chuyên đề về tam giác

chuyên đề về tam giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh t...

www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến ( BCD ) Giải: ∆ABC vuông A Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: z D A ( 0; 0; ) , B ( 3; 0; ) , C ( 0; 4; ) , D ( 0; 0; ) Phương trình mặt phẳng ( ΒCD ) : x y z + + =1 4 ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = A Khoảng cách từ A đến ( BCD ) d  A, ( BCD )  =   −12 2 +3 +3 = C y 12 34 x B Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác SABC cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) Giải: Gọi O hình chiếu S ( ABC ) ⇒ Ο trọng tâm ∆ABC Gọi I trung điểm BC a a a = ⇒ OA = , OI = 2 a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A  ; 0;  , S ( 0; 0; h )     Ta có AI = BC www.MATHVN.com ( h, a > ) Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com  a   a a   a a   a a h  a a h ⇒ I− ; 0;  , B  − ; ;0 , C − ;− ;0, M− ; ;  , N − ;− ;        12   12  6    2         ah 5a  ⇒ n( AMN ) =  AM, AN  =  ; 0;      24    a2  ⇒ n( SBC ) =  SB,SC  =  −ah; 0;        ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n( AMN ) n( SBC) = ⇒h= a ⇒ S ∆AMN = 1 a 10 AM, AN  =  2 16 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ∆ABC vng C, SA ⊥ ( ABC ) , CA = a, CB = b, SA = h Gọi D trung điểm AB Tính cosin góc ϕ AC SD Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) Giải: Trong ( ABC ) vẽ tia Ax ⊥ AC Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , C ( 0; a; ) , S ( 0; 0; h ) b a  ⇒ Β ( b; a; ) , D  ; ;  2  www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Tính cosin góc ϕ AC SD AC = ( 0;a; )  Ta có:  b a  SD =  ; ; − h  2    ⇒ cos ϕ = AC.SD AC.SD = a a + b + 4h 2 Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD )  BC,SD  BS   d ( BC,SD ) = =  BC,SD  a + 4h    AC,SD  AS   d ( AC,SD ) = =  AC,SD    hb b + 4h Ví dụ 4: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm M Gọi I hình chiếu trọng tâm G ∆ABC ( BCM ) Chứng minh I trực tâm ∆BCM GI cắt d N Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc Chứng minh AM.AN không đổi M di động d Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: a a  a a  A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , M ( 0; 0; m ) , C  ; ;0 ⇒ G ; ;0 2      2  www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh I trực tâm ∆BCM  BC ⊥ MA Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( GIA )  BC ⊥ GI z M ⇒ BC ⊥ AI Tương tự MC ⊥ BI ⇒ I trực tâm ∆BCM Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc a Ta có: BC = − 1; − 3; ( ) A ( MC = a;a 3; −2m y I ⇒ ( AMI ) : x − 3y = G ) x B ⇒ ( BGI ) : ax + a 3y − 2mz − a = C N d  x − 3y =  GI = ( AMI ) ∩ ( BGI ) =  ax + a 3y − 2mz − a =  N ∈ d ⇒ N ( 0; 0; n ) N ∈ GI ⇒ n = −  a2 a2  ⇒ N  0; 0; −    2m 2m   ā BC.MN = 0, BM.CN = 0, BN.BM = Vậy BC ⊥ MN, BM ⊥ CN, BN ⊥ CM Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc AC = 2OB , BC = 2OA Vẽ OM ⊥ AC M, ON ⊥ BC N Chứng minh MN ⊥ OC Tính cos MON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD tan OCA + MN = AB Giải: OA + OC2 = AC  Ta có:  ⇒ 4OB2 − OA = 4OA − OB2 ⇒ OA = OB 2 OB + OC = BC  Đặt OA = a = OB ⇒ ΟC = a ( Chọn trục hệ tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C 0; 0; a www.MATHVN.com ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh MN ⊥ OC ( AC = −a 1; 0; − ) Phương trình tham số AC : x = a + t  ( t ∈ » ) ⇒ Μ a + t; 0; − 3t y =   z = − 3t ( OM ⊥ AC ⇒ OM.AC = ⇔ t = − ) a  3a a 3 ⇒ M  ; 0;  , BC = −a 0;1; −     Phương trình tham số x =  BC :  y = a + t ( t ∈ » )   z = − 3t ( ( ⇒ Ν 0; a + t ; − 3t ) ) ON ⊥ BC = ON.BC = ⇒ t = −  3a a  a ⇒ N  0; ;  ⇒ MN.OC = ⇒ MN ⊥ OC     Tính cos MON : cos MON = OM.ON = OM.ON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD + tan OCA MN = AB Đặt β = OCD, α = OCA,OC ⊥ ( OAB ) ⇒ OC ⊥ OD  OD  tan β = OC' a tan β  OD   OD = AB = ,⇒  ⇒ =  = OA 2 OA  tan α   tan α =  OC  3a MN tan β MN = = ⇒ + =1 AB a tan α AB Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy a đường cao SH = h Mặt phẳng ( α ) qua AB ( α ) ⊥ SC Tìm điều kiện h để ( α ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Tính h theo a để ( α ) chia hình chóp thành hai phần tích www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Hy ⊥ HA a  Chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho: H ( 0; 0; ) , A  ; 0;  , S ( 0; 0; h )      a a   a −a  ⇒ B − ; ;0 , C − ; ;0         Tìm điều kiện h để ( α ) cắt z S cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Ta có: SC = − a ; 3a; 6h ( K ) ⇒ ( α ) : a 3x + 3ay + 6hz − a = C B Phương trình tham số x = a 3t  SC :  y = 3at (t ∈ » ) z = h + 6ht  SC ∩ ( α ) ⇒ t = H I Ò −6 h + a 2 x A 12a + 36h  a 3 − 3ah 3a − 18ah 18a h ⇒ K ; ;  12a + 36h 12a + 36h 12a + 36h  K ∈ SC ⇔ zC < zK < zS ⇔ < 18a h 12a + 36h     a Cách 1: S ∆ABK = 1 3a h AB,AK  =   a + 3h Cách 2: a a  Gọi I trung điểm AB ⇒ I  ; ;  ⇒ IK ⊥ SC, IK ⊥ AB  12    SC,SI  3ah 3a h   IK = = ⇒ S ∆ABK = IK.AB = SC 2 a + 3h a + 3h 2 Tính h 10 www.MATHVN.com y Nguyễn Phú Khánh (α) www.MATHVN.com chia hình chóp thành hai phần tích K trung điểm SC 3a a + 12h 2 = ⇔h=a 12 Khi đó: ∆CAB = ∆SAB ⇒ SA = SB = a ⇒ IC = IS ⇔ 2a a + ⇒ SC = a 3 ⇒ Chóp SABC Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu nội tiếp SABC trùng SC2 = SH2 + CH = Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A B với AB = a Trong ( P ) lấy điểm C, ( Q ) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD d  A, ( BCD )  theo a   Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) , D ( a; a; ) Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = a = 2βa   B, C, D ∈ S ⇒ a = γa  2a = 2αa + 2β a  C  a α =  a a  ⇒ β = ⇒ R = 2  a  γ =  n( BCD ) =  BC, BD  = a ( 0;1;1)   ⇒ ( BCD ) : y + z − a = ⇒ d  A, ( BCD )  =   a z ā A Δ B y x D BÀI TẬP TỰ LUYỆN www.MATHVN.com 11 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài tập 2: Cho tứ diện SABC ∆ABC vng A có AC = a, BC = a , SB = a , SB ⊥ ( ABC ) Qua B vẽ BH ⊥ SA, BK ⊥ SC ( H ∈ SA, K ∈ SC ) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) Tính