1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bài tập toán cao cấp tập 3 part 9 ppt

33 400 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 33
Dung lượng 267,12 KB

Nội dung

264 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan 4. y  = xe x ; y(0) = y  (0) = 0. (DS. y =(x −2)e x + x +2) 5. xy  = y  .(DS. y = C 1 x 2 + C 2 ) 6. xy  + y  = 0. (DS. y = C 1 ln |x|+ C 2 ) 7. xy  =(1+2x 2 )y  .(DS. y = C 1 e x 2 + C 2 ) 8. xy  = y  + x 2 .(DS. y = x 3 3 + C 1 x 2 + C 2 ) 9. xy (3) − y  = 0. (DS. y = C 1 x 3 + C 2 x + C 3 ) 10. y  = y  2 .(DS. y = C 2 − ln |C 1 − x|) 11. y  =1+y  2 .(DS. y = C 2 − ln |cos(x + C 1 )|) 12. y  + y  +2=0;y(0) = 0, y  (0) = −2. (DS. y = −2x) 14.2.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh cˆa ´ p2v´o . i hˆe . sˆo ´ h˘a ` ng I. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` nnhˆa ´ t Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan da . ng y  + a 1 y  + a 2 y = 0 (14.42) trong d ´o a 1 , a 2 l`a c´ac h˘a ` ng sˆo ´ ,du . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p2v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. 1. Nˆe ´ u y 1 v`a y 2 l`a c´ac nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.42) sao cho y 1 (x) y 2 (x) = const th`ı y = C 1 y 1 + C 2 y 2 l`a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.42). 2. Nˆe ´ u y = u(x)+iv(x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.42) th`ı phˆa ` n thu . . c u(x) v`a phˆa ` na ’ o v(x)c˜ung l`a nghiˆe . m. D ˆe ’ x´ac di . nh c´ac nghiˆe . m riˆeng y 1 (x)v`ay 2 (x)dˆa ` u tiˆen cˆa ` n gia ’ i phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng (ptd t) thu du . o . . cb˘a ` ng c´ach d ˘a . t y = e λx λ 2 + a 1 λ + a 2 =0. (14.43) 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 265 Hiˆe ’ n nhiˆen ta luˆon xem bˆo . icu ’ a nghiˆe . mcu ’ a (14.43) l`a r =1(do . n) ho˘a . c 2 (k´ep). Ta c˜ung quy u . ´o . cbˆo . i r =0nˆe ´ u λ khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.43). Ta c´o ba ’ ng t´om t˘a ´ t sau Nghiˆe . mcu ’ a ptdt Nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.42) Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.42) I. λ 1 ,λ 2 ∈ R, λ 1 = λ 2 y 1 = e λ 1 x , y 2 = e λ 2 x y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x II. λ 1 = λ 2 = λ ∈ R y 1 = e λx , y 2 = xe λx y = C 1 e λx + C 2 xe λx = e λx (C 1 + C 2 x) III. λ 1 ,λ 2 ∈ C y 1 = e αx cos βx y = e αx (C 1 cos βx λ = α ± iβ y 2 = e αx sin βx +C 2 sin βx) V´ı du . 1. T`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + y  −2y =0. Gia ’ i. T`ım nghiˆe . m trong da . ng y = e λx , ta c´o y  = λe λx , y  = λ 2 e λx . Thay v`ao phu . o . ng tr`ınh ta thu d u . o . . cphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng λ 2 + λ −2=0⇔  λ 1 =1, λ 2 = −2. Ca ’ hai nghiˆe . m λ 1 ,λ 2 ∈ R v`a kh´ac nhau nˆen theo tru . `o . ng ho . . pIo . ’ ba ’ ng ta c´o y 1 = e x , y 2 = e −2x v`a do d´o y = C 1 e x + C 2 e −2x .  