Bài 10 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành.. Giải: Các tứ diện MSKL và CSKL có cùng đáy SKL nên tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai đường cao tương ứng MM' và CC':
Trang 1Bài 10 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo một thứ tự tại K, L, M, N
Chứng minh rằng: SA SC SB SD
SK +SM = SL+SN
Giải:
Các tứ diện MSKL và CSKL có cùng đáy SKL nên tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai đường cao tương ứng MM' và CC':
' '
MSKL
CSKL
V = CC
MSKL
CSKL
(1)
Các tứ diện CSKL và CSAB có cùng chiều cao là khoảng cách từ C đến mp (SAB) nên tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích của 2 đáy tương ứng:
1
2
2
SK SL
V = S = SA SB = SA SB (2)
Từ (1) và (2), ta có:
MSKL
CSAB
V SK SL SM SK SL SM
V = SA SB SC ⇔ = SA SB SC
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: ABC∆ = ∆ADC
V =V = V = V
trong đó V là thể tích của hình chóp S.ABCD
1
2
SKLM
SK SL SM
SA SB SC
Tương tự, ta có:
1 . .
2
SKMN
SK SM SN
SA SB SD
=
2
S KLMN
V SK SM SL SN V
SA SC SB SD
(3)
Tương tự, ta có:
V S KLMN. =V SKLN +V SMLN
1 . 1 . .
SK SL SN SL SM SN
SA SB SD SB SC SD
2
V SL SN SK SM
SB SD SA SC
(4)
Từ (3) và (4), ta có:
SK SM SL SN SL SN SK SM
SA SC SB SD SB SD SA SC
⇔SB SK SM SN SD SK SL SM + =SC SK SL SN SA SL SM SN +
j M'
B
S
C'
M K
N
L
Trang 2Chia hai vế cho tích số SK.SL.SM.SN, ta có:
SB SD SC SA
SL+SN = SM +SK
Vậy: SA SC SB SD
SK +SM = SL+SN
Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là điểm giữa của cạnh SC Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N
Chứng minh: 1) SB SD 3
SM +SN =
2) 1 1 3
V V
trong đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V là thể tích hình chóp S.AMKN.1
Giải:
1 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD Trong tam giác SAC, AK và SO là hai trung tuyến, cắt nhau tại trọng tâm G Suy ra 3 điểm M, G, N thẳng hàng (3 điểm M, G, N nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (AMKN)
và (SBD))
Ta có: SMG .. 23
SBO
S SM SG SM
S = SB SO = SB
2
Tương tự, ta có:
2
SM SN
SB SD
=
Mặt khác, ta có:
S SMG+S SNG =S SMN
3
SM SN SM SN
SB SD SB SD
SM SD SN SB SM SN
SD SB
SN SM
2 Đặt: SB x
SM = ;SD y
SN =
⇒ + = ⇒ = − với : 1≤x y, <3
Ta phải có: 3− ≥ ⇔ ≤x 1 x 2
Do đó ta có: y= −3 x với: 1≤ ≤x 2
Mặt khác
N
G
K
O
S
M
Trang 3
SM SN
SB SD xy
SK SM SN
SC SB SD xy
1
1
2
xy xy xy V
Xem hàm số ( ) 2
1 3
f x
x x
=
− + trên đoạn [ ]1;2
Ta có:
( )
2 2
2 3 '
3 3
2
x
f x
x x
−
=
− +
= ⇔ = ∈
BBT
x
f ' (x)
f (x)
Suy ra 94≤ f x( ) ≤ 12
Vậy 1 1 3
V V
Bài 12: Cho tứ diện ABCD với AB = a, CD = b, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD
là d, góc của hai đường thằng này là α Tứ diện được chia thành hai phần bởi mặt phẳng (P) song song với các
cạnh AB và CD Tính tỉ số thể tích của hai phần đó, biết rằng tỉ số khoảng cách từ AB đến (P) và CD đến (P) bằng
k.
