Báo cáo đề tài:" khảo sát tính khả tích lebesgue" ppt

www.VNMATH.com www.VNMATH.com LỜI CẢM ƠN – & — -Trong suốt trình thực đề tài luận văn tốt nghiệp em nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ quý thầy cô bạn bè Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn q thầy Bộ mơn Tốn truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần Thơ tạo điều kiện thuận lợi cho em thực tốt đề tài Em xin chân thành cảm ơn Trần Thị Thanh Thúy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đóng góp ý kiến để luận văn hồn thành Tuy nhiên, kiến thức có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Sinh viên thực Phan Trần Diễm www.VNMATH.com NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN www.VNMATH.com NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN www.VNMATH.com MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Lịch sử vấn đề Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Độ đo đại số tập hợp 1.1 Định nghĩa độ đo 1.2 Một số tính chất độ đo Độ đo Lebesgue R Hàm số đo được… … ……………………………….……….……5 3.1 Định nghĩa 3.2 Một số tính chất 3.3 Các phép toán hàm số đo 3.4 Khái niệm hầu khắp nơi 3.5 Cấu trúc hàm đo 3.6 Sự hội tụ theo độ đo PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE Các định nghĩa tích phân 1.1 Tích phân hàm đơn giản, khơng âm 1.2 Tích phân hàm đo được, không âm 11 1.3 Tích phân hàm đo 12 Các tính chất 12 Qua giới hạn dấu tích phân 19 Tính liên tục tuyệt đối tích phân 25 Mối quan hệ tích phân Lebesgue tích phân Riemann 26 Điều kiện khả tích Lebesgue tích phân khoảng vơ hạn 27 www.VNMATH.com Điều kiện khả tích Lebesgue hàm không bị chặn 28 PHẦN III: BÀI TẬP 29 PHẦN KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 www.VNMATH.com PHẦN MỞ ĐẦU – & — -1 Lý chọn đề tài Ở chương trình phổ thơng, bước đầu làm quen với khái niệm tích phân ứng dụng hữu ích Khi đó, phép lấy tích phân hàm liên tục gián đoạn hữu hạn điểm thực cách dễ dàng tích phân Riemann Thế nhưng, hàm gián đoạn vô số điểm tất điểm làm để lấy tích phân theo nghĩa đó? Đây câu hỏi đặt suy nghĩ em suốt thời phổ thông Khi bước vào đại học, em có hội để trả lời câu hỏi qua việc tìm hiểu tích phân Lebesgue Tuy nhiên, khuôn khổ môn học, em điều kiện để nghiên cứu sâu tính chất điều kiện khả tích loại tích phân trường hợp khác Do đó, em ln có mong muốn đào sâu vấn đề để bổ sung hoàn thiện thêm kiến thức Với lý trên, với gợi ý cô em mạnh dạn chọn đề tài để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Lịch