V´ı du . 2. C˜ung ho ’ inhu . trˆen d ˆo ´ iv´o . iphu . o . ng tr`ınh y  +2y  + y =0. 266 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . . ng tu . o . ng ´u . ng c´o da . ng λ 2 − 2λ +1=0⇔ λ 1 = λ 2 =1. C´ac nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng thu . . cv`ab˘a ` ng nhau nˆen y 1 = e x , y 2 = xe x .Dod´o y = C 1 e x + C 2 xe x = e x (C 1 + C 2 x).  V´ı du . 3. T`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  − 4y  +13y =0. Gia ’ i. Ptd ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng λ 2 − 4λ +13=0⇔  λ 1 =2+3i, λ 2 =2− 3i. . C´ac nghiˆe . mph´u . c n`ay tu . o . ng ´u . ng v´o . i c´ac nghiˆe . m riˆeng d ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh l`a y 1 = e 2x cos 3x, y 2 = e 2x sin 3x.Dod´o nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´avt c´o da . ng y = C 1 e 2x cos 3x + C 2 e 2x sin 3x = e 2x (C 1 cos 3x + C 2 sin 3x).  II. Phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh khˆong thuˆa ` nnhˆa ´ t Phu . o . ng tr`ınh da . ng y  + a 1 y  + a 2 y = f(x) (14.44) trong d ´o a 1 , a 2 l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ thu . . c, f(x) l`a h`am liˆen tu . cd u . o . . cgo . i l`a ptvp tuyˆe ´ n t´ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ tv´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. D - i . nh l´y. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.44) l`a tˆo ’ ng cu ’ a nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a phu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng v`a mˆo . t nghiˆe . mriˆeng n`ao d ´o cu ’ a phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t (14.44). 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 267 T`u . Iv`ad i . nh l´y v`u . a ph´at biˆe ’ u suy r˘a ` ng b`ai to´an t`ım nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ a (14.44) d u . o . . cd u . avˆe ` b`ai to´an t`ım nghiˆe . m riˆeng ˜y cu ’ a n´o. N´oi chung ph´ep t´ıch phˆan (14.44) luˆon luˆon c´o thˆe ’ thu . . chiˆe . n nh`o . phu . o . ng ph´ap biˆe ´ n thiˆen h˘a ` ng sˆo ´ Lagrange. Nˆe ´ uvˆe ´ pha ’ ic´oda . ng d ˘a . cbiˆe . t ta c´o thˆe ’ t`ım nghiˆe . m riˆeng cu ’ a (14.44) nh`o . Phu . o . ng ph´ap cho . n (phu . o . ng ph´ap hˆe . sˆo ´ bˆa ´ td i . nh khˆong ch´u . a qu´a tr`ınh t´ıch phˆan). Ta c´o ba ’ ng t´om t˘a ´ t sau trong d ´o P n (x),Q m (x), l`a c´ac d ath´u . cd a . isˆo ´ bˆa . ctu . o . ng ´u . ng. Vˆe ´ pha ’ icu ’ a (14.44) Nghiˆe . mcu ’ a ptdtDa . ng nghiˆe . m riˆeng I. Sˆo ´ 0 l`a nghiˆe . m˜y = Q n (x)x r f(x)=P n (x)bˆo . i r cu ’ a ptdt Q n cˆa ` ndu . o . . c x´ac d i . nh II. Sˆo ´ α l`a nghiˆe . m˜yx r Q n (x)e αx f(x)=e