Tổng hợp kiến thức toán lớp 9

Định nghĩa hàm số: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đ

Phần I / căn thức bậc 2.

I/

Định nghĩa – Tính chất: Tính chất:

1 Căn bậc hai số học :

* ĐN: Căn bậc 2 số học của 1 số a không âm là số x sao cho x2 = a

- Số dơng a có đúng 2 CBH là 2 số đối nhau : a và - a

- Số 0 có đúng 1 CBH , chính là 0 : a = 0

* Chú ý : Với a  0 ta có x = a  x  0 và x2 = a

* Định lí : Với a , b  0 ta có a < b  a < b

2 Căn thức bậc 2 :

- Với A là 1 biểu thức đại số , ta gọi A là căn thức bậc 2 của A , còn A là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

- ĐKXĐ của A là A  0

3 Hằng đẳng thức : - Với a  R ta có a2 a











0 ,

0 ,

2

KhiA A KhiA A

A A

* Chú ý :  A2  A2 A nếu A  0

4 Căn bậc 3: Căn bậc 3 của 1 số là số x sao cho x3 = a

Mỗi số a có duy nhất 1 căn bậc 3 là 3 a

ĐKXĐ của 3 a là x  R

* Chú ý : Căn bậc 3 của 1 số dơng ( hay 1 số âm ) là 1 số dơng ( hay 1 số âm )

II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :

1 A.B  A B ( A; B  0 )

2 A.2B A B ( B  0 )

3

B

A B

A

 ( A  0 ; B > 0 )













) 0

; 0 (

) 0

; 0 ( ,

2 2

B A

B A

B A

B A B

A





B

AB B

A

6 a,  . ; (B 0 )

B

B A B A

B A

B A C B A

C













c,  ;(A,B 0;A B)

B A

B A C B A

C













III/ Một số tính chất mở rộng về căn thức :

1 Với A; B  0 ta có : A = B  A  B

A < B  A  B

2 0 < A < 1  A < A < 1

3 A > 1  1 < A < A

4 n a x a 0 ;x 0 ; xn = a ( n chẵn)

5 xn a  xn = a ( n lẻ )

6 n abc n a.n b.n c

7

n n

n

b  b

8 n a mn a m

9  n a m n a m

10 m n a  mn a ( m; n  N; m; n  2 )

11 n a  m nk a mk ( k  0 )

12 n a m a m/n



* a b  a  b a b ; 0 Dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

* a b  a  b a b  0 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b hoặc b = 0

*

2

a b

ab



* 1 1

ab  ( a > 0 ; b > 0 )

* a b  a b Dấu “ = ” xảy ra khi a b 0

* a  b  a b Dấu “ = ” xảy ra khi a b 0 Hoặc a  b 0.

* + Với n là số tự nhiên : + 1

1

1

 

n

           

Chú ý : - Mọi số thực a đều có căn bậc lẻ.

- Số âm không có căn bậc chẵn

* Công thức căn phức tạp :

* M 2 N  A B , Trong đó a, b là nghiệm của PT : t2 – Tính chất: Mt + N = 0

*

2

A B       ( Với A; B > 0 ; A2 > B )

* Chú ý: Nếu hệ số của N 2 ta làm xuất hiện hệ số 2 ở đó

IV/ Một số bài toán về căn bậc 2:

1/ Bài toán 1: Thực hiện phép tính :

 Dạng tính 1 : Thực hiện tính khai căn bậc 2 nhờ phân tích 2ab trong HĐT( a + b )2 : Khi gặp căn thức dạng P = M  E N ta có thể nghĩ đến việc phân tích E N về dạng

E N = 2.a.b và phân tích M = a2 + b2 > kq

 Dạng tính 2 : Th.hiện tính khai căn bậc 2 nhờ xhiện bình phơng khi dùng HĐT a2 - b2 Trong 1 tích , nếu xuất hiện thừa số có dạng M - N ( Hoặc M + N ) thì ta có thể là xuất hiện thừa số dạng M + N ( Hoặc M - N )

 Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trớc hết tính T2 rồi xét dấu của T để có k quả của biểu thứcT

 Dạng tính 4 : Khi gặp mẫu của biểu thức chứa căn ta nghĩ đến việc trục căn thức ở mẫu

Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đa thừa số vào trong căn , ra ngoài căn rồi nhóm

 Dạng tính 5 : Biểu diễn luỹ thừa bậc cao qua luỹ thừa bậc 1.

