Hóa đại cương - Chương 3, 4 pdf

Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang Hoạt động của GV và SV Nội dung bài dạy Dựa vào hàm sóng và các điều kiện về hàm sóng hãy nêu nội dung của tiên đề về hàm sóng? - Mô tả đầy đủ mỗi trạng thái của một hệ lượng tử, ta dùng hàm sóng hay hàm trạng thái ( ) q ψ , là một hàm xác định của toạ độ q. Hàm này nói chung là phức, đơn trị, hữu hạn, liên tục, khả vi. Bình phương mođun hàm đó cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử ở trạng thái tại một điểm có toạ độ q trong không gian ứng với khoảng xác định của hàm này. Bài 1: TIÊN ĐỀ VỀ HÀM SÓNG I. Nội dung - Mỗi trạng thái đầy đủ của một hệ lượng tử được mô tả đầy đủ bằng một hàm ( ) ,q t ψ - là hàm xác định toạ độ khái quát q và thời gian t - được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái. Hàm sóng ( ) ,q t ψ không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, song bình phương mođun của hàm đó ( ) 2 ,q t ψ , cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử tại một thời điểm trong không gian có toạ độ q ở thời điểm t. Hàm ( ) 2 ,q t ψ được gọi là hàm mật độ xác suất. - Điều kiện hàm sóng: + Hàm ( ) ,q t ψ nói chung là hàm số phức + Hàm ( ) ,q t ψ phải là hàm đơn trị + Hàm ( ) ,q t ψ phải hữu hạn, có giá trị trong một khoảng xác định [a,b] + Hàm ( ) ,q t ψ phải là hàm liên tục + Hàm ( ) ,q t ψ phải là hàm khả vi II. Sự chuẩn hoá hàm sóng - Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng: dP ∫ = ( ) 2 , 1 q t dV ψ = ∫ Nếu hàm này là hàm phức thì: ( ) ( ) * .dP q q dV ψ ψ = Xác suất tìm thấy hệ lượng tử trong cả không gian quy định bởi [a,b] * ( ). ( ) 1q q dV ψ ψ = ∫ - Ngoài ra hàm sóng còn phải thoả mãn điều kiện trực giao. Có các hàm: f 1 , f 2 …f i , f j … Hai hàm f i , f j được gọi là Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang trực giao với nhau nếu chúng thoả mãn điều kiện: * . 0 j i f f dV = ∫ - Hệ hàm vừa là các hàm chuẩn hóa vừa là các hàm trực giao gọi là hệ hàm trực chuẩn. Kí hiệu gộp lại là: * ij 1 . 0 j i khi i j f f dV khi i j δ ≡   = =   ≠   ∫ 3. Nguyên lí chồng chất trạng thái - Nếu một hệ lượng tử ở vào trạng thái được mô tả bởi hàm sóng ( )q ψ thì trạng thái đó cũng có thể được mô tả bởi hàm sóng c. ( )q ψ , với c là hằng số thừa số. - Nếu một hệ lượng tử có thể ở vào trạng thái được mô tả bởi hàm sóng 1( )q ψ hoặc vào trạng thái được mô tả bởi hàm sóng 2( )q ψ thì hệ lượng tử đó có thể được mô tả bởi hàm sóng ( )q ψ mà: ( )q ψ =c 1 . 1( )q ψ + c 2 . 2( )q ψ c 1 , c 2 được gọi là các hệ số tổ hợp hàm sóng. Tổng quát: ( )q ψ =c 1 . 1( )q ψ +c 2 . 2( )q ψ +c 3 . 3( )q ψ +c 4 . 4( )q ψ +…+ c i . ( )i q ψ +… Bài 2: TIÊN ĐỀ VỀ TOÁN TỬ Hoạt động của GV và SV Nội dung bài dạy Toán tử là một quy tắc, một phép toán mà khi nó tác dụng vào một hàm sẽ thu được một hàm mới Toán tử kí hiệu: µ A , ta có: I. Nội dung của tiên đề Tương ứng với mỗi đại lượng vật lí A của hệ lượng tử, ở vào trạng thái được mô tử bởi hàm ( ) q ψ , có một toán tử tuyến tính Hecmit µ A . Trị trung bình A hay A của đại lượng A đó được tính theo biểu thức Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang µ ( ) A f g= Khi có µ ( ) .A f a f= (1) f: là hàm riêng của toán tử µ A , a : trị riêng của toán tử µ A với