αx P n (x)bˆo . i r cu ’ a ptdt Q n (x)cˆa ` ndu . o . . c x´ac d i . nh III. f(x)= Sˆo ´ ph´u . c iβ l`a ˜y = x r (A cos βx a cos βx nghiˆe . mbˆo . i r +B sin βx); A, +b sin βx cu ’ a ptd t B -cˆa ` nx´acdi . nh IV. f(x)=e αx × Sˆo ´ α + iβ l`a ˜y = x r e αx × [P n (x) cos βx+ nghiˆe . mbˆo . i r [Q 1 (x) cos βx+ Q m (x) sin βx]cu ’ a ptdt Q 2 (x) sin βx], Q 1 v`a Q 2 l`a dath´u . cbˆa . c s = max(m, n) V. Vˆe ´ pha ’ icu ’ aphu . o . ng tr`ınh l`a tˆo ’ ng cu ’ a hai h`am y  + a 1 y  + a 2 y = f 1 (x)+f 2 (x). 268 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan Khi d´o nghiˆe . m riˆeng c´o thˆe ’ t`ım du . ´o . ida . ng ˜y =˜y 1 +˜y 2 trong d´o ˜y 1 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + a 1 y  + a 2 y = f 1 (x), c`on ˜y 2 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  + a 1 y  + a 2 y = f 2 (x). V´ı du . 4. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = x + 1 (da . ng I) Gia ’ i. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = e x (C 1 + C 2 x). V`ı λ 1 = λ 2 =1nˆen sˆo ´ 0 khˆong l`a nghiˆe . m cu ’ a ptd tv`adod´o r = 0 v`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a c h o (tru . `o . ng ho . . p I) cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y = x 0 (Ax + B) trong d ´o A, B l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ cˆa ` nx´acd i . nh. Thˆe ´ ˜y v`a ˜y  ,˜y  v`ao phu . o . ng tr`ınh v`a so s´anh c´ac hˆe . sˆo ´ cu ’ a c´ac l˜uy th`u . ac`ung bˆa . ccu ’ a x ta thu d u . o . . c A =1,−2A + B =1⇒ A =1,B = 3. Do vˆa . y˜y = x +3 v`a y =˜y + Y =3+x + e x (C 1 + C 2 x).  V´ı du . 5. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 4y  +3y = xe x (da . ng II). Gia ’ i. Nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = C 1 e x + C 2 e 3x .V`ıvˆe ´ pha ’ i f(x)=xe x nˆen (xem II) ta c´o P n (x)=x, α =1v`anhu . vˆa . ysˆo ´ α = 1 l`a nghiˆe . md o . ncu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng; r = 1. Do vˆa . y nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . ida . ng ˜y =(Ax + B)xe x T´ınh ˜y  ,˜y  rˆo ` ithˆe ´ v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho ta thu du . o . . c A = − 1 4 , B = − 1 4 v`a t`u . d ´o y =˜y + Y = − 1 4 (x +1)xe x + C 1 e x + C 2 e 3x = C 1 e x + C 2 e 3x − 1 4 x(x +1)e x .  14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 269 V´ı du . 6. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  + y = sin x (da . ng II I). Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng λ 2 + 1 = 0 c´o nghiˆe . m λ 1 = i, λ 2 = −i.Dod´o nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tl`a Y = C 1 cos x+C 2 sin x.V`ı f(x)=sinx =0·cos x +1·sin x nˆen a =0, b =1,β =1. V`ı iβ = i l`a nghiˆe . md o . ncu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r = 1 v`a nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . ida . ng ˜y =(A cos x + B sin x)x. Thˆe ´ ˜y v`ao phu . o . ng tr`ınh ta thu d u . o . . c A = − 1 2 , B =0v`a y = − 1 2 cos x + C 1 cos x + C 2 sin x.  