Bài tập toán cao cấp tập 3 part 6 ppsx

nhu.ng chuˆo˜i phˆan k`y.a... cu’a chuˆo˜i d˜acho nh`o.. dˆa´u hiˆe.u du’ D’Alembert... dˆa´u hiˆe.u du’ Cauchy... Mo.i chuˆo˜i hˆo.i tu.. nhˆa´t cu’a chuˆo˜i du.. Chuˆo˜i dan dˆa´u tho’

12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 165

V´ ı du 4 T´ınh t´ıch phˆan

ZZ

(σ)

2dxdy + ydxdz − x2zdydz, trong d´ o (σ)

l`a ph´ıa trˆen cu’a phˆ` n elipxoid 4xa 2+ y2+ 4z2 = 1 n˘a`m trong g´oc phˆa` n

ZZ

(σ) ydydz −

y r˘a`ng cos α > 0, cos β > 0, cos γ > 0.

(i) V`ı h`ınh chiˆe´u cu’a m˘a.t (σ) lˆen m˘a.t ph˘a’ng Oxy l`a phˆa` n tu h`ınh

2 (v`ı diˆe.n t´ıch elip = 2π)

(ii) H`ınh chiˆe´u cu’a (σ) lˆen m˘a.t ph˘a’ng Oxz l`a phˆa` n tu h`ınh tr`on

4x2+ 4z2 6 4 ⇔ x2+ z2 6 1 M˘a.t kh´ac t`u phu.o.ng tr`ınh m˘a.t r´ut ra

ydydz, trong d´ o (σ) l`a m˘a.t cu’a t´u diˆe.n gi´o.i ha.n

bo.’ i m˘a.t ph˘a’ng x + y + z = 1 v`a c´ac m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo., t´ıch phˆan du.o c

lˆa´y theo ph´ıa trong cu’a t´u diˆe.n

Gia’i M˘ a.t ph˘a’ng x + y + z = 1 c˘a´t c´ac tru.c to.a dˆo ta.i A(1, 0, 0),

B(0, 1, 0) v` a C = (0, 0, 1) Ta k´y hiˆe.u gˆo´c to.a dˆo l`a O(0, 0, 0) T`u d´osuy ra m˘a.t k´ın (σ) gˆo` m t`u 4 h`ınh tam gi´ac ∆ABC, ∆BCO, ∆ACO

v`a ∆ABO Do vˆa.y t´ıch phˆan d˜a cho l`a tˆo’ng cu’a bˆo´n t´ıch phˆan.(i) T´ıch phˆan I1 =

ZZ

(ABO) ydxdz = 0

Z Z

ACO 0dxdz = 0.

Vˆa.y I = −16 N

V´ ı du 6 T´ınh t´ıch phˆan I =

ZZ

(σ)

x3dydz + y3dzdx + z3dxdy, trong

d´o (σ) l`a ph´ıa ngo`ai m˘a.t cˆa` u x2 + y2+ z2 = R2

Gia’i ´Ap du.ng cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski ta c´o

trong d´o D ⊂ R3 l`a miˆ`n v´o.i biˆen l`a m˘a.t (σ) Chuyˆe’n sang to.a dˆo.e

x2y3dx + dy + zdz, trong d´o L l`a du.`o.ng

tr`on x2+ y2 = 1, z = 0, c`on m˘a.t (σ) l`a ph´ıa ngo`ai cu’a nu’ a m˘. a.t cˆa` u

x2+ y2+ z2 = 1, z > 0 v`a L c´o di.nh hu.´o.ng du.o.ng

Gia’i Trong tru.` o.ng ho p n`ay P = x2y3, Q = 1, R = z Do d´o

v`a do d´o theo cˆong th´u.c Stokes ta c´o

1 + 4x2+ 4y2dS, (Σ) l`a phˆ` n m˘a.t paraboloid z = 1−xa 2−y2

gi´o.i ha.n bo.’i c´ac m˘a.t ph˘a’ng z = 0 v`a z = 1 (DS 3π)

12.