VD : Tính GTBT: E = 2x5 + x3 – Tính chất: 3x2 + x - 1 với x = 1 - 2

G : Vì x = 1 - 2 nên ta có :

* x2 = (1 - 2)2 = 3 - 2 2 = 1 + 2(1 - 2) = 1 + 2x

* x3 = x2x = = x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2

* x5 = x3x2 = = 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12 > E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – Tính chất: 1 = 58x + 22 =

E = 80 - 58 2./

2 Bài toán 2 : Chứng minh đẳng thức A = B:

C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B  A – Tính chất: B = 0

- Lập hiệu số A – Tính chất: B > biến đổi A – Tính chất: B > Chứng tỏ A – Tính chất: B = 0 > KLuận C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản: A > B Hoặc B > A C3 : Biến đổi song song 2 vế của đẳng thức đã cho

C4 : Với bài toán chứng minh có ĐK ta có thể :

- Dùng các ĐK để biến đổi sao cho > có mối liên hệ với biểu thức đã cho

- Hoặc: Niến đổi biểu thức đã cho sao cho > có mối liên hệ với ĐK

C5 : Dùng PP quy nạp nếu đẳng thức đã cho phụ thuộc vào số nguyên n

C6 : Dùng biểu thức phụ :

- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) nào đó

- Bình phơng 2 vế ta có : y2 = A2 = A1 = = B2

- Suy ra y = B hoặc y = - B

- Đối chiếu với ĐK (*) suy ra B > KL

3 Bài toán 3: Rút gọn biểu thức :

* Các bớc thực hiện:

- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có – Tính chất: Nếu cần )

- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn Hoặc vào trong dấu căn ( Nếu cần )

- Trục căn thức ở mẫu ( Nếu có )

- Thực hiện các phép tính : Luỹ thừa , khai căn , nhân,chia ,

- Cộng trừ các số hạng đồng dạng

4 Bài toán 4: Giải PT chứa căn thức ( Xem CĐ PT Vô Tỉ )

-@@@ -Phần II / Hàm số bậc nhất: y = ax + b ( a  0 )

Hàm số : y =

x

a

( a  0 ) Hàm số bậc hai : y = ax 2 ; y = ax 2 + bx + c ( a  0 ).

A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất.

I/ Định nghĩa – Tính chất: Tính chất của hàm số bậc nhất :

1 Định nghĩa hàm số:

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x

ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x

và x đợc gọi là biến số

2 Định nghĩa hàm số bậc nhất:

Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax hay y = ax + b,

trong đó a, b  R, a  0

3 Tính chất :

- HSố bậc nhất xác định với xR

- Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc nhất đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0

II/ Đồ thị hàm số y = ax và y = ax + b.

1 Đồ thị hàm số y = ax (a0) là 1 đờng thẳng đi qua gốc toạ độ

* Cách vẽ :

- Tìm thêm 1 điểm M(x0 , y0 ) bằng cách cho x = x0  y0 = ax0

- Dựng điểm M trên mặt phẳng toạ độ

- Vẽ đờng thẳng đi qua M(x0 , y0 ) và O( 0;0 )

2 Đồ thị hàm số y = ax + b là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax ; cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b ( nếu b 0 )

* Cách vẽ 1 :

- Xác định 2 điểm A, B bất kì của đồ thị:

Cho x = 1  y = a + b, ta có A(1; a + b) Cho x = - 1  y = - a + b, ta có B(1; - a + b)

- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs

* Cách vẽ 2 :

- Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ:

Cho x = 0  y = b , ta có A( 0; b) Cho y = 0  x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; 0 )

- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs

III/ Hệ số góc của đ ờng thẳng y = ax và y = ax + b

Đờng thẳng y = ax (d ) Đờng thẳng y = ax + b (d)

Góc hợp

bởi đờng

thẳng với

tia Ox

Góc  tạo bởi đgt (d)và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ox và nửa

đgt nằm trong nửa mf

bờ là trục hoành và chứa tia Oy

Góc  tạo bởi đgt (d) và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ax và AB trong đó AB

y = ax + b (a>0)

y

x

O O

x y

y = ax + b (a<0)

y = ax

y

x O

là phần đgt (d) nằm trong nửa mf bờ là trục hoành và chứa tia Oy

Hệ số góc

a của đờng

thẳng

a > 0   nhọn

a càng lớn thì  càng lớn (< 90o)

a < 0   tù

a càng lớn thì  càng lớn (<180o)

a > 0   nhọn

a càng lớn thì  càng lớn (< 90o)

a < 0   tù

a càng lớn thì  càng lớn (<180o)

B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.

I/ Định nghĩa – Tính chất: Tính chất của hàm số bậc hai :

1 Định nghĩa:

Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 (a  0), trong đó a,bR, a  0

2 Tính chất:

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0

- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0

( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )

 Nhận xét :

- Nếu a > 0 thì y > 0 với x  0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số

- Nếu a < 0 thì y < 0 với x  0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số

II/ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a  0).

* Tính chất của đồ thị:

- Đồ thị của hàm số y = ax2 (a  0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.

I/ Định nghĩa – Tính chất: Tính chất của hàm số bậc hai :

2 Định nghĩa:

Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 (a  0), trong đó a,bR, a 0

2 Tính chất:

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0

- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0

( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )

 Nhận xét :

- Nếu a > 0 thì y > 0 với x  0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số

- Nếu a < 0 thì y < 0 với x  0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số

II/ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a  0).

* Tính chất của đồ thị:

- Đồ thị của hàm số y = ax2 (a  0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

y = ax2( a > 0 ) y = ax2 ( a < 0 )

* Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tơng của x và y:

- Biểu diễn các điểm có toạ độ (xi ; yi )

- Vẽ đờng cong (P) đi qua O( 0; 0 ) và các điểm (xi ; yi )

III/ Mở rộng:

1/ Hàm số

x

a

y 

Đồ thị của hàm số y = a/ x ( a  0 ) là đờng cong Hypebol gồm 2 nhánh

y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 )

2/ Hàm số y = / x /

Đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ bậc nhất là 1 hình bao gồm các tia hoặc các tia và

đoạn thẳng liên tiếp nhau

VD : y = / x /  













0 ,

0 ,

khix x y

khix x y

3/ Hàm số y = ax + bx + c ( a 2  0 ):

a/ Xét hàm số y = ax 2 + bx + c ( a  0 ):

Ta có

a a

b x a a

b c a

b x a

b x a c x a

b x a y

4 4

4

2 2

2 2

2 2



























































2a x

b





4a y





ta có y = a( x – Tính chất: x0)2 + y0

- Nh vậy để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x0 đơn vị rồi tịnh tiến theo tr tung y0

đơn vị Cụ thể:

Đỉnh (P) là điểm D(

a

b

2



;

a

4





) Giao điểm của (P) với trục tung là C(0; c) Điểm thứ 2 của (P) có tung độ bằng c là C,( -b/a ; c ), điểm này đối xứng với C qua đờng thẳng x = -b/2a

.Giao điểm của (P) với trục hoành ( nếu có) , hoành độ các điểm này là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0

b/ Nhận xét :

- Hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

Nếu a > 0 Thì Min f(x) =

a

4





với x0 =

a

b

2



Nếu a < 0 Thì Max f(x) =

a

4





với x0 =

a

b

2



- Trong 1số tr hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R Chẳng hạn, x   ;  hoặc nằm ngoài khoảng  ; 

- Trong trờng hợp x0 =

a

b

2



không thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm đợc GTLN , GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f( ) ; f( )./

C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số Bài toán1 Lập PT đờng thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trớc (Tức là tìm a, b).

