1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

chuyên đề về tam giác

23 399 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 496,52 KB

Nội dung

chuyên đề về tam giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh t...

www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến ( BCD ) Giải: ∆ABC vuông A Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: z D A ( 0; 0; ) , B ( 3; 0; ) , C ( 0; 4; ) , D ( 0; 0; ) Phương trình mặt phẳng ( ΒCD ) : x y z + + =1 4 ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = A Khoảng cách từ A đến ( BCD ) d  A, ( BCD )  =   −12 2 +3 +3 = C y 12 34 x B Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác SABC cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) Giải: Gọi O hình chiếu S ( ABC ) ⇒ Ο trọng tâm ∆ABC Gọi I trung điểm BC a a a = ⇒ OA = , OI = 2 a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A  ; 0;  , S ( 0; 0; h )     Ta có AI = BC www.MATHVN.com ( h, a > ) Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com  a   a a   a a   a a h  a a h ⇒ I− ; 0;  , B  − ; ;0 , C − ;− ;0, M− ; ;  , N − ;− ;        12   12  6    2         ah 5a  ⇒ n( AMN ) =  AM, AN  =  ; 0;      24    a2  ⇒ n( SBC ) =  SB,SC  =  −ah; 0;        ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n( AMN ) n( SBC) = ⇒h= a ⇒ S ∆AMN = 1 a 10 AM, AN  =  2 16 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ∆ABC vng C, SA ⊥ ( ABC ) , CA = a, CB = b, SA = h Gọi D trung điểm AB Tính cosin góc ϕ AC SD Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) Giải: Trong ( ABC ) vẽ tia Ax ⊥ AC Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , C ( 0; a; ) , S ( 0; 0; h ) b a  ⇒ Β ( b; a; ) , D  ; ;  2  www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Tính cosin góc ϕ AC SD AC = ( 0;a; )  Ta có:  b a  SD =  ; ; − h  2    ⇒ cos ϕ = AC.SD AC.SD = a a + b + 4h 2 Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD )  BC,SD  BS   d ( BC,SD ) = =  BC,SD  a + 4h    AC,SD  AS   d ( AC,SD ) = =  AC,SD    hb b + 4h Ví dụ 4: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm M Gọi I hình chiếu trọng tâm G ∆ABC ( BCM ) Chứng minh I trực tâm ∆BCM GI cắt d N Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc Chứng minh AM.AN không đổi M di động d Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: a a  a a  A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , M ( 0; 0; m ) , C  ; ;0 ⇒ G ; ;0 2      2  www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh I trực tâm ∆BCM  BC ⊥ MA Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( GIA )  BC ⊥ GI z M ⇒ BC ⊥ AI Tương tự MC ⊥ BI ⇒ I trực tâm ∆BCM Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc a Ta có: BC = − 1; − 3; ( ) A ( MC = a;a 3; −2m y I ⇒ ( AMI ) : x − 3y = G ) x B ⇒ ( BGI ) : ax + a 3y − 2mz − a = C N d  x − 3y =  GI = ( AMI ) ∩ ( BGI ) =  ax + a 3y − 2mz − a =  N ∈ d ⇒ N ( 0; 0; n ) N ∈ GI ⇒ n = −  a2 a2  ⇒ N  0; 0; −    2m 2m   ā BC.MN = 0, BM.CN = 0, BN.BM = Vậy BC ⊥ MN, BM ⊥ CN, BN ⊥ CM Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc AC = 2OB , BC = 2OA Vẽ OM ⊥ AC M, ON ⊥ BC N Chứng minh MN ⊥ OC Tính cos MON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD tan OCA + MN = AB Giải: OA + OC2 = AC  Ta có:  ⇒ 4OB2 − OA = 4OA − OB2 ⇒ OA = OB 2 OB + OC = BC  Đặt OA = a = OB ⇒ ΟC = a ( Chọn trục hệ tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C 0; 0; a www.MATHVN.com ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh MN ⊥ OC ( AC = −a 1; 0; − ) Phương trình tham số AC : x = a + t  ( t ∈ » ) ⇒ Μ a + t; 0; − 3t y =   z = − 3t ( OM ⊥ AC ⇒ OM.AC = ⇔ t = − ) a  3a a 3 ⇒ M  ; 0;  , BC = −a 0;1; −     Phương trình tham số x =  BC :  y = a + t ( t ∈ » )   z = − 3t ( ( ⇒ Ν 0; a + t ; − 3t ) ) ON ⊥ BC = ON.BC = ⇒ t = −  3a a  a ⇒ N  0; ;  ⇒ MN.OC = ⇒ MN ⊥ OC     Tính cos MON : cos MON = OM.ON = OM.ON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD + tan OCA MN = AB Đặt β = OCD, α = OCA,OC ⊥ ( OAB ) ⇒ OC ⊥ OD  OD  tan β = OC' a tan β  OD   OD = AB = ,⇒  ⇒ =  = OA 2 OA  tan α   tan α =  OC  3a MN tan β MN = = ⇒ + =1 AB a tan α AB Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy a đường cao SH = h Mặt phẳng ( α ) qua AB ( α ) ⊥ SC Tìm điều kiện h để ( α ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Tính h theo a để ( α ) chia hình chóp thành hai phần tích www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Hy ⊥ HA a  Chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho: H ( 0; 0; ) , A  ; 0;  , S ( 0; 0; h )      a a   a −a  ⇒ B − ; ;0 , C − ; ;0         Tìm điều kiện h để ( α ) cắt z S cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Ta có: SC = − a ; 3a; 6h ( K ) ⇒ ( α ) : a 3x + 3ay + 6hz − a = C B Phương trình tham số x = a 3t  SC :  y = 3at (t ∈ » ) z = h + 6ht  SC ∩ ( α ) ⇒ t = H I Ò −6 h + a 2 x A 12a + 36h  a 3 − 3ah 3a − 18ah 18a h ⇒ K ; ;  12a + 36h 12a + 36h 12a + 36h  K ∈ SC ⇔ zC < zK < zS ⇔ < 18a h 12a + 36h     a Cách 1: S ∆ABK = 1 3a h AB,AK  =   a + 3h Cách 2: a a  Gọi I trung điểm AB ⇒ I  ; ;  ⇒ IK ⊥ SC, IK ⊥ AB  12    SC,SI  3ah 3a h   IK = = ⇒ S ∆ABK = IK.AB = SC 2 a + 3h a + 3h 2 Tính h 10 www.MATHVN.com y Nguyễn Phú Khánh (α) www.MATHVN.com chia hình chóp thành hai phần tích K trung điểm SC 3a a + 12h 2 = ⇔h=a 12 Khi đó: ∆CAB = ∆SAB ⇒ SA = SB = a ⇒ IC = IS ⇔ 2a a + ⇒ SC = a 3 ⇒ Chóp SABC Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu nội tiếp SABC trùng SC2 = SH2 + CH = Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A B với AB = a Trong ( P ) lấy điểm C, ( Q ) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD d  A, ( BCD )  theo a   Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) , D ( a; a; ) Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = a = 2βa   B, C, D ∈ S ⇒ a = γa  2a = 2αa + 2β a  C  a α =  a a  ⇒ β = ⇒ R = 2  a  γ =  n( BCD ) =  BC, BD  = a ( 0;1;1)   ⇒ ( BCD ) : y + z − a = ⇒ d  A, ( BCD )  =   a z ā A Δ B y x D BÀI TẬP TỰ LUYỆN www.MATHVN.com 11 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài tập 2: Cho tứ diện SABC ∆ABC vng A có AC = a, BC = a , SB = a , SB ⊥ ( ABC ) Qua B vẽ BH ⊥ SA, BK ⊥ SC ( H ∈ SA, K ∈ SC ) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) Tính diện tích ∆BHK Tính góc ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O ( ABC ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC 1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 Gọi α , β , γ góc mặt phẳng ( OAB ) , ( OBC ) , ( OAC ) với mặt ā phẳng ( ABC ) Chứng minh cos α + cos2 β + cos γ = Bài tập 4: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a đơi vng góc OH ⊥ ( ABC ) H Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu H lên mặt ( OBC ) , ( OAC ) , ( OAB ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng minh tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = a , OC = c ( a,c > ) Gọi D đỉnh đối diện O hình chữ nhật OADB, M trung điểm BC mặt phẳng ( α ) qua A M cắt ( OCD ) theo đường thẳng vng góc AM Gọi E giao điểm ( α ) với OC Tính OE Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB 12 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp ( S ) OABC Tính bán kính r ( S ) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh góc ( NOM ) ( OMP ) vuông = + a b c2 Bài tập 7: Trên tia Ox, Oy, Oz vng góc đơi lấy điểm A, B, C 2 cho OA = a, OB = b, OC = c Gọi H, G trực tâm, trọng tâm ∆ABC Tính OH, OG S ∆ABC theo a, b, c Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C Bài tập 8: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm S,SA = h Tính d  A, ( SBC )  theo a h   Đường thẳng ∆ ⊥ ( SBC ) trực tâm H ∆SBC, chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ∆ cắt d S' Tính h theo a để SS' nhỏ Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vng cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi D trung điểm AC ) Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) Mặt phẳng ( α ) qua A vng góc SC, ( α ) cắt SC SB M N - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 15: Cho ∆ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với ( ABC ) O lấy điểm S cho OS = 2a ( BSA ) ( SAC ) lấy điểm I Đặt OI = m ( < m < a ) Mặt phẳng ( α ) Tính góc cosin ϕ góc Trên đoạn OH qua I vng góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a AH ⊥ SB H, AK ⊥ SC K Chứng minh HK ⊥ SC www.MATHVN.com 13 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Gọi I = HK ∩ BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( α ) có góc vuông xOy M, N di động cạnh Ox, Oy cho OM + ON = a Trên đường thẳng vng góc với ( α ) O lấy điểm S cho OS=a Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn Khi thể tích SOMN lớn nhất, tính: - d O, ( SMN )    - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( 0; 2a; ) , a 3a   3a  S ( 0; 0; 3a ) , E  ; 0;  , F  0; a;     2 Chứng minh H trung điểm SD a  a Ta có: FE =  ; −a;  = ( 1; −2; )   z S ) Phương trình tham số  x = t  FE :  y = a − 2t ( t ∈ » )  3a z =   3a  H ∈ FE ⇒ AH =  t; a − 2t;    FE ⊥ AH ⇒ t = 2a  2a a 3a  ⇒ H ; ;  ,  5  SH.BC = ⇒ SH ⊥ BC F H E A C y D B x SD ⊥ BC ( BC ⊥ AD, BC ⊥ SA )  Mà  ⇒ H ∈ SD ⇒ H trung điểm SD EF SH ⊥ BC   4a 2a  đường trung bình ∆SBC ⇒ D  ; ;   5  14 