Z Z

(Σ)

(x2 + y2)dS, (Σ) l`a phˆ` n m˘a.t n´on z =a px2+ y2 n˘a`m gi˜u.a

c´ac m˘a.t ph˘a’ng z = 0 v`a z = 1 (DS π

√2

2 )

13.

Z Z

(Σ)

(xy + yz + zx)dS, (Σ) l`a phˆ` n m˘a.t n´on z =a px2+ y2 n˘a`m

trong m˘a.t tru x2+ y2 = 2ax (a > 0) (DS 64a

4√2

bo.’ i m˘a.t ph˘a’ng x = 10 (DS 50π

3 (1 + 25

√5))

Su.’ du.ng cˆong th´u.c t´ınh diˆe.n t´ıch m˘a.t S(Σ) =

ydzdx, (Σ) l`a ph´ıa trˆen cu’a phˆ` n m˘a.t ph˘a’ng x + y + z = aa

(a > 0) n˘a`m trong g´oc phˆa` n t´am I (DS a

xdydz + ydzdx + zdxdy, (Σ) l`a ph´ıa trˆen cu’a phˆ` n m˘a.t ph˘a’nga

x + z − 1 = 0 n˘a`m gi˜u.a hai m˘a.t ph˘a’ng y = 0 v`a y = 4 v`a thuˆo.c v`ao

g´oc phˆ` n t´am I (DS 4)a

12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 171

25.

ZZ

(Σ)

− xdydz + zdzdx + 5dxdy, (Σ) l`a ph´ıa trˆen cu’a phˆ` n m˘a.ta

ph˘a’ng 2x + 3y + z = 6 thuˆo.c g´oc phˆa` n t´am I (DS 6)

26.

Z Z

(Σ)

yzdydz + xzdxdz + xydxdy, (Σ) l`a ph´ıa trˆen cu’a tam gi´ac ta.o

bo.’ i giao tuyˆe´n cu’a m˘a.t ph˘a’ng x + y + z = a v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng to.a

x2dydz − y2dzdx + z2dxdy, (Σ) l`a ph´ıa ngo`ai cu’a m˘a.t cˆa` u

x2+ y2+ z2= R2 thuˆo.c g´oc phˆa` n t´am I (DS πa

2dxdy + ydzdx − x2zdydz, (Σ) l`a ph´ıa ngo`ai cu’a phˆ` n m˘a.ta

elipxoid 4x2 + y2+ 4z2 = 4 thuˆo.c g´oc phˆa` n t´am I (DS 4π

xzdxdy + xydydz + yzdxdz, (Σ) l`a ph´ıa ngo`ai cu’a t´u diˆe.n ta.o

bo.’ i c´ac m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo v`a m˘a.t ph˘a’ng x + y + z = 1 (DS. 1

yzdydz + xzdxdz + xydxdy, (Σ) l`a ph´ıa ngo`ai cu’a m˘a.t biˆen

t´u diˆe.n lˆa.p bo.’i c´ac m˘a.t ph˘a’ng x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a.

Ap du.ng cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t theo

ph´ıa ngo`ai cu’a m˘a.t (Σ) (nˆe´u m˘a.t khˆong k´ın th`ı bˆo’ sung dˆe’ n´o tro.’ th`anh

Chı’ dˆ a ˜n V`ı (Σ) khˆong k´ın nˆen cˆa` n bˆo’ sung phˆa` n m˘a.t ph˘a’ng z = h

n˘a`m trong n´on dˆe’ thu du.o c m˘a.t k´ın

ydydz + zdzdx + xdxdy, (Σ) l`a m˘a.t cu’a h`ınh ch´op gi´o.i ha.n

bo.’ i c´ac m˘a.t ph˘a’ng

Dˆe’ ´ap du.ng cˆong th´u.c Stokes, ta lu.u ´y la.i quy u.´o.c

Hu.´o.ng du.o.ng cu’a chu tuyˆe´n ∂Σ cu’a m˘a.t (Σ) du.o c quy u.´o.c nhu.sau: Nˆe´u mˆo.t ngu.`o.i quan tr˘a´c d´u.ng trˆen ph´ıa du.o c cho.n cu’a m˘a.t (t´u.cl`a hu.´o.ng t`u chˆan dˆe´n dˆ` u tr`a ung v´o.i hu.´o.ng cu’a vecto ph´ap tuyˆe´n) th`ıkhi ngu.`o.i quan s´at di chuyˆe’n trˆen ∂Σ theo hu.´o.ng d´o th`ı m˘a.t (Σ) luˆonluˆon n˘a`m bˆen tr´ai

12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 175

54.