diện tích ∆BHK Tính góc ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O ( ABC ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC 1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 Gọi α , β , γ góc mặt phẳng ( OAB ) , ( OBC ) , ( OAC ) với mặt ā phẳng ( ABC ) Chứng minh cos α + cos2 β + cos γ = Bài tập 4: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a đơi vng góc OH ⊥ ( ABC ) H Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu H lên mặt ( OBC ) , ( OAC ) , ( OAB ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng minh tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = a , OC = c ( a,c > ) Gọi D đỉnh đối diện O hình chữ nhật OADB, M trung điểm BC mặt phẳng ( α ) qua A M cắt ( OCD ) theo đường thẳng vng góc AM Gọi E giao điểm ( α ) với OC Tính OE Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB 12 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp ( S ) OABC Tính bán kính r ( S ) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh góc ( NOM ) ( OMP ) vuông = + a b c2 Bài tập 7: Trên tia Ox, Oy, Oz vng góc đơi lấy điểm A, B, C 2 cho OA = a, OB = b, OC = c Gọi H, G trực tâm, trọng tâm ∆ABC Tính OH, OG S ∆ABC theo a, b, c Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C Bài tập 8: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm S,SA = h Tính d  A, ( SBC )  theo a h   Đường thẳng ∆ ⊥ ( SBC ) trực tâm H ∆SBC, chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ∆ cắt d S' Tính h theo a để SS' nhỏ Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vng cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi D trung điểm AC ) Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) Mặt phẳng ( α ) qua A vng góc SC, ( α ) cắt SC SB M N - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 15: Cho ∆ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với ( ABC ) O lấy điểm S cho OS = 2a ( BSA ) ( SAC ) lấy điểm I Đặt OI = m ( < m < a ) Mặt phẳng ( α ) Tính góc cosin ϕ góc Trên đoạn OH qua I vng góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a AH ⊥ SB H, AK ⊥ SC K Chứng minh HK ⊥ SC www.MATHVN.com 13 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Gọi I = HK ∩ BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( α ) có góc vuông xOy M, N di động cạnh Ox, Oy cho OM + ON = a Trên đường thẳng vng góc với ( α ) O lấy điểm S cho OS=a Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn Khi thể tích SOMN lớn nhất, tính: - d O, ( SMN )    - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( 0; 2a; ) , a 3a   3a  S ( 0; 0; 3a ) , E  ; 0;  , F  0; a;     2 Chứng minh H trung điểm SD a  a Ta có: FE =  ; −a;  = ( 1; −2; )   z S ) Phương trình tham số  x = t  FE :  y = a − 2t ( t ∈ » )  3a z =   3a  H ∈ FE ⇒ AH =  t; a − 2t;    FE ⊥ AH ⇒ t = 2a  2a a 3a  ⇒ H ; ;  ,  5  SH.BC = ⇒ SH ⊥ BC F H E A C y D B x SD ⊥ BC ( BC ⊥ AD, BC ⊥ SA )  Mà  ⇒ H ∈ SD ⇒ H trung điểm SD EF SH ⊥ BC   4a 2a  đường trung bình ∆SBC ⇒ D  ; ;   5  14 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Ta