chuyên đề về tam giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh t...
www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh TỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến ( BCD ) Giải: ∆ABC vuông A Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: z D A ( 0; 0; ) , B ( 3; 0; ) , C ( 0; 4; ) , D ( 0; 0; ) Phương trình mặt phẳng ( ΒCD ) : x y z + + =1 4 ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = A Khoảng cách từ A đến ( BCD ) d A, ( BCD ) = −12 2 +3 +3 = C y 12 34 x B Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác SABC cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) Giải: Gọi O hình chiếu S ( ABC ) ⇒ Ο trọng tâm ∆ABC Gọi I trung điểm BC a a a = ⇒ OA = , OI = 2 a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A ; 0; , S ( 0; 0; h ) Ta có AI = BC www.MATHVN.com ( h, a > ) Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com a a a a a a a h a a h ⇒ I− ; 0; , B − ; ;0 , C − ;− ;0, M− ; ; , N − ;− ; 12 12 6 2 ah 5a ⇒ n( AMN ) = AM, AN = ; 0; 24 a2 ⇒ n( SBC ) = SB,SC = −ah; 0; ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n( AMN ) n( SBC) = ⇒h= a ⇒ S ∆AMN = 1 a 10 AM, AN = 2 16 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ∆ABC vng C, SA ⊥ ( ABC ) , CA = a, CB = b, SA = h Gọi D trung điểm AB Tính cosin góc ϕ AC SD Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) Giải: Trong ( ABC ) vẽ tia Ax ⊥ AC Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , C ( 0; a; ) , S ( 0; 0; h ) b a ⇒ Β ( b; a; ) , D ; ; 2 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Tính cosin góc ϕ AC SD AC = ( 0;a; ) Ta có: b a SD = ; ; − h 2 ⇒ cos ϕ = AC.SD AC.SD = a a + b + 4h 2 Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) BC,SD BS d ( BC,SD ) = = BC,SD a + 4h AC,SD AS d ( AC,SD ) = = AC,SD hb b + 4h Ví dụ 4: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm M Gọi I hình chiếu trọng tâm G ∆ABC ( BCM ) Chứng minh I trực tâm ∆BCM GI cắt d N Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc Chứng minh AM.AN không đổi M di động d Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: a a a a A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , M ( 0; 0; m ) , C ; ;0 ⇒ G ; ;0 2 2 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh I trực tâm ∆BCM BC ⊥ MA Ta có: ⇒ BC ⊥ ( GIA ) BC ⊥ GI z M ⇒ BC ⊥ AI Tương tự MC ⊥ BI ⇒ I trực tâm ∆BCM Chứng minh tứ diện BCMN có cặp cạnh đối vng góc a Ta có: BC = − 1; − 3; ( ) A ( MC = a;a 3; −2m y I ⇒ ( AMI ) : x − 3y = G ) x B ⇒ ( BGI ) : ax + a 3y − 2mz − a = C N d x − 3y = GI = ( AMI ) ∩ ( BGI ) = ax + a 3y − 2mz − a = N ∈ d ⇒ N ( 0; 0; n ) N ∈ GI ⇒ n = − a2 a2 ⇒ N 0; 0; − 2m 2m ā BC.MN = 0, BM.CN = 0, BN.BM = Vậy BC ⊥ MN, BM ⊥ CN, BN ⊥ CM Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc AC = 2OB , BC = 2OA Vẽ OM ⊥ AC M, ON ⊥ BC N Chứng minh MN ⊥ OC Tính cos MON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD tan OCA + MN = AB Giải: OA + OC2 = AC Ta có: ⇒ 4OB2 − OA = 4OA − OB2 ⇒ OA = OB 2 OB + OC = BC Đặt