Giải:
Mặt phẳng (P) song song với AB nên cắt các mặt phẳng (ABC) và (ABD) theo các giao tuyến MN và RQ cùng song song với AB: MN // RQ // AB
Tương tự: (P) // CD => MR // NQ // CD
Do đó: (P) cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là hình bình hành MNRQ
Gọi x và y theo thứ tự là khoảng cách từ AB và CD đến (P)
x
k
y
⇒ =
Trang 4Ta có: ;
MR x MN d x
CD d AB d
−
MR bx;MN a d x( )
−
Gọi S là diện tích thiết diện thẳng BEF của hình lăng trụ cụt tam giác AMRBNQ Ta có:
2
EF.x= sin
bx
d
α α
Thể tích hình lăng trụ cụt đó là:
2
2
3 2 sin sin
a d x
α α
−
Thể tích của hình lăng trụ cụt CNQDMR:
3 2 sin
ab d y y
CD NQ MR
d
α
−
1
kd x
k x y d
d y
y k
=
= ⇒ + = ⇒
=
Do đó ta có:
2
3 sin
6 1
3 1 sin
6 1
abd k k
V
k abd k
V
k
α α
+
=
+ +
=
+
2 ( ) 2
1
3 1 3
+
Bài 13: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi A', B', C', D' tương ứng là trung điểm của AB, AC,
CD, và BD
1) Chứng minh rằng A'B'C'D' là hình vuông
2) Tính thể tích khối DAA'B'C'D' theo a
3) Nếu thay đổi đầu bài bằng cách lấy A', B', C', D' theo thứ tự trên các đoạn thẳng AB, AC, CD và BD sao cho AA' = AB' = DC' = DD' =
2
a n
1 2
n
thì thể tích khối DAA'B'C'D' sẽ bằng bao nhiêu?
Giải:
1) Ta có ' '// ; ' '//
A B = C D = (đường trung bình)
//
' ' ' ' ' ' ' '
A B C D A B C D
⇒ = ⇒ là hình bình hành.
Ta lại có: ' ' ; ' '
A B = = B C = =
B
Q
R
N
C
D
A
M
F E
Trang 5' ' ' ' ' ' ' '
A B B C A B C D
⇒ = ⇒ là một hình thoi
Tứ diện ABCD đều Ta có:
AB2+CD2 = AC2+BD2 = AD2+BC2
=> ABCD là một tứ diện trực giao (có các cạnh đối đôi một vuông góc) (*)
BC AD
Nhưng A'B'//BC ; B'C'//AD
⇒ A B' '⊥B C' '
Do đó A'B'C'D' là một hình vuông
2) Thể tích của khối đa diện DAA'B'C'D':
Vì AA' ' DD' ' 1
nên mp (A'B'C'D') chia tứ diện ABCD theo 2 phần tương đương Do đó ta có:
3 AAB'C'D'
' '
V = V = AB CD A C = a a =
(A'C' là đường chéo của hình vuông A'B'C'D' cạnh
2
a
)
Cách 2:
Gọi I là trung điểm của cạnh AD Ta thấy thể tích khối đa diện DAA'B'C'D' bằng tổng thể tích của hình tứ diện AA'B'I và lăng trụ A'B'I.D'C'D
ABCD là tứ diện đều Do đó A nằm trên trục AH của ∆BCD, H là tâm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời là trực tâm, trọng tâm của tam giác đều BCD
Ta có: AH ⊥(A B I' ' ) tại tâm H' của ∆(A B I' ' )
Các khối chóp AA'B'I và ABCD đồng dạng mà tỉ số đồng dạng là:
3 ' '
.