I

C

ydx+zdy +xdz, C l`a du.`o.ng tr`on x2+y2+z2 = R2, x+y +z = 0

c´o hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo`ng hˆo` nˆe´u nh`ın t`u phˆa` n du.o.ng tru.c Ox.

h = 1 (a > 0, h > 0) c´o hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` nˆe´u

nh`ın t`u diˆe’m (2a, 0, 0) (DS −2πa(a + h))

2 c´o hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` nh`ın t`u

diˆe’m (2a, 0, 0). (DS 2√2πa2sinπ

4 − α))

57.

I

C

(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, C l` a elip x2+ y2 = 1, x + z = 1

c´o hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` nˆe´u nh`ın t`u phˆ` n du.o.ng tru.c Oz.a

(DS −4π)

58.

I

C

(y2− z2)dx + (z2− x2)dy + (x2− y2)dz, C l`a biˆen cu’a thiˆe´t diˆe.n

cu’a lˆa.p phu.o.ng 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a, 0 6 z 6 a v´o.i m˘a.t ph˘a’ng

(1 − x2− z2)3dx + xy3dy + sin zdz, C l`a biˆen cu’a mˆo.t phˆa` n

tu elipxoid 4x2+ y2+ 4z2 = 4 n˘a`m trong g´oc phˆa` n t´am th´u I

(DS 32

5 )

Chu.o.ng 13

13.1 Chuˆ o ˜i sˆ o ´ du.o.ng 178

13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 17813.1.2 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 179

13.2 Chuˆ o ˜i hˆ o i tu tuyˆ e.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆ e.t dˆo´i 191

13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 19113.2.2 Chuˆo˜i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 192

13.3 Chuˆ o ˜i l˜ uy th` u.a 199

13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 19913.3.2 D- iˆe`u kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai

triˆe’n 201

13.4 Chuˆ o ˜i Fourier 211

13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 21113.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆe` su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i Fourier 212

13.1 Chuˆ o ˜i sˆ o ´ du.o.ng

Gia’ su.’ cho d˜ay sˆo´ (an) Biˆe’u th´u.c da.ng

du.o..c go.i l`a chuˆo˜i sˆo´ (hay do.n gia’n l`a chuˆo˜i) C´ac sˆo´ a1, , an ,

du.o c go.i l`a c´ac sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i, sˆo´ ha.ng a n go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at

cu’a chuˆo˜i Tˆo’ng n sˆo´ ha.ng dˆa ` u tiˆen cu’a chuˆo˜i du.o c go.i l`a tˆo’ng riˆeng

th´ u n cu’a chuˆo˜i v`a k´y hiˆe.u l`a s n, t´u.c l`a

s n = a1+ a2+ · · · + an

V`ı sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i l`a vˆo ha.n nˆen c´ac tˆo’ng riˆeng cu’a chuˆo˜i lˆa.pth`anh d˜ay vˆo ha.n c´ac tˆo’ng riˆeng s1, s2, , s n ,

D- i.nh ngh˜ıa 13.1.1 Chuˆo˜i (13.1) du.o c go.i l`a chuˆo˜i hˆo.i tu nˆe´u d˜ay

c´ac tˆo’ng riˆeng (sn) cu’a n´ o c´ o gi´ o.i ha n h˜ u.u ha n v`a gi´o.i ha.n d´o du.o c

go.i l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i hˆo.i tu Nˆe´u d˜ay (s n) khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.nth`ı chuˆo˜i (13.1) phˆan k`y.

D- i.nh l´y 13.1.1 Diˆe`u kiˆe.n cˆa`n dˆe’ chuˆo˜i (13.1) hˆo.i tu l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng

qu´ at cu’a n´ o dˆ ` n dˆe´n 0 khi n → ∞, t´ a u.c l` a lim

n→∞ a n = 0.

Di.nh l´y 13.1.1 chı’ l`a diˆe `u kiˆe.n cˆa ` n ch´u khˆong l`a diˆ`u kiˆe.n du’.eNhu.ng t`u d´o c´o thˆe’ r´ut ra diˆ`u kiˆe.n du’ dˆe’ chuˆo˜i phˆan k`y: Nˆe´uelim

a n sau khi c˘a´t bo’ m sˆo´ ha.ng

dˆ` u tiˆen du.o c go.i l`a phˆaa ` n du th´ u m cu’a chuˆo˜i P

n>1

a n Nˆe´u chuˆo˜i (13.1)

hˆo.i tu th`ı mo.i phˆa` n du cu’a n´o dˆe`u hˆo.i tu., v`a mˆo.t phˆa` n du n`ao d´o

hˆo.i tu th`ı ba’n thˆan chuˆo˜i c˜ung hˆo.i tu Nˆe´u phˆa` n du th´u m cu’a chuˆo˜i

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 179

(13.1) hˆo.i tu v`a tˆo’ng cu’a n´o b˘a`ng R m th`ı s = sm + Rm Chuˆo˜i hˆo.i tu

c´o c´ac t´ınh chˆa´t quan tro.ng l`a

(i) V´o.i sˆo´ m cˆo´ di.nh bˆa´t k`y chuˆo˜i (13.1) v`a chuˆo˜i phˆa` n du th´u m

cu’a n´o dˆ` ng th`o.i hˆo.i tu ho˘a.c dˆoo ` ng th`o.i phˆan k`y

(ii) Nˆe´u chuˆo˜i (13.1) hˆo.i tu th`ı R m → 0 khi m → ∞

(iii) Nˆe´u c´ac chuˆo˜i P

Chuˆo˜i sˆo´ P

n>1

a n du.o c go.i l`a chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng nˆe´u an > 0 ∀ n ∈ N Nˆe´u

a n > 0 ∀ n th`ı chuˆo˜i du.o c go.i l`a chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng thu c su

Tiˆ eu chuˆ a’n hˆ o i tu Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng hˆo.i tu khi v`a chı’ khi d˜ay tˆo’ng

riˆeng cu’a n´o bi ch˘a.n trˆen

Nh`o diˆ`u kiˆe.n n`ay, ta c´o thˆe’ thu du.o c nh˜u.ng dˆa´u hiˆe.u du’ sau dˆay:e

Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh I Gia’ su’ cho hai chuˆ. o˜i sˆo´

(i) Nˆe´u chuˆo˜i sˆo´ B hˆo.i tu th`ı chuˆo˜i sˆo´ A hˆo.i tu.,

(ii) Nˆe´u chuˆo˜i sˆo´ A phˆan k`y th`ı chuˆo˜i sˆo´ B phˆan k`y.

Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh II Gia’ su.’ c´ac chuˆo˜i sˆo´ A v`a B l`a nh˜u.ng chuˆo˜i

sˆo´ du.o.ng thu c su v`a ∃ lim

(i) Nˆe´u λ < ∞ th`ı t` u su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i sˆo´ B k´eo theo su hˆo.i tu.

cu’a chuˆo˜i sˆo´ A

(ii) Nˆe´u λ > 0 th`ı t`u su. hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i sˆo´ A k´eo theo su hˆo.i tu.

cu’a chuˆo˜i sˆo´ B

(iii) Nˆe´u 0 < λ < +∞ th`ı hai chuˆo˜i A v`a B dˆo` ng th`o.i hˆo.i tu ho˘a.c

dˆ` ng th`o.i phˆan k`o y

Trong thu c h`anh dˆa´u hiˆe.u so s´anh thu.`o.ng du.o c su.’ du.ng du.´o.i da.ng

“ thu c h`anh” sau dˆay:

Dˆ a´u hiˆ e.u thu c h`anh Nˆe´u dˆo´i v´o.i d˜ay sˆo´ du.o.ng (a n) tˆ` n ta.i c´ac sˆo´o

C´ac chuˆo˜i thu.`o.ng du.o c d`ung dˆe’ so s´anh l`a

1) Chuˆo˜i cˆa´p sˆo´ nhˆan P

n α hˆo.i tu khi α > 1 v`a phˆan k`y khi α 6 1.

