Đề cương chi tiết ôn thi toán 11 - học kì 2 ppsx

5/ Vận dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại hoặc biết hệ số góc k 2/ Hình học: 1/Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc với nhau.. 2/Chứng minh ñường thẳng vuông g

ðỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II LỚP 11 CƠ BẢN

*CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN LƯU Ý

1/ ðại số và Giải tích:

1/ Tìm giới hạn của hàm số ( x→x0hoặc x→ ±∞)

2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 ñiểm, trên tập xác ñịnh

3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số ñể chứng minh sự tồn tại nghiệm

4/ Dùng các qui tắc, tính chất ñể tính ñạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức ñạo hàm

5/ Vận dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (tại hoặc biết hệ số góc k)

2/ Hình học:

1/Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc với nhau

2/Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

4/ Xác ñịnh và tính góc giữa ñường thẳng và ñường thẳng, ñường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng

**MỘT SỐ DẠNG TOÁN MẪU:

I/ ðại số và giải tích:

Bài 1: Tính giới hạn các hàm số sau:

1)

2

x

2)

2

2

-4)

2

x x

+ − + −

5)

2

8

6)

3

3

3

x

7)

2

2

lim

x

x

x

x x

→−∞

−

-x

lim

1 2

x

+ +

Bài 2: 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các ñiểm ñược chỉ ra:

a)



= −



2

4

x

n

n

tại ñiểm xo = 2

+ f(2) = 4; +

2

Vậy hàm số liên tục tại x = 2

b)

1

1

x

khi x





Ta có: + f(1)= -2; + + +

lim ( ) lim( 2 ) 2

− −

f x

x x

lim ( ) lim ( ) (1) 2

f x f x f suy ra hàm số liên tục tại x = 1

2 Tìm m ñể hàm số sau liên tục tại các ñiểm ñã chỉ ra:

3 2

2 2

1

khi x



Ta có: + f(1)= 3 + m;

+

ðể hàm số liên tục tại x = 1 thì 3+ = ⇔ =m 3 m 0

Vậy khi m = 0 thì hàm số liên tục tại x = 1

3 Tìm số thực m sao cho hàm số:

2

3 ( )

2 1

x

f x

mx



=



nÕu x < 2 nÕu x 2liên tục tại x = 2

lim ( ) lim 3 12, lim ( ) lim (2 1) 4 1 (2)

f(x) liên tục tại x = 2 khi

lim ( ) lim ( ) (2)

suy ra

11 lim ( ) lim ( ) 12 4 1

4

Với m = 11

4 thì f(x) liên tục tại x = 2

Bài 3: Chứng minh phương trình sau có ñúng 3 nghiệm phân biệt:

a) x3−3x+ =1 0 b) x3+6x2+9x+ =1 0

a) Ta có f( 2)− = −1; (0)f =1; (1)= -1; (2)f f =3

Vì hàm số y = 3− +

3 1

x x là hàm ña thức nên liên tục trên các khoảng [-2; 0], [0; 1], [1; 2]

Mà : + f(-1).f(0)=-1.1=-1 <0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (-2; 0);

+ f(0).f(1) = 1.-1=-1<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (0; 1);

+ f(1).f(2)=-1.3= -3<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (1; 2)

Suy ra hàm có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên R mà hàm số là hàm bậc 3 nên có nhiều nhất là 3 nghiệm Vậy hàm số

có ñúng 3 nghiệm phân biệt

b) tương tự xem như bài tập

Bài 4 :ðạo Hàm

1 Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3 CMR: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)

Ta có: f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2 VT = f’(1) + f’(-1) =(5 + 3 - 2) + (5+ 3- 2) = 12

VP = -4f(0) = -4.(-3) = 12 = VT , Suy ra ñiều phải chứng minh

2 Cho hàm số y =

2

2 5 1

x

−

a) Tính y’ b) Giải bất phương trình y’<0

a) y’ =

2

( 2 5) '( 1) ( 2 5)( 1) '

( 1)

x

−

b)

2

2 2

1

1 0

2 7

2 7 0

x x

y

≠



− ≠



− − <

Vậy nghiệm của bất phương trình là: (1 2 2; 1 2 2) {1}− + \

3 Tính ñạo hàm các hàm số sau:

y

x

3 2

2 5

−

=

2

( 3 1).sin

a)

x

x y'=

2

3 2 5

2 5

+ −

b)y=(x2−3x+1).sinx⇒y'=(2x−3) sinx+(x2−3x+1) cosx

4 Cho hàm số : x

4 3

5

2 3

= + − + Tính f (1)′

Ta có: ′ = 3+ 2+ (2 ) ' = 3+ 2+ 1 ⇒ ′ = + 1

x

5 Cho hàm số f x( ) sin x 1sin 3x 2sin 5x

= + + Tính A= f '( )p - 3f 2( )p

Ta có : f ' x( )= cosx+cos3x+ 2 cos 5xÞ f '( )p = - 1+ -( 1)+2.( 1)- = - 4,

f(2π) = 0 nên A= - 4

Bài 5: Cho hàm số = 3+ 2

y x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng -1 2) Tại ñiểm có tung ñộ bằng 2

