Tóm tắt giáo khoa chuyên đề hình học không gian doc

Trang 1

Tóm tắt giâo khoa chun dĩ hình học khong gian

Trang 2

'Chương !: DUONG THANG VA MAT PHANG

A TOM TAT GIÂO KHOA

| Đối tượng co bản vă tiín: đề

Câc đối tượng cơ bản của hình học không gian a điểm, đường thẳng , mặt phẳng Chúng có những quan hệ với nhau

qua câc tiín đề

Tiín đề 1 : Qua 2 điểm phđn biệt có một đường thẳng vă:

chí một mă thơi TC

¬ 'Tiín đề 2 : Qua 3 điểm ' khơng thẳng hăng có một mặt _ phẳng vă chỉ một mă thơi Na ,

_ Tiín đề 3 : Nếu một đường thắng có 2 điểm phđn biệt `?

nằm trín một mặt _phẳng thì đường thẳng đó hoăn toăn nằm ễ

trín mặt phẳng : ẹ

3

Trang 3

Tiín đồ 4 : Nếu hai mặt phẳng phđn biệt có mộ: điểm

chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung ấy Đường thẳng chung năy gọi lă giao tuyến của hai mặt

phẳng

II Vị trí tương đối của đường thẳng vă mặt phẳng

Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng a vă mặt phang a : alla @ aNaxg

a cĩta @ ana = {A}

aca @ aNa=a

alla 'a cắt a | aca

HÍ VỊ trí tương đối của hai đường thẳng

Có bốn vị trí tương đối giữa hai đường thắng a vă b :

as b ® a vă b có 2 điểm chung phđn biệt

ao b ¢ anb= {A} | |

a/b * a, b đồng phẳng văa n b = Ø

achĩob « a, b không đồng phẳng (a n b = @)

Trang 4

IV Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Có ba vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng ø vă Ø :

asp @ zvẵcó 3 điểm chụng không thắng hăng

alip anĐ8= a cht 8 ô- œ8 = + a=sB ai p- _ VY Câch xâc định mặt phẳng Có bốn câch xâc định một mặt phẳng : _ a) Ba điểm không thẳng hăng,

b) Một điểm vă một đường thẳng khơng chứa nó ©) Hai đường thẳng đồng QUY,

_ đ) Hai đường thắng song song

_7EJBIJEJ-

VI Văi hình thơng dụng

_a) Tứ diện lă hình hợp bởi 4 điểm không đồng phẳng

_b) Hình chóp : cho đa giâc lồi At Az An vă điểm § ở ngoăi ” mặt phẳng đa giâc Hình chóp lă hình giới hạn bởi n tam giâc | - SAIAo, SA2Âa, °* SAnAt vă đa giâc A1A2 An

Trang 5

B

"

B PHƯƠNG PHÂP GIẢI TOÂN

Vấn đề I: Câch xâc định một mặt phẳng

Xâc định ::

— ba điểm không thẳng hăng vo — một điểm vă một đường thẳng không chứa nó

~ hai đường thẳng đồng quy

— hai đường thẳng song Song

VÍ DỤ † :

Cho 4 diĩm A, B, C, D khĩng đồng phẳng :

a) Chứng tỏ ba trong bốn điểm năy không thẳng hang ~ liệt kí câc mât phẳng khâc nhau

b) Hêy níu câc cặp đường thẳng chĩo nhau

Giải

kì GIÂ sử có 3 điểm B, C, D

- thẳng hăng thì điểm A vă: đường thẳng BCD xâc định -

một mặt phẳng Do đó 4

phẳng, điều năy trâi với gid

thiết - |

Vay 3 trong 4 diĩm A › B, C, D không thẳng hang

Trang 6

ww

Suy ra có 4 mặt phẳng khâc nhau ABC, ABD, ACD, BCD

b) Câc cặp đường thẳng chĩo nhau lă AB vă CD, AC vă BD,

AD vă BC

VÍ:DỤ 2: - nă

Cho hai đường thing « chĩo nhau a, b Trín a lấy hai điểm phđn

biĩt A , B vă trín b lấy hai điểm phđn biệt C, D Chứng ¡ minh AC vă BD chĩo nhau Giải Nếu AC vă BD đồng phẳng trong một mặt phẳng œ thì ta cÓ : AB G€z > aca C,DEa » bC ae

Điều năy trâi giả thiết vì a

vă b chĩo nhau

Vậy AC vă BD không đồng `

phẳng nín AC vă BD chĩo

nhau

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ”

1 Cho tứ giâc lồi ABCD vă: điểm § khơng thuộc mặt phẳng của tứ giâc

-_ ø) Liệt kí câc mặt phẳng mă ta có được ˆ

b) Hay níu câc cặp cạnh chĩo nhau

Ầ Cho 5 di ấm ABCDE trọng đó khơng có 4 aim năo: cùng nằm - trong, một mặt phẳng

a) Chứng tỏ ba trong năm điểm khong thắng hang.”

-B) Hỏi có mấy mặt phẳng xâc định bởi 3 trong 5 điểm trín -

3 Cho hai đường thẳng dị vă d2 cắt nhau tại A Mot đường

thẳng a cất cả hai đường đó Hỏi cả bạ đường thẳng có nằm _- _ trong một mặt phẳng không ?