hàm riêng f (1): là phương trình hàm riêng trị riêng Ví dụ: Biết rằng một vi hạt chuyển động với vận tốc v thì biểu thức động năng 2 1 2 T mv= ur r , xung lượng P mv= ur r , biểu thức các toán tử thành phần xung lượng là µ x P i = h d dx ; µ y P i = h d dy ; µ z P i = h d dz Hãy thiết lập biểu thức của toán tử động năng µ T ? µ * * A dV A A dV ψ ψ ψ ψ = = ∫ ∫ Hay kí hiệu Đirăc: µ A A A ψ ψ ψ ψ = = II. Các toán tử Hecmit thường dùng trong hoá học lượng tử - Toán tử toạ độ: r r - Toán tử xung lượng: P ur ( P ur = m v r ) - Toán tử momen động lượng: ¶ M uur ( M uur = P ur . r r ) - Toán tử năng lượng: + Thế năng: µ ( ) ( ) U r hayU u r r + Động năng: µ T - Toán tử Hamintơn: µ µ µ H T U= + . Đây là toán tử quan trọng nhất. III. Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái của hệ lượng tử 1. Hai toán tử giao hoán µ µ ,A B là hai hoán tử tuyến tính Hecmit. Hai toán tử đó được gọi là giao hoán tử với nhau khi giao hoán tử của chúng bằng 0 µ µ µ µ µ µ , 0A B AB BA   = − =   Hai toán tử giao hoán có chung nhau những hàm riêng và trị riêng tương ứng đồng thời ở trạng thái mô tả bởi hàm riêng chung đó Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang 2. Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái của hệ lượng tử. a. Hai toán tử giao hoán Hai toán tử giao hoán có chung nhau những hàm riêng và trị riêng tương ứng đồng thời xác định ở trạng thái được mô tả bởi hàm riêng đó. b. Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lí của hệ lượng tử có trị xác đinh đồng thời ở một trạng thái là hai toán tử Hecmit tương ứng với hai đại lượng đó giao hoán với nhau BÀI 3. TIÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH SROĐINGƠ HẠT CHUYỂN ĐỘNG TỰ DO TRONG HỘP THẾ CHỮ NHẬT MỘT CHIỀU Hoạt động của GV và SV Nội dung bài dạy ? Thế nào là trạng thái dừng? - Trạng thái dừng là trạng thái mà năng lượng của hệ không phải là một hàm số của thời gian t ? Nhắc lại toán tử Hamnitơn I. Phương trình Srođingơ -Tiên đề: Khi một hệ lượng tử ở trạng thái dừng, trạng thái mà toán tử Haminton không phụ thuộc tường minh vào thời gian t, giữa toán tử Hamintơn của hệ , hàm sóng → )(r ψ mô tả trạng thái của hệ và năng lượng toàn phần electron có liên hệ: )(.)( →→∧ = rErH ψψ <1> <1>: phương trình hàm riêng, trị riêng Ta lại có : ),,( →→→→ zyxr viết gọn (x,y,z) = ∧ T         ++− 2 2 2 2 2 22 2 dz d dy d dx d m  Thế năng U có tương ứng toán tử ),,( zyxU → => = ∧ H         ++− 2 2 2 2 2 22 2 dz d dy d dx d m  + ),,( zyxU thay vào <1> Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang - Điều kiện của giếng thế một chiều? - Thay biểu thức và giải phương trình Srođingơ? - Phương trinhg vi phân tuyến tính bậc hai: ( ) ),,(. zy,x, U dz d dy d dx d 2m - 2 2 2 2 2 22 zyx ψ       +         +  = E. ),,( zyx ψ ↔ ),,(. 2 2 2 2 2 2 zyx zyx ψ         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ( ) ),,(.),,( 2 zyxzyxUE m ψ −  =0 ↔ 2 ∇ . ),,( zyx ψ + ( ) ),,(.),,( 2 zyxzyxUE m ψ −  =0  Phương trình Srođingơ II. Hạt chuyển động tự do trong hộp thế chữ nhật một chiều - Xét hộp thế cao vô hạn, bề rộng của hộp thế OA = L - Chọn chiều sâu của hộp thế là Ox -> hàm sóng sẽ là hàm của biến x : )(x ψ -> phạm vi hạt chuyển động : 0 < x < L Khi x = 0 => )(x ψ = )0( ψ = 0 Khi x = L => )(x ψ = )(L ψ = 0 -> Là hai điều kiện biên của bài toán Thế năng U(x) =        ≥≤∞ << Lxxkhi Lxkhi ;0 00 Trong phạm vi hộp thế năng = 0 ∧∧∧ += UTH = 2 22 . 