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Ta có BC ⊥ ( SAD ) ⇒ FE ⊥ ( SAD ) FE song song với BC ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD ( 4; 2;15 )( 2;1; )  ⇒ cosϕ= cos AD, AH ⇔ cosϕ = =  SAD ) ∩ ( AEF ) = AH 16 + + 224 + + (  ) ( Tính thể tích hình chóp A.BCFE Ta có VASEF = 1 a3 AS, AE  AF = , VASBC = AS.AB.AC = a   6 Vậy VA.BCEF = VASBC − VASEF = Chú ý: S ∆SEF = 3a 1 a3 S ∆SBC ⇒ VASEF = VASBC = 4 Bài tập 2: Trong ( ABC ) , vẽ Bx ⊥ BA Ta có: AB = BC − AC = a ⇒ ∆BAS vuông cân B ⇒ H trung điểm SA Chọn hệ trục tọa độ  a a 2 Bxyz: B ( 0; 0; ) , A 0; a ; , S 0; 0; a , C a; a 2; , H  0; ;    2   Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) z ( ) ( ( Ta có: SC = a 1; 2; − ) ( ) ) ) S Phương trình tham số x = t  SC :  y = t (t ∈ » )  z = a − 2t ( ⇒ K t; 2t; a − 2t H K ) BK ⊥ SC ⇔ BK.SC = ⇔ t = A B y  2a 2a 3a  ⇒ K ; ;    5   BH.SC = ⇒ ΒΗ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) x Tính diện tích ∆BHK : S ∆BHK = C 1 a 13 BH, BK  =  2 10 www.MATHVN.com 15 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com ( SC ⊥ HK Ta có SC ⊥ ( BHK ) ⇒  ⇒ BKH = KB,KH SC ⊥ KB ( ) ⇒ cos KB,KH = ) KB.KH = KB.KH Bài tập 3: Chọn hệ trục Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn z Ta có AB.AC = a > ⇒ BAC góc nhọn C Tương tự ABC, ACB góc nhọn Vậy ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) H x y z + + = ⇔ bcx + acy + abz − abc = a b c O OH ⊥ ( ABC ) ⇒ u OH = n ( ABC ) = ( bc; ac; ab ) Phương trình tham số  x = bct  OH :  y = act ( t ∈ » )  z = abt  B D A ) x Thay x, y, z vào phương trình ( ABC ) ta được: (b c 2 ) + a c + a b t = abc ⇒ t = abc 2 b c + a c2 + a b2   ab2 c a bc a b2 c ⇒ H ; ;   a b2 + a c + b2 c a b + a c + b c a b2 + a c + b2 c     a2 −ab2 − ac ; bc ; b c AH = 2 2 2  a b +a c +b c ⇒ b2  BH = ac ; −a b − bc ; a c  a b2 + a c + b2 c  AH.BC =  AH ⊥ BC  ⇒ ⇒ ⇒ H trực tâm ∆ABC  BH.AC =  BH ⊥ AC  1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 −abc a b2 + b c + c a OH = d  O, ( ABC )  = ⇒ =   OH a b2 c a b + b2 c + c a ( ( 16 ) ) www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Mà + + = + OA OB2 OC2 a b2 1 1 ⇒ = + + 2 OH OA OB OC + = c2 b2 c + a c + a b2 a b2 c Chứng minh cos α + cos β + cos2 γ =   Nhận xét: cos α = cos ( OAB ) , ( ABC )  = cos  n( OAB ) , n( ABC )        Gọi Gọi n = n( ABC ) = ( bc; ac; ab ) , n1 = n( OAB ) = k = ( 0; 0;1) , n = n ( OBC ) = i = ( 1; 0; ) , n = n ( OAC ) = j = ( 0;1; ) ( ) ( ) ( ⇒ cos α + cos β + cos2 γ = cos2 n1 ,n + cos2 n , n + cos2 n , n = a b2 b2 c + a c + a b + b2 c b2 c + a c + a b2 + a2c2 b2 c + a c + a b2 ) =1 Vậy cos α + cos β + cos2 γ = Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H  ; ;   3 3 a a  HC1 ⊥ ( AOB ) ⇒ C1  ; ;  3  H  a a a a A1 =  0; ;  , B1  ; 0;  3  3 3 y O B  a  ⇒ HA1 =  − ; 0;  ,   C1  a   a HB1 =  0; − ;  , HC1 =  0; 0; −   3   a3 ⇒ VHA B C = 1 162 Chứng minh tứ diện SABC S x A Ta có AB = AC = BC = a www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 2  a a a  4a   a   a  O trung điểm SH ⇒ S  − ; − ; −  ⇒ SA =   +   +   = a 3 3     