Trang 7

TARR OT See Te

Vin dĩ 2: Tim giao tuyến e của hai mặt phẳng

L Ta tìm hai điểm chung của chúng a a

VÍ DỤ t :

Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trín đoạn AB, điểm N trín đoạn AC va l ở trong tam giâc BCD Giâ sử MN không song song với BC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

a) (MNI) vă (BCD) b) (MNI) va (ABD) c) (MNI) va (ACD)

_ Giải

* MN vă BC cùng nằm trong mat phẳng (ABC) vă khơng song song

nín cắt nhau tại J

Ta có: J€GMN * J © (MNI) J€BC + J € (BCD) Hai mật phẳng (MNI) vă (BCD) có hai điểm - chung Iva J nĩn

giao tuyến của chúng lă H

* Trong mặt phẳng BCD , đường thẳng J cĩt BD tại K vă CD

tại E

Hai mặt phẳng (MNI) va (ABD) có hai điểm chung 1 M vă K ; nĩn giao tuyến của chúng lă đường thẳng MK +

* Hai mặt phẳng (MNI) vă (ACD) có hai điểm chung lă N vă E -

nín giao tuyến của chúng lă NE

ví DỤ 2:

Cho tứ giâc ABCD có câc cặp cạnh đối không s song Song vă điểm $ -không thuộc mặt -phẳng của tÚ giâc Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

a) (SAC) vă (SBD) _b) (SAB) vă (SCŨ)

ƯƠ ©} (SAD) vă (BC `: San oe

Trang 8

" - Giải

a) Gọi O lă giao điểm của hai

đường chĩo AC vă BD, ta

` CỐ : :

0 € AC O€ (SAC)

0 € BD» O€ (SBD)

Do đó hai mặt phẳng (SAC)

vă (SBD) có hai điểm chung _

S va O nĩn giao tuyến của chúng lă đường thẳng SO ˆ b) Thco giả thiết câc cạnh đối

AB vă CD của tứ giâc khơng

song song nín cất nhau tại

I Ta có :

I € AB #1 & (SAB) I € CD #1 € (SCD)

Vay hai mat phdng (SAB) va (SCD) cĩ, hai diĩm chung S va I nĩn giao tuyĩn cha ching 1a SI

c) Hai cạnh đối AD vă BC không song song nín cắt nhau tại J Hai

2 mat phdng (SAD) va (SBC) co hai diĩm S va J chung nĩn giao

tuyến của ching 1a SJ ,

BAI TAP TUONG TU

1 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trín AC, điểm N trín BD vă

điểm | tran AD Tim giao tuyến của mặt phẳng MNI với câc mặt của tứ diện ABCD

2 Tromg mặt phẳng ø cho hai đường thẳng dị vă dạ đồng quy tại O Điểm M không thuộc mặt phẳng a Tim giao tuyến của hai mặt phẳng (M,d1) va (M,dạ)

3 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm | trín AB, điểm-J trong tam giâc BCD vă điểm K trong tam giâc ACD Tìm giao tuyến của mật

Trang 9

Vấn đề 3: — Dựng giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Ta dựng giao điểm của đường thẳng đó với: đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Ta dựng giao tuyến của- mặt phẳng năy với mặt

phẳng chứa đường thẳng)

_ VÍ DỤ 1:

Cho tứ diện ABCD Gọi M vă N lần lượt lă trung điểm của AC vă BC,vă K lă điểm trín BD với KD” < KB - Dựng giao” điểm ˆY của CD vă AD với mặt phẳng (MNK).-

Giải

* NK va CD cing nam trong mat "phẳng (BCD) vă không song song ( KD < KB) nín cất nhau tại 1,

Ma: NK C (MNK)

Vay CD cât (MNK) tại I

* Ta cĩ MI va AD cing nam trong mặt phng (ac) va Khong song song nín cất nhau tai J

MăiI€NK + I€ (MNK) + MIC (NK)

Vậy : AD cất (MNK} tại J

10

Trang 10

_ VÍ DỤ 2:

Cho tứ diện ABC Lấy điểm M trín AB, điểm N° trong tam

-giâc BCD vă điểm K trong tam giâc ACD Dựng giao điểm của

CD vă AD với mặt phẳng (MNK)

*

Giải

AK vă CD cùng nằm trong mặt phẳng (ACD) vă không song

song nín cất nhau tại Ì

MK vă BI cùng nằm trong mat ` phẳng (ABI) vă khơng song

song nín cắt nhau tại E

Tacó E€ MK =ò EE (MNK)

E € BI » E © (BCD)

Mặt khâc N lă điểm chung của 2 mặt phẳng (MNK) vă ă (BCD)

theo giả thiết Đo đó hai mặt phản (MNK) vă (BCD) cất nhau _ theo giao tuyến NE

-_ Ta Có : -'NE cất CD lại F, mă NEC - (MNK)

Vậy : FR giao: điểm của CD với mặt phẳng (MNK)

Hai mặt phẳng (MNK) vă (ACD) có hai điểm chung K vă F

nín giao tuyến của chúng lă KF -

11

Trang 11

“Ta có : KF cất AD tai J (vi cùng nằm trong (ACD))

Mă : KF C (MNK) Vậy J lă giao điểm của AD với mặt phẳng

(MNK) |

Í DỤ

a Cho hinh chĩp SABCD Lan luot lay trĩn SA, AB vă BC câc điểm M, N, P sao cho NP không song song với AD vă CD

Dựng giao điểm của SD, SC với mặt phẳng (MNP) _

"

* Theo giả thiết NP không song song với AD vă CD nín NP cắt AD tai E vă CD tại F (vì cùng nằm trong mặt phẳng ABCD)

.EE€AD + E€(SAD)

E-€ NP » E & (MNP)

Do đó hai mặt phẳng (MNP) vă (SAD) có hai điểm chung M

vă E nín cắt nhau theo giao tuyến ME Trong mặt phẳng (SAĐ),

ME vă SD cắt nhau tại I Vậy 1 lă giao điểm của SD với (MNP) * Tương tự bai mặt phẳng (MNP) vă (SCD) có hai điểm chung

Trang 12

IF cất SC tại J Vậy J lă giao điểm của sc với mặt phẳng ˆ

(MNP)

, BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

-1 Cho tứ diện ABCD: Lấy điểm M trín ¿ AB vă N trong tam giâc

BCD Dựng giao điểm của AC với mặt phẳng (MND)