2 dx d m T − = ∧ Phương trình Srođingơ: ψψ EH = ∧ ↔ 2 22 . 2 dx d m − . )(x ψ = E. )(x ψ ↔ 2 2 )( dx xd ψ + )( 2 2 xE m ψ  = 0 => )( " x ψ + )( 2 2 xE m ψ  = 0 (*) Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh x O L Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang '' ( )x ψ +k 2 ( )x ψ = 0 Có nghiệm: ( )x ψ = a.coskx + b.sinkx - Xét sự phụ thuộc hàm sóng vào số lượng tử n. - Khi nào hàm sóng triệt tiêu? - Mối liên hệ giữa E 1 , E 2 , E n Đặt k 2 = E m 2 2  => k=  mE2 (*) => " ( )x ψ +k 2 ( )x ψ = 0 Có nghiệm: ( )x ψ = a.coskx + b.sinkx Dựa vào điều kiện biên ( )x ψ = )(L ψ =0 =b.sinkL =0  kL = nπ => k =n. L π n: là số nguyên 1,2,3… Mặt khác hàm sóng )(x ψ có 1)( 2 0 = ∫ dxx L ψ => x L n L x n )sin( 2 )( π ψ = Vậy E n = 2 222 2mL n  π Vậy việc giải phương trình Srođingơ xuất hiện thông số n n: số lượng tử - Xét n ψ theo n n = 1 -> ψ 1 cực đại tại x = 2 L n = 2 -> ψ 2 có 2 cực trị; tại x = 4 L và x = 4 3L n = 3 -> ψ 3 có 3 cực trị; tại x= 6 L ; x= 6 5L ; x= 2 L Ba hàm mật độ xác suất tương tứng với 3 hàm sóng. - Hàm sóng )(x n ψ triệt tiêu tại điểm nút. - Số điểm nút này = (n-1) (không kể hai nút biên) - Điểm nút là một đặc trưng chỉ riêng hệ lượng tử mới có - Khi : n = 1 -> E 1 Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh E 2 E 1 E 3 ψ 3 ψ 2 ψ 1 x x x |ψ 3| 2 |ψ 2| 2 |ψ 1| 2 Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang Từ đó có nhận xét gì? Năng lượng có liên tục không? - Thế nào là sự suy biến năng lượng? Nhiều hàm khác nhau có cùng giá trị năng lượng. n = 2 -> E 2 = 2 2 E 1 = 4 E 1 n = 3 -> E 3 = 3 2 E 1 = 9 E 1 E n = n 2 E 1 Năng lượng E n có giá trị gián đoạn Năng lượng E của hệ bị lượng tử hoá theo số lượng tử Với mỗi trị riêng, năng lượng E n có duy nhất một hàm riêng )(x n ψ => hệ này không có sự suy biến năng lượng. VI. Rút kinh nghiệm bài dạy: CHƯƠNG III: MỘT SỐ TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 4 tiết (2 lí thuyết , 2 bài tập) Ngày soạn: 12/10/2010 Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang Ngày giảng: 25/10/2010-29/10/2010 I. Mục tiêu bài giảng Sau khi học chương này học sinh cần nắm được: 1. Kiến thức - Tiên đề về hàm sóng và nguyên lí chồng chất trạng thái - Tiên đề về toán tử - Tiên đề về phương trình Srođingơ - Bài toán hạt chuyển động tự do trong hộp thế hình chữ nhật một chiều 2. Kĩ năng - Tính toán, giải phương trình Srođingơ 3. Thái độ tình cảm - Lòng yêu thích bộ môn II. Chuẩn bị - GV: giáo án, giáo trình - SV: bài soạn, vở III. Phương pháp giảng dạy - Dạy học tiên đề - Thuyết trình IV. Nội dung bài giảng CHƯƠNG IV: HỆ MỘT ELECTRON MỘT HẠT NHÂN MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 9 tiết (6 lí thuyết, 3 bài tập) Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang Ngày soạn: 12/10/2010 Ngày giảng: 01/11/2010-12/11/2010 I. Mục tiêu bài giảng Sau khi học xong chương này cần nắm được: 1. Kiến thức - Hệ một hạt nhân, một electron: hàm riêng, trị riêng - Khái niệm AO nguyên tử và các vấn đề liên quan - Hàm mật độ xác suất , mây electron, cách biểu diễn hình ảnh AO - Spin