OA = a = OB ⇒ ΟC = a ( Chọn trục hệ tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C 0; 0; a www.MATHVN.com ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng minh MN ⊥ OC ( AC = −a 1; 0; − ) Phương trình tham số AC : x = a + t ( t ∈ » ) ⇒ Μ a + t; 0; − 3t y = z = − 3t ( OM ⊥ AC ⇒ OM.AC = ⇔ t = − ) a 3a a 3 ⇒ M ; 0; , BC = −a 0;1; − Phương trình tham số x = BC : y = a + t ( t ∈ » ) z = − 3t ( ( ⇒ Ν 0; a + t ; − 3t ) ) ON ⊥ BC = ON.BC = ⇒ t = − 3a a a ⇒ N 0; ; ⇒ MN.OC = ⇒ MN ⊥ OC Tính cos MON : cos MON = OM.ON = OM.ON D trung điểm AB Chứng minh tan OCD + tan OCA MN = AB Đặt β = OCD, α = OCA,OC ⊥ ( OAB ) ⇒ OC ⊥ OD OD tan β = OC' a tan β OD OD = AB = ,⇒ ⇒ = = OA 2 OA tan α tan α = OC 3a MN tan β MN = = ⇒ + =1 AB a tan α AB Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy a đường cao SH = h Mặt phẳng ( α ) qua AB ( α ) ⊥ SC Tìm điều kiện h để ( α ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Tính h theo a để ( α ) chia hình chóp thành hai phần tích www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Hy ⊥ HA a Chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho: H ( 0; 0; ) , A ; 0; , S ( 0; 0; h ) a a a −a ⇒ B − ; ;0 , C − ; ;0 Tìm điều kiện h để ( α ) cắt z S cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Ta có: SC = − a ; 3a; 6h ( K ) ⇒ ( α ) : a 3x + 3ay + 6hz − a = C B Phương trình tham số x = a 3t SC : y = 3at (t ∈ » ) z = h + 6ht SC ∩ ( α ) ⇒ t = H I Ò −6 h + a 2 x A 12a + 36h a 3 − 3ah 3a − 18ah 18a h ⇒ K ; ; 12a + 36h 12a + 36h 12a + 36h K ∈ SC ⇔ zC < zK < zS ⇔ < 18a h 12a + 36h a Cách 1: S ∆ABK = 1 3a h AB,AK = a + 3h Cách 2: a a Gọi I trung điểm AB ⇒ I ; ; ⇒ IK ⊥ SC, IK ⊥ AB 12 SC,SI 3ah 3a h IK = = ⇒ S ∆ABK = IK.AB = SC 2 a + 3h a + 3h 2 Tính h 10 www.MATHVN.com y Nguyễn Phú Khánh (α) www.MATHVN.com chia hình chóp thành hai phần tích K trung điểm SC 3a a + 12h 2 = ⇔h=a 12 Khi đó: ∆CAB = ∆SAB ⇒ SA = SB = a ⇒ IC = IS ⇔ 2a a + ⇒ SC = a 3 ⇒ Chóp SABC Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu nội tiếp SABC trùng SC2 = SH2 + CH = Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A B với AB = a Trong ( P ) lấy điểm C, ( Q ) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD d A, ( BCD ) theo a Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) , D ( a; a; ) Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = a = 2βa B, C, D ∈ S ⇒ a = γa 2a = 2αa + 2β a C a α = a a ⇒ β = ⇒ R = 2 a γ = n( BCD ) = BC, BD = a ( 0;1;1) ⇒ ( BCD ) : y + z − a = ⇒ d A, ( BCD ) = a z ā A Δ B y x D BÀI TẬP TỰ LUYỆN www.MATHVN.com 11 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài tập 2: Cho tứ diện SABC ∆ABC vng A có AC = a, BC = a , SB = a , SB ⊥ ( ABC ) Qua B vẽ BH ⊥ SA, BK ⊥ SC ( H ∈ SA, K ∈ SC ) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) Tính diện tích ∆BHK Tính góc ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O ( ABC ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC 1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 Gọi α , β , γ góc mặt phẳng ( OAB ) , ( OBC ) , ( OAC ) với mặt ā phẳng ( ABC ) Chứng minh cos α + cos2 β + cos γ = Bài tập 4: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a đơi vng góc OH ⊥ ( ABC ) H Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu H lên mặt ( OBC ) , ( OAC ) , ( OAB ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng minh tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = a , OC = c ( a,c > ) Gọi D đỉnh đối diện O hình chữ nhật OADB, M trung điểm BC mặt phẳng ( α ) qua A M cắt ( OCD ) theo đường thẳng vng góc AM Gọi E giao điểm ( α ) với OC Tính OE Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB 12 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp ( S ) OABC Tính bán kính r ( S ) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh góc ( NOM ) ( OMP ) vuông = + a b c2 Bài tập 7: Trên tia Ox, Oy, Oz vng góc đơi lấy điểm A, B, C 2 cho OA = a, OB = b, OC = c Gọi H, G trực tâm, trọng tâm ∆ABC Tính OH, OG S ∆ABC theo a, b, c Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C Bài tập 8: Cho ∆ABC cạnh a Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) A lấy điểm S,SA = h Tính d A, ( SBC ) theo a h Đường thẳng ∆ ⊥ ( SBC ) trực tâm H ∆SBC, chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ∆ cắt d S' Tính h theo a để SS' nhỏ Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vng cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi D trung điểm AC ) Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) Mặt phẳng ( α ) qua A vng góc SC, ( α ) cắt SC SB M N - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) Bài tập 15: Cho ∆ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với ( ABC ) O lấy điểm S cho OS = 2a ( BSA ) ( SAC ) lấy điểm I Đặt OI = m ( < m < a ) Mặt phẳng ( α ) Tính góc cosin ϕ góc Trên đoạn OH qua I vng góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân B, AB = a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a AH ⊥ SB H, AK ⊥ SC K Chứng minh HK ⊥ SC www.MATHVN.com 13 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Gọi I = HK ∩ BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( α ) có góc vuông xOy M, N di động cạnh Ox, Oy cho OM + ON = a Trên đường thẳng vng góc với ( α ) O lấy điểm S cho OS=a Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn Khi thể tích SOMN lớn nhất, tính: - d O, ( SMN ) - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( 0; 2a; ) , a 3a 3a S ( 0; 0; 3a ) , E ; 0; , F 0; a; 2 Chứng minh H trung điểm SD a a Ta có: FE = ; −a; = ( 1; −2; ) z S ) Phương trình tham số x = t FE : y = a − 2t ( t ∈ » ) 3a z = 3a H ∈ FE ⇒ AH = t; a − 2t; FE ⊥ AH ⇒ t = 2a 2a a 3a ⇒ H ; ; , 5 SH.BC = ⇒ SH ⊥ BC F H E A C y D B x SD ⊥ BC ( BC ⊥ AD, BC ⊥ SA ) Mà ⇒ H ∈ SD ⇒ H trung điểm SD EF SH ⊥ BC 4a 2a đường trung bình ∆SBC ⇒ D ; ; 5 14 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc CP hai mặt phẳng ( ABC ) , ( ACF ) Ta có BC ⊥ ( SAD ) ⇒ FE ⊥ ( SAD ) FE song song với BC ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD ( 4; 2;15 )( 2;1; ) ⇒ cosϕ= cos AD, AH ⇔ cosϕ = = SAD ) ∩ ( AEF ) = AH 16 + + 224 + + ( ) ( Tính thể tích hình chóp A.BCFE Ta có VASEF = 1 a3 AS, AE AF = , VASBC = AS.AB.AC = a 6 Vậy VA.BCEF = VASBC − VASEF = Chú ý: S ∆SEF = 3a 1 a3 S ∆SBC ⇒ VASEF = VASBC = 4 Bài tập 2: Trong ( ABC ) , vẽ Bx ⊥ BA Ta có: AB = BC − AC = a ⇒ ∆BAS vuông cân B ⇒ H trung điểm SA Chọn hệ trục tọa độ a a 2 Bxyz: B ( 0; 0; ) , A 0; a ; , S 0; 0; a , C a; a 2; , H 0; ; 2 Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) z ( ) ( ( Ta có: SC = a 1; 2; − ) ( ) ) ) S Phương trình tham số x = t SC : y = t (t ∈ » ) z = a − 2t ( ⇒ K t; 2t; a − 2t H K ) BK ⊥ SC ⇔ BK.SC = ⇔ t = A B y 2a 2a 3a ⇒ K ; ; 5 BH.SC = ⇒ ΒΗ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) x Tính diện tích ∆BHK : S ∆BHK = C 1 a 13 BH, BK = 2 10 www.MATHVN.com 15 Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com ( SC ⊥ HK Ta có SC ⊥ ( BHK ) ⇒ ⇒ BKH = KB,KH SC ⊥ KB ( ) ⇒ cos KB,KH = ) KB.KH = KB.KH Bài tập 3: Chọn hệ trục Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn z Ta có AB.AC = a > ⇒ BAC góc nhọn C Tương tự ABC, ACB góc nhọn Vậy ∆ABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm ∆ABC Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) H x y z + + = ⇔ bcx + acy + abz − abc = a b c O OH ⊥ ( ABC ) ⇒ u OH = n ( ABC ) = ( bc; ac; ab ) Phương trình tham số x = bct OH : y = act ( t ∈ » ) z = abt B D A ) x Thay x, y, z vào phương trình ( ABC ) ta được: (b c 2 ) + a c + a b t = abc ⇒ t = abc 2 b c + a c2 + a b2 ab2 c a bc a b2 c ⇒ H ; ; a b2 + a c + b2 c a b + a c + b c a b2 + a c + b2 c a2 −ab2 − ac ; bc ; b c AH = 2 2 2 a b +a c +b c ⇒ b2 BH = ac ; −a b − bc ; a c a b2 + a c + b2 c AH.BC = AH ⊥ BC ⇒ ⇒ ⇒ H trực tâm ∆ABC BH.AC = BH ⊥ AC 1 1 Chứng minh = + + 2 OH OA OB OC2 −abc a b2 + b c + c a OH = d O, ( ABC ) = ⇒ = OH a b2 c a b + b2 c + c a ( ( 16 ) ) www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Mà + + = + OA OB2 OC2 a b2 1 1 ⇒ = + + 2 OH OA OB OC + = c2 b2 c + a c + a b2 a b2 c Chứng minh cos α + cos β + cos2 γ = Nhận xét: cos α = cos ( OAB ) , ( ABC ) = cos n( OAB ) , n( ABC ) Gọi Gọi n = n( ABC ) = ( bc; ac; ab ) , n1 = n( OAB ) = k = ( 0; 0;1) , n = n ( OBC ) = i = ( 1; 0; ) , n = n ( OAC ) = j = ( 0;1; ) ( ) ( ) ( ⇒ cos α + cos β + cos2 γ = cos2 n1 ,n + cos2 n , n + cos2 n , n = a b2 b2 c + a c + a b + b2 c b2 c + a c + a b2 + a2c2 b2 c + a c + a b2 ) =1 Vậy cos α + cos β + cos2 γ = Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H ; ; 3 3 a a HC1 ⊥ ( AOB ) ⇒ C1 ; ; 3 H a a a a A1 = 0; ; , B1 ; 0; 3 3 3 y O B a ⇒ HA1 = − ; 0; , C1 a a HB1 = 0; − ; , HC1 = 0; 0; − 3 a3 ⇒ VHA B C = 1 162 Chứng minh tứ diện SABC S x A Ta có AB = AC = BC = a www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh 2 a a a 4a a a O trung điểm SH ⇒ S − ; − ; − ⇒ SA = + + = a 3 3 3 3 Tương tự SB = SC = a ⇒ SA = SB = SC = AB = AC = BC = a Vậy tứ diện SABC Chứng minh OH khơng vng góc ( A1 B1C1 ) a2 a2 a a a a A1 B1 = ; − ; , A1C1 = ; 0; − ⇒ A1 B1 , A1C1 = ; ; 9 3 3 3 a a a