó và tìm các khai thác chúng qua những hướng khác nhau nhằm tạo ra những bài toán mới thuộc cùng “họ” với bài toán ban đầu Việc làm toán này đối với giáo viên sẽ rất có tác dụng trong việc sáng tạo ra những bài toán nhằm kiểm tra sự sáng tạo của học sinh, còn đối với các

em học sinh thì tìm hiểu vấn đề này sẽ phát triển trí tuệ và sự sáng tạo của mình qua đó có thể làm tốt hơn những bài toán chứng minh bất đẳng thức

Trong sáng kiến này tôi không tham lam khai thác nhiều bài toán và cũng không có ý cho rằng hai bài toán mà tôi khai thác sẽ tạo ra hai “họ” bài, toán chứng minh bất đẳng thức đủ rộng để bao quát toàn bộ mảng bất đẳng thức trong chương trình toán THPT Tôi chỉ suy nghĩ rằng nếu chúng ta tìm được càng nhiều bài toán gốc và khai thác chúng theo cách mà tôi trình bày sau đây thì viêc chứng minh bất đẳng thức sẽ trở nên linh hoạt hơn và do đó các chuyên đề khác chứ không chỉ chuyên đề bất đẳng thức cũng sẽ được khai thác tương tự

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (NỘI DUNG)

A Bài toán cơ bản 1

Đề bài: cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:

a b c

b  c  a    .

Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương

Tương tự :

2 2

b

b c

2 2

c

c a

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều 1, 2,3 ta được

a b c

b  c  a   

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra

2

2

2

a b b b

c c a a





1 Khai thác bài toán nhờ đặc biệt hóa

Bài toán 1.1: Cho a,b,c >0 và a+b+c= 2014.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

Lời giải:

Dựa vào phần chứng minh bài toán cơ bản 1 ở trên ta suy ra T ≥a+b+c

Mà a+b+c = 2014  giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2014 đạt được khi

2014

a b c

a b c

 

  

2014 3

a b c

Bài toán 1.2 : cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC thỏa mãn:

a b c

b  c  a    (*)

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

* Nhận xét: bài toán 1.2 chính là bài toán được tạo ra từ bài toán cơ bản 1 khi xét

trường hợp dấu “=” xảy ra

Lời giải:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC  a,b,c >0

Dựa vào bài toán cơ bản 1 ta có:

a b c

b  c  a    (**)

Từ giả thuyết (*) suy ra dấu “=” ở bất đẳng thức (**) phải xảy ra

 a = b = c  tam giác ABC là ∆ đều

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC có ha, hb, hc là độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C

Chứng minh rằng :

b c a

*Nhận xét : bài toán 1.3 xuất phát từ bài toán cơ bài1 khi ta thay

Lời giải :

Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của ∆ABC ứng với các đường cao ha, hb, hc Theo bài toán cơ bản 1 ta có

a b c

b  c  a   

Mà theo công thức tính diện tích tam giác

Thay vào ta có đpcm

Bài toán 1.4: cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

SinA Sinb SinC

*Nhận xét:

Bài toán 1.4 xuất phát từ bài toán cơ bản 1 khi ta thay a = 2R.Sin A, b = 2R.Sin B, c = 2R.Sin C

* Lời giải:

Theo bài toán cơ bản 1/ với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC

Ta có:

a b c

b  c  a   

Theo định lý Sin trong tam giác

Thay vào ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra SinA = SinB = SinC  A B C  

  tam giác ABC đều

2 Khai thác bài toán bằng cách xét bài toán tương tự

Bài toán 1.5:

Cho a, b, c >0 chứng minh rằng

a b c

b c  a   

*Nhận xét: bài toán 1.5 thực ra bắt nguồn từ bài toán cơ bản 1, chỉ có một chút

thay đổi nhỏ là số mũ ở tử và mẫu của vế trái đều tăng lên 1 đơn vị nhưng vẫn đảm

bảo nguyên tắc “Số mũ của tử” –“số mũ của mẫu” ≥ “số mũ của vế phải” Do đó cách giải sẽ tương tự bài toán 1 cơ bản

Lời giải: áp dụng BĐT cô si cho ba số dương

Tương tự

3

b

3

c

Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ở trên 

a b c

b c  a    (đpcm).

