Khảo sát tính khả tích Lebesgue

Khảo sát tính khả tích Lebesgue

LỜI CẢM ƠN

– & — Trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ quý thầy cô và bạn bè Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua Xin chân thành cảm

ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề tài

Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài

Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thành

Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Sinh viên thực hiện Phan Trần Diễm

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử vấn đề 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG 3

PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1 Độ đo trên một đại số tập hợp 3

1.1 Định nghĩa độ đo 3

1.2 Một số tính chất của độ đo 4

2 Độ đo Lebesgue trên R 5

3 Hàm số đo được… … ……….……….……5

3.1 Định nghĩa 5

3.2 Một số tính chất 6

3.3 Các phép toán trên hàm số đo được 6

3.4 Khái niệm hầu khắp nơi 6

3.5 Cấu trúc của hàm đo được 7

3.6 Sự hội tụ theo độ đo 8

PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE 9

1 Các định nghĩa tích phân 9

1.1 Tích phân của hàm đơn giản, không âm 9

1.2 Tích phân của hàm đo được, không âm 11

1.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 12

2 Các tính chất 12

3 Qua giới hạn dưới dấu tích phân 19

4 Tính liên tục tuyệt đối của tích phân 25

5 Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann 26

6 Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn 27

7 Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn 28

PHẦN III: BÀI TẬP 29

PHẦN KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

3 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được Nghiên cứu sâu hơn các tính chất liên quan đến tính khả tích (L)

- Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue Chẳng hạn:

• Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương đương, tính σ_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ

bị chặn

• Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân

• Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được

4 Phạm vi nghiên cứu

Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân Lebesgue

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài

- Hệ thống những kiến thức tiên quyết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài

- Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

PHẦN NỘI DUNG

PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Độ đo trên một đại số tập hợp

1.1 Định nghĩa độ đo

Cho C là một đại số trên X Hàm tập µ : C "R được gọi là một độ đo trên

C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(tính σ_ cộng tính) Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo

+ Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < + ∞

+ Độ đo µ được gọi là σ_hữu hạn nếu ∃ { }A n n N∈ ⊂C

sao cho =U∞=

1

n n

(trong đóµ( )A bằng card(A) nếu A hữu hạn và bằng +∞ nếu A vô hạn)

Khi đó µ là độ đo và được gọi là độ đo đếm

* Độ đo đủ:

Một không gian độ đo (X, C, µ) gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập có

độ đo không bất kỳ đều đo được

Giả sử µ: C "R là một hàm tập hợp trên C Khi đó µ là một độ đo trên C

khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:

i) µ(∅) = 0

ii) {Ai}i∈ N⊂C, A ∈C,

1

i i

i i

Cho µ là một hàm tập hợp, không âm, cộng tính trên một đại số C và sao cho

µ(∅) = 0 µ là độ đo trên C nếu thỏa thêm một trong hai điều kiện sau:

i) An∈C , ∀n, A1 ⊂ A2 ⊂ …,

1

n n

2 Độ đo Lebesgue trên R

* Một gian trên R là một tập con của R có một trong các dạng sau: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), [a, +∞), (a, +∞), (- ∞, b], (- ∞, b)

j i

P R P

Độ đoµxây dựng theo cách trên gọi là độ đo Lebesgue trên R

Các tập A ∈L được gọi là các tập đo được theo nghĩa Lebesgue

* Ví dụ:

• Tập {a} chỉ gồm một điểm a ∈ R đo được (L) và có độ đo bằng 0

• Mọi tập con hữu hạn hoặc đếm được của R đều đo được (L) và có độ đo bằng 0

∀ a, b ∈ R, a < b, ta có:

µ((a, b)) = µ([a, b)) = µ((a, b]) = µ([a,b]) = b – a

* Tính chất:

i) Độ đo Lebesgue trên R là σ_hữu hạn và là độ đo đủ

ii) Mọi tập Borel trên R đều đo được (L)

3 Hàm số đo được

3.1 Định nghĩa

Cho (X, F) là một không gian đo được, A ∈F và f : A " R Hàm f được gọi

là đo được trên A đối với σ_đại số F nếu:

∀A ∈R: {x ∈ A | f(x) < a} ∈F (1)

Điều kiện (1) tương đương với một trong ba điều kiện sau:

∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) ≤ a} ∈F

∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) > a} ∈F

∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) ≥ a} ∈F

3.2 Một số tính chất

Cho (X, F) là không gian đo được

a) Nếu f(x) = c = const, ∀x ∈ A, A ∈F thì f đo được trên A

b) Nếu f đo được trên A, B ⊂ A và B ∈F thì f cũng đo được trên B

c) Nếu f đo được trên A thì ∀a ∈ R: { x ∈ A | f(x) = a } ∈F.