electron, hàm sóng toàn phần mô tả trạng thái 1 electron - Bộ bốn số lượng tử - Quang phổ vạch hiđro 2. Kĩ năng - Giải phương trình Srođingơ ( phương trình hàm riêng trị riêng) - Biểu diễn được hàm sóng đầy đủ - Biểu diễn hình ảnh mây electron 3. Thái độ tình cảm - Thấy được sự phát triển của các thuyết hoá học - Lòng ham mê khoa học, yêu thích bộ môn hoá học II. Phương pháp - Phương pháp dạy học nêu vấn đề - Phương pháp đàm thoại gợi mở - Phương pháp thuyết trình, kèm theo giải thích minh hoạ - Phương pháp luyện tập III. Chuẩn bị - GV: Giáo án, giáo trình - SV: chuẩn bị bài, giáo trình IV. Nội dung bài giảng Hoạt động của GV và SV Nội dung bài dạy - Hệ toạ độ Đecac? Bài 1: MỞ ĐẦU I. Hệ toạ độ cầu 1. Hệ toạ độ Đecac Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang Ba trục Ox, Oy, Oz ứng với các biến số x, y, z 2. Hệ toạ độ cầu - Có 3 biến số , ,r θ ϕ r Góc θ : tạo bởi Oz với vị trí r ; θ được gọi là góc kinh tuyến Góc ϕ : tạo bởi Ox và hình chiếu của r r xuống mặt phẳng xOy; ϕ được gọi là góc vĩ tuyến Độ dài vectơ r r : r r= r - Trị số của các biến số: 0 < θ < π ; 0 < ϕ < 2 π ; 0< r < ∞ 3. Mối liên hệ Giữa tọa độ Đêcac và tọa độ cầu có liên hệ: sin sin x r cos y r sin z rcos θ ϕ θ ϕ θ = = = II. Trường lực đối xứng xuyên tâm 1. Khái niệm - Trường lực được gọi là trường lực đối xứng xuyên tâm hay chính tắc nếu lực tác dụng vào một vật chuyển động trong trường đó đi qua một điểm cố định được chọn làm tâm của trường và độ lớn của lực tác dụng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ vị trí của vật đến đến tâm của trường chứ không phụ thuộc vào phương. - Thế năng chỉ là hàm của | r r |; nghĩa là: U = U(r) 2. Định luật bảo toàn Một hạt chuyển động trong trường lực đối xứng xuyên tâm với vận tốc v r thì: v r a. Năng lượng toàn phần E được bảo toàn, tức là: E = T+U = const b. Vectơ momen động lượng M uur cũng được bảo toàn, nghĩa là: .M r p const   = =   uur r ur Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh [...]... AO- d: phức tạp: cánh hoa… - AO có phần dấu (-) (+) Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang n=2, E2 , k =4 đó là: 2s, 2px, 2py, 2pz 4 Sự suy biến năng lượng n =3, E3, k=9 đó là:3s, 3px, 3py, 3pz, - Hiện tượng một trị riêng năng lượng có đồng thời một 3dxy, 3dyz,3dxz,3dx2-y2, 3dz2 số hàm riêng khác nhau được gọi là sự suy biến năng n =4, E4,... : 4s, 4px, lượng 4py,4pz, 5AO d+ 9 AO f - Số hàm riêng ứng với cùng một trị riêng năng lượng được gọi là bậc suy biến hay độ suy biến - Mô tả trạng thái chuyển động của e - Kí hiệu: k cần những số lượng tử nào? Giá trị? - Năng lượng En có độ suy biến n2 + Hàm sóng spin + Giá trị ms= ± 1/2 IV Spin electron Hàm AO spin GV: - Xác định trạng thái chuyển 1 Spin eletron động của e cần những số lượng tử -. .. nhất là trạng thái cơ bản - Cùng trị riêng năng lượng E n, ta có bộ ba số lượng tử Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang là n, l, ml - Số lượng tử chính n: số lớp hay số thứ tự của chu kỳ n =1 - Biết lớp electron M ứng với n =3 Lớp Hãy: K Chu kỳ:1 2 3 4 5 M N O P 2 3 4 5 a Tính các số lượng tử l, m l có thể - Trị số l dùng để chỉ phân... một AO - Một phân lớp có (2l+1) AO 3dyz,3dxz,3dx2-y2 - Một lớp có n2 AO 3 Hình dạng AO r ( ) - Hình dạng của một AO nguyên tử ψ r là bề mặt ứng với một giá trị hằng định của hàm mật độ xác suất tương r ( ) ứng ψ r 2 mà trong đó tỉ lệ lớn hơn 90% Xác suất tìm GV: Tìm độ suy biến k ứng với các thấy electron giá trị của n=1, 2, 3, 4 Trong mỗi + AO- s: hình cầu trường hợp nếu có suy biến hãy chỉ + AO- p:... eV l = 1, 2, 3, 4, …(n-1) c Nhận xét khi nào E min? ml= 0, ± 1, ± 2,…, ± (n-1) ( ml: số lượng tủ từ AO) ( l: số lượng tử phụ) - Khi giải phương trình bán kính thu được n, số lượng tử chính n = 0, 1, 2, …, nguyên E=− 4 mZ 2 e0 2n 2 h2 m: khối lượng một e e0: điện tích cơ sở Z: điện tích hạt nhân - Khi Z cố định, En đạt cực tiểu nếu n thấp nhất Khi n cố định, En càng thấp nếu Z càng lớn - Trạng thái mà... λ32 = 65663 A0 ; 42 = 48 61A0 phóng ra một năng lượng Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang VD: Tính RH: hằng số Rytbe từ a Các số liệu hằng số b Thực nghiệm cho biết vạch đỏ có bước sóng 6565A0 c λ ∆E = Ec − Et = hν = h 4 c 2π 2 m.e0  1 1  =  2− 2÷ λ h2  nt nc  4 1 2π 2 m.e0  1 1  ⇒ =  − ÷ λ c.h3  nt2 nc2  h 4 2π 2 m.e0 RH =... l 3 Kết luận µ - Lời giải chính xác phương trình Srođingơ Hψ = Eψ Nêu kết luận về lời giải cho hệ một electron một hạt nhân có điện tích hạt nhân phương trình Srođingơ? r Ze0 thu được hàm riêng ψ n ,l ,m r - nói chung là hàm - l ( ) phức- và trị riêng tương ứng là năng lượng En = − 4 m.Z 2 e0 cùng bộ ba số lượng tử 2.n.h2 II Quang phổ hiđro - Mô tả quang phổ nguyên tử hiđro? 1 Mô tả - Một dãy các vạch... các vạch phổ rời nhau Các vạch phổ rời nhau - Giải thích sự xuất hiện các là dấu hiệu đặc trưng của quang phổ hiđro - quang phổ của nguyên tử hiđro? 2 Giải thích En = − 4 m.Z 2 e0 ( Với n =1) 2.n.h2 n nhỏ, năng lượng thấp Et - Từ những dữ kiện sau đây thuộc n lớn, năng lượng cao Ec phổ phát xạ của hiđro Hãy xác định Et = − λ31 ; 41 4 2π 2 m.e0 2π 2 m.e 4 ; Ec = − 2 2 0 nt2 h 2 nc h Ec > Et: khi e... R2r2 được gọi là hàm phân bố xác suất theo bán kính ( độc lập theo góc) - Một số hình ảnh hàm cầu và hàm mật độ xác suất Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang tương ứng - Một số hình ảnh bán kính R nl(r), hàm phân bố mật độ xác suất theo bán kính tương ứng R2r2 - Từ đó ta tính được xác suất có mặt của e trong không gian quanh hạt nhân,... Rn,l(r) 3/ 2 4( n − l − 1)!  z   2 Zr Rnl (r ) = − ÷  2 3  n 4 ( n + 1) !  a0   na 0     − zr na 2l +1  2Zr  0 ÷.e L ÷ ÷ n +1 na  0  Dấu - : R trở lên dương khi r bé , gần hạt nhân n, l : số lượng tử chính và số lượng tử AO Z: số đơn vị điện tích hạt nhân a0 = 0,53 A0  2Zr  L ÷ : đa thức Laghe n +1 na  0 2 l +1 Khoa Tự Nhiên – Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh Hóa học đại cương . 3d z 2 n =4, E 4 , k=16 đó là : 4s, 4p x , 4p y ,4p z , 5AO d+ 9 AO f - Mô tả trạng thái chuyển động của e cần những số lượng tử nào? Giá trị? + Hàm sóng spin + Giá trị m s = ± 1/2 GV: - Xác định. xuất hiện thông số n n: số lượng tử - Xét n ψ theo n n = 1 -& gt; ψ 1 cực đại tại x = 2 L n = 2 -& gt; ψ 2 có 2 cực trị; tại x = 4 L và x = 4 3L n = 3 -& gt; ψ 3 có 3 cực trị; tại x= 6 L ;. 3 hàm sóng. - Hàm sóng )(x n ψ triệt tiêu tại điểm nút. - Số điểm nút này = (n-1) (không kể hai nút biên) - Điểm nút là một đặc trưng chỉ riêng hệ lượng tử mới có - Khi : n = 1 -& gt; E 1 Khoa