3 3 Tương tự SB = SC = a ⇒ SA = SB = SC = AB = AC = BC = a Vậy tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 )  a2 a2  a a  a a A1 B1 =  ; − ;  , A1C1 =  ; 0; −  ⇒  A1 B1 , A1C1  =  ; ;    9  3  3  3   a a a Mà OH =  ; ;  ⇒  A1 B1 , A1C1  / / OH  3 3  Vậy OH ⊥ ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:  a c O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B 0; a 2; , C ( 0; 0; c ) ⇒ M  0; ;    2  Tính OE z Gọi I tâm C OADB, G = CI ∩ AM ⇒ G ( ) trọng tâm ∆ABC a a c ⇒ G ; ;  3 3   E ∈ OC ⇒ E ( 0; 0; e ) ) M E G Ta có: ( α ) ∩ ( OCD ) = EG ⇒ ΟΕ = K O ⇒ EG.AM = c  c ⇒ e = ⇒ Ε  0; 0;  3  A c B I x D Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) ( ) a n( α ) =  AM,EG  = − c 2; −c; 3a ⇒ ( α ) : c 2x − cy + 3a 2z − ac =    ⇒ d C , ( α ) =  2ac 18a + 3c Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB Trong ( OCD ) gọi K = EG ∩ CD ⇒ Thiết diện tứ giác AKME 18 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Do www.MATHVN.com CE CG = = nên: EG / /OD ⇒ EK / /OD ⇒ G trung điểm EK CO CI ⇒ S AKME = 2S ∆AEM = EG.AM = a 6a + c Bài tập 6: Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Tính bán kính r ( S ) z VIOAB + VIOBC + VIOCA + VIABC = VOABC C r abc + S ∆OBC + S ∆OCA + S ∆ABC ) = (S ∆OAB 2 S ∆ABC = a b + b2 c + a c 2 r 2 2 2  abc  ab + bc + ca + a b + b c + a c  = 6  abc r= ab + bc + ca + a b2 + b c + a c 2  b c a c a b  Ta có: M  0; ;  , N  ; 0;  , P  ; ;  2 2   2 2  bc ac ab  n( OMN ) =  OM,ON  =  ; ; −  ,    4   bc ac ab  n( OMP ) = OM,OP  =  − ; ; −     4  Giả thiết, suy n( OMN ) n( OMP ) = ⇔ − M N O B P ) A x 1 b2 c a c a b = + + + =0 ⇔ 2 16 16 16 a b c2 Bài tập 7: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) www.MATHVN.com 19 y Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com z Tính OH, OG S ∆ABC theo C a, b, c a b c G  ; ;  ⇒ OG = a + b2 + c  3 3 2 a b + b2 c + c a S= AB ⊥ CH Ta có:  AB ⊥ OC H O ⇒ AB ⊥ ( OCH ) ⇒ ΑΒ ⊥ ΟΗ B Tương tự: AC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d O, ( ABC )    ( ABC ) : bcx + acy + abz − abc = x ⇒ OH = A abc 2 a b + b2 c + a c 2 Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C ) Ta có: AB.AC = ( −a; b; )( −a; 0; c ) = a > ⇒ cos A = AB.AC > ⇒ A nhọn AB.AC Tương tự B, C nhọn  2S ∆ABC sin A = 2S  AB.AC Ta có:  ⇒ tan A = ∆ABC ⇒ a tan A = 2S ∆ABC AB.AC cos A = AB.AC  AB.AC  Tương tự cho b2 tan B = c tan C Bài tập 8: Gọi I trung điểm AB Trong ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Ta có: CI = a a a  Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , S ( 0; 0; h ) ⇒ C  ; ;0 2    20 www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh z S A D I H x y C B Tính d  A, ( SBC )  theo a h   ( ) Gọi D = BC ∩ Ay ⇒ D 0; a 3; ⇒ ( SBC ) ≡ ( SBD ) ah ⇒ ( SBC ) : h 3x + hy + a 3z − ah = ⇒ d  A, ( SBC )  =   3a + 4h Chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ) Gọi ( α ) ≡ ( S, ∆ ) , ( β ) ≡ ( B, ∆ ) Ta có: ( α ) ⊥ BC, ( β ) ⊥ SC ( SH ⊥ BC, ∆ ⊥ BC, BH ⊥ SC, ∆ ⊥ SC ) ( ) ( ) a 1; − 3; , SC = a;a 3; −2h ⇒ ( α ) : x − 3y = 0, ( β ) : a ( x − a ) + a 