có BC ⊥ ( SAD ) ⇒ FE ⊥ ( SAD ) FE song song với BC ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD ( 4; 2;15 )( 2;1; )  ⇒ cosϕ= cos AD, AH ⇔ cosϕ = =  SAD ) ∩ ( AEF ) = AH 16 + + 224 + + (  ) ( Tính thể tích hình chóp A.BCFE Ta có VASEF = 1 a3 AS, AE  AF = , VASBC = AS.AB.AC = a   6 Vậy VA.BCEF = VASBC − VASEF = Chú ý: S ∆SEF = 3a 1 a3 S ∆SBC ⇒ VASEF = VASBC = 4 Bài tập 2: Trong ( ABC ) , vẽ Bx ⊥ BA Ta có: AB = BC − AC = a ⇒ ∆BAS vuông cân B ⇒ H trung điểm SA Chọn hệ trục tọa độ  a a 2 Bxyz: B ( 0; 0; ) , A 0; a ; , S 0; 0; a , C a; a 2; , H  0; ;    2   Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) z ( ) ( ( Ta có: SC = a 1; 2; − ) ( ) ) ) S Phương trình tham số x = t  SC :  y = t (t ∈ » )  z = a − 2t ( ⇒ K t; 2t; a − 2t H K ) BK ⊥ SC ⇔ BK.SC = ⇔ t = A B y  2a 2a 3a  ⇒ K ; ;    5   BH.SC = ⇒ ΒΗ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) x Tính diện tích ∆BHK : S ∆BHK = C 1 a 13 BH, BK  =  2 10 www.MATHVN.com 15 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com ( SC ⊥ HK Ta có SC ⊥ ( BHK ) ⇒  ⇒ BKH = KB,KH SC ⊥ KB ( ) ⇒ cos KB,KH = ) KB.KH = KB.KH Bài tập 3: Chọn hệ trục Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn z Ta có AB.AC = a > ⇒ BAC góc nhọn C Tương tự ABC, ACB góc nhọn Vậy ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) H x y z + + = ⇔ bcx + acy + abz − abc = a b c O OH ⊥ ( ABC ) ⇒ u OH = n ( ABC ) = ( bc; ac; ab ) Phương trình tham số  x = bct  OH :  y = act ( t ∈ » )  z = abt  B D A ) x Thay x, y, z vào phương trình ( ABC ) ta được: (b c 2 ) + a c + a b t = abc ⇒ t = abc 2 b c + a c2 + a b2   ab2 c a bc a b2 c ⇒ H ; ;   a b2 + a c + b2 c a b + a c + b c a b2 + a c + b2 c     a2 −ab2 − ac ; bc ; b c AH = 2 2 2  a b +a c +b c ⇒ b2  BH = ac ; −a b − bc ; a c  a b2 + a c + b2 c  AH.BC =  AH ⊥ BC  ⇒ ⇒ ⇒ H trực tâm ∆ABC  BH.AC =  BH ⊥ AC  1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 −abc a b2 + b c + c a OH = d  O, ( ABC )  = ⇒ =   OH a b2 c a b + b2 c + c a ( ( 16 ) ) www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Mà + + = + OA OB2 OC2 a b2 1 1 ⇒ = + + 2 OH OA OB OC + = c2 b2 c + a c + a b2 a b2 c Chứng minh cos α + cos β + cos2 γ =   Nhận xét: cos α = cos ( OAB ) , ( ABC )  = cos  n( OAB ) , n( ABC )        Gọi Gọi n = n( ABC ) = ( bc; ac; ab ) , n1 = n( OAB ) = k = ( 0; 0;1) , n = n ( OBC ) = i = ( 1; 0; ) , n = n ( OAC ) = j = ( 0;1; ) ( ) ( ) ( ⇒ cos α + cos β + cos2 γ = cos2 n1 ,n + cos2 n , n + cos2 n , n = a b2 b2 c + a c + a b + b2 c b2 c + a c + a b2 + a2c2 b2 c + a c + a b2 ) =1 Vậy cos α + cos β + cos2 γ = Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H  ; ;   3 3 a a  HC1 ⊥ ( AOB ) ⇒ C1  ; ;  3  H  a a a a A1 =  0; ;  , B1  ; 0;  3  3 3 y O B  a  ⇒ HA1 =  − ; 0;  ,   C1  a   a HB1 =  0; − ;  , HC1 =  0; 0; −   3   a3 ⇒ VHA B C = 1 162 Chứng minh tứ diện SABC S x A Ta có AB = AC = BC = a www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 2  a a a  4a   a   a  O trung điểm SH ⇒ S  − ; − ; −  ⇒ SA =   +   +   = a 3 3     3 3 Tương