sử vấn đề Lý thuyết tích phân tổng qt nhà tốn học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu kỷ XX Sau đó, hồn thiện đáng kể nhiều nhà tốn học lớn Lý thuyết khắc phục khiếm khuyết tích phân Riemann Ngồi ra, lý thuyết tích phân Lebesgue đáp ứng yêu cầu phát triển lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… Mục đích nghiên cứu - Hệ thống tính chất tích phân Lebesgue, tìm hiểu điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) hàm đo Nghiên cứu sâu tính chất liên quan đến tính khả tích (L) - Giải số tốn tích phân Lebesgue Chẳng hạn: • Tính tích phân (L) cách sử dụng hàm đơn giản, hàm tương đương, tính σ_cộng tính, tính chất độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ bị chặn • Giải số tốn liên quan đến qua giới hạn dấu tích phân www.VNMATH.com • Giải toán liên quan đến điều kiện khả tích hàm đo Phạm vi nghiên cứu Tích phân Lebesgue: tính chất, dạng tốn liên quan đến tích phân Lebesgue Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp, tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài - Hệ thống kiến thức tiên quyết, sở để tiếp cận nội dung đề tài - Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn www.VNMATH.com PHẦN NỘI DUNG PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Độ đo đại số tập hợp 1.1 Định nghĩa độ đo Cho C đại số X Hàm tập µ : C " R gọi độ đo C thỏa mãn điều kiện sau: a) µ(A) ≥ , ∀A ∈ C b) µ(∅) = ∞ c) An ∈ C, An ∩ Am = ∅ (n ≠ m ), U An ∈ n =1 C ∞  ∞ ⇒ µ  U An  = ∑ µ ( An )    n =1  n =1 (tính σ_ cộng tính) Khi (X, C, µ) gọi không gian độ đo + Độ đo µ gọi hữu hạn µ(X) < + ∞ + Độ đo µ gọi σ_hữu hạn ∃ { An }n∈N ⊂ C ∞ cho X = U An µ(An) < + ∞, ∀n ∈ N n =1 Ví dụ: • X ≠ ∅, C = P (X) µ(A) = , ∀A ∈ C 0, A = ∅ µ ( A) =  +∞, A ≠ ∅ hai độ o trờn C ã Hm à: C " R A a µ ( A) (trong µ ( A) card(A) A hữu hạn + ∞ A vơ hạn) Khi µ độ đo gọi độ đo đếm * Độ đo đủ: Một khơng gian độ đo (X, C, µ) gọi đầy đủ tập tập có độ đo không đo www.VNMATH.com 1.2 Một số tính chất độ đo Tính chất 1: Cho (X, C, µ) khơng gian độ đo a) A, B ∈ C, B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A) b) Nếu {An}n ∈ N⊂ C, ∞ U An ∈ ∞ n =1 ∞ µ( U An ) ≤ C ∑ µ(A ) c) Nếu An ∈ C , ∀n, A1 ⊂ A2 ⊂ …,  ∞ ∞ ∞ U A ∈ C µ  U A  n  n =1 n =1 d) Nếu An ∈ C , ∀n, A1 ⊃ A2 ⊃…, µ(A1) < +∞,  n n =1 n =1 ∞ IA n n =1 n   = lim µ ( An )  n →∞  ∈C  µ  I An  = lim µ ( An )    n =1  n→∞ Tính chất 2: Cho µ độ đo đại số C Khi đó: i) µ(Ai) = 0, ∞ U Ai ∈ i =1 ∞ C ⇒ µ (U A ) = i i =1 