Mà OH = ; ; ⇒ A1 B1 , A1C1 / / OH 3 3 Vậy OH ⊥ ( A1 B1C1 ) Bài tập 5: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: a c O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B 0; a 2; , C ( 0; 0; c ) ⇒ M 0; ; 2 Tính OE z Gọi I tâm C OADB, G = CI ∩ AM ⇒ G ( ) trọng tâm ∆ABC a a c ⇒ G ; ; 3 3 E ∈ OC ⇒ E ( 0; 0; e ) ) M E G Ta có: ( α ) ∩ ( OCD ) = EG ⇒ ΟΕ = K O ⇒ EG.AM = c c ⇒ e = ⇒ Ε 0; 0; 3 A c B I x D Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( α ) ( ) a n( α ) = AM,EG = − c 2; −c; 3a ⇒ ( α ) : c 2x − cy + 3a 2z − ac = ⇒ d C , ( α ) = 2ac 18a + 3c Tính diện tích thiết diện tạo ( α ) chóp C.OADB Trong ( OCD ) gọi K = EG ∩ CD ⇒ Thiết diện tứ giác AKME 18 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Do www.MATHVN.com CE CG = = nên: EG / /OD ⇒ EK / /OD ⇒ G trung điểm EK CO CI ⇒ S AKME = 2S ∆AEM = EG.AM = a 6a + c Bài tập 6: Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) Tính bán kính r ( S ) z VIOAB + VIOBC + VIOCA + VIABC = VOABC C r abc + S ∆OBC + S ∆OCA + S ∆ABC ) = (S ∆OAB 2 S ∆ABC = a b + b2 c + a c 2 r 2 2 2 abc ab + bc + ca + a b + b c + a c = 6 abc r= ab + bc + ca + a b2 + b c + a c 2 b c a c a b Ta có: M 0; ; , N ; 0; , P ; ; 2 2 2 2 bc ac ab n( OMN ) = OM,ON = ; ; − , 4 bc ac ab n( OMP ) = OM,OP = − ; ; − 4 Giả thiết, suy n( OMN ) n( OMP ) = ⇔ − M N O B P ) A x 1 b2 c a c a b = + + + =0 ⇔ 2 16 16 16 a b c2 Bài tập 7: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) www.MATHVN.com 19 y Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com z Tính OH, OG S ∆ABC theo C a, b, c a b c G ; ; ⇒ OG = a + b2 + c 3 3 2 a b + b2 c + c a S= AB ⊥ CH Ta có: AB ⊥ OC H O ⇒ AB ⊥ ( OCH ) ⇒ ΑΒ ⊥ ΟΗ B Tương tự: AC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH = d O, ( ABC ) ( ABC ) : bcx + acy + abz − abc = x ⇒ OH = A abc 2 a b + b2 c + a c 2 Chứng minh ∆ABC có ba góc nhọn a tan A = b tan B = c tan C ) Ta có: AB.AC = ( −a; b; )( −a; 0; c ) = a > ⇒ cos A = AB.AC > ⇒ A nhọn AB.AC Tương tự B, C nhọn 2S ∆ABC sin A = 2S AB.AC Ta có: ⇒ tan A = ∆ABC ⇒ a tan A = 2S ∆ABC AB.AC cos A = AB.AC AB.AC Tương tự cho b2 tan B = c tan C Bài tập 8: Gọi I trung điểm AB Trong ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB Ta có: CI = a a a Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , S ( 0; 0; h ) ⇒ C ; ;0 2 20 www.MATHVN.com y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh z S A D I H x y C B Tính d A, ( SBC ) theo a h ( ) Gọi D = BC ∩ Ay ⇒ D 0; a 3; ⇒ ( SBC ) ≡ ( SBD ) ah ⇒ ( SBC ) : h 3x + hy + a 3z − ah = ⇒ d A, ( SBC ) = 3a + 4h Chứng tỏ ∆ qua điểm cố định S di động d ) Gọi ( α ) ≡ ( S, ∆ ) , ( β ) ≡ ( B, ∆ ) Ta có: ( α ) ⊥ BC, ( β ) ⊥ SC ( SH ⊥ BC, ∆ ⊥ BC, BH ⊥ SC, ∆ ⊥ SC ) ( ) ( ) a 1; − 3; , SC = a;a 3; −2h ⇒ ( α ) : x − 3y = 0, ( β ) : a ( x − a ) + a 3y − 2hz = 2 x − 3y = ⇒ (∆) : a ( x − a ) + a 3y − 2hz = ∆ qua điểm cố định h thay đổi a x = x − 3y = a a a ⇔ z = ⇔ y = ⇒ ∆ qua G ; ; cố định 2 x − 3y = a z = Tính h theo a để SS' nhỏ BC = − Ta có: S' ∈ d ⇒ S' ( 0; 0; s' ) ,S' ∈ ∆ ⇒ −2hs'− a = ⇒ s' = − www.MATHVN.com a2 2h 21 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh a2 a2 a2 ⇒ S' 0; 0; − ≤2 h =a ⇒ SS' = h + 2h 2h 2h ⇒ SS'min = a ⇔ h = a2 a ⇔h= 2h Bài tập 11: Trong mặt phẳng ( ABC ) , vẽ Ay ⊥ AB ( Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S 0; 0; a ) a a ⇒ D ; ;0 2 Chứng minh khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) ( BS = −a 1; 0; − Ta có: BC = a ( 0;1; ) d A, ( SBC ) = −a = ) ⇒ n( SBC ) = ( ) ; 0; ⇒ ( SBC ) : 2x + z − a = a , d D, ( SBC ) = a −a 2 = a 6 Vậy, khoảng cách từ A đến ( SBC ) gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SBC ) ( ) ( ) ) Ta có: SC = a 1;1; − ⇒ n α = 1;1; − ⇒ ( α ) : x + y − 2z = x = a + t Phương trình tham số SB : y = ( t ∈ » ) qua B u = BS z = − t a a a 2a a a 2 ⇒ a + t + 2t = ⇒ t = − ⇒ N ; 0; ⇒ M trung điểm SC ⇒ M ; ; 2 2 3 - Chứng minh ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC 2a 2a a a 2 2a < ⇒ Ν thuộc cạnh SB M Ta có NS.NB = − ; 0; ; 0; − =− 3 trung điểm cạnh SC Vậy ∆AMN thiết diện ( α ) tứ diện SABC - Tính thể tích hình chóp SAMN VSAMN = 22 a a a 2a 1 1 a a3 AS, AM AN = 0; 0; a , ; ; ; 0; = 2 6 18 ( ) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Tính cosin góc ϕ mặt phẳng ( ASC ) ( SCB ) ) ( AM ⊥ SC MA.MN Ta có ( AMN ) ⊥ SC ⇒ ⇒ ϕ = MA,MN ⇒ cos ϕ = = MA.MN MN ⊥ SC Bài tập 15: Gọi D trung điểm AB ⇒ OD ⊥ OH AH = a 4a a ⇒ BC = ⇒ ΟD = BC = 3 a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O ( 0; 0; ) , D ; 0; , H ( 0; a; ) , S ( 0; 0; 2a ) 2a 2a ⇒ A ( 0; −a; ) , B ; a; , C − ; a; Tính góc cosin ϕ góc z ( BSA ) ( SAC ) S Vẽ BE ⊥ SA E ⇒ CE ⊥ SA ⇒ ϕ = BEC P SA = ( 0; a; 2a ) = a ( 0;1; ) Phương trình tham số x = SA : y = −a + t ( t ∈ » ) z = 2t E φ N Q O A Phương trình mặt phẳng ( BCE ) : y − a + 2z = ⇒ −2a + t + 4t = ⇒ t = C ) I x 2a H y D M B 2a 8a 4a ; ;− EB = 3a 4a ⇒ E 0; − ; ⇒ ⇒ cos ϕ = cos EB,EC = 5 17 2a 8a 4a EC = − ; ;− - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x ) ( Ta có I ( 0; m; ) , OH = a ( 0;1; ) ⇒ ( MNPQ ) : y − m = AB = (1; 2a ) 3; , AC = − (1; − 2a ) 3; , SB = ( 2; a ) 3; −2 , SC = − www.MATHVN.com a ( 2; − 3; 23 ) www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh x = t a+m Phương trình tham số AB : y = −a + 3t ( t ∈ » ) ⇒ M ; m; z = x = t −a − m Phương trình tham số AC : y = −a − 3t ( t ∈ » ) ⇒ N ; m; z = x = 2t 2m Phương trình tham số SB : y = 3t ( t ∈ » ) ⇒ Q ; m; 2a − 2m z = 2a − 3t x = 2t Phương trình tham số SC : y = − 3t ( t ∈ » ) ⇒ P − 2m ; m; 2a − 2m z = 2a + 3t −3m + 2am + a S MNPQ = MQ,MP + MQ,MN = 2 ) ( ( ) ( ) - Tìm m để diện tích MNPQ lớn Cách 1: Bảng xét dấu: ) m a −∞ −3m + 2am + a − +∞ 4a −∞ ⇒ S MNPQ ≤ 8a 3 ( −∞ Vậy SMNPQ 8a ) max = 3 m = a Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: S MNPQ ( a (a − m ) + m + a 8a = (a − m ) m + ≤ = 3 3 ⇒ SMNPQ 24 8a ) max = 3 ⇔ a − m = m + a ⇔ m = a 3 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh www.MATHVN.com Bài tập 20: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C ( a; a; ) , S ( 0; 0; a ) Chứng minh HK ⊥ SC SB = ( −a; 0; a ) = −a (1; 0; −1) z SC = ( −a; −a; a ) = −a ( 1;1; −1) S Phương trình tham số x = a + t SB : y = (t ∈ » ) z = − t R H ∈ SB ⇒ H ( a + t; 0; −t ) H AH ⊥ SB ⇔ AH.SB = a a a ⇒ t = − ⇒ H ; 0; 2 2 Phương trình tham số x = t SC : y = t ( t ∈ » ) z = a − t y A I B C x 뿠 a a 2a ⇒ K ( t; t; a − t ) AH.SC = ⇒ K ; ; 3 3 a a a a ⇒ HK = − ; ; = − ( 1; −2; −1) ⇒ HK.SC = 6 a a Chú ý: ∆SAB vuông cân A ⇒ H trung điểm SB ⇒ H ; 0; 2 2 Chứng minh B trung điểm CI a x = + t Phương trình tham số HK : y = −2t ( t ∈ » ) a z = − t x1 + xC = 2a = 2x B a a Ta có: I = HK ∩ ( ABC ) ⇒ − t = ⇔ t = ⇒ I ( a; −a; ) ⇒ y1 + yC = = 2y B 2 z + z = = 2z C B www.MATHVN.com 25 www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh Vậy B trung điểm CI Tính sin góc ϕ SB ( AHK ) SC ⊥ AK ( gt ) Ta có: ⇒ SC ⊥ ( AHK ) SC ⊥ HK ( cmt ) ( ) ) ( ⇒ n( AHK ) = ( 1;1; −1) ⇒ sin ϕ = cos SB,SC = cos nSB , n( AHK ) = Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC Gọi J ( x0 ; y0 ; z0 ) suy phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z2 − 2x0 x − 2y0 y − 2z0 z + d = d = a2 a2 a2 a A, B, C, S ∈ ( S ) ⇒ a a a ⇒ R = + + = 4 J ; ; a Bài tập 21: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; ) , M ( m; 0; ) , N ( 0; n; ) , S ( 0; 0; a ) , Vậy J trung điểm SC R = ( m, n > 0; m + n = a ) Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn S 썠 VSOMN z am+n a3 = amn ≤ = 6 24 a3 a ⇔m=n= max 24 2 Khi thể tích SOMN lớn a a M ; 0; , N 0; ; 2 ⇒ ( VSOMN ) = O - d O, ( SMN ) ( SMN ) : 2x + 2y + z − a = ⇒ d O, ( SMN ) = a = a 2 + 2 + 12 - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN x M Phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2αx − 2βy − γz = 26 www.MATHVN.com N y www.MATHVN.com Nguyễn Phú Khánh a2 a − αa = α = 4 a2 a a M, N, S ∈ ( S ) ⇒ − β a = ⇒ β = ⇒ R = α + β2 + γ = 4 a a − γa = γ = Chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° Đặt α = OSM, β = OSN, γ = MSN SM,SN m a + n 2a + m n = = sin γ = SM.SN SM.SN m2 + a2 n2 + a2 2S ∆SMN ( )( ) OM m OS a = = , cos α = 2 SM SM m +a m + a2 ON n OS a sin β = , cos β = = = 2 SN SN n +a n + a2 sin α = ⇒ cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = (m ( a − mn + a2 )( n + a2 ) ) Mặt khác: m a + n a + m n = a m + n + m n 菠τ ( = a ( m + n ) − 2mn + m n = a − 2a mn + m n = a − mn ⇒ sin γ = cos ( α + β ) = (m a − mn + a2 )( n + a2 ) ) ⇒ γ + α + β = 90° www.MATHVN.com 27 ... tiếp SOMN Khi M, N dị động cho OM + ON = a chứng minh OSM + OSN + MSN = 90° VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TAM GIÁC Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A ( 0; 0; ) , B ( a; 0; ) , C... vuông A có AB = a, AC = 2a Trên đường thẳng vng góc ( ABC ) A lấy điểm S cho SA = 3a AD đường cao tam giác ∆ABC E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc CP... 0; a; ) , C ( 0; 0; a ) Tính thể tích tứ diện HA1 B1C1 z Do OA = OB = OC nên OABC hình chóp tam giác đỉnh O OH ⊥ ( ABC ) H ⇒ H C ) a a a trọng tâm ∆ABC ⇒ H ; ; 3 3 a a HC1 ⊥ ( AOB