1/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và có hệ số góc bằng k:

- B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k

- B2: Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + b  b

- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm

2/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và B(x B , y B )

- B1: Đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB ) nên ta có : 









b ax y

b ax y

B B

A A



a ; b

3/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và có tung độ gốc là h:

- B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h

- B2: Xác định a : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + h  a

4/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và // trục hoành Ox (Hoặc trục tung Oy)

- Đờng thẳng song song với trục hoành thì x = xA  y = b = yA

( Nếu đgt // trục tung Oy thì y = yA  x = xA = b )

5/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và vuông góc với đgt d , có PT y = a , x + b ,

- Đờng thẳng d d, nên a.a, = - 1 Từ đó suy ra a

- Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b

6/ Lập PT đờng thẳng (d) // (d , ) : y = a , x + b , và đi qua A(x A , y A )

Khi b b, : - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a,

- Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = a, xA + b  b

- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm

7/ Lập PT đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A(x , 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, y ).

- B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, yB ) nên b = yB

- B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(xA , 0 ) nên a = b/ xA

8/ Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x)

- B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b (*)

- B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b

Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép ( = 0)  b

9/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).

- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b (*)

- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)  PT (*) có nghiệm kép

Từ ĐK này ta tìm đợc 1 hệ thức liên hệ giữa a và b Ta đợc (**)

- Đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có yA = axA + b (***)

- Từ (**) và (***) suy ra a và b

10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.

- Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)

- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) có  > 0  b

11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hoành độ x A :

- Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)

- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ xA khi xA là nghiệm của PT (*)

Khi đó ta có f(xA ) = kxA + b  b

* Chú ý :

1 Bài toán lập PT đờng cong y = ax2 đi qua điểm A(xA, yA ) tức là xác định hệ số a

Giải tơng tự bài toán lập PT đgt

2 Hoành độ giao điểm của đờng cong y = ax2 (P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm

của PT ax2 = mx +n (1)

- Nếu PT (1) vô nghiệm thì (d) không giao với (P)

- Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

- Nếu PT (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)

3 Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tơng tự bài toán với hàm số y = ax2

( Theo các bài toán 1 > 5 )

4 Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a = m, b = n ta cần sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông

Bài toán 2 Xác định vị trí tơng đối giữa: Đờng thẳng-đờng thẳng; Đờng thẳng – Tính chất: Parbol.

1 Xác đinh vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a , x + b , (d ,)

* d // d,  a = a, và b  b,

* d  d,  a  a,

* d  d,  a = a, và b = b,

* d  d,  a.a, = 1

2 Xác đinh vị trí tơng đối của đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax 2 (P)

PT hoành độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax2 (1)

* (d)  (P) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt ( > 0 )

* (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung  PT (1) có nghiệm kép (   0 )

* (d) và (P) không có điểm chung  PT (1) vô nghiệm (  < 0 )

Bài toán 3 Bài toán chứng minh:

a Chứng minh đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.

- Gọi C(x0 , y0 ) là điểm cố định của đờng thẳng (d)

- ĐK cần và đủ để đờng thẳng luôn đi qua C(x0 , y0 ) với mọi tham số m là : Am = B ( Biến đổi PT đgt khi C(x0,y0)  (d) )

Trong đó : A là biểu thức chứa x0, y0 hoặc x0 hoặc y0

B là biểu thức chứa x0 hoặc y0 hoặc x0 ; y0

- GPT A = 0 ; B = 0 với tham số m  x0 ; y0  C(x0; y0 )

VD: CMR đờng thẳng (d) có PT y = mx +

2

1

luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m?

G: Gọi C(x0; y0 ) là điểm cố định của (d)  C  (d) với mọi m

 Ta có y0 = mx0 +

2

1

 2y0 - 1= 2mx0 , với mọi m  2y0 - 1= 2x0 m, với mọi

m  2y0 – Tính chất: 1 = 0 và 2x0 = 0  x0 = 0 ; y0 = 0

Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0;

2

1

)

b Chứng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) :

Đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt)

 PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N0 kép ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt)

VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx +

2

1

và (P) y =

2

1

x2 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ?