Chuˆo˜i phˆan k`y P

n>1

1

n go.i l`a chuˆo˜i diˆe`u h`oa

T`u dˆa´u hiˆe.u so s´anh I v`a chuˆo˜i so s´anh 1) ta r´ut ra:

Dˆ a´u hiˆ e.u D’Alembert Nˆe´u chuˆo˜i a1+ a2+ · · · + an + , an > 0

th`ı chuˆo˜i hˆo.i tu khi D < 1 v`a phˆan k`y khi D > 1.

Dˆ a´u hiˆ e.u Cauchy Nˆe´u chuˆo˜i a1+ a2 + · · · + an + , an > 0 ∀ n

th`ı chuˆo˜i hˆo.i tu khi C < 1 v`a phˆan k`y khi C > 1.

Trong tru.`o.ng ho p khi D = C = 1 th`ı ca’ hai dˆa´u hiˆe.u n`ay dˆe`ukhˆong cho cˆau tra’ l`o.i kh˘a’ng di.nh v`ı tˆo` n ta.i chuˆo˜i hˆo.i tu lˆa˜n chuˆo˜iphˆan k`y v´o.i D ho˘a.c C b˘a`ng 1

Dˆ a´u hiˆ e.u t´ıch phˆan Nˆe´u h`am f(x) x´ac di.nh ∀ x > 1 khˆong ˆam

v`a gia’m th`ı chuˆo˜i P

f (n) hˆo.i tu khi v`a chı’ khi t´ıch phˆan suy rˆo.ng

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 181

n>1

1p

Ta biˆe´t r˘a`ng lim

= 0(n−α2) khi n → ∞ (α > 0) T`u d´o

n

vuuuut

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 183

Nhˆ a n x´ et Nˆe´u ´ap du.ng bˆa´t d˘a’ng th´u.c

< 1 v`a khi d´o dˆa´u hiˆe.u Cauchy c˜ung cho ta

kˆe´t luˆa.n

V´ ı du 4 Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i

n2+ 1 = f (n) Trong biˆe’u th´u.c cu’a sˆo´ ha.ng

tˆo’ng qu´at cu’a an = 2n

n2+ 1 ta thay n bo. ’ i biˆe´n liˆen tu.c x v`a ch´u.ng to’

r˘a`ng h`am f (x) thu du.o c liˆen tu.c do.n diˆe.u gia’m trˆen nu.’a tru.c du.o.ng.

Do d´o chuˆo˜i 1) phˆan k`y

2) Nhu trˆen, ta d˘a.t f(x) = 1

V´ ı du 5 Ch´u.ng minh r˘a`ng chuˆo˜i P

n>1

n + 2

(n + 1)√n tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.ne

cˆ` n hˆo.i tu nhu.ng chuˆo˜i phˆan k`y.a

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 185

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 187

31. X

n>1

1p

sˆo´ p dˆe’ chuˆo˜i d˜a cho hˆo.i tu ho˘a.c phˆan k`y:

44. X

n>1

sinπ

(DS Hˆo.i tu khi p > 0, phˆan k`y khi p 6 0)

Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i d˜acho nh`o dˆa´u hiˆe.u du’ D’Alembert

13.1 Chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng 189

n n , a 6= e, a > 0 (DS Hˆ o.i tu khi a < e, phˆan k`y khi a > e)

Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i d˜a

cho nh`o dˆa´u hiˆe.u du’ Cauchy

68. X

n>1

n53n + 2 4n + 3

(DS Hˆo.i tu khi 0 < a < 1, phˆan k`y khi a > 1)