d) Nếu f đo được trên A thì kf (k ∈ R) cũng đo được trên A

e) Nếu f đo được trên dãy { }A n ∞n=1 thì f đo được trên

1

n n

A

∞

=

f) Nếu f xác định trên A, µ(A) = 0 và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A

3.3 Các phép toán trên hàm số đo được

• Nếu f đo được trên A thì f α (α > 0) cũng đo được trên A

• Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì f ±g f g, , max{ , }, min{ , }f g f g cũng

đo được và nếu g(x) ≠ 0, ∀x ∈ A thì f

g cũng đo được trên A

• f đo được ⇔ f+ và f−đo được (với f+

= max {f, 0}, f−= max {- f, 0})

• Nếu dãy {fn(x)}n ∈ N là một dãy các hàm đo được và hữu hạn thì các hàm

sup{fn(x)}, inf{fn(x)}, lim f n, limf n đo được và nếu tồn tại lim n

→∞ = thì f cũng đo

được

3.4 Khái niệm hầu khắp nơi

Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo

Một điều kiện α(x) được gọi là thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A

nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và α (x) được thỏa ∀x ∈ A\B

• Nếu f liên tục h.k.n trên A và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A

• Nếu f đo được, µ là độ đo đủ và g ∼ f thì g cũng đo được

3.5 Cấu trúc của hàm đo được

A x x

A

,1

,0

χ

* Hàm đơn giản:

Một hàm f : A→R được gọi là hàm đơn giản trên A nếu f đo được và f

nhận hữu hạn các giá trị hữu hạn

Giả sử f là hàm đơn giản trên A

Giá trị f(A) = { a1, a2,…,an} ⊂ R

Đặt Ai = {x ∈ A | f(x) = ai}, i=1,n

Khi đó: Ai∩ Aj = ∅ (i ≠ j) và

1

n i i

=

=U đều là các hàm đơn giản trên A

* Cấu trúc của hàm đo được:

ü Nếu f là hàm đo được trên A thì tồn tại dãy {fn} các hàm đơn giản sao cho:

• 0 ≤ f1≤ f2≤ …

• fn(x) " f(x) khi n " ∞, ∀x ∈ A

3.6 Sự hội tụ theo độ đo

Định nghĩa: Cho dãy {fn}n ∈ N , f đo được trên A {fn}n ∈ N được gọi là hội tụ theo độ đo µ về f trên A nếu:

i) Nếu f n →µ f trên A, µ đủ và f ∼ g thì f n →µ g trên A

ii) Nếu f n →µ f và f n →µ g trên A thì f ∼ g

iii) Nếu {fn} đo được và f n →µ f trên A thì tồn tại dãy con { }f n k k N

∈ hội tụ

h.k.n về hàm f

iv) Cho dãy {fn(x)} đo được, hữu hạn và hội tụ h.k.n trên tập A đo được, có

độ đo µ(A) < +∞ Với mỗi ε >0 tồn tại một tập đo được B ⊂ A sao cho µ(A\B) < ε

và {fn(x)} hội tụ đều trên B (định lý Egorov)

PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE

1 Các định nghĩa tích phân

1.1 Tích phân của hàm đơn giản, không âm

Cho không gian (X, F, µ), A ∈F

Nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A có dạng

1

i

n

i E i

E A

E a

1) Tích phân của hàm đơn giản, không âm được xác định một cách duy nhất

2) Nếu f và g là các hàm đo được, đơn giản, không âm, α β, ≥0 thì:

j

j i j

a x g x

= =

=+

4) Cho f là một hàm đơn giản, không âm và {An} là một dãy tăng trong F,

Giả sử f có biểu diễn tiêu chuẩn là:

i

E m

i i

A

A E a d

f fd

n n

m

i i

fn ≤ fn + 1, ∀n ⇒ ∫ f n ≤∫ f n+1, ∀n

Do đó:∫ f n →α, với α∈ [0, + ∞)

Vì {fn} đơn điệu tăng nên ∫ f n ≤∫ f , ∀n Do đó: α≤ ∫ f (1)

Chọn hàm đơn giản s: 0 ≤ s ≤ f và c = const sao cho 0 ≤ c ≤ 1

6) Cho {fn} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, f là hàm đơn giản không

∫

∫ = =lim→ ∞ ≤lim→ ∞Cho α →1−, ta được: lim n

→∞∫ ≤ →∞∫ Vậy f d µ g k d µ

k n

1.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ

Định nghĩa:

Cho f là một hàm đo được có dấu tùy ý trên A

Nếu ít nhất một trong hai tích phân f d µ

Nếu f d µ

A

∫ hữu hạn thì ta nói hàm f khả tích trên A

Khi X = R, F = L thì tích phân định nghĩa như trên được gọi là tích phân Lebesgue Ký hiệu: L f d µ