ii) A ∈ C, µ(B) = ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A) Tính chất 3: Giả sử µ: C " R hàm tập hợp C Khi µ độ đo C điều kiện sau thỏa mãn: i) µ(∅) = ii) {Ai}i∈ N⊂ C, A ∈ C, ∞ ∞ U A ⊂ A Ai ∩ Aj = ∅ (i ≠ j) ⇒ ∑ µ ( A ) ≤ µ ( A) i i =1 i =1 ∞ ∞ i =1 i i =1 iii) {Ai}i∈ N⊂ C, A ∈ C, A ⊂ U Ai ⇒ µ ( A) ≤ ∑ µ ( Ai ) Tính chất 4: Cho µ hàm tập hợp, khơng âm, cộng tính đại số C cho µ(∅) = µ độ đo C thỏa thêm hai điều kiện sau: i) An ∈ C , ∀n, A1 ⊂ A2 ⊂ …, ii) An ∈ C , ∀n, A1 ⊃ A2 ⊃…, ∞ U An ∈ n =1 ∞ IA n C ∞ ⇒ µ (U An ) = limµ ( An ) n =1 n →∞ = ∅ ⇒ lim µ ( An ) = n →∞ n =1 10 www.VNMATH.com Kết hợp với (*), ta được: lim ∫ f n ≤ ∫ f n→∞ A ∫ f ≤ lim ∫ f Từ (1) & (2), suy ra: n →∞ A (2) A A n ≤ lim ∫ f n ≤ ∫ f n→∞ A A Vậy: lim ∫ f n = ∫ f n→∞ A A * Nếu lim ∫ f n = ∞ khẳng định sai n→∞ X Ví dụ: Lấy X = R với độ đo Lebesgue Chọn f n = χ [−n , 0] + χ [n−1,n ] ∫f Ta có: f n → f = χ (−∞ , 0] n R = n + → +∞ = ∫ χ ( −∞, 0] R Lấy A = (0,+∞ ) , ta có: ∫f n = µ ([n − 1, n]) = 1, ∀n ≥ A Do đó: ∫ χ( −∞ , ] =0 A ∫f n → / A ∫f A Bài 27:Cho (X, F, µ) không gian độ đo ƒ, ƒ1, ƒ2,… hàm khơng âm, khả tích cho ƒn → ƒ h.k.n ∫f n → ∫ f n → ∞ Chứng minh lim ∫ f − f n = n→ ∞ Đặt g n = f n + f − f n − f Khi đó: gn(x) ≥ gn khả tích, ∀n ≥ Hơn nữa: gn → 2ƒ h.k.n Theo giả thiết, ta có: ∫f n → ∫ f , áp dụng bổ đề Fatou, ta được: 2∫ f = ∫ lim g n ≤ lim ∫ g n ≤ 2∫ f − lim ∫ f n − f (*) n →∞ n→∞ n →∞ Do 2∫ f < ∞ nên từ (*), ta có: lim ∫ f n − f ≤ n →∞ Suy : lim ∫ f n − f = n →∞ Mặt khác, ta có: ≤ lim ∫ f n − f ≤ lim ∫ f n − f = ⇒ lim ∫ f n − f = n →∞ n→∞ Vậy lim ∫ f n − f = n→ ∞ 51 n→∞ www.VNMATH.com Bài 28:Cho (X, F, µ) khơng gian độ đo hữu hạn, ƒn : X → R, n ≥ 1, g: X → R, {ƒn} g khả tích tồn số C > cho: ∫ f n dµ ≤ C , ∀n ≥ X Chứng minh rằng: 1 f n ≤ g X n ∫nf n dµ → n → ∞ X         Đặt: An =  x ∈ X f n (x ) ≥ n  2 2 Khi đó: ∫ f n = ∫ f n + ∫ f n ≤ ∫ g + n µ ( X ) = ∫ g + µ ( X ) n n n n n X An X \ An An An Do An : n ≤ f n (x ) ⇒ ∫ An ⇒ n µ ( An ) ≤ C ⇒ µ ( An ) ≤ n→∞ n X ∫ f (x ) ≤ C n An C n≤ (1) n → n → ∞ Do : ∫ g →0 n → ∞ (2) An Từ (1) & (2), ta có: lim ∫ f n2 ≤ lim n→∞ µ(X ) = n n→ ∞ n X Vậy lim ∫ f n2 = Bài 29: Giả sử (X, F, µ) không gian độ đo hữu hạn, {ƒn} dãy hàm khả tích cho ƒn hội tụ ƒ X Chứng minh rằng: lim ∫ f n dµ = ∫ fdµ n→ ∞ X X Cho ví dụ để chứng minh µ(X) = ∞ kết khơng cịn Vì: ƒn hội tụ ƒ nên: ∀ε > cố định, ∃no ∈ N cho ∀n ≥ no, ∀x ∈ X : f n (x ) − f (x ) ≤ ε Suy f n ( x ) → f ( x ), ∀x ∈ X f đo Chọn ε = 1, ta được: f