A A B I
A BCD
V k
V
' '
8 12 96
A A B I
V
Hai tam giác A'B'I và BCD đồng dạng mà tỉ số đồng dạng là 1
2
k =
Ta có:
' '
' '
A B I
A B I BCD
S S
Ta lại có: ' 1 ' ' 1 13 6
ABCD BCD
V
AH HH AH
Do đó ta có: AA'B'C'D' 3 2 3 2 3 2
96 32 24
D
V
3) Thể tích của khối DAA'B'C'D' khi AA' = AB' = DC' = DD' =
2
a n
Tương tự như cách giải thứ hai của câu trên
Lấy :
2
a
I AD AI
n
∈ = Thể tích của khối DAA'B'C'D' bằng tổng thể tích của hình chóp AA'B'I và lăng trụ A'B'I.D'C'D
H
I
C' D'
B' A'
B
C
D A
Trang 6Ta có:
3 AA'B'I
AA'B'I
ABCD
AB AI k
AC AD n
Ta lại có:
2 1 6
2 1 '
n a n
−
−
Mặt khác, ta có:
2 2
' '
2
A B I
BCD
S
k
' ' 12 2 3 2 23
A B I
S
3
3
'
32
2
D
n a
n
a V
−
Vậy: ( ) 3
48
D
n a V
n
−
Chứng minh (*)
Cho hình chóp S.ABC, có SB2+AC2 =SC2+AB2 Chứng minh rằng SA⊥BC
Giải:
Ta có: SB2+AC2 =SC2+AB2 ⇔SB2−SC2 = AB2−AC2 (3)
Trong SBC∆ , dựng đường cao SK và trong ABC∆ , dựng đường cao AH
Ta có: SB2−SC2 =2.BC IK (4)
AB2−AC2 =2.BC IH (5)
với I là trung điểm của BC
Từ (3), (4) và (5) ta có: IK IH= ⇔ ≡K H
Ta có: SH AH, ⊥BC⇒(SAH) ⊥BC⇒SA⊥BC (đpcm)
Bài 14: Trên các cạnh SA, SB của tứ diện SABC lấy các điểm M, N sao cho 1, 2
2
SM SN
MA= NB =
Mặt phẳng đi qua M, N và song song với SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần ấy
Giải:
Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của BC và AC với mặt phẳng ( )α qua M, N và song song SC Suy ra:
Trang 7MQ // SC ; NP // SC
Ta có:
//
2
3
MQ SC
CP SN CP
NP SC
PB NB CB
Gọi V V V theo thứ tự là thể tích của các khối SABC, SMN.CQP, AMQBNP., ,1 2
V V V
⇒ = +
Ta có:
1
1
AS 3
SCQP
SCQP SCAB
SQPM
SQPA
V
V CA CB CA CB
V
. 1.2 2
3.3 9
SPMN
SAPB
V SM SN
V = SA SB = =
V V
Do đó ta có: 1 2 4 2 4
9 27 27 9
V = + + =
2
1
4 5
9 9 5
4
V V
V V V V
V
V
⇒ =
Bài 15:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA (ABC) ⊥ Từ A kẻ AD SB ⊥
và AE SC ⊥ Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?
Giải
AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC
B
S
M
N Q
P
Trang 8B
C
D
E S
Tính đường cao:
∆ ABC vuông tại B nên AB BC ⊥
Giả thiết cho :SA (ABC) ⊥ ⇒ SA ⊥ BC⇒BC (ABC) ⊥ ⇒AD BC ⊥
AD là đường cao trong tam giác SAB
⇒AD SB ⊥
⇒AD (SBC) ⊥ ⇒ AD SC ⊥
Mặt khác : AE SC ⊥ ⇒SC (ADE) ⊥
Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:
AS.AB AS.AB2 2 2a.c 2
AD
AS.AC SA.AC c a b AE
+
Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có:
c (a b )
a b c
+
2
c
a + b + c
Diện tích tam giác ADE:
DE = AE2 + AD2 =
c b (a + b + c ).(a + c )
S = 1
.AD.AE
2 (a + b + c ).(a + c ) a + c
=
1 a.c b
2 (a + b + c ).(a + c )
Trang 9Thể tích:
V = 1 1
.SE .AD.DE
3 a + b + c 2 (a + b + c ).(a + c )
1 a.b c
6 (a c )(a b c )
=
• Xét một cách giải khác như sau:
DE⊥ (SAB)
BC ⊥(SAB) => DE // BC
Pytago trong các tam giác vuông:
SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2
SB2 = SA2+AB2
SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2
Lập các tỷ số:
2 2 2 c2 2
SA AE
a b c
.
SA AB SA SB SC
=
c a c (a b )
a c . c a b
+
=
(a c ) (c a b )
=
=>
3
SA SD SE b.c
.
SA SB SC (c = a b )(a c )
SADE
SABC
V SA SD SE
.
V = SA SB SC =
3
b.c (c + + a b )(a + c )
=>VSADE =
3
b.c (c + + a b )(a + c ).VSABC
=
3
b.c (c + + a b )(a + c ).
.SA .AB.BC
1 a.b c
6 (c + + a b )(a + c ) (đvtt)