∫ ⇒∃{ϕn} là dãy hàm đơn giản, không

âm, đơn điệu tăng và lim n

n A A

n

k k A

µ

k

k

A fd

A E a

i

φ

µ µ

* Trường hợp f là hàm đo được, không âm

Giả sử ϕ là một hàm đơn giản, không âm sao cho ϕ≤ f

A fd

d

k

φ µ µ

k k

k k

A φ

∞

=

∑

* Trường hợp f là hàm đo được, có dấu tùy ý, ta phân tích f = f+− f−, sau

đó áp dụng kết quả trên cho hai hàm không âm f+,f−

• Từ tính chất trên ta suy ra: nếu f là hàm đo được, không âm thì

( )

A

φ =∫ µ là một độ đo Hàm φ( )A được gọi là tích phân bất định của f

Áp dụng tính chất của độ đo, ta có thêm một số tính chất cho tích phân Chẳng hạn như: Nếu An ↑, An đo được, =U∞=

1

n n

2.10 Sau đây là một vài tính chất của tích phân các hàm đo được không âm

j Cho f không âm, khả tích trên A, µ( )A >0 Khi đó:

• Giả sử f đo được, không âm

Khi đó tồn tại {f n} đơn giản, không âm, đơn điệu tăng sao cho:

A n A

n n A

⇔ 0 ,Vậy f =0h.k.n trên A

E a

1

0

µ ϕ

Theo định nghĩa tích phân của hàm không âm,

ϕ ϕ

n n

N

µ µ

Điều này mâu thuẫn với: ∫ ≤

Điều này chứng tỏ f = 0 h.k.n trên A

( )⇐ Xét {fn} là một dãy bất kỳ các hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng

3 Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Cho dãy hàm đo được {fn} Nếu f n( )x → f( )x khi n→∞thì có thể

x f

n

Vậy với những điều kiện nào thì từ f n( )x → f( )x khi n→∞dẫn đến

( )→∫ ( ) →∞

∫ f n x f x khi n ? Để tìm hiểu về những điều kiện này, ta xét các định lý sau:

Định lý hội tụ đơn điệu:

Cho dãy hàm đo được, không âm {fn}trên A

Do đó: f ( )x d µ f( )x d µ

A A

n n A

n A

∫ = =lim→ ∞ ≤lim→ ∞ ≤lim→ ∞

Cho c →1, ta được: ( ) lim n( )

A

f

n n E n

A n n

E n E A

E A

f f

f f

f f

∞

→lim và f1 khả tích trên A thì

n

Thật vậy:

Vì {fn} giảm nên{f1− f n} không âm và đơn điệu tăng

Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu, ta được:

∫ ( − ) (=∫ − )

∞

→

A A

n n A

f f f

∞

→

A A

g

Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu, ta được: → ∞∫ =∫∑∞=

A k k A

n

1

lim

Mặt khác, ta có: → ∞∫ = → ∞∫∑=

A

n

k k n

lim

k A k n

0

1,

1

n n x

n x n x

f f

m k m

k m

m A

n m

A

n m A

f

Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue:

Cho {fn} là một dãy hàm khả tích xác định trên A, fn hội tụ h.k.n (hoặc theo

độ đo) về f trên A và f x n( ) ≤ϕ(x), ∀n (ϕ(x) là một hàm khả tích trên A) Khi đó:

0

0

ϕ ϕ

A

A

n n

A

f f

f f

ϕ ϕ

ϕ ϕ

A

n n A

f f

f f

A

n n A

f f

f f

limlim

n n A

f f f

Vậy →∞∫ = → ∞∫ =∫ = → ∞∫

A n A A

n n A

n n

f f

∃Eδ⊂ A sao cho: µ(Eδ) < δ và fn hội tụ đều về f trên A \ Eδ

Cho ε→ 0, ta được: ( ) lim n( )

Vì f n →µ f nên f f

k

n →µ { }f n { }f n f n h n f

m k k m

n

∞

→lim

m k

Vì fn hội tụ đều về f nên lim f n = f,∀x∈A

Vì fn hội tụ đều về f nên với ε =1,∃n o∈N:∀n≥n o : f n( ) ( )x − f x ≤1

⇒ f ≤ f n +1

Vì fn bị chặn nên f bị chặn Đặt M = sup( ( )+1)

∈ f x

A x

f

µ ε

n A

n

n

A f

f f

f f

f N

n

4 Tính liên tục tuyệt đối của tích phân

Nếu f(x) là một hàm khả tích trên A thì ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

2

ε µ

• Chọn

2:

N E

N

N

22

Vậy ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ( )

E

f x d µ ε<

∫ ,∀E ⊂ A, E đo được mà µ(E) < δ

5 Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann

Mệnh đề: Cho f: [a, b] → R là một hàm bị chặn Nếu (R)