V´ı du . 7. X´et phu . o . ng tr`ınh y  + y = sin 2x (da . ng II I). Gia ’ i. Tu . o . ng tu . . nhu . trong v´ıdu . 6 ta c´o Y = C 1 cos x + C 2 sin x. Phu . o . ng tr`ınh d ˜a cho c´o β =2. V`ıiβ =2i khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ a phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r =0v`a ˜y = A cos 2x + B sin 2x Thˆe ´ ˜y v`ao phu . o . ng tr`ınh d ˜achoc`ung v´o . i˜y  ,˜y  ta c´o A =0,B = − 1 3 . Do d ´o y =˜y + Y = − 1 3 sin 2x + C 1 cos x + C 2 sin x.  V´ı du . 8. Gia ’ iphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = sin x + e −x (da . ng V). Gia ’ i. Phu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng c´o nghiˆe . m λ 1 = λ 2 = 1. Do vˆa . y nghiˆe . mtˆo ’ ng qu´at cu ’ aphu . o . ng tr`ınh thuˆa ` n nhˆa ´ ttu . o . ng ´u . ng c´o da . ng Y = e x (C 1 + C 2 x). 270 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan V`ıvˆe ´ pha ’ icu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˜a cho l`a tˆo ’ ng cu ’ a hai h`am sin x v`a e −x nˆen nghiˆe . m riˆeng cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y =˜y 1 +˜y 2 , trong d´o ˜y 1 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ a y  − 2y  + y = sin x (14.45) c`on ˜y 2 l`a nghiˆe . m riˆeng cu ’ aphu . o . ng tr`ınh y  − 2y  + y = e −x (14.46) T`ım ˜y 1 .V`ı f(x) = sin x ⇒ β = 1. Tiˆe ´ pd´ov`ıiβ = i khˆong l`a nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r = 0 v`a nghiˆe . m riˆeng ˜y cˆa ` n t`ım du . ´o . ida . ng ˜y 1 = A cos x + B sin x. Thay ˜y 1 ,˜y  1 ,˜y  1 v`ao (14.45) ta thu du . o . . c A = 1 2 , B =0: ˜y 1 = 1 2 cos x. T`ım ˜y 2 .Vˆe ´ pha ’ i f(x)=e −x (xem II). Sˆo ´ α = −1 khˆong l`a nghiˆe . m cu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng nˆen r =0nˆen nghiˆe . m riˆeng cˆa ` nt`ımdu . ´o . i da . ng ˜y 2 = Ae −x . Thay ˜y 2 ,˜y  2 ,˜y  2 v`ao (14.46) ta thu du . o . . c A = 1 4 v`a do vˆa . y ˜y 2 = 1 4 e −x . Nhu . vˆa . y˜y =˜y 1 +˜y 2 = 1 2 cos x + 1 4 e −x v`a y =˜y + Y = 1 2 cos x + 1 4 e −x + e x (C 1 + C 2 x).  B ` AI T ˆ A . P 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 271 Gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh vi phˆan sau 1. y  − 5y  + 4 = 0. (DS. y = C 1 e −x + C 2 e 4x ) 2. y  − 6y  +9y = 0. (DS. y = e 3x (C 1 + C 2 x)) 3. y  +8y  +25y = 0. (DS. y = e −4x (C 1 cos 3x + C 2 sin 3x)) 4. y  − 3y  +2y = 0. (DS. y = C 1 e x + C 2 e 2x ) 5. y  − 4y  +4y = 0. (DS. y = e 2x (C 1 + C 2 x)) 6. y  − 2y  +2y = 0. (DS. y = e x (C 1 cos x + C 2 sin x)) Gia ’ i c´ac b`ai to´an Cauchy sau 7. y  +4y  +5y =0;y(0) = −3, y  (0) = 0. (D S. y = −3e −2x (cos x + 2 sin x)) 8. y  − 4y  +3y =0;y(0) = 6, y  (0) = 10. (DS. y =4e x +2e 3x ) 9. y  − 2y  +2y =0;y(0) = 0, y  (0) = 1. (DS. y = e x sin x) 10. y  − 2y  +3y =0;y(0) = 1, y  (0) = 3. (D S. y = e x (cos √ 2x + √ 2 sin √ 2x)) 11. y  +4y  =0;y(0) = 7, y  (0) = 8. (DS. y =9− 2e −4x ) 12. y  +4y =0;y(0) = 0, y  (0) = 2. (DS. y = sin 2x) Gia ’ i c´ac phu . o . ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆa ´ t sau 13. y  +2y  + y = e x .(DS. y =(C 1 x + C 2 )e −x + 1 4 e x ) 14. y  − 3y  +2y = e x .(DS. y = C 1 e 2x +(C 2 − x)e x ) 15. y  + y  − 2y =6x 2 .(DS. y = C 1 e x + C 2 e −x − 3(x 2 + x +1, 5)) 16. y  +3y  =9x.(DS. y = C 1 + C 2 e −3x + 3 2 x 2 − x) 17. y  − 2y = xe −x .(DS. y = C 1 e x √ 2 + C 2 e −x √ 2 −(x − 2)e −x ) 18. y  − 4y =8x 3 .(DS. y = C 1 e 2x + C 2 e −2x − 2x 3 − 3x) 19. y  − 5y  +6y = 13 sin 3x. 272 Chu . o . ng 14. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan (DS. y = C 1 e 2x + C 2 e 3x + 1 6 (5 cos 3x −sin 3x)) 20. y  +4y = 3 sin 2x.(DS. y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x − 3 4 x cos 2x) 21. y  +4y = sin 2x.(DS. y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x − 1 4 x cos 2x) 22. y  + y = x cos x. (D S. y = C 1 cos x + C 2 sin x + 1 4 x cos x + 1 4 x 2 sin x) 23. y  −2y  +3y = e −x cos x. (D S. y = e x (C 1 cos √ 2x + C 2 sin √ 2x)+ e −x 41 (5 cos x −4 sin x)) 24. y  −3y  +2y = e 3x (x 2 + x). (D S. y = C 1 e x + C 2 e 2x + e 3x 2 (x 2 − 2x + 2)) 25. y  + y = x +2e x .(DS. y = C 1 cos x + C 2 sin x + x + e x ) 26. y  −2y  + y =3e x + x +1. (D S. y = 3 2 e x x 2 + x +3+e x (C 1 x + C 2 )) 27. y  −6y  +8y = e x + e 2x . (D S. y = 1 3 e x − 1 2 xe 2x + C 1 e 2x + C 2 e 4x ) 28. y  +9y = e x cos 3x. (D S. y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x + e x 37 (cos 3x + 6sin 3x)) 29. y  −4y  +4y = xe 2x .(DS. y =(C 1 x + C 2 )e 2x + 1 6 x 3 e 2x ) 30. y  + y = 4 cos x +(x 2 +1)e x . (D S. y = C 1 cos x + C 2 sin x +2x sin x + e x (1 −x + 1 2 x 2 )) 31. y  −6y  +9y =25e x sin x. (D S. y =(C 1 + C 2 x)e 3x + e x (4 cos x + 3 sin x)) 32. y  +2y  +5y = e −x sin 2x. (D S. y =(C 1 cos 2x + C 2 sin 2x)e −x − 1 4 xe −x cos 2x) 14.2. Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan cˆa ´ p cao 273 33. y  + y  =4x 2 e x .(DS. y = C 1 + C 2 e −x +(2x 2 − 6x +7)e x ) 34. y  +10y  +25y =4e −5x .(DS. y =(C 1 + C 2 x)e −5x +2x 2 e −5x ) 14.2.3 Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p n n n (ptvptn cˆa ´ p n n n)v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng Phu . o . ng tr`ınh vi phˆan da . ng L(y) ≡ y (n) + a 1 y (n−1) + ···+ a n−1 y  + a n y = 0 (14.47) trong d ´o a 1 ,a 2 , ,a n l`a nh˜u . ng h˘a ` ng sˆo ´ thu . . cd u . o . . cgo . i l`a phu . o . ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ tcˆa ´ p n (ptvptn cˆa ´ p n)v´o . ihˆe . sˆo ´ h˘a ` ng. 1. Nˆe ´ u y 1 (x)v`ay 2 (x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47): Ly =0th`ıy = C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)c˜ung l`a nghiˆe . mcu ’ a n´o; 2. Nˆe ´ u y(x)=u(x)+iv(x) l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47) th`ı phˆa ` n thu . . c u(x) v`a phˆa ` na ’ o v(x)cu ’ an´oc˜ung l`a nghiˆe . mcu ’ a (14.47). Lu . o . . cd ˆo ` gia ’ i phu . o . ng tr`ınh (14.47) Xuˆa ´ t ph´at t`u . ptvptn L(y) ≡ y (n) + a 1 y (n−1) + ···+ a n y =0 a 1 ,a 2 , ,a n ∈ R    Lˆa . pphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng ϕ(λ)=λ n + a 1 λ n−1 + ···+ x n−1 λ + A n =0    T`ım nghiˆe . mcu ’ aphu . o . ng tr`ınh d ˘a . c tru . ng ϕ =0:λ 1 ,λ 2 , ,λ n .    [...]... C2ex + C3 ex/2) 6 y (3) − 6y (2) + 13y = 0 (DS y = C1 + e3x(C2 cos 2x + C3 sin 2x)) 7 y (4) + 13y (2) + 36 y = 0 (DS y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + C3 cos 3x + C4 sin 3x) ’ a a a Giai c´c b`i to´n Cauchy sau dˆy a 8 y + 4y + 5y = 0; y(0) = 3, y (0) = 0 (DS y = −3e−2x (cos x + 2 sin x)) 9 y (3) + 3y (2) + 3y + y = 0; y(0) = −1, y (0) = 2, y (0) = 3 (DS y = e−x (3x2 + x − 1)) 10 y (3) − 3y (2) + 3y − y =... = (C1 + C2x)ex + (C3 + C4 x)e−x + 1 cos x) 4 19 y (3) − 3y (2) + 3y − y = ex cos x ex (DS y = (C1 + C2 x + C3 x )e − sin 2x) 8 (4) (2) 2 20 y − 3y = 9x √ √ x4 − x2) (DS y = C1 + C2 x + C3 e 3x + C4e− 3x − 4 x 21 4y (3) + y = 3ex + 2 sin 2 x x 3 x (DS y = C1 + C2 cos + C3 sin + ex − x sin ) 2 2 5 2 (3) (2) 2 22 y + y = 12x 2 x (DS y = x4 − 4x3 + 12x2 + C1 + C2 x + C3e−x ) 23 y (3) − 5y (2) + 8y −... a ’ ta c´ o kα = a11α + a12β + a 13 , kβ = a21α + a22β + a 23 , kγ = a31α + a32β + a 33 , hay l` a (a11 − k)α + a12β + a 13 = 0, a21α + (a22 − k)β + a 33 = 0, (14.60) a31α + a32β + (a 33 − k)γ = 0 ´ ` ´ ı e ı a a o o Hˆ (14.60) l` hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh thuˆn nhˆt N´ c´ e a e nghiˆm kh´c 0 khi v` chı khi e a a ’ a11 − k a12 a 13 = 0 a21 a22 − k a 23 a31 a32 a 33 − k (14.61) ’ ´ D˘ng th´.c (14.61)... h˘ng e ´ a ´ iii) dˆi v´.i k3 : x3 , y3, z3 o o ’ ’ ´ o th` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ (14.58) c´ thˆ viˆt du.´.i dang ı e o a ’ e o e e x(t) = C1 x1 + C2 x2 + C3x3 , y(t) = C1 y1 + C2 y2 + C3y3 , z(t) = C1 z1 + C2 z2 + C3 z3, hay l` a x(t) = C1α1 ek1 t + C2 α2 ek2 t + C3 3 ek3 t , y(t) = C1β1 ek1 t + C2β2 ek2 t + C3 3 ek3 t , k1 t z(t) = C1γ1 e k2 t k3 t + C2 γ2 e + C3 3 e Ta x´t mˆt v´ du minh hoa... (14. 63) z + a31x + a32y + a33z = f3 (t) ’ ´ ` ` ´ ’ Ta gia thiˆt r˘ng nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ thuˆn nhˆt tu.o.ng u.ng d˜ e a e o a ’ e a a ´ a du.o.c t` du.´.i dang ım o x = C1 x1 + C2x2 + C3x3 , y = C1 y1 + C2y2 + C3y3 , (14.64) z = C1 z1 + C2z2 + C3z3 ` ´ ’ e Ta t` nghiˆm cua hˆ thuˆn nhˆt (14. 63) du.