2 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trín AB vă N trín AC,vă I ở

“ trong tam giâc BCD Dung giao điểm của BD, CD với mặt phẳng (IMN)

3 Cho hình chóp SABCD va điểm M ở trín SB Dựng giao điểm

của S$C với mặt phẳng (ADM)

Vấn đề 4: Chứng minh ba điểm thẳng hăng

Ta chứng minh chúng lă ba điểm chung của hai mặt phẳng phđn biệt,

ví DỤ †1 :

Cho đường thẳng d cât mặt phẳng (a) tail Lay hai điểm A

vă B trín d vă điểm M trong không gian không thuộc d vă

(œ) Giả sử MA vă MB lần lượt cất (a) tai A’ vă B' Chứng minh ba điểm |, A’ va B’ thang hăng

Giai

Điểm M vă đường thẳng d

không chứa nó xâc định một

mặt phẳng (M,d)

Ta cĩ I, A’, B’ & (a) (gt)

Vă A’ € MA * A’ (Md) B’ € MB » B’ € (M,d) - Vay I, A’, B’ lă ba điểm

chung của hai mặt phẳng

:phđn biệt (ø) vă (M,d) nín

chúng thẳng hăng trín giao _ tuyến của hai mặt phẳng năy

13

Trang 13

‘vi DU 2:

Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Lấy

hai điểm phđn biệt A, A' trín Ox; hai điểm phđn biệt B, B' trín

Oy vă hai điểm phđn biệt C, C' trín Oz sao cho BC cất B'C' ˆ tại D, CA cât CA' tại E vă AB cât A'E' tại F Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hăng " ¬

"GIẢI -

D€BC = D & (ABC)

DEBC > DE (ABC) `

Tương tự: E,F € (ABC) vă E,F € (ABC) -

Như vậy : D,E,F lă ba điểm chụng của hai mặt phẳng phđn

biệt (ABC) vă (A'B'C) nín chúng thẳng hăng trín giao tuyến

của hai mặt phẳng năy

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ x TS

1 Trong mặt phẳng (a) cho 2 đường thẳng di vă da Lấy hai

điểm A va B không thuộc (a) sao cho đường thẳng AB cat: (2)

Trang 14

tại I Mặt phẳng (6) qua AB cắt di tai M-va da tại N Chứng

to ba diĩm |, M, N thẳng hăng

2 Cho hình chóp SABCD trong đó AD vă BC không song song

Lấy điểm M trín §B vă O lă giao điểm hai đường chĩo AC vă

BD

a) Dựng giao điểm N của SC với mặt phẳng (ADM)

b) AN vă DM cât nhau tại I Chứng tỏ 3 im Đ ,!, â

thng hang -

Vin dĩ 5: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh: - * Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm ở trín đường thẳng thứ ba

* Chúng lă câc đường thẳng không đồng phẳng vă cắt nhau từng

đơi một (xem ví dụ 2)

VÍ DỤ 1:

Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lượt lă 3 điểm trín ba cạnh

AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cất AD tại J (1 khâc

C va J khâc D) Chứng minh CD, IG vă JF đồng quy

Giải

; Ta có :

i 1 & EF #1 € (EFG)

_ I€BCzI€(BCD)

Vậy IG lă giao tuyến của hai

mặt phẳng (EFG) vă (BCD) Ta cũng có:

J€EGx>J€(ŒFG)

J€AD>J€ (ACD)_ˆ

Vậy JF lă giao tuyến của hai

mặt phẳng (EFG) vă (ACD) IG vă JF nằm trong (EFG) vă không song song.cất nhau

`

Trang 15

tạ O Do đó O €(BCD) vă O€ (ACD) nín ˆ O € giao tuyĩn CD

Vậy ba đường thẳng CD, IG, vă JF đồng quy tại điểm chung của

ba mặt phẳng phđn biệt (EFG), (ACD) vă (BCD) VÍ DỤ 2 :

Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng không đồng phẳng vă đôi một cât nhau thì ba đường thẳng năy đồng quy tại một

điểm

Giải

Cho dị, dạ vă d không đồng phẳng -

vă cắt nhau từng đôi một

Thco giả thiết, dị vă dạ cất nhau

tại O nín xâc định một mặt phẳng (2) Ta nói dạ phải qua O vì nếu dạ cât dy tai A va d2 tai B khâc O thi dạ C (ø),, điều năy trâi giả

thiết

BĂI TẬP TƯỜNG TỰ

1 Cho hình chóp SABCD Một mặt phẳng (œ) lần lượt cất câc

canh SA, SB, SC, SD tai A’, B’, C’, D’ Goi O lă giao điểm hai

đường chĩo AC vă BD Chứng minh ba dudng thang A’C’, B’D'

vă SO đồng quy

2 Cho hai tam giâc ABC vă A'B'C' không cùng nằm trong một | mặt phẳng Giả sử BC cất BC, AC cât A'C' vă AB cất A'B' Chứng minh ba đường thẳng ĂA', BB’, CC’ 7 thường đồng quy:

tại một điểm

16

Trang 16

Vấn đề 6: Tập hợp điểm lă giao tuyến (hay một phần của -

giao tuyến) của hai mặt phẳng

Ta chứng minh điểm đó thuộc hai mặt phẳng cố định

VÍ DỤ 1: ines ham

_ Cho hình chóp SABCD Một mặt phẳng (œ) lưu động qua trung điểm

A' vă B' của SA, SB vă cât SC, SD lần iượt tại C' vă D' Tìm tập hợp giao điểm M của A'C' vă B'D' (Giả sử (A'B'C) cắt SO)

Giải

* Goi O 1a giao điểm của AC va BD Ta cĩ A’ € SA aco ce sc =» A’C’ C (SAC) Ma M € A’C’ »> M & (SAC) Ta cũng có : B’ € SB D’ € SD z BD' C (SBD) va M € BP' s M € (SBD) Do đó : M thuộc giao tuyến SƠ của hai nă: phẳng (SAC)

vă (SBD)

