Đang tải... (xem toàn văn)
đi tìm bất đẳng thức trong tứ diện vuông tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
1 Đ I TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG T Ứ DIỆN VUÔNG (Bài gửi đăng kỷ yếu H Ộ I TH Ả O, T Ậ P HU Ấ N QU Ố C GIA CHO GIÁO VIÊN C Ố T CÁN CÁC TR ƯỜ NG THPT CHUYÊN CHU K Ỳ 2011 – 2015, MÔN TOÁN) Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận Đ T: 0976631898. E-mail:leeleexclqd@gmail.com T ứ di ệ n vuông là t ứ di ệ n có ba c ạ nh xu ấ t phát t ừ m ộ t đỉ nh đ ôi m ộ t vuông góc. T ứ di ệ n vuông có các đẳ ng th ứ c đơ n gi ả n liên h ệ chi ề u cao, c ạ nh, góc và di ệ n tích. Trong bài vi ế t này, tác gi ả k ế t hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi. I.Bài toán mở đầu về đẳng thức .Cho tứ diện vuông SABC. ,, SA a SB b SC c , chiề u cao SH=h. Gọi , , l ần lượ t là góc giữ a SH và SA, SB, SC ( , , lần lượt cũng là góc giữa (ABC) và (SBC), (SCA), (SAB) ). 123 ,,, ABC SBC SCA SAB SS S S S S S S . Ta có: 1. 222 2 1111 abch . (a) 2. 222 2 123 SSSS . (b) 3. 222 cos cos cos 1 . (c) 4. 222222 tan tan tan tan tan tan 2 . (d) Chứng minh. 1. Lưu ý H là trực tâm A BC . Gọi { } KAHBC . A SK vuông tại S với đường cao SH 22 2 11 1 SA ShK . B SC vuông tại S với đường cao SK 222 111 SK SB SC 222 2 1111 abch . 2. 222 2 1111 abch 222 2 222 2 9999 ab VV c V h V 2 22 2 1 22 2 22 3 (. ) (. ) (. ) (.) cS aS ab bS hS ch 22 23 22 1 SSSS . 3. 222 2 1111 abch 222 222 1 hhh abc 222 cos cos cos 1 . 4. 222 cos cos cos 1 222 111 1 1 tan 1 tan 1 tan 222222 tan tan tan tan tan tan 2 . II. Một số kết quả về bất đẳng thức (Các đẳng thức đều xảy ra abc ). 1. Ta có 2 123 123 222 2 11 ( 2 . 111 ) abc h SSS SSS abbcca h (sử dụng (a)). S A B C K H minhpr93@gmail.com sent to www.laisac.page.tl 2 Theo Cauchy: 3 222 222 111 1 3 abc abc , 3 222 3 ab bc ca a b c 2 123 2 9 h SSS . Kết quả 1. 2 123 2 9 h SSS . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2010) 2. Theo Bunhiacopski, 222 2 123 123 (1 1 1)( ) ( ) SSS SSS . Kết hợp (b) 22 123 123 ()33 SSS SSS SS . Kết quả 2. 123 3SSS S . 3. Ký hiệu r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện vuông SABC, ta có 123 11 11 1 33 tp S SSSS rV V abch 11 111 rhabc . Theo Bunhiacopski, 2 222 2 111 1 1 1 3 () ) 3( abc a b c h (s ử d ụ ng (a)). 3111 abc h 11 3 rh h 311 rh . Kết quả 3. 13 h r . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2002) 4. Kết hợp (a) và Cauchy 3 2222 222 1111 1 3 habc abc , 32222 ()9caacbb 2 2 133 27 () hab abc hc . Kết quả 4. 133 habc . 5. Kết hợp 11111 r abch và 133 habc 1111 33 rab abcc . K ế t quả 5. 1111 33 rabcabc . 6. Cho 3abc. Ta có 111 111 3( ) ( )( ) 9 abc abc abc 111 3 abc . Theo kết quả 5: 1111 33 rabcabc 3 133 3 6 r r . Kết quả 6. 3abc , ta có 33 6 r . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2006) 3 7. Theo kết quả 5: 1111 33 rabcabc 111 3 max{ , , } max{ , , } max{ , , } m 3 3ax{,,}abc abc abc abc 13 max{ , , } (3 3) max{ , , 3 } abc r r abc . Kết quả 7. max{ , , } (3 3) abc r . (200 bài thi vô địch Toán) 8. Ký hi ệ u R là bán kính hình c ầ u ngo ạ i ti ế p t ứ di ệ n vuông SABC, ta có 222 1 2 R abc . Theo 3. 222 1 1111 111 1 1 1 r abchabc a b c 22 22 22 ab bc ca a b b c c a abc . 22 22 22 222 . 2 Rabbcca abbcca abc r abc . S ử d ụ ng Cauchy: 3 222 3ab bc ca a b c , 322 22 22 444 3 abcab bc ca và 3222 222 3abc abc 33222 322 4 2 44 33(31) .3 2 3 2 Rabc abc abc r abc . K ế t qu ả 8. 