3

a

Dấu “=” xảy ra 

3

b

c    a b c 

3

c

Bài toán 1.6: cho a,b,c >0 chứng minh rằng

*Nhận xét:

Cũng giống như bài toán 1.5, bài toán 1.6 vẫn đảm bảo nguyên tắc “Số mũ của tử” –“số mũ của mẫu” ≥ “số mũ của vế phải”

Lời giải:

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương

Tương tự

3 2

2b 3b c

3 2

2c 3c a

Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ở trên ta được:

b c a    (đpcm).

Dấu “=” xảy ra 

3 2

3 2

3 2

a b b b

c c c a





3 Khai thác bài toán theo hướng khái quát hóa

Bài toán 1.7 cho x1, x2,….xn>0, nN, n≥3

Chứng minh rằng:

1 1

n

*Nhận xét: bài toán 1.7 thực ta là bài toán cơ bản 1 khi ta tăng số biến lên n biến Lời giải:

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương

Tương tự

2 2

2 3 3

2

x

…………

1 1

2

n

n

x

Cộng n vế bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra  x1 = x2 = …xn

Bài toán 1.8:

Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng n N:

a b c

Hướng dẫn:

Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương

Tương tự

1

( 1)

n

n

b

c



1 ( 1)

n

n

c

a



Cộng từ vế 3 BĐT cùng chiều ta được đpcm

Bài toàn 1.9:

Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:

n n n

Hướng dẫn:

Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương

Tương tự

1 ( 1)

n

n n

b

c



1 ( 1)

n

n n

c

a



Cộng từ vệ 3 BĐT ta có đpcm Dấu “=” xảy ra  a= b = c

Bài toán 1.10: cho tam giác ABC có ha, hb, hc là độ dài 3 đường cao tương ứng kẻ

từ A, B, C r là bán kình đường tròn nội tiếp ∆ABC

Chứng minh rằng:

1

b c a

a b c

*Nhận xét: bài toán 1.10 xuất phát từ bài toán cơ bản 1 khi ta thay

Và a+b+c = 2P = 2S

r

B Bài toán cơ bản 2

Cho A,B,C >0 và a.b.c = 1

Chứng minh rằng: a3+b3+c3 ≥ a+b+c

Lời giải:

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương

a3 +1+1 ≥3a a3≥3a – 2 tương tự

b3≥3b – 2

c3≥3c – 2 cộng từng vế 3 BĐT cùng chiều ta được

a3+b3+c3 ≥ (3a+3b+3c – 6)  a3+b3+c3 ≥ (a+b+c) + [2(a+b+c) - 6]

cũng theo BĐT cô si, ta có

3 3

2(a+b+c) ≥6

2(a+b+c)-6 ≥0

a3+b3+c3 ≥ a+b+c (ddpcmđpcm) Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1

1 Khai thác bài toán nhờ đặc biệt hóa

Bài toán 2 1: Cho a, b, c >0 và a.b.c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

a b c



 

Lời giải: theo bài toán cơ bản 2 ta có: a3b3 c3≥ a+b+c mà a+b+c >0



T

a b c

Đạt được khi a= b = c = 1

Bài toán 2.2 : cho x, y , z  R thỏa mãn x+y +z = 0 chứng minh rằng :

8x +8y +8z ≥2x +2y +2z Lời giải :

Dặt Đặt a = 2x, b = 2x , c = 2z và a.b.c = 2x+y+z = 20 = 1

Theo bài toán cơ bản 2

 a3+b3+c3 ≥ a+b+c

8x +8y +8z ≥2x +2y (đpcm) Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 0

2 Khai thác bài toán theo hướng tương tự bài toán 2.3 :

Cho a, b, c >0 và a.b.c = 1

Chứng minh rằng: a3 b3c3≥ a2+b2+c2

Lời giải:

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương

a b c ≥3a3 2a3 ≥3a2-1 Tương tự

2b3 ≥3b2-1 2c3 ≥3c2-1 Cộng từng vế 2 (a3b3 c3)≥2(a2 b2 c2) + (a2 b2 c2-3)

Cũng theo BĐT cô si: a2 b2 c2 ≥33 a b c 2 2 2 3

a2 b2 c2-3 ≥ 0

2(a3 b3c3)≥2(a2 b2 c2)

a3b3 c3≥a2 b2 c2 (đpcm) Dấu “=” xảy ra  a = b= c = 1

Bài toán 2.4 Cho a, b , c >0 và a.b.c = 1 chứng minh rằng

a5 +a5+a5 ≥a3b3c3 Lời giải

a5 +a5+a5 +1+1 ≥5.a3 3.a5 ≥5.a3 – 2 Tương tự:

3.b5 ≥5.b3 – 2 3.c5 ≥5.c3 – 2 Cộng từng vế ta được

3(a5 +a5+a5 )≥3(a3b3c3) + [2( a3b3 c3)-6]

Lại theo bất đẳng thức cô si

a b c ≥33 a b c 2 2 2 3

2(a2 b2 c2) - 6 ≥0

3(a5 +a5+a5 )≥3(a3 b3 c3)đpcm

3 Khai thác bài toán theo hướng khái quát hóa

Bài toán 2.5 Cho a, b, c>0, a.b.c = 1 chứng minh rằng

an + bn +cn≥an-1 + bn-1 +cn-1, nN, n≥2

Lời giải:

Áp dụng BĐT cô si cho n số dương

an + an + …an + 1≥n.an-1

 (n-1)an ≥ n.an-1 - 1

Tương tự

(n-1)bn ≥ n.bn-1 – 1 (n-1)cn ≥ n.cn-1 – 1 Cộng từng vế ta được

(n-1).(an + bn +cn)≥(n-1).(an-1 + bn-1 +cn-1) + (an-1 + bn-1 +cn-1 -3) Lại theo BĐT cô si

Ta có:

an-1 + bn-1 +cn-1 ≥33 a b c n 1 n 1 n 1 3



 an-1 + bn-1 +cn-1 -3 ≥0

 (n-1).(an + bn +cn)≥(n-1).(an-1 + bn-1 +cn-1 ) (đpcm) Dấu “=” xảy ra a = b = c =1

4 Khai thác bài toán theo hướng làm cho BĐT mạnh lên, giả thiết nhẹ đi Bài toán 2.6:

Cho x,y,z >0 và x + y + z = 3

Chứng minh rằng

3

Lời giải :

Ta có :

Mà theo BĐT cô si cho 3 số dương

x

tương tự

1 ( 1)

y

y

1 ( 1)

z

z

Cộng từng vế ta được

x y z

Mà x+y+z= 3

Dấu “=” xảy ra  x= y = z = 1

Bài toán 2.7 :

Cho x, y , z >0 và x+y+z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T =

y z  x z  x y Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương

3

Tương tự

x z





x y



 Cộng từng vế



2

x y z

Mà x+y+z = 3 

2

y z  x z  x y 

GTNN của T là 3

2 đạt được khi x = y =z= 1

III KẾT LUẬN

Trải qua thực tế công tác giảng dạy toán phổ thông tôi nhận thất học sinh vẫn có tâm lý “sợ” phải chứng minh bất đẳng thức và vẫn còn lúng túng khi phân tích giả thuyết và tìm hướng giải một số bài chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên sau khi tôi trình bày sáng kiến này của mình trên một số lớp 10 ban A, tôi nhận thất các em học sinh đã có những dấu hiệu tiếp thu rất tích cực : các em cso hứng thú làm các bài chứng minh bất đẳng thức hơn, khi đối diện một bài chứng minh bất đẳng thức các em đã chủ động phân tích để tìm ra “nguồn gốc” của bài toán ; các em cố gắng sử dụng phương pháp “ quy lạ thành quen”… Và hơn hết các em

đã không còn tâm lý e dè, “ngại” chứng minh bất đẳng thức như trước kia nữa Điều này làm cho tôi càng có niềm tin vào việc cần phải khai thác những bài toán theo hướng khác nhau để sáng tạo ra, hoàn thiện hơn chuyên môn của mình

Trên đây là ý kiến của tôi về vấn đề “khai thác một số bài toán chứng minh bất đẳng thức” và nó không ngoài mong muốn sẽ mang đến cho cả người dạy toán

và học toán một phương pháp tư duy về chứng minh bất đẳng thức Do kinh nghiệm chưa có nhiều nên bài viết của tôi không tránh khỏi khiếm khuyết, mặc dù tôi đã rất cố gắng sắp xếp, trình bày cấu trúc của bài viết nhằm làm nổi bật ý đồi của mình Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo trong tổ

bộ môn và của hội đồng sư phạm nhà trường để ý tưởng của tôi hoàn thiện hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn./

Bình Lục, Ngày 10 tháng 04 năm 2014

Người viết

Trần Bá Duy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bất đẳng thức của Phan Đức Chính

2 Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng

3 SGK Đại số 10 Nâng cao của Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan

4 Bất đẳng thức chuyền đề luyện thi vào đại học của Trần Văn Hạo