n (x ) − ≤ f (x ) ≤ f n (x ) + , với n đủ lớn Kết hợp với µ ( X ) < ∞ , ta có: ƒ khả tích X 52 www.VNMATH.com ∀ε > 0, ta chọn N cho: f n (x ) − f (x ) ≤ Khi đó: ∫ f −∫ f ≤ ∫ fn − f ≤ n X X X Vì ε bé tùy ý nên: ∫f X n ε , ∀n ≥ N, ∀x ∈ X µ(X ) ε dµ = ε , ∀n ≥ N µ(X ) ∫ X → ∫ f n → ∞ X * Trường hợp µ ( X ) = +∞ kết luận khơng cịn Ví dụ: Lấy X = [0,+∞ ) , n Xét f n = χ [0, n ) Ta có: ∫f n = 1, ∀n fn hội tụ X Bài 30:Cho A tập đo g, ƒ: A → R hàm khả tích A Với n ∈ N, đặt: An = { x ∈ A n ≤ f (x ) < n + 1} Chứng minh rằng: lim ∫ g = n→∞ Ta có: ∫ f ≥ A ∫ An ⇒ ≤ µ ( An ) ≤ f ≥ ∫ ndµ = nµ ( An ) ⇒ ≤ nµ ( An ) ≤ ∫ f < +∞ An A f < +∞ Vậy µ ( An ) → n → ∞ n∫ A Vì g khả tích A nên với ε > bất kỳ, ∃δ > ∫ g < ε , ∀E ⊂ A, µ(E) < δ (1) Do lim µ ( An ) = nên ∃no ∈ N :∀n ≥ no : µ ( An ) < δ (2) cho: E n→∞ Từ (1) & (2), ta có: ∫ g < ε hay lim ∫ g = An n→∞ An 53 An www.VNMATH.com n Bài 31: Cho ƒ khả tích Lebesgue R Chứng minh rằng: lim f =0 n → ∞ 2n ∫ −n Đặt: f n = fχ [ − n, n ] Khi đó: 2n ∫ n fn = R 1 ∫ fχ [−n ,n ] = 2n −∫n f 2n R Ta có: • f n (x ) → n → ∞ • fn ≤ f f , hàm khả tích R Áp dụng định lý hội tụ bị chặn lebesgue, ta được: lim ∫ f n = ∫ lim f n = ∫ = n→∞ R R n →∞ R Bài 32: Cho (X, F, µ) khơng gian độ đo, f : X → R hàm khả tích.Với α ∈ R, đặt Gα = { x ∈ X f (x ) > α } Chứng minh rằng: lim α →∞ ∫f = Gα Giả sử {α n } dãy số thực cho αn → ∞  f (x ), f (x ) > α n 0 , f ( x ) ≤ α n Đặt f n (x ) =  Khi đó: ∫f =∫f Gα n n X Ta có: f n ≤ f , f hàm khả tích Vì f khả tích nên: µ ({ x ∈ X f (x ) = ∞ }) = suy ƒn → h.k.n Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta được: lim n→∞ ∫f Gα n = lim ∫ f n = ∫ lim f n = n→∞ X X n →∞ Vì điều với dãy {α n }, αn → ∞ nên ta có: lim α →∞ 54 ∫f Gα = www.VNMATH.com Bài 33: Cho ƒ khả tích A, µ ( A) < +∞ Đặt An = { x ∈ A f (x ) ≥ n} Chứng minh rằng: lim nµ ( An ) = n→∞ Ta có: µ(An) < +∞, ∀n {An} giảm ∞  ⇒ lim µ ( An ) = µ  I An  = µ ({ x ∈ A f ( x ) = +∞ }) =   n→∞  n =1  ƒ khả tích A ⇒ ∀ε > 0, ∃δ> cho: ∫ f < ε , ∀E đo được, E ⊂ A µ(E) < δ E Vì lim µ ( An ) = ⇒ ∃no ∈ N: µ(An) < δ, ∀n ≥ no n→∞ Khi đó: ∫ f < ε hay nµ(An) < ε ⇒ lim nµ ( An ) < ε n→∞ An Vì ε bé tùy ý nên lim nµ ( An ) = n→∞ Bài 34: Cho f không âm, đo [0,1], A = {x ∈ [0,1] f (x ) > 1} Chứng minh rằng: lim ∫ ( f (x ))n tồn ⇔ µ ( A) = n→∞ (⇒) Giả sử: µ ( A) > ⇒ ∃r > cho µ ({x ∈ [0,1] f (x ) ≥ r}) > Đặt B = {x ∈ [0,1] f (x ) ≥ r} ⇒ ∫ ( f (x ))n dx ≥ r n µ (B ) B ⇒ lim ∫ ( f (x )) dx ≥ lim ∫ ( f ( x )) dx = lim r n µ (B ) = ∞ n n→∞ n n →∞ n→∞ B Điều trái với giả thiết lim ∫ ( f (x ))n tồn n→∞ Vậy µ ( A) = (⇒) Giả sử µ ( A) = Khi đó: ∫ ( f (x ))n dx = ∫ ( f (x ))n dx + ∫ ( f (x ))n dx [0 ,1]\ A A mà [0,1] \ A: f (x ) ≤ ⇒ ( f (x ))n ≤ 1, ∀n ∈ N ∫1 dx = µ ([0,1] \ A) = < ∞ [0 ,1]\ A Do áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta được: 55 www.VNMATH.com ( )   n n n lim ∫ ( f (x )) dx = lim  ∫ ( f ( x )) dx  = ∫ lim ( f ( x )) dx = µ (C ) ≤  n→ ∞ n →∞ n→ ∞  [0,1]\ A  [0,1]\ A với C = {x ∈ [0,1] f (x ) = 1} Vậy lim ∫ ( f (x ))n tồn n→ ∞ ∞ Bài 35: Cho f khơng âm khả tích A ∀ε > , đặt: S (ε ) = ∑ kε µ ( Ak ) , với k =0 Ak = {x ∈ A kε ≤ f (x ) < (k + 1)ε } Chứng minh rằng: lim S (ε ) = ∫ f ε →0 Ta có: kεµ ( Ak ) ≤ A ∫ f < (k + 1)εµ ( A ), ∀k k Ak ∞ ∞ k =0 k =0 A = U Ak , Ai ∩ Aj = ∅ , ∀i ≠ j ⇒ µ ( A) = ∑ µ ( Ak ) ∫ A ∞ f =∑∫ f k =0 Ak Mặt khác, ta có: ∞ ∞ ∞ k =0 k =0 k =0 ( ) S (ε ) = ∑ kε µ ( Ak ) ≤ ∫ f < ∑ (k + 1)εµ ( Ak ) = εµ ( A) + ∑ kεµ Ak = εµ ( A) + S (ε ) A ⇒ S (ε ) ≤ ∫ f < εµ ( A) + S (ε ) A Cho ε → , ta lim S (ε ) = ∫ f ε →0 A Bài 36: Cho f hàm đo được, khơng âm khơng gian độ đo, µ ( X ) < +∞ Chứng minh: f khả tích X ⇔ ∑ µ ({x ∈ X f ( x ) > n}) hữu hạn ∞ n =1 1, f ( x ) > n  0, ≤ f ( x ) ≤ n  (⇒) Đặt g n ( x ) =  Khi gn đo khơng âm ∞ Ta có: ∑ g ( x ) ≤ f ( x ) , ∀x n =1 n Thật vậy: • Nếu f (x) ≤ gn(x) = 0, ∀n 56 www.VNMATH.com • Nếu f(x) ∈ (m, m+1], m ∈ N gn(x) = 1, ∀m:1 ≤ n ≤ m • Trong trường hợp cịn lại, ta có: gn(x) = Do đó: ∫ ∞ ∞ n =1 n =1 fd µ ≥ ∫ ∑ g n ( x )d µ = ∑ ∫ g n ( x ) d µ ( ) Nhưng ∫ g n d µ = µ { x ∈ X f ( x ) > n} Do f khả tích chuỗi ∞ ∑ ∫ g ( x )d µ n =1 hội tụ n ∑ µ ({x ∈ X f ( x ) > n}) hữu hạn ∞ Tức n =1 ( ⇐ ) Giả sử: µ(X) < + ∞ ∞ Theo chứng minh trên, ta có: ∀x ∈ X, f ( x ) ≤ + ∑ g n ( x ) (*) n =1 ∞ ∞ ∞ n =1 Và n =1 n =1 ∑ µ ({x : f (x ) > n}) = ∑ ∫ g n dµ = ∫ ∑ g n dµ Do đó, ∫ ∞ ∞   fdµ ≤ ∫ 1 + ∑ g n ( x ) dµ = ∫ dµ + ∑ ∫ g n dµ n =1  n =1  ∞ ≤ µ ( X ) + ∑ µ ({x ∈ X f ( x ) > n}) n =1 Vì µ(X) < + ∞ chuỗi vế phải hội tụ nên ta có: ∫ fd µ hữu hạn Vậy f khả tích X Bài 37: Giả sử f ≥ đo được, hữu hạn h.k.n A, µ(A) < + ∞ Đặt Ak = { x ∈ A k ≤ f ( x ) ≤ k + 1} Chứng minh rằng: f khả tích A ∞ ∑ k µ ( A ) < +∞ k =0 k (⇒) Giả sử f khả tích A Đặt A* = { x ∈ A f ( x ) = +∞}  ∞  * ⇒ A = A∗ ∪  U Ak  , với Ai ∩ Aj = ∅, ∀i ≠ j µ(A ) = (do f khả tích)  k =0  ∞ ⇒∫ f =∑∫ f A k = Ak 57 www.VNMATH.com Trên Ak, ta có: f ( x) ≥ k ⇒ ∫ f ≥ Ak ∫k ⇒ f ≥ k µ ( Ak ) ⇒ ∫ Ak Ak ∞ ∞ ∑ k µ ( Ak ) ≤ ∑ ∫ f = ∫ f k =0 k = Ak A ∞ ∑ k µ ( A ) < +∞ Mà f khả tích ⇒ k k =0 ∞ ( ⇐ ) Giả sử: ∑ k µ ( Ak ) < +∞ k =0 Ta có: ∫ f ≤ ∫ ( k + 1) ⇒ ∫ f ≤ ( k + 1) µ ( A ) k Ak ⇒ ∫ A Ak Ak ∞ ∞ f = ∑ ∫ f ≤ ∑ ( k + 1) µ ( Ak ) < +∞ k = Ak k =0 Vậy f khả tích A Bài 38: Cho f đo được, bị chặn A Chứng minh rằng: ∃a > 0, α < cho ∀ε > µ ({x ∈ A f (x ) > ε }) <  Đặt An=  x ∈ A f (x ) >  a f khả tích A εα M  , f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ A 2n  Ta có: µ ( An ) < a.M −α 2nα < +∞ ∞ Đặt g (x ) = ∑ M χ An Ta có: g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ A n n =1 ⇒ g đo được, f ≤ g A ∞ ∞ ∞ ∞ M M µ ( An ) ≤ ∑ n a.M −α nα = ∑ a.M 1−α (α −1)n = a.M 1−α ∑ (α −1)n n n =1 n =1 n =1 n =1 ⇒ ∫ gdµ = ∑ A Vì α < nên ∞ ∑ 2( α −1) n < +∞ Vậy g khả tích A n =1 Do đó, f khả tích A 58 www.VNMATH.com Bài 39: Cho (X, F, µ) khơng gian độ đo Chứng minh µ σ_hữu hạn tồn ƒ khả tích X f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X Giả sử µ độ đo σ_hữu hạn F ∞ Khi đó, ∃{Xn} ⊂ F cho: X = U X n , µ(Xn) < +∞, ∀n, Xn ∩ Xm = ∅ (n ≠ m) n =1 , x ∈ X n , µ (X n ) = 1  Với x ∈ X, đặt: f ( x) =   n2 µ (X ) , x ∈ X n , µ( X n ) > n  Ta có: ƒ đo ƒ(x) > 0,∀x ∈ X Do đó: ∫ ∞ fdµ = ∑ ∫ n =1 X n X ∞ < +∞ n =1 n fdµ ≤ ∑ Vậy ƒ khả tích X Bài 40: Giả sử g thỏa điều kiện Lipschitz R, tức ∃C > : ∀x, y ∈ R g (x ) − g ( y ) ≤ C x − y Chứng minh f khả tích (L) [a, b] g(f) khả tích (L) [a, b] Vì f khả tích (L) [a, b] nên ∀ε > nên tồn hàm liên tục ϕ cho: ⇒ f −ϕ < ε ∫ g ( f ) = [ ∫ ]g ( f ) − g (ϕ ) + g (ϕ ) ≤ [ ∫ ]g ( f ) − g (ϕ ) + [ ∫ ]g (ϕ ) [a , b ] ≤C ⇒ ∫ [a , b ] a,b ∫ [a , b ] f −ϕ + a ,b a ,b ∫ g (ϕ ) ≤ Cε + M (b − a ) < ∞ , với M = max g (ϕ ) [ ] a,b [a , b ] ∫ ]g ( f ) < ∞ ⇒ g ( f ) khả tích (L) [a, b] [ a ,b 59 www.VNMATH.com Bài 41: Cho { f n } dãy hàm đo A cho ∞ ∑∫ f n =1 A n dµ < ∞ Chứng minh ∞ rằng: f = ∑ f n khả tích (L) A n =1 n ∞ k =1 k =1 Đặt g n = ∑ f k , n = 1,2, , g = ∑ f k Khi g n đo A, ∀n g n = ∞ n n k =1 k =1 ∑ f k ≤ ∑ fk ≤ g ∞ mà ∫ g = ∫ ∑ f k dµ = ∑ ∫ f k dµ < ∞ A k =1 A k =1 A  A  (  Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta được: lim  ∫ g n  = ∫ lim g n  n →∞ n→∞ A n  n     ∞  ⇒ lim  ∫ ∑ f k  = ∫  lim ∑ f k  = ∫  ∑ f k  = ∫ f  n →∞ n →∞ k =1  A  k =1  A  A k =1  A  ⇒ ∫ A  n   n  f = lim  ∫ ∑ f k  = lim  ∑ ∫ f k  =   n →∞  n→ ∞  A k =1   k =1 A  ∞ ∑∫ f k =1 A ∞ k ≤ ∑ ∫ fk < ∞ k =1 A Vậy f khả tích A Bài 42: Cho ƒ khả tích A, < µ(A) < +∞ f(x) > 0, ∀x ∈ A Chứng minh < α < µ(A) inf µ ( E )≥α  ∫ fdµ Đặt An =  x ∈ A < f (x ) <  ≥ E