´.i dang ım e a a o x = C1 (t)x1 + C2(t)x2 + C3(t)x3, y = C1 (t)y1 + C2 (t)y2 + C3(t)y3, (14.65)... C2e−x sin x + C3xe−x cos x + C4xe−x sin x = e−x [C1 + C3x] cos x + e−x [C2 + C4x] sin x ` ˆ BAI TAP ’ a ınh Giai c´c phu.o.ng tr` sau 1 y (3) + 6y (2) + 11y + 6y = 0 (DS y = C1e−x + C2 e−2x + C3e−3x ) √ √ 2 y (3) − 8y = 0 (DS y = C1 e2x + e−x (C2 cos 3x + C3 sin 3x)) 3 y (4) − y = 0 (DS y = C1ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x) 4 y (3) − 3y − 2y = 0 (DS y = e−x (C1 + C2 x) + C3e2x) 5 2y (3) − 3y (2) + y... ınh e ınh o a a 13 y (3) + y (2) = 1 14 3y (4) + y (3) = 2 (DS y = C1 + C2 x + C3e−x + x2 ) 2 x (DS y = C1 + C2x + C3 x2 + C4 e− 3 + x3 ) 3 15 y (4) − 2y (3) + 2y (2) − 2y + y = 1 (DS y = C1 cos x + C2 sin x + (C3 + C4 x)ex + 1) 16 y (3) − y (2) + y − y = x2 + x (DS y = C1ex + C2 cos x + C3 sin x − (x2 + 3x + 1)) 17 y (4) + y (2) = x2 + x (DS y = C1 + C2 x + C3 cos x + C4 sin x + x 4 x3 + − x2 ) 12 6... (t)y2 + C3(t)y3, (14.65) z = C1 (t)z1 + C2(t)z2 + C2 (t)z3, ´ trong d´ C1(t), C2(t), C3(t) l` nh˜.ng h`m c`n chu.a biˆt a o e o a u ´ ´ Thˆ (14.65) v`o (14. 63) Khi d´ phu.o.ng tr`nh th´ nhˆt cua hˆ e a ı u a ’ e o (14. 63) c´ dang o C1x1 + C2 x2 + C3 x3 + C1(x1 + a11x1 + a12y1 + a13z1) + C2(x2 + a11x2 + a12y2 + a13z2) + C3(x3 + a11x3 + a12y3 + a13z3) = f1 (t) (14.66) ’ ` ´ ’ C´c tˆng trong c´c dˆu ngo˘c... 1 y (3) + y = x (DS y = A1 + A2x) ˜ 2 y (3) + y = 2 (DS y = Ax) ˜ 3 y (3) + y (2) = 3 (DS y = Ax2) ˜ 4 y (4) − y = 1 (DS y = A, A = const) ˜ 5 y (4) − y = 2 (DS y = Ax) ˜ 6 y (4) − y (2) = 3 (DS y = Ax2) ˜ 7 y (4) − y (3) = 4 (DS y = Ax3) ˜ 8 y (4) + 2y (3) + y (2) = e4x (DS y = Ae4x) ˜ 9 y (4) + 2y (3) + y (2) = e−x (DS y = Ax2e−x ) ˜ 10 y (4) + 2y (3) + y (2) = xe−x (DS y = (A1 x2 + A2 x3)e−x... dang 3 + 2λ2 + λ = 0 a a e a ` e T` d´ suy ra λ1 = λ2 = −1, 3 = 0 C´c nghiˆm n`y dˆu thu.c v` u o λ = −1 l` nghiˆm k´p nˆn ´p dung (14. 49) ta thu du.o.c a e e e a y = C1 e−x + C2xe−x + C3 ´ ’ e o o ınh V´ du 3 C˜ng hoi nhu trˆn dˆi v´.i phu.o.ng tr` ı u y (3) + 4y (2) + 13y = 0 ’ ınh a o a e Giai Phu.o.ng tr` d˘c tru.ng 3 + 4λ2 + 13 = 0 c´ c´c nghiˆm ’ λ1 = 0, λ2 = −2 − 3i, 3 = −2 + 3i Do . C 2 e −2x + C 3 e −3x ) 2. y (3) −8y = 0. (DS. y = C 1 e 2x + e −x (C 2 cos √ 3x + C 3 sin √ 3x)) 3. y (4) −y = 0. (DS. y = C 1 e x + C 2 e −x + C 3 cos x + C 4 sin x) 4. y (3) −3y  − 2y = 0 e −x (C 1 + C 2 x)+C 3 e 2x ) 5. 2y (3) − 3y (2) + y  = 0. (DS. y = C 1 + C 2 e x + C 3 e x/2 ) 6. y (3) −6y (2) +13y  = 0. (DS. y = C 1 + e 3x (C 2 cos 2x + C 3 sin 2x)) 7. y (4) +13y (2) +36 y =0. (D S C 2 sin 2x + C 3 cos 3x + C 4 sin 3x) Gia ’ i c´ac b`ai to´an Cauchy sau d ˆa y 8. y  +4y  +5y =0;y(0) = 3, y  (0) = 0. (D S. y = −3e −2x (cos x + 2 sin x)) 9. y (3) +3y (2) +3y  + y =0;y(0)

Ngày đăng: 29/07/2014, 02:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN