1 PHẦN 2: ĐỘNG HỌC MỞ ĐẦU Động học khảo sát chuyển động cơ học của vật thể (chất điểm) về mặt hình học, không quan tâm đến nguyên nhân gây chuyển động và biến đổi chuyển động của chúng. Khi vật thể có kích thước rất bé so với quỹ đạo chuyển động của nó hoặc có thể bỏ qua thì ta coi đó là chất điểm chuyển động, gọi tắt là động điểm. Để đơn giản chúng ta xem không gian và thời gian không phụ thuộc vào chuyển động của vật khảo sát và gọi là không gian thuyệt đối và thời gian tuyệt đối. Không gian tuyệt đối được quan niệm là không gian Ơcơlít không phụ thuộc vào thời gian và các vật thể chuyển động quanh nó. Thời gian tuyệt đối được quan niệm là thời gian trôi đều từ quá khứ qua hiện tại đến tương lai. Chuyển động xảy ra trong không gian nhưng hoàn toàn có tính tương đối phụ thuộc vào vật lấy làm mốc để theo dõi chuyển động. Vật lấy làm mốc được gọi là hệ quy chiếu. Để tính thời gian ta chọn một thời điểm tuỳ ý làm thời điểm gốc (t 0 ), thường chọn t 0 là lúc bắt đầu khảo sát chuyển động. Động học được chia làm hai phần chính là “Động học điểm” và “Động học vật rắn”. Nghiên cứu động học điểm ngoài ý nghĩa tự thân nó còn nhằm chuẩn bị cho khảo sát chuyển động của vật rắn. Động học nghiên cứu 3 vấn đề chính: 1. Phương trình chuyển động → Xác định vị trí đối tượng. 2. Vận tốc chuyển động → Xác định hướng và tốc độ chuyển động. 3. Gia tốc chuyển động → Biểu thị sự thay đổi vận tốc. CHƯƠNG 6: ĐỘNG HỌC ĐIỂM I. NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ. 1. Phương trình chuyển động của điểm. Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz. Vị trí của điểm M được xác định bởi vectơ r r = OM uuuur . M chuyển động thì r r thay đổi theo thời gian. ( ) rrt = rr (6.1) Phương trình (6.1) được gọi là phương trình chuyển động của điểm M dạng vectơ. M chuyển động liên tục, tại mỗi thời điểm M có một vị trí xác định và có hướng chuyển động xác định nên ( ) rt r là hàm liên tục, đơn trị. Tập hợp các vị trí của M trong hệ quy chiếu Oxyz được gọi là quỹ đạo điểm M trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (6.1) được gọi là phương trình tham số của quỹ đạo. • Nếu quỹ đạo là đường thẳng ⇒ Chất điểm chuyển động thẳng. • Nếu quỹ đạo là đường cong ⇒ Chất điểm chuyển động cong. 2. Vận tốc điểm. Xét chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo C như hình vẽ. Giả sử tại thời điểm t chất điểm tại vị trí M, xác định bởi vectơ r r . Tại thời điểm 1 ttt =+∆ chất điểm tại vị trí M 1 , xác định bởi vectơ 1 r r . O x y z M O M 1 M r r 1 r r V ur tb V ur r ∆ r 2 Sau một khoảng thời gian 1 ttt ∆=− chất điểm di chuyển được một đoạn là 1 MM uuuuur = 1 r r - r r = r ∆ r . Đại lượng tb r V t ∆ = ∆ r ur được gọi là vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian ∆t, tb V ur hướng theo cát tuyến MM 1 . Vận tốc tức thời của động điểm tại thời điểm t được xác định như sau: V ur = tb t0t0 rdr limVlimr tdt ∆→∆→ ∆ === ∆ rr ur r & (6.2) Khi ∆t→ 0 ⇒ M 1 → M ⇒ V ur nằm theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại M. Kết luận: Vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vectơ định vị điểm ấy. Đơn vị đo vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s. 3. Gia tốc điểm. Giả sử: Tại thời điểm t, chất điểm tại M, vận tốc là V ur . Tại thời điểm t 1 = t+∆t, chất điểm tại M 1 , vận tốc là 1 V ur . Sau một khoảng thời gian ∆t, vận tốc chất điểm biến thiên một đại lượng V ∆ ur = V ur - 1 V ur . Gia tốc của điểm tại thời điểm t được xác định theo công thức: . tb t0t0 dV limlimVr tdt V WW ∆→∆→ ∆ ===== ∆ urur uuruurur r && (6.3) Kết luận: Gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vectơ vận tốc và là đạo hàm bậc hai theo thời gian của vectơ định vị điểm ấy. V ∆ ur luôn hướng về phía lõm của quỹ đạo do vậy W uur cũng luôn hướng về phía lõm quỹ đạo. Đơn vị đo gia tốc là mét/giây 2 , ký hiệu là m/s 2 . 4. Một số nhận xét về tính chất chuyển động. Xét tích V W ∧ uruur = V . W .sin( V ur , W uur ). V W ∧ uruur =0 ⇒ sin( V, W uruur )= 0 ⇒ V ur và W uur cùng phương ⇒ Chuyển động thẳng. V W ∧ uruur ≠ 0 ⇒ sin( V, W uruur ) ≠ 0 ⇒ V ur và W uur không cùng phương ⇒ Chuyển động cong. Ta nhận thấy giá trị V 2 cũng đặc trưng cho sự thay đổi vận tốc, và ta có: 2 V = ( ) 2 V ur Xét đại lượng : 22 d(V)d(V)dV 2.V.2.V. dtdtdt W === urur ururuur , ta có V. W uruur = V. W .cos( V, W uruur ). V. W uruur =0 ⇒ cos( V, W uruur )= 0 ⇒ V ur và W uur vuông góc hoặc W uur = 0 ⇒ Chuyển động đều. V. W uruur >0 ⇒ cos( V, W uruur ) > 0 ⇒ ( V, W uruur ) < 90 o ⇒ Chuyển động nhanh dần. V. W uruur <0 ⇒ cos( V, W uruur ) < 0 ⇒ ( V, W uruur ) > 90 o ⇒ Chuyển động chậm dần. Tính chất chuyển động được tóm tắt trong bảng sau: Chuyển động Đều Nhanh dần Chậm dần Thẳng M V ur V ur W uur M M W uur V ur O M 1 M 1 V ur 1 V ur V ur V ∆ ur r r 1 r r 3 Cong II. NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÊCÁC. 1. Phương trình chuyển động của điểm. Xét điểm M(x,y,z) ∈ Oxyz. r r = OM uuuur . i r , j r , k r là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz. Vị trí điểm M được xác định bằng vectơ định vị r r . r r = x. i r +y. j r +z. k r . Khi M chuyển động thì: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (6.4) Đây là phương trình chuyển động của điểm M trong hệ tọa độ Đề các. 2. Vận tốc điểm. Theo (6.2) ta có: V ur = () drd xiy.jz.k dtdt =++ r rr v = dxdydz ijk dtdtdt ++ rrr . Chiếu đẳng thức trên lên các trục tọa độ ta được: x dx Vx dt == ur & ; y dy Vy dt == ur & ; z dz Vz dt == ur & (6.5) ⇒ 222222 xyz y xz VVVVVxyz V VV Cos(Ox,V);Cos(Oy,V);Cos(Oz,V) VVV ==++=++ === ur &&& ururur (6.6) 3. Gia tốc điểm. Theo (6.3) ta có: W uur = () xyz dVd ViV.jV.k dtdt =++ ur rr v = y xz dV dVdV ijk dtdtdt ++ rrr = x.iy.jz.k ++ rrr &&&&&& Chiếu đẳng thức trên lên các trục tọa độ ta được: x W uur = x & & ; y W uur = y & & ; z W uur = z & & (6.7) ⇒ 222222 xyz y xz xyz Cos(Ox,);Cos(Oy,);Cos(Oz,) WWWWW W WW WWW WWW ==++=++ === uur &&&&&& uuruuruur (6.8) Ví dụ: Điểm M ∈ mặt phẳng Oxy có phương trình chuyển động: xb.sint yd.cost =ω =ω (b,d là các hằng số dương, giả sử b<d) Xác định: - Phương trình quỹ đạo điểm M. - Vận tốc, gia tốc tại t 1 = 2 π ω . Bài giải: 1. Tìm phương trình quỹ đạo điểm M. Khử tham số t ta có: M V ur W uur M W uur V ur M V ur W uur M Z Y X x y z k r j r i r O 4 2 2 2 2 2 2 xx (1) sintsint bb y y cost (2) cost d d ω=ω= ⇔ ω= ω= (1)+ (2) ⇔ 22 22 22 xy sintcost bd ω+ω=+ =1 ⇒ Phương trình quỹ đạo điểm M là đường elíp có trục bé là 2b, trục lớn là 2d. 2. Tìm vận tốc, gia tốc tại t 1 = 2 π ω . a, Tìm vận tốc: Ta có: x V = x & =b.ω.cos(ωt); y V = y & = -d.ω.sin(ωt). Tại t 1 = ω π 2 ta có x V =b.ω.cos(ω ω π 2 ) = 0; y V = -d.ω.sin(ω ω π 2 ) = -d.ω. () 2 222 xy VVV0d. =+=+−ω = d.ω. b, Tìm gia tốc: Ta có: x W = x V & = -b.ω 2 .sin(ωt); y W = y V & = -d.ω 2 .cos(ωt). Tại t 1 = ω π 2 ta có x W = -b.ω 2 .sin(ω ω π 2 ) = -b.ω 2 ; x W = -d.ω 2 .cos(ω ω π 2 ) = 0. () 2 2222 xy b.0 WWW =+=−ω+ = b.ω 2 . III. NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG PP TọA Độ TỰ NHIÊN. 1. Phương trình chuyển động. Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp dụng khi biết trước quỹ đạo chuyển động của chất điểm. Giả sử chất điểm M chuyển động theo quỹ đạo (C) cho trước trong một hệ quy chiếu không gian. Chọn điểm O tuỳ ý trên quỹ đạo (O ∈ C) làm điểm gốc và định chiều dương trên quỹ đạo. Điểm M được xác định bằng độ dài đại số cung OM. Do M chuyển động nên: ss(t) = (6.9) 2. Hệ tọa độ tự nhiên. a, Mặt phẳng mật tiếp: Lấy cung vô cùng bé MM 1 trên quỹ đạo có giá trị đại số là s d . Một cách gần đúng có thể xem cung MM 1 nằm trong một mặt phẳng π. Mặt phẳng π được gọi là mặt phẳng mật tiếp của quỹđạo tại M. Chú ý: Nếu quỹ đạo là đường cong phẳng thì mặt phẳng quỹ đạo cũng chính là mặt phẳng mật tiếp mọi điểm trên quỹ đạo. b, Hệ tọa độ tự nhiên: Trong mặt phẳng mật điểm M của quỹ đạo dựng các trục: Mt: Hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo. Mn: Hướng theo pháp tuyến quỹ đạo về phía lõm. Mb: Vuông góc với mặt phẳng mật tiếp (chứa Mt và Mn). Mtnb được gọi là hệ tọa độ tự nhiên, Mn gọi là pháp tuyến chính của quỹ đạo, vectơ đơn vị trên trục này là 0 n r . Mb 0 - + M t b n 0 n r 0 t r 0 b r O M ( ) St - + (C) 5 gọi là trùng pháp tuyến vectơ đơn vị trên trục này là 0 b r . Mt là tiếp tuyến có vectơ đơn vị là 0 t r . Người ta thường chọn 0 b r sao cho Mtnb tạo thành hệ trục thuận. Tại mỗi thời điểm chất điểm có một vị trí M xác định và ta dựng được một hệ tọa độ tự nhiên tương ứng. Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí điểm M trên quỹ đạo phản ánh một phần tính chất hình học của quỹ đạo. 3. Độ cong và bán kính cong quỹ đạo. Nhận xét: Quỹ đạo càng cong thì tiếp tuyến của nó đổi hướng càng nhanh dọc theo quỹ đạo ấy. Người ta đưa ra khái niệm độ cong quỹ đạo trung bình: tb k s ∆ϕ = ∆ . tb k là độ cong trung bình của cung MM 1 . Độ cong quỹ đạo tại M được định nghĩa: s0 d klim sds ∆→ ∆ϕϕ == ∆ Đại lương 1 k ρ= gọi là bán kính cong quỹ đạo tại điểm M. Ví dụ: Xét đường tròn tâm O, bán kính R. Ta có ds = R.dϕ. Vậy dd1 k dsR.dR ϕϕ === ϕ mà 1 k ρ= nên ta luôn có R = ρ . Bán kính cong của đường tròn tại mọi điểm đều bằng bán kính của đường tròn đó. 4. Vận tốc điểm. Vì vectơ V ur hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo nên t0 VV.t = ur r . Ta có: drdrdsdr V.s. dtdsdtds === rrr ur & . Trong hình học vi phân người ta đã chứng minh 0 dr t ds = r r ⇒ 0 Vs.t = ur r & . Chiếu lên các trục tọa độ tự nhiên ta được: t Vs = & ; nb VV0 == (6.10) Chú ý t VV = ur . 5. Gia tốc điểm. Trong hệ tọa độ tự nhiên, vectơ gia tốc được xác định theo công thức: tnb 000 .t.n.b WWWW=++ uur r r r . Theo định nghĩa : () 0 t0t0t0t0t dt dVd V.tVtVtVtV dtdtdt W ===+=+ ur r uur rrrr & && ⇔ 0 t0t dt ds VtV dsdt W =+× r uur r & . Hình học vi phân đã chứng minh 00 dtn ds = ρ r r vì vậy ta có: 2 00t t0tt0ttt00 nnV ds VtVVtVVvtn dt W =+×=+×=+ ρρρ rr uur rrr r && & (Chú ý: t ds V dt = ) Đặt t t0 V.t W = uur r & và 2 n t 0 V .n W = ρ uur r ta được: tn WWW =+ uuruuruur (6.11) - t t t0 dV V.t dt W == ur uur r & gọi là gia tốc tiếp tuyến hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo và phản ánh sự biến đổi vận tốc về trị số. M 1 M 1 V ur 1 V ur V ur ∆ϕ s ∆ 6 - 2 n t 0 V .n W = ρ uur r gọi là gia tốc pháp tuyến hướng vào tâm cong của quỹ đạo, tức chiều dương của trục pháp tuyến. Gia tốc pháp tuyến phản ánh độ cong của quỹ đạo. n W0 = uur khi ρ=∞ ⇒ chuyển động là chuyển động thẳng. 6. Chuyển động đều và chuyển động biến đổi đều. a. Chuyển động đều: - Khái niệm: Trong chuyển động đều vận tốc là hằng số ( t0 VVconst == ). - Phương trình chuyển động: Chọn chiều chuyển động làm chiều dương ta có: t t00000 0 ds VVdsVdtsV.dtV.ts dt ==⇒=⇒==+ ∫ Kết luận: 00 sVts =+ . (6.12) ( 0 s là vị trí chất điểm tại t=0). b. Chuyển động biến đổi đều: - Khái niệm: Trong chuyển động biến đổi đều gia tốc là hằng số ( t WWconst == ). - Phương trình chuyển động: Ta có t t t dV dV.dt. dt WWW==⇒= Tích phân hai vế ta được t0 V.tV W =+ . Mặc khác () tt0 ds VdsV.dt.tVdt dt W=⇒==+ ⇒ 2 00 t sVts 2 W =++ . Tóm lại trong chuyển động biến đổi đều thì: t0 V.tv W =+ (6.13) 2 00 t sVts 2 W =++ (6.14). Nếu chọn chiều dương cùng chiều chuyển động thì: - 0 W > Chuyển động nhanh dần đều. - 0 W < Chuyển động chậm dần đều. . Tại t 1 = ω π 2 ta có x W = -b.ω 2 .sin(ω ω π 2 ) = -b.ω 2 ; x W = -d.ω 2 .cos(ω ω π 2 ) = 0. () 2 222 2 xy b.0 WWW =+=−ω+ = b.ω 2 . III. NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG PP TọA Độ TỰ. X x y z k r j r i r O 4 2 2 2 2 2 2 xx (1) sintsint bb y y cost (2) cost d d ω=ω= ⇔ ω= ω= (1)+ (2) ⇔ 22 22 22 xy sintcost bd ω+ω=+ =1 ⇒ Phương trình. x V =b.ω.cos(ω ω π 2 ) = 0; y V = -d.ω.sin(ω ω π 2 ) = -d.ω. () 2 222 xy VVV0d. =+=+−ω = d.ω. b, Tìm gia tốc: Ta có: x W = x V & = -b.ω 2 .sin(ωt); y W = y V & = -d.ω 2 .cos(ωt). Tại t 1 = ω π 2