tự SB = SC = a ⇒ SA = SB = SC = AB = AC = BC = a Vậy tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 )  a2 a2  a a  a a A1 B1 =  ; − ;  , A1C1 =  ; 0; −  ⇒  A1 B1 , A1C1  =  ; ;    9  3  3  3   a a a Mà OH =  ; ;  ⇒  A1 B1 , A1C1  / / OH  3 3  Vậy OH ⊥ ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:  a c O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B 0; a 2; , C ( 0; 0; c ) ⇒ M  0; ;    2  Tính OE z Gọi I tâm C OADB, G = CI ∩ AM ⇒ G ( ) trọng tâm ∆ABC a a c ⇒ G ; ;  3 3   E ∈ OC ⇒ E ( 0; 0; e ) ) M E G Ta có: ( α ) ∩ ( OCD ) = EG ⇒ ΟΕ = K O ⇒ EG.AM = c  c ⇒ e = ⇒ Ε  0; 0;  3  A c B I x D Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) ( ) a n( α ) =  AM,EG  = − c 2; −c; 3a ⇒ ( α ) : c 2x − cy + 3a 2z − ac =    ⇒ d C , ( α ) =  2ac 18a + 3c Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB Trong ( OCD ) gọi K = EG ∩ CD ⇒ Thiết diện tứ giác AKME 18 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Do www.MATHVN.com CE CG = = nên: EG / /OD ⇒ EK / /OD ⇒ G trung điểm EK CO CI ⇒ S AKME = 2S ∆AEM = EG.AM = a 6a + c Bài tập 6: Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Tính bán kính r ( S ) z VIOAB + VIOBC + VIOCA + VIABC = VOABC C r abc + S ∆OBC + S ∆OCA + S ∆ABC ) = (S ∆OAB 2 S ∆ABC = a b + b2 c + a c 2 r 2 2 2  abc  ab + bc + ca + a b + b c + a c  = 6  abc r= ab + bc + ca + a b2 + b c + a c 2  b c a c a b  Ta có: M  0; ;  , N  ; 0;  , P  ; ;  2 2   2 2  bc ac ab  n( OMN ) =  OM,ON  =  ; ; −  ,    4   bc ac ab  n( OMP ) = OM,OP  =  − ; ; −     4  Giả thiết, suy n( OMN ) n( OMP ) = ⇔ − M N O B P ) A x 1 b2 c a c a b = + + + =0 ⇔ 2 16 16 16 a b c2 Bài tập 7: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) www.MATHVN.com 19 y Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com z Tính OH, OG S ∆ABC theo C a, b, c a b c G  ; ;  ⇒ OG = a + b2 + c  3 3 2 a b + b2 c + c a S= AB ⊥ CH Ta có:  AB ⊥ OC H O ⇒ AB ⊥ ( OCH ) ⇒ ΑΒ ⊥ ΟΗ B Tương tự: AC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d O, ( ABC )    ( ABC ) : bcx + acy + abz − abc = x ⇒ OH = A abc 2 a b + b2 c + a c 2 Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C ) Ta có: AB.AC = ( −a; b; )( −a; 0; c ) = a > ⇒ cos A = AB.AC > ⇒ A nhọn AB.AC Tương tự B, C nhọn  2S ∆ABC sin A = 2S  AB.AC Ta có:  ⇒ tan A = ∆ABC ⇒ a tan A = 2S ∆ABC AB.AC cos A = AB.AC  AB.AC  Tương tự cho b2 tan B = c tan C Bài tập 8: Gọi I trung điểm AB Trong ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Ta có: CI = a a a  Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , S ( 0; 0; h ) ⇒ C  ; ;0 2    20 www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh z S A D I H x y C B Tính d  A, ( SBC )  theo a h   ( ) Gọi D = BC ∩ Ay ⇒ D 0; a 3; ⇒ ( SBC ) ≡ ( SBD ) ah ⇒ ( SBC ) : h 3x + hy + a 3z − ah = ⇒ d  A, ( SBC )  =   3a + 4h Chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ) Gọi ( α ) ≡ ( S, ∆ ) , ( β ) ≡ ( B, ∆ ) Ta có: ( α ) ⊥ BC, ( β ) ⊥ SC ( SH ⊥ BC, ∆ ⊥ BC, BH ⊥ SC, ∆ ⊥ SC ) ( ) ( ) a 1; − 3; , SC = a;a 3; −2h ⇒ ( α ) : x − 3y = 