G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx +

2

1

=

2

1

x2   x2 – Tính chất: 2mx – Tính chất: 1 = 0

có , = m2 + 1 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Bài toán 4 Xác định toạ độ giao điểm 2 đờng thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.

Giả sử điểm M(x0 , y0 ) là giao điểm 2 đờng thẳng (d) : y = ax + b và y = a,x + b, (d, ) B1: Tìm hoành độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a,x + b,

B2: Tìm tung độ giao điểm y0 bằng cách thay x0 vào 1 trong 2 hàm số đã cho

Bài toán 5 Xác định điểm M( x M , y M ) cho trớc có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.

 Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng PT của (d) : M  (d)  yM = f(xM)

Do đó tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) đi qua M

Nếu f(xM)  yM Thì (d) không đi qua M

-@@@ -Phần III / Hệ ph ơng trình 1)Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn

- Định nghĩa :

Cho hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’

Khi đú ta cú hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn '

( ) ' ' '( )

ax by c d

a x b y c d





- Nếu hai phương trỡnh cú nghiệm chung (x0;y0) thỡ nú được gọi là nghiệm của hệ (I)

- Nếu hai phương trỡnh ấy khụng cú nghiệm chung thỡ ta núi hệ vụ nghiệm

2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

- Nếu (d) cắt (d’) hệ cú nghiệm duy nhất

- Nếu (d) song song với (d’) thỡ hệ vụ nghiệm

- Nếu (d) trựng (d’) thỡ hệ vụ số nghiệm

3)Hệ phương trỡnh tương đương:

Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chỳng cú cựng tập nghiệm

4) Một số PP giải HPT:

* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp thế.

+ Từ 1 PT của hệ đó cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới

(chỉ cú1 ẩn) + Dựng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyờn PT kia )

* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp cộng đại số.

+ Nhõn 2 vế của mỗi PT với 1 số thớch hợp (nếu cần ) sao cho cỏc hệ số của 1 ẩn nào đú bằng nhau hoặc đối nhau

+ Dựng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đú cú 1 PT bậc nhất 1 ẩn

+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị

Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’)

5/ Biện luận và Giải hệ phương trỡnh :

B1 Dựng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)

B2 Xột cỏc trường hợp:

+ Nếu Mạ 0 thỡ (*) trở thành x = N

M thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tỡm được y

Do đú hệ cú nghiệm duy nhất (x;y)

+ Nếu M = 0 thì: +(*) vô nghiệm khi N ¹ 0,Do đó hệ vô nghiệm.

+ (*) có vô số nghiệm khi N = 0

Nghiệm TQ

x R

ì Î ïï ïí

ïïî Hoặc x;y Î R Hoặc x = 0;y RÎ Hoặc y = 0 x RÎ B3 Kết Luận

6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số:

Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước

1/ Nghiệm thoả mãn các ĐK về số nghiệm :

Có nghiệm duy nhất- Vô số nghiệm - Vô nghiệm

PP: Nếu PP: Nếu ab’ – ba’ ¹ 0 Hay ' '

a ¹ b thì (**) có nghiệm duy nhất

' '

ïï

íï = ïî

bc cb Hoặc ' '

' '

ìïï = ïïï íï

ï = ïïïî

thì (**) có vô số nghiệm

' '

ïï

íï ¹ ïî

bc cb Hoặc ' '

' '

ìïï = ïïï íï

ï ¹ ïïïî

thì (**) vô số nghiệm

2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các giá trị của nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

+ B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm từ đó tìm được giá trị của tham số

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời

3/ Nghiệm của hệ là số nguyên.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

+ B3: Xét các giá trị của nghiệm thoả mãn là số nguyên

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời

4/ Tìm GTLN – GTNN của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

+ B3: Xét các giá trị của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm

+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời

-@@@ -PhÇn IV / ph¬ng tr×nh bËc 2: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1)

1. C«ng thøc nghiÖm cña PT bËc 2:

ac

b2 4







- NÕu < 0 Th× PT v« nghiÖm

- NÕu = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

2

b a



- NÕu > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt :

a

b x

2

2 ,

1









ac

b 



, ,2

- NÕu '

 < 0 Th× PT v« nghiÖm

- NÕu '

 = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

2

b a



- NÕu '

 > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt :

a

b x

, , 2 , 1









 NhËn xÐt :

*Nếu a + b + c = 0 thì : 





a c

*Nếu a - b + c = 0 thì : 











a c x

x

2

* Nếu c = 0 thì : 







a

x2 1

*Nếu x1, x2 là nghiệm của (1) thì ax2 + bx + c = a( x – Tính chất: x1)(x – Tính chất: x2)

2 Hệ thức Vi-Et:

*Thuận : Phơng trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì :



















a c x x P

a b x

x S

2 1

2 1

*Đảo: Nếu 2 số x1, x2 thoả mãn



















a c x x P

a b x

x S

2 1

2 1 ( Với S2 – Tính chất: 4P  0) Thì x1 ,x2 là 2 nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0

II/ Một số bài toán liên quan đến PT bậc 2:

Bài toán 1: Biện luận theo m sự có nghiệm của PT B2

- Xét hệ số a Có thể có 2 trờng hợp xảy ra:

*Trờng hợp a = 0 với 1 vài giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0  m = m0 ta có (1) trở thành pt b1: bx + c = 0 (2) -Nếu b0 ( với m = m0 ), pt (2) có 1 nghiệm là

b

c

x (cũng là nghiệm của(1)) -Nếu b = 0 và c =0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) vô nghiệm

-Nếu b = 0 và c  0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) nghiệm

*Trờng hợp a  0:

- Nếu > 0 : pt (1) có 2 nghiệm phân biệt :

a

b x

2

2 , 1









- Nếu = 0 : pt (1) có 2 nghiệm kép : x1 = x2 =

a

b

2



- Nếu < 0 : pt (1) vô nghiệm / R

- Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên.

Bài toán 2: Điều kiện có nghiệm của PT bậc 2.

2.a, PT có nghiệm: C1, a= 0 , b 0

C2, Hoặc a  0 ,   0

C3, Tìm số  sao cho a.f( ) < 0 C4, Tìm 2 số  ,  sao cho f( ).f( ) < 0 Tập hợp các giá trị m phải tìm là tất cả các giá trị của m thoả a) hoặc b)

2.b, PTcó 2 nghiệm phân biệt: 





 0 0

a

hoặc a.c < 0 2.c, PT có 1 nghiệm: 



 0 0

b a

Hoặc 





 0 0

a

Bài toán 3: Dấu của nghiệm số của PT bậc 2 (Tìm ĐK của m để phơng trình (1) t/mãn)

3.a, Có 2 nghiệm cùng dấu :

1 2

0; 0

a

P x x

  







3.b, Có 2 nghiệm dơng:

0; 0

a

  









 ( Hoặc có ít nhất 1N0 không âm )

3.c, Có 2 nghiệm âm :

0; 0

a

  











Hoặc







 0

0

c a

c b a

3.d, Có 2 nghiệm trái dấu : 







 0

0

c a

P

Hoặc a.f(0) < 0

3.e, Có 1 nghiệm âm, 1 nghiệm không

âm :

0; 0

a

  











3.g, Có ít nhất 1nghiệm 0 :

0; 0 0

a b S a

  











Bài toán 4 : Tìm điều kiện của m để PT (1) có 1 nghiệm x 1 tìm nghiệm kia

a, Tìm điều kiện của m để PT có 1 nghiệm x 1 tìm nghiệm kia:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:   0 (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) Cách 2: - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào PT và gpt HoặcTính x2 nhờ Vi-et x2 = S – Tính chất: x

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào PT đã cho mà PT bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

b, Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:

- B1: Điều kiện PT có nghiệm a   0; 0

- B2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:













1 2

2 1

kx x

kx x













0

0

1 2

2 1

kx x

kx x

(x1 – Tính chất: kx2) (x2 – Tính chất: kx1) = 0

-B3 : Biến đổi đẳng thức trên về tổng ; tích sau đó dùng định lí Vi-et

Bài toán 5: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức :

(Các hệ thức là biểu thức đối xứng ( Hoặc không đối xứng ) giữa các nghiệm)

1,

Ph ơng pháp chung :

B1: - Điều kiện PT có nghiệm a   0; 0 (*)

- Tính giá trị của S , P theo m : Với đk (*) pt có 2 nghiệm t/m :



















) 2 ( 2

1

2 1

a c x x

P

a b x

x

S

B2: Biến đổi hệ thức đã cho sao cho có dạng chứa S và P

( Hoặc rút x1 hay x2 từ đk đề bài – Tính chất:nếu bthức cho không đối xứng)

B3: Thay các giá trị của S , P tính đợc ở B1 ta tính đợc m

B4: Chọn các giá trị của m t/m đk (*)

2,

Các hệ thức đối xứng th ờng găp và cách biến đổi::

*) x1+ x2 = (x1+ x2)2 – Tính chất: 2x1x2 = S2 – Tính chất: 2p = m

*) (x1 – Tính chất: x2)2 = (x1 + x2)2 – Tính chất: 4x1x2 = S2 – Tính chất: 4p = n

*) x1 + x2 = (x1 + x2)3 – Tính chất: 3x1x2(x1 + x2) = S3 – Tính chất: 3Sp =

k

*) (x1 – Tính chất: a)( x2 – Tính chất: a) = x1x2 – Tính chất: a(x1 + x2) + a2 = p – Tính chất: aS

+ a2

2 1

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x

a



















*) x1 + x2 = (x1 + x2)2 – Tính chất: 2x1x2 = h

*)

2 1

2 1 2

1

1

1

x x

x x

x

x





 = S p = m

*)

2 1

2 2

2 1 1

2

2

1

x x

x x

x

x

x



p

p

S2 2



= n

(Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện (*) )

Bài toán 6:Lập PT Bậc hai.

A/ Bài toán Thiết lập PT bậc 2 nhờ hệ thức Vi-et :

1,Cơ sở để thiết lập PT B2 là nhờ hệ thức Vi-et:

Nếu



















a c x x

P

a b x

x

S

2 1

2 1

. Thì x1,x2 là 2 nghiệm của PT X2 - S X+ P = 0,Với= S2 – Tính chất: 4SP  0

2 , Ph ơng pháp : G/sử PT B2 cần tìm có dạng X2 - S X + P = 0 (1) mà các nghiệm của (1) t/

m đk cho trớc là 1 biểu thức (*) liên hệ giữa nghiệm của (1) với nghiệm của PT B2 cho trớc ax2 + bx + c = o (2), ta làm nh sau:

- Từ PT (2) ta tính đợc S và P (3)

- Biến đổi bthức (*) liên hệ giữa N0 của (1) với nghiệm của PT (2) rồi thay giá trị của S,P ở (3) vào ta tính đợc hệ số của X trong PT cần tìm

B/ Bài toán lập PT bậc 2 nhờ sự t ơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc 1, bậc 2

và trục toạ độ (Hay xác định parabol y =ax 2 + bx + c (P) ):

( Xem phần hàm số)

Bài toán 7: Quan hệ nghiệm của 2 PT B2 : a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ( a1 0 ) (1)

a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ( a2 0 ) (2)

7.a :Xác định các tham số để 2PT có nghiệm chung

 ĐK cần : Giả sử 2 pt có nghiệm chung x0 , khi đó ta có hệ : 













0 0

2 0 2 2 2

1 0 1 2 1

c x b x a

c x b x a

Từ hệ ta xác định đợc tham số

 ĐK đủ : Thay giá trị của tham số tìm đợc ở trên vào 2 pt cho để tìm nghiệm chung./.