n   Ta có: lim µ ( An ) = n →∞  Chọn no ∈ N cho: µ (An ) < o α Khi đó: ∀E đo được, E ⊂ A µ (E ) ≥ α µ (E \ An ) > o Do đó: ∫f ≥ E Vậy, inf µ ( E )≥α ∫f E \ Ano ≥ α > no ∫ fdµ ≥ E 60 α ) www.VNMATH.com Bài 43: Chứng minh f khả tích (L) A ∫ f =∫ f A f ≥ A f ≤ h.k.n A Ta có: a, b > |a – b| = a + b a = b = Đặt a = ∫ f + , b = ∫ f − ⇒ A A ∫f A = a − b, ∫ f = a + b A  f+ =0 ∫  f + = h.k n a = A ⇒  ⇔ ⇒ − ⇒ −  f = h.k n b = ∫ f =  A  f ≤ h.k n  f ≥ h.k n  Bài 44:Chứng minh ƒ khả tích F (x ) = x ∫ f (t )dt F liên tục R −∞ Chọn {yn} cho yn > x, ∀n y n → x n → ∞ Đặt: f n = fχ ( x , y n ) Khi đó: ƒn → f n ≤ f , ƒ khả tích Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta được: lim ∫ f n = lim (F ( y n ) − F ( x )) = ∫ lim f n = ⇒ lim F ( y n ) = F (x ) n→∞ n→∞ n →∞ n→∞ Tương tự, yn < x y n → x n → ∞ , ta có: lim F ( y n ) = F (x ) n →∞ Vậy F liên tục ∫f Bài 45: Cho ƒ khả tích cho n = ∫ f , ∀n ∈ N Chứng minh tồn tập đo E cho f = χ E h.k.n X  * ƒ ≥ 0Đặt Em =  x ∈ X f (x ) ≥ +    Khi đó: ∀m ∈ N: 1 + 1  m m 1 m m  µ ( Em ) ≤ ∫ f ≤ ∫ f = ∫ f < +∞ m Em Vì m nên µ(Em) = 0, ∀m  ∞  ⇒ µ ({ x ∈ X f ( x ) > 1}) = µ  U Em  = ⇒ ≤ f ≤ h.k.n    m =1  61 www.VNMATH.com Đặt E = { x ∈ X f (x ) = 1} Khi đó: ≤ ∫ f (1 − f ) ≤ ∫ f (1 − f ) = ∫ f − ∫ f X \E X X X ⇒ f (1 − f ) = h.k.n X\E ⇒ ƒ = h.k.n X\E Vậy f = χ E h.k.n X * ƒ đo được, bất kỳ: Theo chứng minh trên, ta được: f = χ F h.k.n với tập F + Đặt F1 = { x ∈ X f (x ) = 1}, F2 = { x ∈ X f (x ) = −1} Khi đó: ∫f =∫f = µ (F1 ) − µ (F2 ) F ∫f =∫f ⇒ µ (F2 ) = Vậy f = χ F h.k.n 62 = ∫ f = µ (F1 ) + µ (F2 ) F =0 www.VNMATH.com PHẦN KẾT LUẬN – & — -Lý thuyết tích phân lĩnh vực toán học rộng chứa đựng nhiều điều lạ mà chưa khám phá hết Trong đó, Tích phân Lebesgue có nhiều vấn đề hay lý thú Thế khả có hạn nên em sâu vào nội dung: tính tích phân Lebesgue theo phương pháp khác nhau, giải toán ứng dụng từ việc qua giới hạn dấu tích phân, khảo sát số tính chất hàm khả tích (L) Qua q trình nghiên cứu giúp em củng cố lại kiến thức học hiểu thêm nhiều vấn đề mà trước chưa tiếp thu Mặc dù em cố gắng nhiều góp nhặt phần nhỏ lượng kiến thức khổng lồ lĩnh vực Em tin kiến thức phía sau ln chờ sinh viên chúng em khám phá 63 www.VNMATH.