0, ( β ) : a ( x − a ) + a 3y − 2hz = 2 x − 3y =  ⇒ (∆) :  a ( x − a ) + a 3y − 2hz =  ∆ qua điểm cố định h thay đổi  a x = x − 3y =   a a  a  ⇔ z = ⇔ y = ⇒ ∆ qua G  ; ;  cố định 2    x − 3y = a z =   Tính h theo a để SS' nhỏ BC = − Ta có: S' ∈ d ⇒ S' ( 0; 0; s' ) ,S' ∈ ∆ ⇒ −2hs'− a = ⇒ s' = − www.MATHVN.com a2 2h 21 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh  a2  a2 a2 ⇒ S'  0; 0; − ≤2 h =a  ⇒ SS' = h +   2h  2h 2h  ⇒ SS'min = a ⇔ h = a2 a ⇔h= 2h Bài tập 11: Trong mặt phẳng ( ABC ) , vẽ Ay ⊥ AB ( Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S 0; 0; a ) a a  ⇒ D ; ;0 2  Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) (  BS = −a 1; 0; −  Ta có:   BC = a ( 0;1; )  d  A, ( SBC )  =   −a = ) ⇒ n( SBC ) = ( ) ; 0; ⇒ ( SBC ) : 2x + z − a = a , d  D, ( SBC )  =   a −a 2 = a 6 Vậy, khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) ( ) ( ) ) Ta có: SC = a 1;1; − ⇒ n α = 1;1; − ⇒ ( α ) : x + y − 2z = x = a + t  Phương trình tham số SB :  y = ( t ∈ » ) qua B u = BS  z = − t a a a   2a a a 2 ⇒ a + t + 2t = ⇒ t = − ⇒ N  ; 0;  ⇒ M trung điểm SC ⇒ M  ; ;    2 2  3     - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC  2a 2a  a a 2 2a < ⇒ Ν thuộc cạnh SB M Ta có NS.NB =  − ; 0;  ; 0; − =−     3   trung điểm cạnh SC Vậy ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN VSAMN = 22  a a a    2a 1 1 a  a3 AS, AM  AN =  0; 0; a ,  ; ;    ; 0; =  2     6   18     ( ) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) ) ( AM ⊥ SC MA.MN Ta có ( AMN ) ⊥ SC ⇒  ⇒ ϕ = MA,MN ⇒ cos ϕ = = MA.MN MN ⊥ SC Bài tập 15: Gọi D trung điểm AB ⇒ OD ⊥ OH AH = a 4a a ⇒ BC = ⇒ ΟD = BC = 3  a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , D  ; 0;  , H ( 0; a; ) , S ( 0; 0; 2a )    2a   2a  ⇒ A ( 0; −a; ) , B  ; a;  , C  − ; a;      Tính góc cosin ϕ góc z ( BSA ) ( SAC ) S Vẽ BE ⊥ SA E ⇒ CE ⊥ SA ⇒ ϕ = BEC P SA = ( 0; a; 2a ) = a ( 0;1; ) Phương trình tham số x =  SA :  y = −a + t ( t ∈ » ) z = 2t  E φ N Q O A Phương trình mặt phẳng ( BCE ) : y − a + 2z = ⇒ −2a + t + 4t = ⇒ t = C ) I x 2a H y D M B   2a 8a 4a  ; ;−  EB =    3a 4a    ⇒ E  0; − ;  ⇒  ⇒ cos ϕ = cos EB,EC = 5   17  2a 8a 4a   EC =  − ; ;−      - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x ) ( Ta có I ( 0; m; ) , OH = a ( 0;1; ) ⇒ ( MNPQ ) : y − m = AB = (1; 2a ) 3; , AC = − (1; − 2a ) 3; , SB = ( 2; a ) 3; −2 , SC = − www.MATHVN.com a ( 2; − 3; 23 ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh x = t  a+m  Phương trình tham số AB :  y = −a + 3t ( t ∈ » ) ⇒ M  ; m;    z =  x = t   −a − m  Phương trình tham số AC :  y = −a − 3t ( t ∈ » ) ⇒ N  ; m;    z =  x = 2t   2m  Phương trình tham số SB :  y = 3t ( t ∈ » ) ⇒ Q  ; m; 2a − 2m     z = 2a − 3t  x = 2t    Phương trình tham số SC :  y = − 3t ( t ∈ » ) ⇒ P  − 2m ; m; 2a − 2m      z = 2a + 3t −3m + 2am + a S MNPQ =  MQ,MP + MQ,MN  =    2 ) ( ( ) ( ) - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Cách 1: Bảng xét dấu: ) m a −∞ −3m + 2am + a − +∞ 4a −∞ ⇒ S MNPQ ≤ 8a 3 ( −∞ Vậy SMNPQ 8a ) max = 3 