BÀI TẬP CHUONG III 1. Cho 2 2 2 , 2 xy f x y x y . Tính 2 2,1 ; 1,3 ; ,2 ; , f f f x x f x h y k . 2. Cho 2 , , ln sin g x y z x y z . Tính 2 1, , ; , , ; , , 4 g e g t t t g x y x x y . 3. Tìm miền xác định của các ham số sau a) 2 2 2 , ln 4 4 f x y x x y b) , 1 1 f x y x y c) , ln f x y x x y d) 2 2 9 , x y f x y x y e) , cos x f x y arc y f) 2 2 2 2 , 1 ln 4 f x y x y x y g) 2 2 2 , , 1 f x y z x y z h) , , ln 1 1 2 3 x y z f x y z 4. Tìm giới hạn khi , 0,0 x y của các hàm số sau a) 2 2 2 , sin 2 x y f x y y y b) 2 2 2 , x y f x y x y c) 2 2 2 2 , 1 1 x y f x y x y 5. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a) 2 2 , ln f x y y x y b) 2 3 , 4 f x y y x x y c) 2 2 2 , x xy y f x y e d) 3 3 , x y f x y y x e) 2 , arctan 1 y f x y x f) 2 2 , ln f x y x x y g) , tan 2 xy f x y e x y h) 2 , 0 y f x y x x i) , , sin xyz y f x y z e x j) , , sin y f x y z z x z 6. Tính vi phân toàn phần của các hàm số a) , xy f x y ye b) 2 2 , ln 3 1 f x y x y c) , sin x y f x y e x y d) 2 3 , , f x y z x y z e) 2 2 2 , , ln f x y z x y z f) , , y z x f x y z xe ye ze 7. Tính gần đúng các số sau a) 1,99 1,04 ln 1,02 b) 2 0,02 5 2,03 e c) 2 3 3 4 1,03 0,98. 1,05 d) 2 2 2 3,02 1,99 5,98 8. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau a) 3 2 , 2 f x y x y x y b) 2 , cos 2 3 f x y x y c) 3 2 2 2 , f x y x y d) , sin cos f x y x y x y 9. Tính các đạo hàm riêng cấp cao của các hàm số sau a) , cos y f x y ax e , tính xyy f b) , , xyz f x y z e , tính yzy f c) , , sin xy f x y z e z , tính zyx f d) 2 2 2 , , ln 2 3 f x y z x y z , tính xyz f 10. Trong các hàm số sau, hàm số nào thỏa mãn phương trình 0 xx yy u u ? a) 2 2 , u x y x y b) 2 2 , u x y x y c) 3 2 , 3 u x y x xy d) 3 2 , 3 u x y x xy e) 2 2 , ln u x y x y f) , cos cos x y u x y e y e x 11. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình 2 tt xx u a u a) , sin .sin u x t kx akt b) 4 4 , u x t x at x at c) , sin ln u x t x at x at 12. a) Tìm hàm số , u x y thỏa mãn phương trình 0 x u . b) Tìm hàm số , u x y thỏa mãn phương trình 0 xy u . 13. Dùng quy tắc lấy đạo ham của hàm số hợp, tính dz dx . a) 3 3 z u v , trong đó 2 , 1 x u x v e b) 2 1 z u v , trong đó , cos x u xe v x 14. Dùng quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp tính , z z x y a) 2 2 3 3 z u u v , trong đó , y y u xe v xe b) tan z arc uv , trong đó 2 , y u x v xe c) 3 u v z e , trong đó 2 2 , u x y v xy 15. a) Chứng minh rằng hàm số 2 2 2 u x y z thỏa mãn phương trình 2 xx yy zz u u u u . b) Chứng minh rằng hàm số 2 2 ln z y x y thỏa mãn phương trình 2 1 1 x y z z z x y y c) Chứng minh rằng hàm số u xf x y yg x y , trong đó , f g là hai hàm số khả vi thỏa mãn phương trình 2 0 xx xy yy u u u . 16. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn a) 2 2 ln arctan y x y x , tính ', '' y y b) cos cos 1 x y y x , tính ' y c) 1 0 y x xe ye , tính ' y d) 2 sin 0 xy x y y , tính ' y e) 0 xy yz xz , tính , x y z z f) 2 2 2 2 x y z x y z , tính , x y z z g) 4 2 3 xyz yx x y e , tính , x y z z h) 0 y x xe yz ze , tính , x y z z 17. Tìm cực trị của các hàm số a) 2 2 , 2 2 2 2 f x y x y xy x y b) , sin f x y x y c) 1 , 47 2 3 3 x y f x y xy x y d) 4 4 , 4 1 f x y x y xy f) 2 3 2 2 , 3 3 3 2 f x y x y y x y f) 2 3 , f x y x y x y g) , 1 f x y xy x y h) 2 2 , ln f x y x x y i) , sin sin cos ,0 , 4 f x y x y x y x y j) , xy f x y x y e 18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số a) , f x y xy với điều kiện 2 3 5 0 x y b) 2 , f x y x y với điều kiện 2 2 1 x y ĐÁP SỐ 1. 2 2 2 6 4 2,1 , 1,3 , ,2 3 19 1 8 x f f f x x x , 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 4 2 xy kx hy hk f x h y k x y hx ky h k . 2. 2 1, , 2 4 g e , 2 , , ln sin g t t t t t t , 2 , , ln sin g x y x x y x y x x y 3. a) , 1 0 x y x y b) 2 , x y y x c) 2 2 , 4 4 x y x y d) , 1 , 1 x y x x y y e) , 0 , 0 x y x x y x y f) 2 2 , 9 , 0 x y x y x y x y g) , 0 , 1 x x y x x y y h) 2 2 , 1 4 x y x y i) 2 2 2 , , 1 x y z x y z j) , , 1 1 2 3 x y z x y z 4. a) 1 b) Không tồn tại giới hạn c) 1 d) Không tồn tại giới hạn e) 2 5. a) 4 2 5 5 2 x f x y xy 5 2 4 2 5 y f x y x y b) 2 3 2 2 2 x y f x y 3 2 2 2 y xy f x y c) 2 2 2 x xy f x y 2 2 2 2 2 2 ln y y f x y x y d) 2 3 4 2 x y f y x 3 8 3 y x f x y e) 2 2 2 4 x xy y x f x y e 2 2 2 2 2 x xy y y f x y e f) 2 3 2 3 x x y f y x 3 4 3 1 y x f y x g) 2 2 2 2 1 x xy f x y 2 2 2 2 1 1 y x f x y h) 2 2 1 x f x y 2 2 2 2 y y f x y x x y i) 2 1 tan 2 cos 2 xy xy x f ye x y e x y 2 1 tan 2 2 cos xy xy y f xe x y e x y j) 2 2 1 y x f y x 2 2 ln y y f x y x k) 2 sin cos xyz xyz x y y y f e yz e x x x 1 sin cos xyz xyz y y y f e xz e x x x sin xyz z y f e xy x l) 2 cos x zy y f x z x z cos y z y f x y x z 2 sin cos z y zy y f x z x z x z 6. a) 2 2 3 3 df x y dx y x dy b) 2 2 2 2 2 2 x y dx xydy df x y c) 2 1 xy df e y dx xy dy d) 2 2 2 6 3 1 xdx ydy df x y e) sin cos sin cos x y df e x y x y dx x y x y dy f) 2 2 3 2 2 2 3 3 2 xy xz df y z dx dy dz y z y z g) 2 2 2 xdx ydy zdz df x y z h) y x y z z x df e ze dx xe e dy ye e dz 7. a) 9.99 b) 0.03 c) 1.05 d) 3.037 e) 1.027 f) 6.989 8. a) 2 6 xx f xy , 2 1 6 xy f x y y , 3 3 2 2 yy x f x y b) 8cos 4 6 xx f x y , 12cos 4 6 xy f x y , 18 cos 4 6 2 yy f x y c) 2 2 2 2 3. 2 xx x y f x y , 2 2 3 xy xy f x y , 2 2 2 2 3 2 yy x y f x y d) sin cos xx f x y x y , sin cos xy f x y x y , sin cos yy f x y x y 9. a) 2 6 120 y xy b) 2 3 5 4 2 xy y xy e c) 2 cos sin y y y y a ax e e e a ax e d) 2 3 2 2 xyz e x z x yz e) 1 cos xy e xy z f) 2 3 2 3 96 2 3 xyz x y z 10. Các hàm số b, d, e, f thỏa mãn phương trình đã cho. 12. a) , , u x y f y f là hàm số bất kì. b) , ; , u x y f x g y f g là hai hàm số khả vi bất kì. 13. a) 7 2 6 3 1 2 x x x x e e e b 2 2 sin cos 1 1 cos 1 cos x x xe x x x e x x c) 2 1 1 1 2 1 1 1 x x x x x 14. a) 2 2 2 2 4 sin 2 cos x z x y x xy y x y xy ; 2 2 2 2 4 sin 2 cos y z x y x xy x x y xy b) 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 sin sin 2 x z x y x y x y x y x y x 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 sin sin 2 y z x y x y x y x y x y y c) 2 4 2 15 y y x z xe x e ; 2 2 5 2 3 y y y z x e x e d) 2 6 2 2 1 y x y x e x z x e ; 3 6 2 1 y x y x e z x e e) 2 2 3 2 3 x y xy x z e y x y ; 2 2 3 6 x y xy x z e x x y 16. a) 2 3 4 2 6 20 5 6 xy x y x y b) 3 2 2 2 4 3 1 xy x y x c) ' x y y x y , 2 2 3 2 '' x y y x y d) cos sin sin cos y y x x y x e) y x x y e ye e xe f) 2 cos 2 cos 1 x y y xy x y g) x y z z x y , y x z z x y h) x x y z z z x , y y x z z x i) 3 2 4 2 xyz x xyz yze x y xy z xye , 4 2 2 3 xyz y xyz xze x x y z xye j) y x x x e ze z y e , y y x xe z z y e k) 1 2 x y z z y z , 1 2 y z y z 17. a) Cực tiểu 0, 1 1 f b) Không có cực trị c) Cực đại 21, 20 282 f d) Cực tiểu 1, 1 1, 1 1 f f e) Cực đại 0,0 2 f , cực tiểu 0,2 2 f f) Không có cực trị g) Cực đại 1 1 1 , 3 3 27 f h) Cực tiểu 1, 0 0 f i) Cực đại 3 , 6 6 2 f j) Không có cực trị 18. a) Cực đại 5 5 25 , 4 6 24 f b) Cực tiểu 0, 1 1 f , cực đại 3 1 5 , 2 2 4 f Bài tập ứng dụng 1. Cho biết tổng chi phí để sản xuất một loại sản phẩm là 2 4000 ( ) 1000C q q q q = + + a. Tìm chi phí biên tế. b. Xác định q để chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại giá trị trên. 2. Hàm cầu của một loại hàng theo giá có phương trình 400 2 D Q p = - Tại điểm 40 p = khi giá tăng, doanh thu giảm hay tăng? Tìm mức giá để loại hàng trên không co giãn. 3. Một xí nghiệp sản suất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm chi phí sản xuất: 1 4800 3 D Q p = - ; 2 4000 225 C Q Q= + + a. Xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. b. Xác định mức sản lượng để chi phí trung bình nhỏ nhất. 4. Một công ty độc quyền nhập một loại hàng. Biết hàm cung và hàm cầu của loại hàng trên khi chưa có hàng nhập là 200 S Q p = - + ; 1800 D Q p = - và giá bán trên thị trường quốc tế là 0 500 p = a. Tìm mức thuế t định trên một đơn vị hàng nhập để thu được nhiều thuế nhập khẩu nhất của công ty. b. Nếu muốn đơn giá bán loại hàng trên tại thị trường nội địa không thấp hơn 990 thì mức thuế nhập khẩu ít nhất là bao nhiêu? 5. Một công ty được độc quyền xuất khẩu một mặt hàng, biết hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội địa là: 20 S Q p = - + ; 400 D Q p = - Giá bán trên thị trường quốc tế là: 310 p = Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất. 6. Một công ty sản xuất độc quyền một loại hàng và có hai thị trường tiêu thụ tách biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là: 1 1 380 D Q P = - ; 2 2 1 300 3 D Q P = - ; 2 20 90 C Q Q = + + a. Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối trên các thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. b. Tìm lượng hàng phân phối trên các thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa, nếu xí nghiệp sản xuất 105 đơn vị sản phẩm. 7. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổng chi phí của xí nghiệp: 1 1 2 250 D Q P P = - + ; 2 1 2 300 2 D Q P P = + - 2 2 1 2 1 2 1 2 500 220 10 C q q q q q q= + + + + + Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. 8. Một công ty sản xuất hai loại hàng. Biết đơn giá bán của hai loại hàng trên là 1 12, P = 2 18 P = , và hàm tổng chi phí là: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , ) 3 6 4 C C q q q q q q q q = = + + + + + Tìm mức sản lượng hai loại sản phẩm trên để công ty có lợi nhuận tối đa. 9. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại hàng hóa. Biết hàm cầu của xí nghiệp về hai loại trên là: 1 1 2 1 (290 3 2 ) 7 D Q P P = - + , 2 2 1 1 (650 3 ) 7 D Q P P = - + a. Tìm mức sản lượng của xí nghiệp về hai loại hàng trên sao cho xí nghiệp có lợi nhuận tối đa, nếu biết hàm tổng chi phí của xí nghiệp là: 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , ) C Q Q Q Q Q Q = + + . b. Vẫn hỏi như trên, nếu thuế suất định trên mỗi sản phẩm của loại hàng thứ 1 là 1 26 t = và trên loại hàng thứ 2 là 2 24 t = và hàm chi phí sản xuất là: 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , ) C Q Q Q Q Q Q = + + 10. Một người dùng số tiền 4.000.000đ để mua 2 loại hàng với giá P 1 =500.000đ và P 2 =400.000đ a. Tìm số lượng hai loại hàng trên người đó sẽ mua để có giá trị sử dụng là lớn nhất. Biết hàm hữu dụng của hai mặt hàng trên là: ( , ) ( 4)( 5) U x y x y = + + Trong đó, x là số lượng mặt hàng thứ 1; y là số lượng của mặt hàng thứ 2. b. Cũng hỏi như trên nếu ( , ) ( 4)( 5) U x y x y = + + 11. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là: 1 1 2 800 2 D Q P P = - + ; 2 1 2 960 D Q P P = + - và hàm tổng chi phí: 1 2 1 2 ( , ) 320 480 300 C Q Q Q Q= + + a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. b. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện hạn chế về chi phí 166700 C = . 12. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu trên từng thị trường là: 1 1 310 D Q P = - ; 2 2 1 235 2 D Q P = - và hàm tổng chi phí: 2 1 2 2 ( , ) 30 20 C Q Q Q Q= + + a. Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối cho từng thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. b. Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối cho từng thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa khi xí nghiệp sản xuất 80 đơn vị sản phẩm. . 2, 03 e c) 2 3 3 4 1, 03 0,98. 1,05 d) 2 2 2 3, 02 1,99 5,98 8. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau a) 3 2 , 2 f x y x y x y b) 2 , cos 2 3 f. 1 , 47 2 3 3 x y f x y xy x y d) 4 4 , 4 1 f x y x y xy f) 2 3 2 2 , 3 3 3 2 f x y x y y x y f) 2 3 , f x y x y x y . xe e dy ye e dz 7. a) 9.99 b) 0. 03 c) 1.05 d) 3. 037 e) 1.027 f) 6.989 8. a) 2 6 xx f xy , 2 1 6 xy f x y y , 3 3 2 2 yy x f x y b) 8cos 4 6 xx f x y