Xét một phân hoạch πm của [a, b] thành n = 2m phần bằng nhau bởi các điểm:

a = xo < x1 < … < xn – 1 < xn = b

và đặt: ( ) ,

1 2

0

k k

k m

m

m x

=

1 2

0

k k

k m

m

M x

=

=trong đó:

Suy ra f khả tích Lebesgue trên [a, b] (do f đo được, bị chặn trên [a, b] và

6 Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn

Định lý : Giả sử A = [a, +∞), a ∈ R, hàm f: A → R thỏa:

7 Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn

Nếu f đo được, không âm, không bị chặn trên [a, b] nhưng f khả tích (R)

trên mọi [a + ε, b] ⊂ [a, b] và

+

→ +

=

∫ hữu hạn thì f khả tích (L) trên [a, b]

và

0 [ , ]

= Gọi χ n là hàm đặc trưng của [n, n+1), n = 1, 2, …

Khi đó hàm đơn giản N

1

11

N

n n

s

=

=+

→

∫

+∞

N khi d

s N µ

, 1

f n = 1 χ1,n là các hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng về f nên

x

f

, 1 ,

1 , 1 ,

1

1lim

1ln

11

1 1

1 1

, 1

Q x x

Q x x

x f

,

,1

4 2

Q R x x x

f

,sin

\,

D x

x

D x

x x

C

,

1,2

1,cos

)2

1,0[,sin

2

π π

(1)

()

(

1 , 0

1

0

2 2

1 , 0

=+

=+

0 π

2 , 0

2

0 2

, 0

xd L

d x f L

1,cos

)2

1,0[,sin

x x

x x x

=

=

1 , 0

1 , 2 1 )

2

1 , 0 [ 1

,

0

cos)(sin

)()

()

0cos

)(sin

)

(

1

2 1

2

1

0

=+

= R ∫ π xdx R ∫ π xdx

Bài 3: Tính tích phân của hàm số sau trên [0,

Q x x

x f

cos,sin

cos,sin

Do đó, A có lực lượng bằng lực lượng của tập các số hữu tỷ trên [0, 1]

Suy ra: µ(A) = 0 và khi đó: µ(B) =

i

p A

Chứng minh rằng: với mỗi ƒ đo được, không âm ( ) i

i i X

p x f

i

f f

p x f

∫ = ∞=

1

Ta có: =U∞=

1

n n

)(lim1

lim1

)(

) 0

2 2

, 0

2

π µ

+

=+

dx R x

d L

x

d L

n

n n

Ta có: =U∞=

1

n n

1 , 1

1

1 1

, 0

d L x

d L

n

n n

n n

µ µ

−

=

1

11

,

21

1,11

3

3 3

n x n

x n

x x

1 1

1 3

2 , 1 2

, 1

3

3

)(1

1)

(lim)

(lim)

(

n

n n

n

x R

d x f L d

x f

212

112

3lim

n

n n

n

2

32

12

112

,1

(lim

1)

(lim1)

(1

1)

(

2

1 1 3

2 , 1 1

3 2

, 1 3 2

n n

x

dx R

x

d L

x

d L

d x

x L d

x h L

n n

n n

n

1ln1lnlim

1)(lim

1)(lim)

(

1

1 1

, 1 1 , 0 1

, 0

µ χ µ

Vậy hàm h(x) không khả tích (L) trên (0, 1]

− +∞

f

n

x n

n n

∞

→ +∞

∞

→ +∞

=

=

=

, 0 ,

0 , 0 ,

0 ,

0

limlim

µ χ

x

d x

1 , ,

cossin

1

n

n

xdx x

cossin

11cos

sin1coscos

sin1

limlim

2

0 2

π π

π π

π

x dx

x

x dx

x x

dx x x

dx x x

dx x f dx

x g dx

x g

k

k k

k

k k n

n n

n

x k

→+

n

f x

≤+

t n

Vì tany≤2y khi y∈[ ]0,1 nên ta có: f n( )y ≤2,∀n≥1,∀y∈[ ]0,1

e n

x n

x n

x x

f n

n x n

x x

1

11

sin,

1,1

0 0

00sin1

sinlimlim

e dx n x n

x dx

f dx

n n

n n

ln

mà

e dx e

10

,

x n

n x n

b) Có tồn tại hay không một hàm số g(x) khả tích sao cho g(x) ≥ ƒn(x), ∀n

a) ∀x ∈ (0, 1), ∃N đủ lớn sao cho: 1 ≤ ⇒ ( )=0,∀ ≥ ⇒ lim ( )=0

∞

→ f x N

n x

f x

1

0 1

0

1lim

lim

n n

1

0 1

0

lim0

1

Lebesgue ⇒ƒ không bị chặn ⇒ không tồn tại hàm g thỏa yêu cầu bài toán

∞

→ f n x

n trên (0, 1)