m = a Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: S MNPQ (   a   (a − m ) +  m +     a 8a  = (a − m )  m +  ≤  =   3 3      ⇒ SMNPQ 24 8a ) max = 3 ⇔ a − m = m + a ⇔ m = a 3 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 20: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S ( 0; 0; a ) Chứng minh HK ⊥ SC SB = ( −a; 0; a ) = −a (1; 0; −1) z SC = ( −a; −a; a ) = −a ( 1;1; −1) S Phương trình tham số x = a + t  SB :  y = (t ∈ » ) z = − t  R H ∈ SB ⇒ H ( a + t; 0; −t ) H AH ⊥ SB ⇔ AH.SB = a a a ⇒ t = − ⇒ H  ; 0;  2 2  Phương trình tham số x = t  SC :  y = t ( t ∈ » ) z = a − t  y A I B C x 뿠  a a 2a  ⇒ K ( t; t; a − t ) AH.SC = ⇒ K  ; ;  3 3  a  a a a ⇒ HK =  − ; ;  = − ( 1; −2; −1) ⇒ HK.SC = 6  a a Chú ý: ∆SAB vuông cân A ⇒ H trung điểm SB ⇒ H  ; 0;  2 2 Chứng minh B trung điểm CI  a x = + t  Phương trình tham số HK :  y = −2t ( t ∈ » )  a z = − t   x1 + xC = 2a = 2x B a a  Ta có: I = HK ∩ ( ABC ) ⇒ − t = ⇔ t = ⇒ I ( a; −a; ) ⇒  y1 + yC = = 2y B 2  z + z = = 2z C B  www.MATHVN.com 25 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Vậy B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) SC ⊥ AK ( gt )  Ta có:  ⇒ SC ⊥ ( AHK ) SC ⊥ HK ( cmt )  ( ) ) ( ⇒ n( AHK ) = ( 1;1; −1) ⇒ sin ϕ = cos SB,SC = cos nSB , n( AHK ) = Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi J ( x0 ; y0 ; z0 ) suy phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z2 − 2x0 x − 2y0 y − 2z0 z + d = d = a2 a2 a2 a  A, B, C, S ∈ ( S ) ⇒   a a a  ⇒ R = + + = 4 J  ; ;     a Bài tập 21: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , M ( m; 0; ) , N ( 0; n; ) , S ( 0; 0; a ) , Vậy J trung điểm SC R = ( m, n > 0; m + n = a ) Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn S 썠 VSOMN z am+n a3 = amn ≤   = 6  24 a3 a ⇔m=n= max 24 2 Khi thể tích SOMN lớn a   a  M  ; 0;  , N  0; ;  2    ⇒ ( VSOMN ) = O - d  O, ( SMN )    ( SMN ) : 2x + 2y + z − a =   ⇒ d  O, ( SMN )  = a = a 2 + 2 + 12 - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN x M Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = 26 www.MATHVN.com N y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh  a2  a  − αa = α = 4    a2 a a   M, N, S ∈ ( S ) ⇒  − β a = ⇒ β = ⇒ R = α + β2 + γ = 4   a a − γa =   γ =    Chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° Đặt α = OSM, β = OSN, γ = MSN  SM,SN  m a + n 2a + m n   = = sin γ = SM.SN SM.SN m2 + a2 n2 + a2 2S ∆SMN ( )( ) OM m OS a = = , cos α = 2 SM SM m +a m + a2 ON n OS a sin β = , cos β = = = 2 SN SN n +a n + a2 sin α = ⇒ cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = (m ( a − mn + a2 )( n + a2 ) ) Mặt khác: m a + n a + m n = a m + n + m n 菠τ ( = a ( m + n ) − 2mn  + m n = a − 2a mn + m n = a − mn     ⇒ sin γ = cos ( α + β ) = (m a − mn + a2 )( n + a2 ) ) ⇒ γ + α + β = 90° www.MATHVN.com 27 ... tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C... vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP... 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H  ; ;   3 3 a a  HC1 ⊥ ( AOB