Khi @ = S thi M = S va khi C’ = C thi M = Mo la giao điểm của SỐ vă A'C

* Dao lại, lấy điểm M € SMo, trong mặt phẳng (SAC) đường thẳng AM cất SC tại C Trong mặt phẳng (SBD) đường thẳng

BM cất SD tại D Hai dường thẳng A'C vă B'ÙD' đồng quy

nín xâc định một mặt phẳng (đ)

* Vậy : Tập hợp câc điểm M lă đoan SMo tiín giao tuyến của

(SAC) vă (SBD)

Trang 17

vi DU 2:

Cho hình chóp SABCD trong đó AD vă BC không song song

Gọi O lă giao điểm của AC vă BD, E lă giao điểm của AD vă BC Điểm M lưu động trín SB, EM cât SC tai N Tìm tập hợp

giao điểm l của AN vă DM

— Ta có | = I © (SAC) » I & (SBD)

Vay I € SO, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) vă (SBD)

- Khi M=S th I=S_

M = B thi | O x

- Vay I chay trĩn doan SO khi M chay trĩn doan SB

I lì

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp SABCD Gọi O lă giao điểm của AC vă BD, H

vă K lần lượt lă trung điếm cua SA va SB Điểm M lưu | dong

trĩn doan SC

a) Dung giao diĩmN cua SD voi mat phẳng (MHK)

Trang 18

2 Cho hỉnh chóp SABCD trong đó AB vă CD không song song

Mặt phẳng (œ) luu động qua BC cât SA tai M vă SD tại N

Tim tap hop giao diĩm | cla BM vă CN

Vấn đề 7 : Dụng hình trong khơng gian

Ta dùng câc phĩp đựng cơ bản sau đđy :

* Phĩp dựng 1 : lấy 1 điễm trín một hình đê dựng được * Phâp dựng 2 : dựng mặt phẳng bởi câc yếu tố xâc định nó * Phĩp dung 3 : dụng đường thẳng bằng câch dựng giao tuyến

của hai mặt phẳng

* Phâp dựng 4 : dụng câc đối tượng trong hình học phẳng

VÍ DỤ 1 :

Cho hai đường thẳng chóo nhau dị vă dạ vă điểm A không

thuộc hai đường thẳng năy Dụng đường thẳng d qua A cât dị va do

Giải

a) Phđn tích

Giả sử dựng được đường thang d qua A vă cất dị tại

B, cât d2 tại C Điểm A vă đường thẳng dị _ xâc định một mặt phẳng œ vă d C a Điểm B vă đường thẳng d2 xâc định mặt phẳng Ø vă dcØ

Vậy d lă giao luyến của a@ vă ổ

b) Câch dựng

Dựng mặt phẳng œ xâc định bởi điểm A vă đường thẳng dị (phĩp

dung 2)

Trang 19

_Dựng mặt phẳng xâc định bởi điểm A vă đường thẳng do

-(phĩp dựng 2)

Dựng giao tuyến d của a va B (phĩp dung 3) c) Ching minh

A la điểm chung của # vă ổ nín A € d

Mặt khâc d vă dị cùng nằm trong œ nín thường cất nhau ; d vă dạ cùng nằm trong nín thường cất nhau

đ) Biện luận

Hai mặt phẳng œ vă Ø phđn biệt vì dị vă d2 chĩo nhau Nếu d không song song với di hay d;¿ thì băi tôn có một nghiệm hình

Nếu d song song với dị hay song song với d¿ thì băi tôn vơ

nghiệm

VÍ DỤ 2 :

Cho 3 đường thẳng dị vă da vă dạ chĩo nhau tùng đôi một Chứng tỏ có vơ số đường thẳng cất cả ba đường thẳng năy

Giải

Lấy điểm A trín dy (phĩp

dung 1) Theo vi du 1 ta dung được một đường thẳng d qua

A cât dị vă d¿

Mă trín dạ có thể lấy vô số điểm A nín có vơ số đường thẳng d cất dị, dạ vă dê

Trang 20

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho mặt phẳng ø, điểm A € ø vă đường thẳng a không nằm trong ø Dựng đường thẳng d qua A, nam trong @ va cat a 2 Dụng đường thẳng d qua điểm A vă vng góc với đường

thẳng a cho trước

C TOÂN TỔNG HỢP

1 Cho trong mặt phẳng œ hai đường thẳng dị vă da cắt nhau tai

O Hai điểm A vă B cố định ở ngoăi œ sao cho đường thẳng AB cat a Mot mat phang Ø lưu động qua AB cât dị tại M va cât da tại N

a) Chứng minh đường thang MN đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh giao điểm ! của AM vă BN ở trín một đường

thẳng cố định

c) Chứng minh giao điểm J cla AN va BM ở trín một đường thẳng cố định

d) Chứng minh đường thẳng kJ đi qua một điểm cố định

Giải

Trang 21

a) Theo giả thiết, AB cắt œ tại E

Ta có M,N, E € a

M,NE€@ wv EE ABCS

Vay M, N, E thang hang trĩn giao tuyĩn cha @ va B Suy ra

đường thẳng MN luôn qua điểm cố định E

b) Ta có : M (A,d1) = TE (Ad) n> I A m sm 1 € BN BN C (B,d;) wo I € (B,d2)

Vậy Ï € a, giao tuyến của hai mat phẳng cố định (A,di) vă

(B,d2) Hai mat phẳng năy có điểm O chung nĩn O € a

c) Ta có :

ị > J € (Ad) = J € (Bd)