13.2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t dˆo´i 191

13.2 Chuˆ o ˜i hˆ o.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu.

khˆ ong tuyˆ e.t dˆo´i

Chuˆo˜i v´o.i c´ac sˆo´ ha.ng c´o dˆa´u kh´ac nhau

hˆo.i tu Chuˆo˜i (13.2) du.o c go.i l`a chuˆo˜i hˆo.i tu c´o diˆe`u kiˆe.n (khˆong tuyˆe.t

dˆ o´i) nˆe´u n´o hˆo.i tu c`on chuˆo˜i (13.3) phˆan k`y

D- i.nh l´y 13.2.1 Mo.i chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i dˆe`u hˆo.i tu., t´u.c l`a su hˆo.i

tu cu’a chuˆ o ˜i (13.3) k´eo theo su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i (13.2).

Chuˆo˜i hˆo.i tu c´o diˆe`u kiˆe.n c´o t´ınh chˆa´t rˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a: nˆe´u chuˆo˜i

(13.2) hˆo.i tu c´o diˆe`u kiˆe.n th`ı v´o.i sˆo´ A ⊂ R bˆa´t k`y luˆon luˆon c´o thˆe’

ho´an vi c´ac sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜i d´o dˆe’ chuˆo˜i thu du.o c c´o tˆo’ng b˘a`ng A.

13.2.2 Chuˆ o ˜i dan dˆ a ´u v` a dˆ a ´u hiˆ e.u Leibnitz

Chuˆo˜i da.ng

X

n>1

(−1)n−1 a n = a1− a2+ a3− a4+ · · · + (−1)n−1 a n + ,

du.o..c go.i l`a chuˆo˜i dan dˆa´u.

Dˆ a´u hiˆ e.u Leibnitz Nˆe´u lim

i) an > an+1 > 0 ∀ n ∈ N,

ii) lim

n→∞ a n= 0

Hˆe th´u.c (13.5) ch´u.ng to’ r˘a`ng sai sˆo´ g˘a.p pha’i khi thay tˆo’ng S cu’a

chuˆo˜i dan dˆa´u hˆo.i tu bo.’i tˆo’ng cu’a mˆo.t sˆo´ sˆo´ ha.ng dˆa` u tiˆen cu’a n´o l`akhˆong vu.o t qu´a gi´a tri tuyˆe.t dˆo´i cu’a sˆo´ ha.ng th´u nhˆa´t cu’a chuˆo˜i du

bi c˘a´t bo’

Dˆe’ x´ ac lˆ a p su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i v´o.i c´ac sˆo´ ha.ng c´o dˆa´u kh´ac nhau ta

c´o thˆe’ su.’ du.ng c´ac dˆa´u hiˆe.u hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i du.o.ng v`a di.nh l´y 13.1.1

Nˆe´u chuˆo˜i P

n>1

|an| phˆan k`y th`ı su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i P

n>1

a n tro.’ th`anh

vˆa´n dˆ` dˆe’ mo.e ’ ngoa.i tr`u tru.`o.ng ho p su.’ du.ng dˆa´u hiˆe.u D’Alembert v`a

dˆa´u hiˆe.u Cauchy v`ı c´ac dˆa´u hiˆe.u n`ay x´ac lˆa.p su phˆan k`y cu’a chuˆo˜ichı’ du a trˆen su ph´a v˜o diˆe`u kiˆe.n cˆa` n

Nhˆ a n x´ et Chuˆo˜i dan dˆa´u tho’a m˜an dˆa´u hiˆe.u Leibnitz go.i l`a chuˆo˜iLeibnitz

C ´ AC V´ I DU .

13.2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t dˆo´i 193

V´ ı du 1 Kha’o s´at su hˆo.i tu v`a d˘a.c t´ınh hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i P

theo dˆa´u hiˆe.u Leibnitz n´o hˆo.i tu Dˆe’ kha’o s´at d˘a.c t´ınh hˆo.i tu (tuyˆe.t

dˆo´i hay khˆong tuyˆe.t dˆo´i) ta x´et chuˆo˜i du.o.ng P

hiˆe.u Leibnitz v´o.i n > e2 V`ı vˆa.y chuˆo˜i d˜a cho hˆo.i tu Dˆe˜ d`ang thˆa´y

r˘a`ng chuˆo˜i sˆo´ du.o.ng P

n>1

ln2n

n phˆan k`y nˆen chuˆo˜i dan dˆa´u d˜a cho hˆo.i

tu c´o diˆe`u kiˆe.n N

V´ ı du 3 C˜ung ho’i nhu trˆen v´o.i chuˆo˜i

2n ∀ n ∈ N nˆen theo dˆa´u hiˆe.u so s´anh chuˆo˜i (*) hˆo.i tu

v`a do vˆa.y chuˆo˜i d˜a cho hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i N

V´ ı du 4 C˜ung ho’i nhu trˆen dˆo´i v´o.i chuˆo˜i

X

n>1

(−1)n

n(n + 1)·

Gia’i Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng d˜aye 1

n(n + 1) do.n diˆe.u gia’m dˆa` n dˆe´n 0

khi n → ∞ Do d´o theo dˆa´u hiˆe.u Leibnitz n´o hˆo.i tu Ta x´et su hˆo.i tu.cu’a chuˆo˜i du.o.ng P

= lim

A→∞ln x

x + 1

A

1

= ln 2.

Do d´o chuˆo˜i d˜a cho hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i N

V´ ı du 5 Cˆ` n lˆa´y bao nhiˆeu sˆo´ ha.ng cu’a chuˆo˜ia P

n>1

(−1)n−1 1

n2 dˆe’ tˆo’ngcu’a ch´ung sai kh´ac v´o.i tˆo’ng cu’a chuˆo˜i d˜a cho khˆong qu´a 0,01 ? 0,001 ?

Gia’i 1+ Chuˆo˜i d˜a cho l`a chuˆo˜i Leibnitz Do d´o phˆa` n du cu’a n´otho’a m˜an diˆ`u kiˆe.ne

Nhu vˆa.y dˆe’ t´ınh tˆo’ng cu’a chuˆo˜i v´o.i sai sˆo´ khˆong vu.o t qu´a 0,01 ta chı’

cˆ` n t´ınh tˆo’ng mu.`o.i sˆo´ ha.ng dˆaa ` u l`a du’

2+ Dˆe’ t´ınh tˆo’ng cu’a chuˆo˜i v´o.i sai sˆo´ khˆong vu.o t qu´a 0,001 ta cˆa` nt´ınh tˆo’ng 31 sˆo´ ha.ng dˆa` u l`a du’ (ta.i sao ?) N

13.2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t dˆo´i 195

Nhˆ a n x´ et Ta thˆa´y r˘a`ng chuˆo˜i Leibnitz l`a cˆong cu t´ınh to´an tiˆe.n

ho.n so v´o.i chuˆo˜i du.o.ng Ch˘a’ng ha.n dˆe’ t´ınh tˆo’ng cu’a chuˆo˜i P

n>1

1

n2

v´o.i sai sˆo´ khˆong vu.o t qu´a 0,001 ta cˆa` n pha’i lˆa´y 1001 sˆo´ ha.ng m´o.i du’.

Thˆa.t vˆa.y ta c´o thˆe’ ´ap du.ng dˆa´u hiˆe.u t´ıch phˆan Ta c´o

n < 0, 001 Gia’i bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n ta c´ o n > 1000,

t´u.c l`a R1001 < 0, 001 Vˆa.y ta cˆa` n lˆa´y 1001 sˆo´ ha.ng dˆa` u dˆe’ t´ınh tˆo’ng

m´o.i c´o du.o c sai sˆo´ khˆong qu´a 0,001

V´ ı du 6 Ch´u.ng to’ r˘a`ng chuˆo˜i

2 +5

4 −

78

+10

9 −

2627

+ · · · +n2

... 0,001 ta cˆa` nt´ınh tˆo’ng 31 sˆo´ ha.ng dˆa` u l`a du’ (ta.i ?) N

13. 2 Chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t... chuˆo˜i

2 +5

4 −

78

+10

9 −

262 7

+ · · · +n2