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Ziad Adwan, 100 Problems on Integration Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục, 1998 Douglas S Bridges, Foundations of Real and Abstract Analysis, Springer,1998 Douglas S Bridges, Lecture Notes on F.Riesz.s Approach to the Lebesgue Integral, University of Canterbury, 12/ 1/ 2006 Đậu Thế Cấp, Độ đo Tích phân, NXB Giáo dục, 2006 W W L Chen, Introduction to Lebesgue Integration Pete L Clark, Some Further Topics In Integration Nguyễn Định, Nguyễn Ngọc Hải, Các định lý tập hàm thực, NXB Giáo dục, 1999 Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, 1999 10 Jon Handy, Analysis Qualifying Exam Primer 12 Christopher Heil, Review of Lebesgue Measure and Integration 26 Nguyễn Bích Huy, Phép tính tích phân, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 1998 13 Mike Klaas, The Lebesgue Measure and Integral, 12/ 4/ 2003 14 A N Kolmogorov – S V Fomine, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1982 15 Kenneth Kuttler, Multivariable Advanced Calculus, 30/ 8/ 2007 16 Joshua H Lifton, Measure Theory and Lebesgue Integration, 5/ 9/ 2004 17 V Liskevich, Measure Theory, 1998 18 Dr Vitali Liskevich, Solutions to Measure Theory and Functional Analysis 19 Lance Miller, Measure Theory Course Notes 20 John Von Neumann, Functional Operatiors, University Press, 1950 21 Peter Nguyen, R B Burckel, Real and Complex Analysis - Qualifying Exams (New System) - Solution Manual, Kansas State University 22 M Papadimitrakis, Measure Theory, University of Crete, 8/ 2004 23 Inder K Rana, Measure and Integration: Concepts, Examples and Exercises 64 www.VNMATH.com 24 Valeriy Slastikov, Measure Theory, 8/2005 25 Helmut Strasser, The Midterm Exam – Solutions, Vienna University, 2006 26 Đỗ Đức Thái, Bài tập Tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm, 2003 28 Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Độ đo – Tích phân Lebesgue, Tủ sách Đại học Cần Thơ 27 Hồng Tụy, Giải tích đại Tập 1, NXB Giáo dục, 1978 29 David R Wilkins, The Lebesgue Integral, 2007 Một số trang Web: google.com math.com lookforbook.com ebookee.com wikibooks 65 ... 2.6 Khả tích • Nếu ∫f có nghĩa A ∫ f ≤∫ A f A • f khả tích A ⇔ f khả tích A • Nếu f ≤ g h.k.n A g khả tích f khả tích A • Nếu f, g khả tích f ± g khả tích Nếu f khả tích g bị chặn f.g khả tích. .. Lebesgue, tìm hiểu điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) hàm đo Nghiên cứu sâu tính chất liên quan đến tính khả tích (L) - Giải số tốn tích phân Lebesgue Chẳng hạn: • Tính tích phân (L) cách sử... 12 Qua giới hạn dấu tích phân 19 Tính liên tục tuyệt đối tích phân 25 Mối quan hệ tích phân Lebesgue tích phân Riemann 26 Điều kiện khả tích Lebesgue tích phân khoảng vơ hạn