Vậy J € b, giao tuyến của hai mặt phẳng cố định (A, d2) vă

(B,di) Hai mặt phẳng năy có điểm O chung nín O € b

d) IJ va AB cing nằm trong mặt phẳng (IMN) nín cắt nhau tại F Hai đường thẳng a vă b đồng quy tại O xâc định mặt phẳng (a,b) Ta có :

Fel

U C (ab) FE (ab)

Vậy F lă giao điểm của AB vă mặt phẳng cố định (a,b) nín F

cố định, vă đường thẳng IJ luôn qua điểm cố định E

2 Cho tứ diĩn ABCD Goi G; va Ge lần lượt lă trọng tđm câc tam giâc BCD vă ACD,

a) Chúng minh AG+ vă BGa đồng quy tại một điểm | va tinh

Trang 22

a)

kB lG6i ` iGe

b) Chung minh l lă trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm

hai cạnh đối AB vă CD

c) Chúng minh câc đường thẳng nối từ đỉnh của tứ diện đến trọng tđm của mặt đối diện thì đồng quy

Giải

Gọi M lă trung điểm của CD thì BM vă AM lă đường trung tuyến của câc lam giâc BCD

va ACD nĩn Gi € BM va G2 € AM,

Đo đó hai đường thing AG; vă BG2 cùng nằm trong tam

giâc ABM nín cất nhau

tai I Theo tính chất trọng tđm ta Môi _ Mũ; MB MA nín G¡G; // AB 1 3

Suy ra hai tam giâc IGIG¿ vă LAB đồng dạng Do đó :

TA 18 _ AB

1G, 1G2 GiG2

Mặt khâc hai tam giâc MGIG¿ vă MBA đồng dạng cho :

AB _ MB _., GG2 MG, TA 1B Vay : =" = —- = —3, y 1G, IG2

Theo tinh chat ca hinh thang ABG;G2 thi MI qua trung diĩm N

của AB vă trung điểm K của GỊGa

Trang 23

Š|

=|

II td

fre

Ta có: 4Ý” - -~3 vă IK =

Suy ra I lă trung điểm của MN

c) Bốn đường thẳng nối từ đỉnh của tứ diện đến trọng tđm của

mặt đối cất nhau từng đôi một (thco cđu a) vă ba trong hốn

đường năy không đồng phẳng Vậy chúng đồng quy tại điểm I

“(theo ví dụ 2 của vấn đề 5) I lă trung điểm của đoạn nối ¡ trung

điểm hai cạnh đối diện

“`:

M THÍM

a hình chóp SABCD trong đó ABCD lă hình thang có đây

lớn la AB Goi | va J la trung điểm của SA, $B Điểm M lưu

động trín $D

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) vă (SBC)

b) Dựng giao điểm K của IM với mặt phẳng (SBC) vă giao _ điểm N của $C với mặt phẳng (LJM)

c) Chứng tỏ giao điểm H của IN vă JM ở trín một đường

thẳng cố định

2 Cho tứ diện SABC Gọi M, N, P lă trung điểm của SA, SB, SC

a) Chứng minh 3 mặt phẳng (MBC), (NCA) vă (PAB) có chung một điểm | vă 3 mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN) có chung

một điểm J SỬ,

b) Chứng minh 3 điểm S, L J thang hang va tinh = SI” “3 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trín AB vă điểm N trong tam

giâc BCD

a) Dựng giao điểm của AC với mặt phẳng (MDN) b) Dung giao điểm của AN với mặt phẳng (CDM)

Trang 24

Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VA MAT PHANG SONG SONG

A TÓM TẮT GIÂO KHOA

I Đường thẳng song song

1 Định nghĩa „D a Ce b= @ an a abe {2 2 Câc định lí

a) Từ một điểm ở ngoăi đường thẳng ta dựng được một đường thẳng song song với đường thẳng năy vă chỉ một mă thôi

aillb = b) ae im te anbe= =f cf} a ib c) 2 bic p=c d) 3 ¬ b oom 9 =nn»5

3 Góc của hai đường thẳng a) Góc có cạnh song song :

Trang 25

Nếu hai góc có câc cạnh song song vă ngược chiều thì bằng nhau

Nếu hai góc có hai cạnh song song cùng chiều vă hai - cạnh song song ngược chiều thì bù nhau

b) Góc của hai đường thang :

* Góc của hai đường thẳng trong không gian lă một trong câc góc hợp bởi hai đường

thẳng lần lượt song song với

, chung, phât xuất từ một điểm

ow a bt kỡ

0 *a Lbâđ góc (ab) = 90°

* Hệ quả :

PS a ic ao fees

i Dudng thẳng vă mặt phẳng song song

1 Định nghĩa — ˆ

affae#ana=@

2 Điều kiện cần vă đủ ay,

* Cho a không nằm trong a | (a)

abca Taco: alae | * Câc hệ quả : Nếu một đường thẳng 5

song song với một mặt

phẳng thì nó song song với

giao tuyến của mặt phẳng năy với mặt phẳng năo chứa nó

Trang 26

Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng vă từ một điểm trong mặt phẳng ta dựng một đường thẳng song song với đường thang đó thì đường thẳng năy chứa _ trong mặt phẳng đê cho 3 Câc định lí œđnđ8=d/y a) yNa=a + d//aijib yn@Ð@=b anBpe=b b) a//4a > a//b a // B c) Từ một điểm ta dựng được một mặt phẳng song song „ VỚI hai đường thẳng chĩo

nhau vă chỉ một mă thôi Đặc biệt-cho hai đường thẳng

chĩo nhau, qua đường thẳng

năy ta dụng được một mat phẳng song song với đường

thẳng kia vă chỉ một mă thôi

B PHƯƠNG PHÂP GIẢI TOÂN

Vấn đề I: Chứng minh hai đường thẳng song song

chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng * Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba

* Dùng tính chất : hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng năy

* Ching minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng vă dùng phương phâp

Trang 27

VÍ DỤ 1 :

Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P,Q, R, S lần lượt lă trung điểm

của AB, BC, CD, DA, AC vă BD

a) Chứng minh MNPQ lă hình bình hănh Suy ra MP, NQ vă RS cât nhau tại trung điểm mỗi đoạn

b) Giả sử tam giâc BCD cố định vă điểm A lưu động trín mặt phẳng z qua BC sao cho NSQR lă hình thoi Chứng tỏ điểm A lưu động trín một đường tròn cố định

Giải

a) Trong tam giâc ABC ta có :

MN // AC va MN = AG

Trong tam giâc ACD ta có :

Xu AC

PO / AC vă PQ = 2

Do đó MN // PQ va

MN = PQ | Vậy tứ giâc MNPO lă hình bình hănh

Suy ra hai đường chĩo MP vă NQ cât nhau tại trung điểm mỗi

đường

Tuong ty RN // QS // AB va RN = QS = AS

Do đó tứ giâc RNSO lă hình bình hănh

Suy ra hai đường chĩo RS vă NQ cất nhau tại trung điểm mỗi , đường

Vậy : MP, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

b) Nếu NSOR lă hình thoi thì ta có RN = RƠ.-

- Mă : AB = 2RN vă CD = 2ROQ

Do đó : BA = CD = hằng số c

Vậy A chạy trín đường trịn tđm B bân kính CD ở trong mit

phang a

Trang 28

AD va AC Cho AB = 2a, CD = 2avV 2 va MN = aV 5 Tinh

góc của AB vă CD

-Giải

Ta có IM // AB va IM = ae ea

(vi IM lă đường trung bình

của tam giâc ABC)

Tương tự IN // CD vă = = aV 2

“on

Vậy góc (AB,CD) = MIN Âi: dụng hệ thức cosin trong tam giâc IMN ta có :

2 2 2 7 aN MN* = IM ~ + IN” — 2 IM.IN cosMIN

IN =

IM? + IN? — MN? a’ + 2a* — Sa?

-~~

Do dĩ cosMIN 21M IN =2 a.v2

1 “~~ -0 = — V3 => MIN = 135 vi DY 2:

Cho hình bình hănh ABCD vă mặt phẳng cố định @ qua AB

Điểm S lưu động trín ø Gọi M, N, P, Q lần lượt lă trung điểm

của SC, SD, AD va AC Giả sử MNPO lă hình chữ nhật Chứng

tỏ S$ lưu động trín một đường thẳng cố định

Giải

Ta có MN /PO (cùng song song với CD) -

NP // MO (cùng song song với

SA) |

Theo gia thiết MN 1L MO nín

SA +1 CD > SA 1+1 AB

wy

Trang 29

Vậy S chạy trín đường thẳng vng góc với AB tại A trong mặt phẳng a

VÍ DỤ 3 :

Cho tứ diện ABCD có câc cạnh đều bằng a Gọi I, J, K lần lượt lă trung điểm của BC, CA vă AD Tính IK Suy ra câc cặp

cạnh đối của tứ diện vuông góc nhau

*

Giải

Taco: IA = ID = avs (đường cao của câc tam giâc đều

ABC va DBC canh a)

Do đó : tam giâc IAD cđn, suy ra trung tuyến IK cũng lă đường cao

Tam giâc vuông AIK cho :

IK? = AP AK? A 37 # 2 4 4 2 K ; aV2 2 B en _ AB _a 1 Ta cing co: WJ = 2 = 35 l 5 - &D_a va JK = > = 3 2 2 Do đó: J + JK? = 3 + 2 5 IK? Vay tam gidic IJK vudng can tai J

Mặt khâc :

AB // JI vă CD // JK nín góc (AB,CD) = ÚK = 9œ

Vậy AB vuông góc với CD Tương tự: BC LAD vă AC +1 BD,

Trang 30

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hình chóp SABCD ; ABCD lă hình bình hănh vă SA = SB, SC = SD Chứng minh rằng : góc (SA,BC) = góc (SB,AD) 2 Cho tứ diện ABCD với AB vuông góc với CD Gọi M,N,P,Q

lần lượt lă trung điểm của AC, BC, BD vă AD Chứng tỏ :

MP = NQ

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt _ phẳng

Ta chứng minh đường thẳng đó song sơng với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng

VÍ DỤ 1 :

Cho điểm S ở ngoăi mặt phẳng hình bình hănh ABCD Gọi M

vă N lă trung điểm của SA vă SB Chứng tỏ MN song song với mặt phẳng (SCD) Giải S Ta có MN // AB (đường trung bình của ASAB) ` Mă: CD /AB , nín ụ D MN-// CD C (SCD) Vay : MN // (SCD) vi DU 2:

Cho tứ diện SABC Gọi M vă N lă trung điểm của AB vă $B Chúng tỏ SA song song với mặt phẳng CMN Xâc định giao

tuyến của mặt phẳng (CMN) với mặt phẳng (SAC)

Trang 31

Giải Ta có : SA // MN (đường trung bình của ASAB)

Mă : MN C (CMN) n: SA // (CMN) Hai mặt phẳng (CMN)

vă (SAC) có điểm C chung vă lần lượi chứa MN // SA nín giao tuyến

lă đường thẳng d qua C

vă song song với SA

BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

Cho tứ diện ABCD Goi Gi va Ga lă trọng tđm của câc tam giâc ACD vă BCD Chứng tỏ GGa song song với mặt phẳng

(CAB)

Vấn đề 4: — Dựng thiết diện song song với một dường thẳng

Ta có thế dùng câc tính chất :

*+_ Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với giao tuyến của mặt phẳng năy vă một mặt phẳng năo đó chứa nó

* Nếu hai mặt phẳng phđn biệt có một điểm chung vă lần lượt chứa

hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với _ hai đường thẳng năy

VÍ DỤ 1 : :