3) Biết hệ số góc k = 1

4) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d: y=5x

5) Biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ∆: x – 5y -9 = 0

Giải: Ta có = 3+ 2⇒ = 2+

' 3 2

'( 1) 1

y x

y

=



= − ⇒ 

− =

 , suy ra phương trình tiếp tuyến là:

y= x+ + ⇔ = +y x

y = ⇔x +x = ⇔x = ⇒y = Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 5(x – 1) + 2 ⇔y = 5x – 3

3) Gọi Gọi (x y0; 0) là toạ ñộ của tiếp ñiểm Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

'( ) 1 3 2 1

 = −



=



0 2

0

1

3

x

x

+ Với x0 = −1⇒y0 =0 ⇒ PTTT: y= +x 1

+ Với 0 =1⇒ 0= 4

x y ⇒ PTTT: =1( − +1) 4 ⇔ = − 5

Vậy có hai tiếp tuyến có k =1 là y= +x 1.và = − 5

27

4) Vì tiếp tuyến song song với d: y=5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5

Gọi (x y0; 0) là toạ ñộ của tiếp ñiểm

'( )= ⇔5 3 +2 =5

x

x

0 2

0

1

3



= −



+ Với x0 =1⇒y0 =2 ⇒ PTTT: y=5x−3

+ Với x0 5 y0 50

= − ⇒ = − ⇒ PTTT: y 5x 175

27

Vậy có hai tiếp tuyến song song với d là : y=5x−3 và y 5x 175

27

x + y − = ⇔ y= − + ⇔ = −x y x+ ⇒k∆ = −

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, Vì tiếp tuyến vuông góc với ∆ nên ta có : 1 1 1 5

5

k k∆ = − ⇔k − = − ⇔ =k

(Có k = 5 làm giống câu 4: Gọi (x y0; 0) là toạ ñộ …)

II Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a và SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6

3 1) Chứng minh BD ⊥ SC

2) Chứng minh BC⊥(SAB) 3) Chứng minh (SAD) ⊥ (SCD)

4) Tính góc giữa SC và (ABCD) 5) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)

O

C

S

A

B

D

1) (ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa ñường thẳng kia )

Ta có :

(ABCD là hìn ô )

trong (SAC)









2) (ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với hai ñường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng)

Ta có

(vì ABCD là hìn ô )

trong (SAB)





3)(ðể chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này có chứa một ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia)

Ta có :

( vì ABCD là hìn ô )

trong (SAD)









4) (Tính góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm hình chiếu của ñường thẳng trên mặt phẳng, khi ñó góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng là góc giữa ñường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).

Ta có :Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC nên:

(SC,(ABCD))=(SC,AC)= SAC ( vì SA⊥(ABCD))= SCA Trong tam giác vuông SAC ta có

6

a a

Vậy (SC,(ABCD)) = 300

5)(ðể xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ta: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, trong mỗi mặt phẳng tìm ñường vuông góc với giao tuyến Khi ñó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai ñường vuông với giao tuyến ñó)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có:

( ),





Trong tam giác vuông SAO ta có:

0

6

2 3 3

3 2 2

a SA

***CÁC ðỀ THI THỨ HỌC KÌ II

ðỀ 1:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1)

2 1

3 2 lim

1

x

x

→

− +

2 lim

7 3

x

x x

→

− + −

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số

3

3 3

x

khi x

khi x



= −



tại x = 3

Bài 3: Cho hàm số y= f x( )= 2x3+ 4x2- 1 có ñồ thị ( )C

1) Giải bất phương trình f ' x( )³ 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại ñiểm có hoành ñộ x0= 2

3) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại ñiểm có tung ñộ bằng 1-

4) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2-

Bài 4: Cho hai hàm số : f x( )=sin4x+cos4x và ( ) 1cos 4

4

Chứng minh rằng: f x'( )=g x'( ) (∀ ∈ℜx )

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, tâm O, BAC= °30 , SA=SB=SC=SD=a a Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD)

b Tính góc giữa SC và (ABCD) c Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC Chứng minh rằng:

(SMN) (⊥ SBD)

ðỀ 2:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1)

2

3

9

lim

1 2

x

x

x

→

−

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số

2

7 1

x x

khi x

khi x

+ −

>

≤







 tại x0 = 1

Bài 3: Cho hàm số y f x( ) 2x 1

x 2

+ có ñồ thị ( )C

1) Tính ( )

( )

2f ' 1 3

f 3

- +

- 2) Giải bất phương trình f ' x( )> 0 3) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C tại giao ñiểm của ñồ thị ( )C với trục hoành

4) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d :5x- 4y+3= 0 5) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng d ' :x+5y- 4= 0

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD= °60 , = 3

2

a

SA Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ∆ABD 1).Chứng minh rằng: BD⊥( )SAC Tính SH, SC

2) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD) 3) Chứng minh AB ⊥SD