3( 3 1) 2 R r . (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 9. S ử d ụ ng Cauchy: 23 222222 1 22 22 22 123 111 ()( )9 SSSSSS SSSS SS 222 22 22 22 123 94( ) SSS SSSS SS (sử dụng (b)) 2 22 1 22 22 2 3 2 123 2 4( 9111) S SS SS SS SS 3 2 2 2 22 1 22 22 2 3 2 1 3 4 ) S SS SSSSSS . Kết quả 9. 2 22 1 22 22 3 3 2 2 2 12 3 ) 4 S SS SSSS SS . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2010) 10. Sử dụng (c) và Bunhiacopski, ta có 222 1.cos 1.cos 1.cos (1 1 1)(cos cos cos ) cos cos cos 3 . 4 Kết quả 10. cos cos cos 3 . 11. Đặt 222 cos , cos , cosxyz . Từ (c), được ,, 0 1 xyz x yz . 2 2 11 tan 1 1 cos yz x x . Tương tự: 22 tan , tan x z zx y y . 222222 tan tan tan cot cot cot xy yzzx yzz x yz zxy x xy . Ta có 6 xyyzzx zxyz xy yzzx zxxyy . 3 2 yzzxx xy y z (Nesbit). Vậy 222222 15 tan tan tan cot cot cot 2 . Kết quả 11. 222222 15 tan tan tan cot cot cot 2 . (Bài đề ngh ị Olympic 30/4, 10 n ă m, 1995-2005) 12. Đặt 222 cos , cos , cos xyz . Từ (c), được ,, 0 1 xyz x yz . Do 1 3 1 3 x y và y x cùng dấu (hoặc cùng bằng 0), 1 3 1 3 yz và zy , 1 3 1 3 zx và x z c ũ ng v ậ y, nên )( ) ) 11 11 11 ((())()0 33 33 3 ( 3 xy yz zx yx zy xz . B ất đẳ ng thức trên 22 2 0 333 xyz yz xzx yxy z 13 13 13 0 333 xyz xyz 3111 3 33 3 3 3 33 x yz x y z x yz 111 2 2 2 .3 .3 .33 33 x yz x y z z xy 222 2 2 2 sin sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos cos .3 cos .3 cos .33 33 . Kết qu ả 12. 222 2 2 2 sin sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos cos .3 cos .3 cos . 333 3 . (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 13. Từ (c): 222 cos cos cos 1 222 sin sin sin 2 . Đặ t 22 2 0,,1 sin , sin , sin , 2 mnp mnp mnp . Theo Bunhiacopski: 22 22 14 81 1 (1 )( ) 16 97 m m m m 491 (1. . ) 4 97 m m . 22 22 14 81 1 (1 )( ) 16 97 n n n n 491 (1. . ) 4 97 n n . 22 22 14 81 1 (1 )( ) 16 97 p p p p 491 (1. . ) 4 97 p p . 5 Do đ ó 222 22 2 111 mnp mn p 49 111 [() ] 4 97 mn mn p p 49 97 (2 . ) 4 7 9 22 9 Đẳng thứ c 2 3 mnp 3.abc h . Kết quả 13. 44 4 444 1119 7 sin sin sin sin sin sin 2 . (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 14. Theo Bunhiacopski: 2 (tan tan tan ) 222 tan ta ta3n(n) 222 tan tan tan3( 2) (sử dụng (d)) 2 222 (6tan tan tan ) tan tan t n 3 a 2222 cot cot cot tan tan tan )] co [( 6tcotcot3 2222 cot cot cot cot cot cot ) cot cot cot(36 . Kết quả 14. 2222 cot cot cot cot cot cot ) co(tcotcot36 . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2007) III. Một số kết quả tương tự. 1. 222 cos cos cos cos cos cos 63 cos cos cos . 2. 22 2 2222 22 cos cos cos 3 sin sin sin sin sin sin 4 . 3. 4444 222 ()()()3(3) cos cos cos xxx yy x y y ,với mọi x,y dương. 4. 2 ()2 3 Vh r hrR . Phan Rang, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận Nơi ở: 33-Mạc Thị Bưởi-Thành phố Phan Rang Tháp Chàm ĐT: 0976631898. E-mail:leeleexclqd@gmail.com . c ạ nh, góc và di ệ n tích. Trong bài vi ế t này, tác gi ả k ế t hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề. 1 Đ I TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG T Ứ DIỆN VUÔNG (Bài gửi đăng kỷ yếu H Ộ I TH Ả O, T Ậ P HU Ấ N QU Ố C GIA CHO GIÁO VIÊN. thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi. I.Bài toán mở đầu về đẳng thức .Cho tứ diện vuông SABC. ,, SA a SB b SC c , chiề u cao SH=h. Gọi , , l ần lượ t là góc