3y − 2hz = 2 x − 3y =  ⇒ (∆) :  a ( x − a ) + a 3y − 2hz =  ∆ qua điểm cố định h thay đổi  a x = x − 3y =   a a  a  ⇔ z = ⇔ y = ⇒ ∆ qua G  ; ;  cố định 2    x − 3y = a z =   Tính h theo a để SS' nhỏ BC = − Ta có: S' ∈ d ⇒ S' ( 0; 0; s' ) ,S' ∈ ∆ ⇒ −2hs'− a = ⇒ s' = − www.MATHVN.com a2 2h 21 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh  a2  a2 a2 ⇒ S'  0; 0; − ≤2 h =a  ⇒ SS' = h +   2h  2h 2h  ⇒ SS'min = a ⇔ h = a2 a ⇔h= 2h Bài tập 11: Trong mặt phẳng ( ABC ) , vẽ Ay ⊥ AB ( Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S 0; 0; a ) a a  ⇒ D ; ;0 2  Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) (  BS = −a 1; 0; −  Ta có:   BC = a ( 0;1; )  d  A, ( SBC )  =   −a = ) ⇒ n( SBC ) = ( ) ; 0; ⇒ ( SBC ) : 2x + z − a = a , d  D, ( SBC )  =   a −a 2 = a 6 Vậy, khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) ( ) ( ) ) Ta có: SC = a 1;1; − ⇒ n α = 1;1; − ⇒ ( α ) : x + y − 2z = x = a + t  Phương trình tham số SB :  y = ( t ∈ » ) qua B u = BS  z = − t a a a   2a a a 2 ⇒ a + t + 2t = ⇒ t = − ⇒ N  ; 0;  ⇒ M trung điểm SC ⇒ M  ; ;    2 2  3     - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC  2a 2a  a a 2 2a < ⇒ Ν thuộc cạnh SB M Ta có NS.NB =  − ; 0;  ; 0; − =−     3   trung điểm cạnh SC Vậy ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN VSAMN = 22  a a a    2a 1 1 a  a3 AS, AM  AN =  0; 0; a ,  ; ;    ; 0; =  2     6   18     ( ) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) ) ( AM ⊥ SC MA.MN Ta có ( AMN ) ⊥ SC ⇒  ⇒ ϕ = MA,MN ⇒ cos ϕ = = MA.MN MN ⊥ SC Bài tập 15: Gọi D trung điểm AB ⇒ OD ⊥ OH AH = a 4a a ⇒ BC = ⇒ ΟD = BC = 3  a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , D  ; 0;  , H ( 0; a; ) , S ( 0; 0; 2a )    2a   2a  ⇒ A ( 0; −a; ) , B  ; a;  , C  − ; a;      Tính góc cosin ϕ góc z ( BSA ) ( SAC ) S Vẽ BE ⊥ SA E ⇒ CE ⊥ SA ⇒ ϕ = BEC P SA = ( 0; a; 2a ) = a ( 0;1; ) Phương trình tham số x =  SA :  y = −a + t ( t ∈ » ) z = 2t  E φ N Q O A Phương trình mặt phẳng ( BCE ) : y − a + 2z = ⇒ −2a + t + 4t = ⇒ t = C ) I x 2a H y D M B   2a 8a 4a  ; ;−  EB =    3a 4a    ⇒ E  0; − ;  ⇒  ⇒ cos ϕ = cos EB,EC = 5   17  2a 8a 4a   EC =  − ; ;−      - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x ) ( Ta có I ( 0; m; ) , OH = a ( 0;1; ) ⇒ ( MNPQ ) : y − m = AB = (1; 2a ) 3; , AC = − (1; − 2a ) 3; , SB = ( 2; a ) 3; −2 , SC = − www.MATHVN.com a ( 2; − 3; 23 ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh x = t  a+m  Phương trình tham số AB :  y = −a + 3t ( t ∈ » ) ⇒ M  ; m;    z =  x = t   −a − m  Phương trình tham số AC :  y = −a − 3t ( t ∈ » ) ⇒ N  ; m;    z =  x = 2t   2m  Phương trình tham số SB :  y = 3t ( t ∈ » ) ⇒ Q  ; m; 2a − 2m     z = 2a − 3t  x = 2t    Phương trình tham số SC :  y = − 3t ( t ∈ » ) ⇒ P  − 2m ; m; 2a − 2m      z = 2a + 3t −3m + 2am + a S MNPQ =  MQ,MP + MQ,MN  =    2 ) ( ( ) ( ) - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Cách 1: Bảng xét dấu: ) m a −∞ −3m + 2am + a − +∞ 4a −∞ ⇒ S MNPQ ≤ 8a 3 ( −∞ Vậy SMNPQ 8a ) max = 3 m = a Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: S MNPQ (   a   (a − m ) +  m +     a 8a  = (a − m )  m +  ≤  =   3 3      ⇒ SMNPQ 24 8a ) max = 3 ⇔ a − m = m + a ⇔ m = a 3 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 20: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S ( 0; 0; a ) Chứng minh HK ⊥ SC SB = ( −a; 0; a ) = −a (1; 0; −1) z SC = ( −a; −a; a ) = −a ( 1;1; −1) S Phương trình tham số x = a + t  SB :  y = (t ∈ » ) z = − t  R H ∈ SB ⇒ H ( a + t; 0; −t ) H AH ⊥ SB ⇔ AH.SB = a a a ⇒ t = − ⇒ H  ; 0;  2 2  Phương trình tham số x = t  SC :  y = t ( t ∈ » ) z = a − t  y A I B C x 뿠  a a 2a  ⇒ K ( t; t; a − t ) AH.SC = ⇒ K  ; ;  3 3  a  a a a ⇒ HK =  − ; ;  = − ( 1; −2; −1) ⇒ HK.SC = 6  a a Chú ý: ∆SAB vuông cân A ⇒ H trung điểm SB ⇒ H  ; 0;  2 2 Chứng minh B trung điểm CI  a x = + t  Phương trình tham số HK :  y = −2t ( t ∈ » )  a z = − t   x1 + xC = 2a = 2x B a a  Ta có: I = HK ∩ ( ABC ) ⇒ − t = ⇔ t = ⇒ I ( a; −a; ) ⇒  y1 + yC = = 2y B 2  z + z = = 2z C B  www.MATHVN.com 25 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Vậy B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) SC ⊥ AK ( gt )  Ta có:  ⇒ SC ⊥ ( AHK ) SC ⊥ HK ( cmt )  ( ) ) ( ⇒ n( AHK ) = ( 1;1; −1) ⇒ sin ϕ = cos SB,SC = cos nSB , n( AHK ) = Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi J ( x0 ; y0 ; z0 ) suy phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z2 − 2x0 x − 2y0 y − 2z0 z + d = d = a2 a2 a2 a  A, B, C, S ∈ ( S ) ⇒   a a a  ⇒ R = + + = 4 J  ; ;     a Bài tập 21: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , M ( m; 0; ) , N ( 0; n; ) , S ( 0; 0; a ) , Vậy J trung điểm SC R = ( m, n > 0; m + n = a ) Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn S 썠 VSOMN z am+n a3 = amn ≤   = 6  24 a3 a ⇔m=n= max 24 2 Khi thể tích SOMN lớn a   a  M  ; 0;  , N  0; ;  2    ⇒ ( VSOMN ) = O - d  O, ( SMN )    ( SMN ) : 2x + 2y + z − a =   ⇒ d  O, ( SMN )  = a = a 2 + 2 + 12 - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN x M Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = 26 www.MATHVN.com N y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh  a2  a  − αa = α = 4    a2 a a   M, N, S ∈ ( S ) ⇒  − β a = ⇒ β = ⇒ R = α + β2 + γ = 4   a a − γa =   γ =    Chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° Đặt α = OSM, β = OSN, γ = MSN  SM,SN  m a + n 2a + m n   = = sin γ = SM.SN SM.SN m2 + a2 n2 + a2 2S ∆SMN ( )( ) OM m OS a = = , cos α = 2 SM SM m +a m + a2 ON n OS a sin β = , cos β = = = 2 SN SN n +a n + a2 sin α = ⇒ cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = (m ( a − mn + a2 )( n + a2 ) ) Mặt khác: m a + n a + m n = a m + n + m n 菠τ ( = a ( m + n ) − 2mn  + m n = a − 2a mn + m n = a − mn     ⇒ sin γ = cos ( α + β ) = (m a − mn + a2 )( n + a2 ) ) ⇒ γ + α + β = 90° www.MATHVN.com 27 ... tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C... vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP... 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H  ; ;   3 3 a a  HC1 ⊥ ( AOB

Ngày đăng: 01/08/2014, 18:45

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w