Cho tứ diện ABCD Từ điểm M trín AC ta dựng một mặt phẳng

@ song song với AB vă CD Mặt năy lần lượt cât BC, BD, AD,

tại N, P vă @

a) Tứ giâc MNPQ lă hình gì ?

b) Giả sử AB L CD thì MNPQ lă hình gì ? Tính diện tích của MNPQ biết AM = x, AB = AC = CD = a Tính x để diện tích năy lớn nhất

Trang 32

cơ"

NẾ

Mặt phẳng øœ song song với - AB nín ø cắt hai mặt chứa

AB lă-(ABC) vă (ABD)

theo hai giao tuyến

MN // PO // AB Tương tự : ¿ /U CD + a cắt (ACD) vă (BCD) thco MO // NP // CD Vậy MNPQ lă hình bình hănh

b) Nếu AB +1 CD thì MN + MQ Vậy MNPO lă hình chữ nhật

MN CM oon a MN // AB > “3 = TA => MN = CM = a x (vi AB = AC) MQ _ AM _ - MQ // CD = Gp = AC > MQ = AM = x (vi CD = AC)

Vậv: Swxpo = MN.MO = x(a — x)

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có :

x+a-—-xX\2 a x(a ~ x) Ss (——)’ = 7

a?

Vay : Smax = | va dấu = xảy ra khi x=a—x a

hay X = 2

vi oy 2:

Cho điểm S ở ngoăi mặt phẳng hình bình hănh ABCD Gọi M vă N lă trung điểm của AD va BC Mat phẳng a qua MN vă

Trang 33

Giải

Mặt phẳng œ // SD

nín @ cat (SAD) theo MQ // SD

Hai-mat phing = va

(SAB) có điểm Q

chung vă lần lượt

chứa MN vă AB song song nín giao tuyến của chúng lă

PQ // AB /MN Thiết diện MNPO lă hình thang

VÍ DỤ 3 :

Cho điểm $ ở ngoăi mặt phẳng hình thoi ABCD cạnh a sao cho tam giâc SAD lă tam giâc đều Từ điểm M trín đoạn AB

ta dựng mặt phẳng a song song với SA vă BC Mặt phẳng ø lần lượt cât CD, SC, SB tại N, P, Q `

a) Tứ giâc MNPQ lă hình gì ?

b) Tính diện tích của MNPQ theo a va x = AM

c) Tìm tập hợp giao điểm ¡ của MQ vă NP khi M di chuyển

từ A đến 8

Giải

a) Mặt phẳng œ qua M vă song song với SA nín cất mặt phẳng

(SAB) thco giao tuyến MO // SA

Mặt phẳng œ song song với BC nín cắt hai mặt phẳng chứa - BC la (ABCD) va (SBC) thco hai giao tuyến :

MN // PQ // BC

CN _ BM

Trang 34

mă : Do đó : Vậy : PNM =

Suy ra tứ giâc MNPQ lă hình thang cđn

b) Ta có : MN = BC = a PQ _ SO SQ _ AM BC ~ SB PQ _ AM BC ~ AB SB AB Kẻ đường cao QH L MN ta có : _ MN - PO a-x MH =~ 2 > = ae (vi PQ // BC) = 22 (vi MQ // SA) = s 2 NP// SD ee = DAS = 60° oe SDA = 60° AM PO (hình thang cđn)

Tam giâc vuông MOH có M = 60° nín:

OH = MH.tg60° = (a - x»v3

2

Trang 35

Wt Vay : dt MNPQ 2 (MN + PQ).QH _1 (a - xV3 _ (a — eva _“;(a+x—7 = 4 , LEM c) Ta cĩ: MO C NSAP): } + J © (SAB) | I © NP NP C (SCD) > I € (SCD) Vay: 1 €d = (SAB) N (SCD) Ma : „ CD, nín d a S va // AB va CD Khi M = Athil =

! M= Ba với Blo // SA

Suy ra tập hợp câc điểm I lă đoạn Slo của giao tuyến d (Phần đảo độc giả tự chứng minh)

_ BĂI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho tứ diện A8CD Gọi I vă J lần lượt lă trung điểm của CA

vă CB Điểm M lưu động trín đoạn BD Mặt phẳng (JM) cat AD tai N

a) Chứng minh IJMN thông thường lă hình thang Định vị trí của điểm M để LJMN lă hình bình hănh ⁄

b) Tìm tập hợp giao điểm K của IM vă JN khi M di động từ

B đến D

c) Giả sử câc cạnh của tứ diện đều bang a va dat BM =

( < x < a) Tính diện tích của lJMN theo a vă x

2 Cho tứ giâc ABCD trong đó AB vă CD cât nhau tại E, AD vă

BC cất nhau tại F Điểm S$ ở ngoăi mặt phẳng của tứ giâc Một mặt phẳngœqua điểmM trín đoạn SA lần lượt cắt $B, SC, SD tai N, P, Q

a) Chứng minh rằng nếu @ song song vĩi SE hay SF thi MNPQ lă hình thang

b) Nếu a song song với SE va SF thì MNPQ lă hình gì 2?

Trang 36

C TÔN TƠNG HỢP

1 Cho tứ diện ABCD Từ điểm M trín cạnh AC ta dựng một mat

phẳng a song song với AB vă CD, mặt phẳng năy lần lượt cât

BC, BD va AD tai N, P, Q cho AB = a, CD = b, AC =

va MN = x

a) Tú giâc MNPQ lă hình gi? Tinh chu vi của nó

b) Khi M lưu động trín AC, tìm hệ thức giữa a vă b sao cho chu vi MNPQ khơng đổi

c) Tìm tập hợp giao điểm I của MP vă NQ khi M di chuyển từ A đến €

Giải 7

a) œ// AB = a cất (ABC) vă (ABD) thco 2 giao tuyến MN // PO // AB

Trang 37

tl 2(MN + MQ) = afx + =5

- 2[(a - b)x + ab] 4 s

a

Vay: chu vi MNPQ

b) Chu vi MNPQ không đổi khi a — b = 0 hay a = b 4

'e) Gọi E vă F lă trung điểm của AB vă CD

MO // CD nĩn AF cất MO tại trung điểm R của MQ

NP // CD nín BF cắt NP tại rung điểm S cia NP

Do đó : RS // MN // AB va I lă trung diĩm cia RS , nĩn I

chạy trín đường trung tuyến FE của tam giâc ABF - % Đảo lại, lấy điểm I trín FE, dựng đường song song với AB cắt AF vă BF (ại R vă S Từ R vă S ta dựng đường song song với CD ta được mặt phẳng ø :

Vậy : Tập hợp điểm I lă đoạn EF nối trung điểm hai cạnh Ỳ AB,CD

2 Cho tứ diện ABCD vă điểm M ở trong tam giâc BCD

a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) vă (ABD) Đường thẳng năy cắt mặt phẳng (ACD)

tại B' Chứng minh AB', BM vă CD đồng quy tại một điểm

a „ MB’ _ dtMCD

b) Chứng minh “BA = ‘dt BCD

c) Tương tự đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) vă (ACD) kẻ từ M cât (ABD) tại C' vă đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) vă (ADB) kẻ từ M cât (ABC) tại D' Chứng minh rằng BA † CA Ì DA = 1

Giải

a) Đường thẳng MB’ qua M va song song với hai mặt phẳng (ABC) vă (ABD) nín song song vớt giao tuyến AB của hai mặt phẳng

Trang 38

AB va MB' song song xâc định một mặt phẳng vă AB°, BM cắt nhau tại I

Ta co: ‘T © AB’ = 1 & (ACD)

I € BM +I & (BCD)

Vay: 1 € CD = (ACD) n (BCD) Nói câch khâc, ba dường AB’, BM va CD đồng quy tai I

, MB’ _ IM b) MB’ // AB = AB 7 Jp Kẻ MM' LCD vă BH 1 CD ta CÓ : MM’ // BH = IM _ MM IB — BH > Mặt khâc : ha diMCD _ 2 CD.MM dt BCD '2CD.BH — MM? ~ BH MB’ di MCD Vay: BA dt BCD 5;MC _dtMBD MD _ dtMBC

9) Tương tự ta có: CC = diBCD ” DA = aBCD

vậy ; MB, MC Ă MD'” _dtMCD + d(MBD + dị MBC 7' BA t+ CA + Da = dt BCD

= 1

3 Cho mặt phẳng ø vă hai đường thẳng chóo nhau dị, da cắt ø

tai A va B Đường thẳng d lưu động song Song với a cat dị tại M vă da tại N Đường thẳng dạ qua N vă song song với dị cất ø tại N'

40

Trang 39

a)

b)

a) Tứ giâc AMNN' lă hình gì ?

b) Chứng minh đường thang NN' ở trong một mặt phẳng cố định Tìm tập hợp câc điểm N' s

c) Xâc định vị trí của d sao cho độ dăi MN nhỏ nhất Giải

Ta có d // ø (giả thiếU nín ; d,

mat phdng (di,d3) cất ø theo

giao tuyến AN' / MN ay

Ta c6 : AM // NN’ (gid thiĩt)

Vậy : AMNN' lă hình bình

hănh

* Đường thẳng NN' tựa trín

d2 cố định vă song song với _ dị cố định nín NN' nằm a

trong mặt phẳng cố định qua `

d2 vă song song với dị

+

*, Ta có : N' chạy trín giao tuyến đ' của hai mặt phẳng a va (d2,d3)

- Đảo lại lấy N'€ d’ vă kẻ NN//dị vă NM // AN’ thì

MN /j a

Vậy : Tập hợp câc điểm N' lă đường d'

Ta có MN = AN,

A cố định vă N' chạy trín d' nín AN' ngắn nhất khi AN' L đ',

Dung AIT 4 d’, HN // di va NM // AH thi MN có độ dăi ngắn nhất

Cho tứ diện ABCD Gọi AE lă trung tuyến của tam giâc ACD

va | lă một điểm trín đoạn AE Một mặt phẳng a qua BI va song song với CD, cât AC tại M vă AD tại N

a) Chứng minh MN // CD

Trang 40

b) Tim giao tuyến của hai mặt phòng (BMN) vă (BCD)

c) Chứng minh giao tuyến năy cố định khi l di chuyển trín AE

Giải

a) Mặt phẳng œ vă mặt phẳng ACD có I chung vă @ //

CD nín a@ cat (ACD) theo

MN qua I va // CD ˆ b) Hai mat phdng (BMN) va

(BCD) cĩ B chung va Rin lượt chứa MN vă CD song song nín giao tuyến của chúnh lă d qua B va // CD

c) d qua B c6 dinh va // CD

cố định nín d cố dink BĂI LĂM THÍM

1 Cho hai đường thẳngchĩo nhau dị vă da cắt mặt phẳng œ tại

42

A va B Dựng đoạn thang MN song song với œ cất dị tại M vă d¿ tại N sao cho MN = l,độ dăi cho trước

Hướng dẫn : Chiếu MN xuống œ¿ theo phương d,

Cho hai nửa đường thẳng chĩo nhau Ax vă By Điếm M di động

trín Ax, điểm N di động trín By

a) Dựng mặt phẳng œ qua By vă song song với Ax

b) Kĩ MM' // AB vă MM' cât ø tại M' Chứng tỏ khi M di

động trín Ax thì M' di động trín nửa đường thẳng cố định c) Giả sử AM = BN Chứng tỏ NM' song song với mặt phẳng

cố định

d) Lấy điểm I lă trung điểm của MN Tìm “tập hợp câc điểm I